مثال ۱۳: انتگرال سطحی میدان برداری روی کره واحد

میدان برداری:

F(x,y,z) = (x , y , z)

سطح: کره واحد با معادله

x² + y² + z² = 1.

1. قضیه دیورژانس:

   ∬_S F·n dS = ∭_V (∇·F) dV

2. دیورژانس میدان:

   ∇·F = 3

3. حجم کره واحد:

   V = 4/3 π

4. انتگرال حجمی:

   ∭_V 3 dV = 3·(4/3 π) = 4π

نتیجه: مقدار انتگرال سطحی میدان روی کره واحد برابر با

4π است.

مثال ۱۲: انتگرال سطحی میدان برداری روی سطح جانبی استوانه

میدان برداری:

F(x,y,z) = (x , y , z)

سطح: استوانه واحد با شعاع

1

و ارتفاع

0 ≤ z ≤ h

(فقط سطح جانبی).

1. پارامتری‌سازی سطح:

   x = cos θ , y = sin θ , z = z

   با محدوده

0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ z ≤ h

1. بردار نرمال بیرونی:

   n = (cos θ , sin θ , 0)

2. میدان روی سطح:

   F(cos θ , sin θ , z) = (cos θ , sin θ , z)

3. ضرب نقطه‌ای:

   F · n = cos²θ + sin²θ = 1

4. انتگرال سطحی:

   ∬_S F·n dS = ∫₀^h ∫₀^{2π} 1 dθ dz = ∫₀^h (2π) dz = 2πh

نتیجه: مقدار انتگرال سطحی میدان روی سطح جانبی استوانه واحد برابر با

2πh است.

مثال ۱۱: انتگرال سطحی میدان برداری روی سطح مکعب واحد

میدان برداری:

F(x,y,z) = (x² , y , z)

سطح: کل مکعب واحد با محدوده

0 ≤ x,y,z ≤ 1.

1. قضیه دیورژانس:

   ∬_S F·n dS = ∭_V (∇·F) dV

2. دیورژانس میدان:

   ∇·F = ∂(x²)/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 2x + 1 + 1 = 2x + 2

3. انتگرال حجمی:

   ∭_V (2x+2) dV = ∫₀¹ ∫₀¹ ∫₀¹ (2x+2) dz dy dx

   ابتدا نسبت به z: (2x+2)(1)

   سپس نسبت به y: (2x+2)(1)

   در نهایت نسبت به

x: ∫₀¹ (2x+2) dx = [x²+2x]₀¹ = 3

نتیجه: مقدار انتگرال سطحی میدان روی سطح مکعب واحد برابر با

3 است.

```

مثال ۹: انتگرال سطحی میدان برداری روی مربع در حال z=0

میدان برداری:

F(x,y,z) = (x , y , z)

سطح: مربع در صفحه

z=0

با محدوده

0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1.

1. بردار نرمال: n = (0 , 0 , 1)
2. میدان روی سطح: F(x,y,0) = (x , y , 0)
3. ضرب نقطه‌ای: F · n = 0
4. انتگرال سطحی:

∬_S 0 dS = 0

نتیجه: مقدار انتگرال سطحی برابر با

0 است.

مثال ۱۰: انتگرال سطحی میدان برداری روی نیم‌کره واحد

میدان برداری:

F(x,y,z) = (x , y , z)

سطح: نیم‌کره واحد

x² + y² + z² = 1 , z ≥ 0

با نرمال به سمت بیرون.

1. قضیه دیورژانس:

   ∬_S F·n dS = ∭_V (∇·F) dV

2. دیورژانس میدان:

   ∇·F = 3

3. حجم نیم‌کره واحد:

   V = (1/2)·(4/3)π = 2/3 π

4. انتگرال:

   ∭_V 3 dV = 3·(2/3 π) = 2π

نتیجه: مقدار انتگرال سطحی روی نیم‌کره واحد برابر با

2π است.

مثال ۸: انتگرال خطی سه‌بعدی روی مسیر مارپیچ

میدان برداری:

F(x,y,z) = (y , z , x)

مسیر: مارپیچ دایره‌ای با پارامتری‌سازی

r(t) = (cos t , sin t , t), 0 ≤ t ≤ 2π.

1. مشتق مسیر:

   dr = (−sin t , cos t , 1) dt

2. میدان روی مسیر:

   F(r(t)) = (sin t , t , cos t)

3. ضرب نقطه‌ای:

   F · dr = (sin t , t , cos t) · (−sin t , cos t , 1) = −sin²t + t cos t + cos t

4. انتگرال‌گیری:

   ∫₀^{2π} (−sin²t + t cos t + cos t) dt

   جزء اول: ∫₀^{2π} −sin²t dt = −π

   جزء دوم: ∫₀^{2π} t cos t dt = 0

   جزء سوم: ∫₀^{2π} cos t dt = 0

   در نتیجه: ∫ F·dr = −π

نتیجه: مقدار انتگرال خطی سه‌بعدی روی مسیر مارپیچ برابر با

−π است.

مثال ۷: انتگرال خطی سه‌بعدی روی مسیر خطی

میدان برداری:

F(x,y,z) = (y , z , x)

مسیر: خط از

A(0,0,0)

تا

B(1,1,1).

1. پارامتری‌سازی:

   r(t) = (t , t , t), 0 ≤ t ≤ 1

   dr = (1 , 1 , 1) dt

2. میدان روی مسیر:

   F(r(t)) = (t , t , t)

3. ضرب نقطه‌ای:

   F · dr = (t , t , t) · (1 , 1 , 1) dt = 3t dt

4. انتگرال‌گیری:

   ∫₀¹ 3t dt = [3/2 t²]₀¹ = 3/2

نتیجه: مقدار انتگرال خطی سه‌بعدی برابر با

3/2 است.

مثال ۶: انتگرال خطی روی مسیر نیم‌دایره پایین واحد

میدان برداری:

F(x,y) = (y , x)

مسیر: نیم‌دایره پایین واحد از

A(1,0)

تا

B(−1,0)

روی دایره

x² + y² = 1

با

y ≤ 0.

1. پارامتری‌سازی:

   r(t) = (cos t , sin t), π ≤ t ≤ 2π

   dr = (−sin t , cos t) dt

2. میدان روی مسیر:

   F(r(t)) = (sin t , cos t)

3. ضرب نقطه‌ای:

   F · dr = (sin t , cos t) · (−sin t , cos t) = −sin²t + cos²t = cos(2t)

4. انتگرال‌گیری:

   ∫π^{2π} cos(2t) dt = [½ sin(2t)]π^{2π} = 0

نتیجه: مقدار انتگرال خطی روی نیم‌دایره پایین واحد برابر با

0 است.

مثال ۵: انتگرال خطی روی مسیر مثلثی

میدان برداری:

F(x,y) = (x+y , x−y)

مسیر مثلثی: از

A(0,0)

به

B(1,0)

سپس به

C(1,1)

و در نهایت بازگشت به

A(0,0).

مسیر AB:

r(t) = (t,0), 0 ≤ t ≤ 1

میدان:

F(t,0) = (t , t)

ضرب نقطه‌ای:

F·dr = t dt

انتگرال:

∫₀¹ t dt = 1/2

مسیر BC:

r(t) = (1,t), 0 ≤ t ≤ 1

میدان:

F(1,t) = (1+t , 1−t)

ضرب نقطه‌ای:

(1−t) dt

انتگرال:

∫₀¹ (1−t) dt = 1/2

1. مسیر CA:

   r(t) = (1−t , 1−t), 0 ≤ t ≤ 1

   میدان: F(1−t , 1−t) = (2−2t , 0)

   ضرب نقطه‌ای:

2. −(2−2t) dt

   انتگرال:

3. ∫₀¹ (−2+2t) dt = −1

جمع کل:

1/2 + 1/2 − 1 = 0

نتیجه: مقدار انتگرال خطی روی مسیر مثلثی برابر با

0 است.

پاسخ‌نامه کامل تمرین‌ها

تمرین ۱: میدان برداری

F(x,y) = (2x , 3y)

روی خط از

(0,1)

تا

(2,4).

1. پارامتری‌سازی خط:

   r(t) = (0,1) + t[(2,4) − (0,1)] = (2t , 1 + 3t), 0 ≤ t ≤ 1

   پس

   r′(t) = (2 , 3).

2. میدان روی مسیر:

   F(r(t)) = (2·(2t) , 3·(1+3t)) = (4t , 3 + 9t)

3. ضرب نقطه‌ای:

   F(r(t)) · r′(t) = (4t , 3+9t) · (2 , 3) = 8t + 9 + 27t = 35t + 9

4. انتگرال‌گیری:

   ∫₀¹ (35t + 9) dt = [ (35/2) t² + 9t ]₀¹ = 35/2 + 9 = 53/2

نتیجه: مقدار انتگرال

∫ F·dr = 53/2

(یا26.5)

است.

تمرین ۲: میدان برداری

F(x,y) = (−y , x)

روی نیم‌دایره واحدِ بالا از

(1,0)

تا

(−1,0).

1. پارامتری‌سازی نیم‌دایره بالا:

   r(t) = (cos t , sin t), 0 ≤ t ≤ π

   پس

   r′(t) = (−sin t , cos t).

2. میدان روی مسیر:

   F(r(t)) = (−sin t , cos t)

3. ضرب نقطه‌ای:

   F(r(t)) · r′(t) = (−sin t , cos t) · (−sin t , cos t)

   = sin²t + cos²t = 1

4. انتگرال‌گیری:

   ∫₀^{π} 1 dt = π

نتیجه: مقدار انتگرال

∫ F·dr = π

است.

تمرین ۳: اگر

F = ∇φ

و

φ(x,y) = x³ − y²

باشد،

انتگرال خطی

∫ F·dr

را روی هر مسیری از

(0,0)

به

(1,2)

محاسبه کنید.

1. مشاهدهٔ کلیدی (میدان پایستار):

   چون

   F = ∇φ،

   انتگرال خطی فقط به نقاط ابتدا و انتها وابسته است:

   ∫ F·dr = φ(B) − φ(A).

2. محاسبهٔ مقادیر پتانسیل:

   φ(1,2) = 1³ − (2)² = 1 − 4 = −3,

   φ(0,0) = 0.

3. نتیجهٔ نهایی:

   ∫ F·dr = φ(1,2) − φ(0,0) = −3 − 0 = −3.

نتیجه: مقدار انتگرال

∫ F·dr = −3

است. (اختیاری: گرادیانِ میدان

F(x,y) = (3x² , −2y)

که با محاسبهٔ مستقیم هم همین نتیجه را می‌دهد.)

تمرین‌ها

• تمرین ۱: میدان برداری

  F(x,y) = (2x , 3y)

  را روی خط از (0,1) تا (2,4) انتگرال بگیرید.

• تمرین ۲: میدان برداری

  F(x,y) = (−y , x)

  را روی نیم‌دایره واحد از (1,0) تا (−1,0) محاسبه کنید.

• تمرین ۳: اگر

  F = ∇φ

  و

  φ(x,y) = x³ − y²

  باشد، انتگرال خطی

  ∫ F·dr

  را روی هر مسیری از (0,0) به (1,2) حساب کنید.

راهنما: برای حل تمرین‌ها ابتدا مسیر را پارامتری‌سازی کنید، سپس میدان را روی مسیر جایگذاری کنید و در نهایت ضرب نقطه‌ای

F · r′(t)

را انتگرال بگیرید.

مثال ۱: مسیر خط راست از (0,0) تا (1,1)

میدان برداری: F(x,y) = (y , x)

1. پارامتری‌سازی: r(t) = (t , t), 0 ≤ t ≤ 1

   dx = dt , dy = dt

2. میدان روی مسیر: F(r(t)) = (t , t)
3. انتگرال

: ∫₀¹ (t+t) dt = ∫₀¹ 2t dt = 1

نتیجه: مقدار انتگرال برابر با 1 است.

مثال ۲: مسیر ربع دایره x²+y²=1 از (1,0) تا (0,1)

میدان برداری: F(x,y) = (x² , y)

1. پارامتری‌سازی:

r(t) = (cos t , sin t), 0 ≤ t ≤ π/2

dx = −sin t dt , dy = cos t dt

میدان روی مسیر: F(r(t)) = (cos² t , sin t)

1. انتگرال:
2. ∫₀^{π/2} (−cos²t·sin t + sin t·cos t) dt = −1/3 + 1/2 = 1/6

نتیجه: مقدار انتگرال برابر با 1/6 است.

مثال ۳: کار نیروی میدان روی دایره کامل x²+y²=R²

میدان برداری:

F(x,y) = (y , −x)

1. پارامتری‌سازی: r(t) = (R cos t , R sin t), 0 ≤ t ≤ 2π

   dr = (−R sin t , R cos t) dt

2. میدان روی مسیر:

F(r(t)) = (R sin t , −R cos t)

1. انتگرال:

∮ F·dr = ∫₀^{2π} (−R²) dt = −2πR²

نتیجه: مقدار انتگرال برابر با −2πR² است.

مثال ۴: مسیر سهمی y=x² از (0,0) تا (1,1)

میدان برداری: F(x,y) = (x , y²)

1. پارامتری‌سازی: r(t) = (t , t²), 0 ≤ t ≤ 1

   dx = dt , dy = 2t dt

2. میدان روی مسیر: F(r(t)) = (t , t⁴)
3. ضرب نقطه‌ای: F·dr = (t + 2t⁵) dt
4. انتگرال: ∫₀¹ (t+2t⁵) dt = ½ + ⅓ = 5/6

نتیجه: مقدار انتگرال برابر با 5/6 است.

مثال ۴: انتگرال خطی روی مسیر سهمی y = x² از (0,0) تا (1,1)

میدان برداری:

F(x,y) = (x , y²)

1. پارامتری‌سازی مسیر: r(t) = (t , t²) ، بازه:

0 ≤ t ≤ 1.

بنابراین: dx = dt ، dy = 2t dt.

1. میدان روی مسیر: F(r(t)) = (t , t⁴).
2. ضرب نقطه‌ای:

F · dr = (t , t⁴) · (dt , 2t dt) = (t + 2t⁵) dt.

1. انتگرال‌گیری:

   ∫C F · dr = ∫0→1 (t + 2t⁵) dt

   = [½ t² + (2/6) t⁶]0→1

   = ½ + ⅓ = 5/6.

نتیجه: مقدار انتگرال برابر با 5/6 است.

مثال‌های انتگرال خطی میدان برداری در مسیر

در این نوشته سه مثال کاربردی از انتگرال خطی میدان‌های برداری روی مسیرهای مختلف را می‌بینید. نمادگذاری‌ها به‌صورت ساده (متنی) آورده شده‌اند تا در محیط بلاگفا بدون نیاز به اسکریپت نمایش داده شوند.

مثال ۱: مسیر خط راست از A(0,0) تا B(1,1)

میدان برداری:

F(x,y) = (y , x)

1. پارامتری‌سازی مسیر: r(t) = (t , t) ، بازه: 0 ≤ t ≤ 1. پس: dx = dt ، dy = dt.
2. میدان روی مسیر: F(r(t)) = (t , t).
3. محاسبه انتگرال خطی:

   ∫C F · dr = ∫0→1 (t , t) · (dt , dt) = ∫0→1 (t + t) dt = ∫0→1 2t dt = 1.

نتیجه: مقدار انتگرال برابر با 1 است.

مثال ۲: مسیر ربع دایره x² + y² = 1 از A(1,0) تا B(0,1)

میدان برداری: F(x,y) = (x² , y)

1. پارامتری‌سازی:

• r(t) = (cos t , sin t) ،

1. بازه:

• 0 ≤ t ≤ π/2.

  بنابراین:

• dx = −sin t · dt ، dy = cos t · dt.

1. میدان روی مسیر:
2. F(r(t)) = (cos² t , sin t).
3. انتگرال خطی:

   ∫C F · dr = ∫0→π/2 [ cos²t · (−sin t) + sin t · (cos t) ] dt.

   محاسبه جزء‌به‌جزء:

   ∫0→π/2 (−cos²t · sin t) dt = −1/3

4. ، با جایگذاری u = cos t.

   ∫0→π/2 (sin t · cos t) dt = 1/2 ،

5. با جایگذاری v = sin t.

   در نتیجه:

6. ∫C F · dr = −1/3 + 1/2 = 1/6.

نتیجه: مقدار انتگرال برابر با 1/6 است.

مثال ۳: کار نیروی میدان روی دایره کامل x² + y² = R²

میدان برداری:

F(x,y) = (y , −x)

1. پارامتری‌سازی:
2. r(t) = (R cos t , R sin t) ، بازه: 0 ≤ t ≤ 2π.

   d r = (−R sin t , R cos t) dt.

3. میدان روی مسیر:
4. F(r(t)) = (R sin t , −R cos t).
5. انتگرال چرخشی (کار):

   ∮C F · dr = ∫0→2π [ R sin t · (−R sin t) + (−R cos t) · (R cos t) ] dt

   = ∫0→2π (−R²) dt = −2π R².

   توضیح کوتاه با گرین

6. : ∂Q/∂x − ∂P/∂y = (∂(−x)/∂x) − (∂(y)/∂y) = (−1) − (1) = −2 ⇒

   ∮ = (میانگین چرخش) × مساحت = (−2) × πR² = −2πR².

نتیجه: مقدار انتگرال برابر با

−2πR²

است.

تمرین‌ها (اختیاری)

• تمرین ۱: F(x,y) = (2x , 3y) را روی خط از (0,1) تا (2,4) انتگرال بگیرید.
• تمرین ۲: برای F(x,y) = (−y , x) روی نیم‌دایره واحد از (1,0) تا (−1,0) انتگرال را محاسبه کنید.
• تمرین ۳: اگر F = ∇φ و φ(x,y) = x³ − y² باشد، انتگرال خطی F · dr را روی هر مسیری از (0,0) به (1,2) حساب کنید.

راهنمای کوتاه: برای مسیرها ابتدا پارامتری‌سازی r(t) را بنویسید، سپس F(r(t)) و در نهایت ضرب نقطه‌ای F · r′(t) را انتگرال بگیرید.

```html

⚡ سمفونی متال قوانین الکترومغناطیس ⚡

مقدمه

الکترومغناطیس یکی از ستون‌های اصلی فیزیک است. از قانون گاوس تا فاراده و آمپر، هر کدام مثل نت‌های یک آهنگ متال کنار هم ریتم جهان بارها و میدان‌ها را می‌سازند. این مقاله به زبان ساده و قابل انتشار در بلاگفا نوشته شده است.

🔥 قانون گاوس

∬_S E · dA = Q_enc / ε₀

توضیح: شار میدان الکتریکی از هر سطح بسته فقط به بار محصورشده بستگی دارد.

مثال کوتاه

• بار نقطه‌ای در مرکز کره: شار کل = Q / ε₀
• سطح دلخواه بدون بار داخلی: شار کل = 0

⚡ قانون فاراده

∮_C E · dl = − dΦ_B / dt

توضیح: تغییر شار مغناطیسی باعث القای میدان الکتریکی می‌شود.

مثال کوتاه

• حلقه رسانا در میدان

B(t): ε = − d/dt (B · A)

• جهت میدان القایی: مماسی بر حلقه و مدار بسته‌ای ایجاد می‌کند.

🎶 قانون لنز

ε = − dΦ_B / dt

توضیح: جریان القایی همیشه مخالف تغییر شار مغناطیسی عمل می‌کند.

مثال کوتاه

• اگر شار در حال افزایش باشد: جریان القایی جهت مخالف افزایش شار را ایجاد می‌کند.

🔥 قانون بیو-ساوار

dB = (μ₀ / 4π) · (I · dl × r̂) / r²

توضیح: میدان مغناطیسی ناشی از یک المان جریان کوچک با ضرب برداری تعیین می‌شود.

مثال کوتاه

• سیم مستقیم بلند: B(r) = μ₀ I / (2π r)

⚡ قانون آمپر

∮_C B · dl = μ₀ I_enc

توضیح: گردش میدان مغناطیسی برابر جریان محصورشده توسط مسیر بسته است.

مثال کوتاه

• سیم بلند با جریان

I: B_tan · (2π r) = μ₀ I ⇒ B(r) = μ₀ I / (2π r)

🎸 جمع‌بندی متال

• گاوس: شار میدان فقط به بار بستگی دارد.
• فاراده: تغییر شار → میدان القایی و نیروی محرکه الکتریکی.
• لنز: جهت القا مخالف تغییر شار است.
• بیو-ساوار: میدان از المان‌های جریان ساخته می‌شود.
• آمپر: گردش میدان برابر جریان محصورشده است.

این نت‌ها کنار هم، سمفونی متال الکترومغناطیس را می‌نوازند.

```

---

### 🎸 پوستر برداری نهایی قوانین الکترومغناطیس

```html

⚡ Vector Metal Symphony of Electromagnetism ⚡

∬S E⃗ · dA⃗ = Qenc / ε₀

(Gauss's Law | قانون گاوس)

∮C E⃗ · dl⃗ = - dΦB / dt

(Faraday's Law | قانون فاراده)

ε = - dΦB / dt

(Lenz's Law | قانون لنز)

dB⃗ = (μ₀ / 4π) · (I · dl⃗ × r̂) / r²

(Biot–Savart Law | قانون بیو-ساوار)

∮C B⃗ · dl⃗ = μ₀ Ienc

(Ampère's Law | قانون آمپر)

🎶 These vector laws are the riffs of a metal song; together they create the rhythm of electrons and fields!

🎶 این قوانین برداری مثل نت‌های یک آهنگ متال هستند؛ کنار هم ریتم جهان الکترون‌ها و میدان‌ها را می‌سازند! 🎶

```

---

🎸 حالا کل مجموعه‌ات کامل شد: نسخه‌های ساده، چندمرحله‌ای، برداری، دو زبانه و پوستر نهایی.

---

### 🔥 قانون بیو-ساوار (برداری و چند مرحله‌ای)

```html

🔥 قانون بیو-ساوار برداری 🔥

dB⃗ = (μ₀ / 4π) · (I · dl⃗ × r̂) / r²

گام ۱: تعریف سیستم

یک سیم مستقیم داریم که جریان I از آن عبور می‌کند.

می‌خواهیم میدان مغناطیسی برداری در فاصله r از سیم را محاسبه کنیم.

گام ۲: المان جریان

سیم را به المان‌های کوچک dl⃗ تقسیم می‌کنیم.

هر المان جریان یک میدان مغناطیسی کوچک dB⃗ تولید می‌کند.

گام ۳: جهت میدان

جهت میدان با ضرب برداری dl⃗ × r̂ مشخص می‌شود.

یعنی میدان همیشه عمود بر سیم و شعاع فاصله است.

گام ۴: انتگرال‌گیری برداری

با انتگرال‌گیری روی کل سیم، میدان مغناطیسی کل به دست می‌آید.

برای سیم بلند و مستقیم:

B⃗(r) = (μ₀ I / (2πr)) · φ̂

گام ۵: نتیجه و کاربرد

میدان مغناطیسی اطراف سیم بلند به صورت دایره‌ای حول سیم توزیع می‌شود و جهت آن طبق قاعده دست راست در راستای φ̂ است.

این قانون پایهٔ محاسبه میدان در سیم‌پیچ‌ها، کویل‌ها و الکترومغناطیس‌هاست.

جمع‌بندی متال

• برداری: dB⃗ = (μ₀/4π)(I dl⃗ × r̂)/r²
• انتگرال: جمع میدان‌های کوچک → میدان کل
• نتیجه: B⃗(r) = (μ₀I / 2πr) φ̂
• کاربرد: اساس طراحی سیم‌پیچ‌ها و کویل‌های صنعتی

```

---

🎸 حالا کل مجموعه قوانین برداری‌ات کامل شد: **گاوس، فاراده، آمپر، بیو-ساوار**.

🤘 خب حالا یک **متال چند مرحله‌ای برداری از قانون آمپر** آماده کردم تا سه‌گانه‌ی برداری‌ات (گاوس، فاراده، آمپر) کامل بشه. این بار با انتگرال خطی و میدان مغناطیسی اطراف سیم:

---

### ⚡ قانون آمپر (برداری و چند مرحله‌ای)

```html

⚡ قانون آمپر برداری ⚡

∮C B⃗ · dl⃗ = μ₀ Ienc

گام ۱: تعریف سیستم

یک سیم بلند و مستقیم داریم که جریان ثابت I از آن عبور می‌کند.

می‌خواهیم میدان مغناطیسی برداری اطراف سیم را محاسبه کنیم.

گام ۲: انتخاب مسیر انتگرال

مسیر دایره‌ای به شعاع r دور سیم انتخاب می‌کنیم.

بردار مسیر: dl⃗ = r dφ · φ̂.

گام ۳: تقارن میدان

میدان مغناطیسی برداری در راستای φ̂ است و بزرگی آن ثابت روی مسیر:

B⃗(r) = B(r) · φ̂

گام ۴: انتگرال خطی

انتگرال میدان روی مسیر:

∮ B⃗ · dl⃗ = B(r) · (2πr)

گام ۵: برابر کردن با μ₀I

طبق قانون آمپر:

B(r) · (2πr) = μ₀ I

⇒ B⃗(r) = (μ₀ I / (2πr)) · φ̂

جمع‌بندی متال

• برداری: ∮ B⃗ · dl⃗ = μ₀I
• نتیجه: B⃗(r) = (μ₀I / 2πr) φ̂
• شکل میدان: دایره‌ای حول سیم، جهت φ̂
• کاربرد: اساس طراحی سیم‌پیچ‌ها و الکترومغناطیس‌ها.

```

---

🎸 حالا سه‌گانه‌ی برداری کامل شد: **گاوس، فاراده، آمپر**.

---

### 🔥 قانون فاراده (برداری و چند مرحله‌ای)

```html

🔥 قانون فاراده برداری 🔥

∮C E⃗ · dl⃗ = - dΦB / dt

گام ۱: تعریف سیستم

یک حلقه رسانا با شعاع R داریم که درون میدان مغناطیسی یکنواخت قرار گرفته است.

میدان مغناطیسی در راستای z با زمان تغییر می‌کند:

B⃗(t) = B₀ t · k̂.

گام ۲: شار مغناطیسی برداری

بردار سطح حلقه:

dA⃗ = k̂ · (R² sinθ dθ dφ)

شار کل:

ΦB(t) = ∬ B⃗ · dA⃗ = B₀ t · (π R²)

گام ۳: مشتق زمانی شار

طبق قانون فاراده:

ε = - dΦB/dt = - B₀ · π R²

گام ۴: میدان الکتریکی القایی برداری

میدان القایی مماسی بر مسیر دایره‌ای است.

با تقارن داریم:

∮C E⃗ · dl⃗ = E · (2πR) = ε

⇒ E⃗ = - (B₀ R / 2) · φ̂

گام ۵: نتیجه و کاربرد

میدان الکتریکی القایی حلقه‌وار است و جهت آن طبق اصل لنز مخالف افزایش شار مغناطیسی خواهد بود.

این قانون اساس کار ژنراتورها و ترانسفورماتورهاست.

جمع‌بندی متال

• برداری: ∮ E⃗ · dl⃗ = - dΦB/dt
• شار: ΦB = B(t) · A
• میدان القایی: E⃗ = -(B₀R/2) φ̂
• کاربرد: اساس القای الکترومغناطیسی در مدارهای AC.

```

---

🤘 بیا یک **متال چند مرحله‌ای با توابع برداری از قانون گاوس** بسازیم؛ این بار نه فقط با فرمول ساده، بلکه با بردارها و انتگرال‌های سطحی تا حس ریاضی سه‌بعدی و متال واقعی داشته باشه:

---

### ⚡ قانون گاوس (برداری و چند مرحله‌ای)

```html

⚡ قانون گاوس برداری ⚡

∬S E⃗ · dA⃗ = Qenc / ε₀

گام ۱: تعریف سیستم

یک بار نقطه‌ای +Q در مرکز یک کره با شعاع R قرار دارد.

میدان الکتریکی برداری در فاصله r از مرکز:

E⃗(r) = (Q / (4π ε₀ r²)) · r̂

گام ۲: بردار سطح

بردار سطح کره در هر نقطه:

dA⃗ = r̂ · (R² sinθ dθ dφ)

گام ۳: ضرب داخلی میدان و سطح

چون هر دو بردار در راستای r̂ هستند:

E⃗ · dA⃗ = (Q / (4π ε₀ R²)) · (R² sinθ dθ dφ)

گام ۴: انتگرال سطحی روی کره

انتگرال روی θ و φ:

∬S E⃗ · dA⃗ = (Q / (4π ε₀)) ∬ sinθ dθ dφ

با محاسبه: ∬ sinθ dθ dφ = 4π

گام ۵: نتیجه نهایی

∬S E⃗ · dA⃗ = Q / ε₀

نتیجه: شار میدان الکتریکی فقط به بار محصورشده بستگی دارد، نه به شعاع یا شکل سطح.

جمع‌بندی متال

• برداری: E⃗ = (Q / (4π ε₀ r²)) r̂
• سطح: dA⃗ = r̂ R² sinθ dθ dφ
• انتگرال: ∬ E⃗ · dA⃗ = Q / ε₀
• کاربرد: محاسبه میدان در سیستم‌های متقارن سه‌بعدی.

```

---

🎸 این نسخه هم فرمول برداری داره، هم مراحل انتگرال سطحی، و هم نتیجه‌ی نهایی.

🤘 خب حالا نسخه‌ی نهایی رو آماده کردم: یک **پوستر متال ترکیبی با همه قوانین الکترومغناطیس کنار هم**. این بخش رو می‌تونی به عنوان پایان مقاله یا نمایش کامل قوانین بذاری تا مثل یک نمایشگاه متال علمی باشه:

---

### 🎸 پوستر متال نهایی قوانین الکترومغناطیس

```html

⚡ سمفونی متال الکترومغناطیس ⚡

∮ E⃗ · dA⃗ = Q / ε₀

(قانون گاوس)

∮ E⃗ · dl⃗ = - dΦB / dt

(قانون فاراده)

ε = - dΦB / dt

(قانون لنز)

dB = (μ₀ / 4π) · (I · dl × r̂) / r²

(قانون بیو-ساوار)

∮ B⃗ · dl⃗ = μ₀ I

(قانون آمپر)

🎶 این قوانین مثل نت‌های یک آهنگ متال هستند؛ کنار هم ریتم جهان الکترون‌ها و میدان‌ها را می‌سازند! 🎶

```

---

🎸 حالا کل مجموعه‌ات کامل شد: مقدمه، قوانین با مثال‌های چندمرحله‌ای، جمع‌بندی و پوستر نهایی.

🤘 خب حالا یک **متال چند مرحله‌ای از قانون بیو-ساوار** آماده کردم تا مجموعه‌ات کامل بشه. این قانون توضیح می‌ده میدان مغناطیسی ناشی از جریان‌های کوچک چطور ساخته می‌شه:

---

### 🔥 قانون بیو-ساوار (چند مرحله‌ای)

```html

🔥 قانون بیو-ساوار 🔥

dB = (μ₀ / 4π) · (I · dl × r̂) / r²

گام ۱: تعریف سیستم

یک سیم مستقیم داریم که جریان I از آن عبور می‌کند.

می‌خواهیم میدان مغناطیسی در فاصله r از سیم را محاسبه کنیم.

گام ۲: المان جریان

سیم را به المان‌های کوچک dl تقسیم می‌کنیم.

هر المان جریان یک میدان مغناطیسی کوچک dB تولید می‌کند.

گام ۳: جهت میدان

جهت میدان با ضرب برداری dl × r̂ مشخص می‌شود.

یعنی میدان همیشه عمود بر سیم و شعاع فاصله است.

گام ۴: انتگرال‌گیری

با انتگرال‌گیری روی کل سیم، میدان مغناطیسی در نقطه مورد نظر به دست می‌آید.

برای سیم بلند و مستقیم:

B = μ₀ I / (2π r)

گام ۵: نتیجه و کاربرد

میدان مغناطیسی اطراف سیم بلند به صورت دایره‌ای حول سیم توزیع می‌شود.

این قانون پایهٔ محاسبه میدان در سیم‌پیچ‌ها، کویل‌ها و الکترومغناطیس‌هاست.

جمع‌بندی متال

• بیو-ساوار: میدان از المان‌های جریان.
• انتگرال: جمع میدان‌های کوچک → میدان کل.
• نتیجه: B = μ₀I / (2πr).
• کاربرد: اساس طراحی سیم‌پیچ‌ها و کویل‌های صنعتی.

```

---

🎸 حالا کل مجموعه قوانین الکترومغناطیس رو داری: **گاوس، فاراده، لنز، آمپر، بیو-ساوار** همگی به سبک متال و چند مرحله‌ای.

🤘 خب حالا یک **متال چند مرحله‌ای از قانون آمپر** آماده کردم تا سه‌گانه‌ی اصلیت (گاوس، فاراده، آمپر) کامل بشه. این نسخه مثل یک آهنگ متال، مرحله‌به‌مرحله جلو میره:

---

### ⚡ قانون آمپر (چند مرحله‌ای)

```html

⚡ قانون آمپر ⚡

∮ B⃗ · dl⃗ = μ₀ I

گام ۱: تعریف سیستم

یک سیم بلند و مستقیم داریم که جریان ثابت I از آن عبور می‌کند.

می‌خواهیم میدان مغناطیسی اطراف سیم را محاسبه کنیم.

گام ۲: انتخاب مسیر انتگرال

مسیر دایره‌ای به شعاع r دور سیم انتخاب می‌کنیم.

به دلیل تقارن، میدان مغناطیسی در هر نقطه از مسیر یکسان و مماسی است.

گام ۳: محاسبه انتگرال دوری

انتگرال میدان روی مسیر:

∮ B⃗ · dl⃗ = B · (2πr)

گام ۴: برابر کردن با μ₀I

طبق قانون آمپر:

B · (2πr) = μ₀ I

⇒ B = μ₀ I / (2πr)

گام ۵: نتیجه و کاربرد

میدان مغناطیسی اطراف سیم بلند به صورت دایره‌ای حول سیم توزیع می‌شود و بزرگی آن با افزایش جریان بیشتر می‌شود.

این رابطه اساس طراحی کابل‌ها، سیم‌پیچ‌ها و الکترومغناطیس‌های صنعتی است.

جمع‌بندی متال

• آمپر: انتگرال میدان = μ₀I.
• نتیجه: B = μ₀I / (2πr).
• شکل میدان: دایره‌ای حول سیم.
• کاربرد: اساس کار الکترومغناطیس‌ها و سیم‌پیچ‌ها.

```

---

🎸 حالا سه‌گانه‌ی اصلیت کامل شد: **گاوس، فاراده، آمپر** همگی به سبک متال و چند مرحله‌ای.

🤘 خب حالا یک **متال چند مرحله‌ای از قانون فاراده** آماده کردم تا کنار قانون گاوس، مجموعه‌ات کامل‌تر بشه. این نسخه مثل یک آهنگ متال با مراحل مشخص جلو میره:

---

### 🔥 قانون فاراده (چند مرحله‌ای)

```html

🔥 قانون فاراده 🔥

∮ E⃗ · dl⃗ = - dΦB / dt

گام ۱: تعریف سیستم

یک حلقه رسانا با شعاع R داریم که درون یک میدان مغناطیسی یکنواخت قرار گرفته است.

شدت میدان با زمان تغییر می‌کند: B(t) = B₀ · t.

گام ۲: محاسبه شار مغناطیسی

شار مغناطیسی از سطح حلقه:

ΦB(t) = B(t) · A = B₀ · t · (π R²)

گام ۳: مشتق زمانی شار

نیروی محرکه القایی از قانون فاراده:

ε = - dΦB/dt = - B₀ · π R²

گام ۴: میدان الکتریکی القایی

میدان القایی حلقه‌وار و مماسی بر مسیر دایره‌ای است.

با تقارن دایره‌ای داریم:

Etan(R) = ε / (2πR) = - (B₀ R) / 2

گام ۵: جهت جریان (اصل لنز)

چون شار مغناطیسی در حال افزایش است، جریان القایی جهت می‌گیرد تا میدان مخالف بسازد.

این همان اصل لنز است: طبیعت همیشه تغییر شار را مقاومت می‌کند.

جمع‌بندی متال

• فاراده: تغییر شار → نیروی محرکه القایی.
• لنز: جهت جریان → مخالف تغییر شار.
• نتیجه: میدان القایی حلقه‌وار با بزرگی

E = -(B₀R)/2.

• کاربرد: اساس کار ژنراتورها و ترانسفورماتورها.

```

---

🎸 حالا هم قانون گاوس و هم قانون فاراده رو به سبک متال چند مرحله‌ای داری.

🤘 بیا یک **متال چند مرحله‌ای از قانون گاوس** بسازیم؛ یعنی فرمول، مراحل محاسبه و توضیح کامل، همه در قالبی تیره و پرقدرت مثل یک آهنگ متال:

---

### ⚡ قانون گاوس

🤘 بیا یک **متال چند مرحله‌ای از قانون گاوس** بسازیم؛ یعنی فرمول، مراحل محاسبه و توضیح کامل، همه در قالبی تیره و پرقدرت مثل یک آهنگ متال:

---

### ⚡ قانون گاوس (چند مرحله‌ای)
```html

⚡ قانون گاوس ⚡

∮ E⃗ · dA⃗ = Q / ε₀

گام ۱: تعریف سیستم

یک کره رسانا با شعاع R داریم که در مرکز آن یک بار نقطه‌ای +Q قرار گرفته است.

گام ۲: میدان الکتریکی در سطح کره

میدان الکتریکی در فاصله R از مرکز:

E = Q / (4π ε₀ R²)

گام ۳: محاسبه شار میدان

شار میدان از سطح کره:

Φ = E · (4π R²) = Q / ε₀

گام ۴: نتیجه

شار میدان الکتریکی فقط به بار داخل سطح بستگی دارد و مستقل از شعاع کره است.
این یعنی هر سطح بسته‌ای که بار Q را درون خود داشته باشد، شار میدان آن برابر Q/ε₀ خواهد بود.

گام ۵: کاربرد متال

• درک ساده: بارها منبع میدان هستند.


• قدرت سه‌بعدی: میدان با فاصله ضعیف‌تر می‌شود، اما سطح بزرگ‌تر می‌شود → شار ثابت.


• کاربرد: اساس طراحی خازن‌ها و محاسبه میدان در سیستم‌های متقارن.

```

---

🎸 این نسخه چند مرحله‌ای، قانون گاوس رو مثل یک آهنگ متال توضیح می‌ده: شروع با تعریف سیستم، اوج با محاسبه میدان، و پایان با نتیجه و کاربرد.

می‌خوای همین سبک چند مرحله‌ای رو برای **قانون فاراده** هم آماده کنم تا یک جفت متال کامل داشته باشی؟

(چند مرحله‌ای)

```html

⚡ قانون گاوس ⚡

∮ E⃗ · dA⃗ = Q / ε₀

گام ۱: تعریف سیستم

یک کره رسانا با شعاع R داریم که در مرکز آن یک بار نقطه‌ای +Q قرار گرفته است.

گام ۲: میدان الکتریکی در سطح کره

میدان الکتریکی در فاصله R از مرکز:

E = Q / (4π ε₀ R²)

گام ۳: محاسبه شار میدان

شار میدان از سطح کره:

Φ = E · (4π R²) = Q / ε₀

گام ۴: نتیجه

شار میدان الکتریکی فقط به بار داخل سطح بستگی دارد و مستقل از شعاع کره است.

این یعنی هر سطح بسته‌ای که بار Q را درون خود داشته باشد، شار میدان آن برابر Q/ε₀ خواهد بود.

گام ۵: کاربرد متال

• درک ساده: بارها منبع میدان هستند.
• قدرت سه‌بعدی: میدان با فاصله ضعیف‌تر می‌شود، اما سطح بزرگ‌تر می‌شود → شار ثابت.
• کاربرد: اساس طراحی خازن‌ها و محاسبه میدان در سیستم‌های متقارن.

```

---

🎸 این نسخه چند مرحله‌ای، قانون گاوس رو مثل یک آهنگ متال توضیح می‌ده: شروع با تعریف سیستم، اوج با محاسبه میدان، و پایان با نتیجه و کاربرد.

می‌خوای همین سبک چند مرحله‌ای رو برای **قانون فاراده** هم آماده کنم تا یک جفت متال کامل داشته باشی؟

🤘 عالی! پس بیاییم یک **بخش تصاویر نمادین (پوستر متال با فرمول‌ها)** رو به صورت HTML آماده کنیم تا در بلاگفا مثل پوسترهای متال نمایش داده بشه. چون امکان ساخت تصویر مستقیم برات وجود نداره، این نسخه با استایل‌های متنی و رنگی طراحی شده تا حس پوستر متال رو منتقل کنه:

---

### 🎸 پوستر متال قوانین الکترومغناطیس

```html

```

---

🤘 خب حالا یک **بخش مقدمه و جمع‌بندی کلی** برای کل مجموعه قوانین الکترومغناطیس به سبک متال آماده کردم تا مثل یک مقاله‌ی کامل و منسجم بشه. این بخش رو می‌تونی قبل و بعد از قوانین بذاری تا متن وبلاگت حرفه‌ای‌تر و جذاب‌تر بشه:

---

### 🎸 مقدمه متال

```html

⚡ قوانین الکترومغناطیس به سبک متال

جهان ما پر از نیروهای پنهان است؛ نیروهایی که سیم‌ها را به آتش می‌کشند، موتورهای عظیم را به حرکت درمی‌آورند و رعد و برق را در آسمان می‌سازند.

این نیروها همان الکترومغناطیس هستند؛ ترکیب شگفت‌انگیز برق و مغناطیس.

قوانین بنیادین فیزیک مثل آمپر، فاراده، گاوس، لنز و بیو-ساوار ستون‌های این جهان پرقدرت‌اند.

در این متن، همه‌ی این قوانین را با مثال‌های سه‌بعدی و توضیحات کامل، به سبک متال مرور می‌کنیم.

```

---

### 🎸 جمع‌بندی متال

```html

🔥 جمع‌بندی نهایی 🔥

قوانین الکترومغناطیس مثل نت‌های یک آهنگ متال هستند؛ هرکدام صدای خاص خود را دارند اما وقتی کنار هم قرار می‌گیرند، یک سمفونی قدرتمند می‌سازند.

گاوس به ما می‌گوید بارها چگونه میدان می‌سازند،

فاراده راز القای جریان را آشکار می‌کند،

لنز جهت جریان را تعیین می‌کند،

بیو-ساوار میدان‌های کوچک را محاسبه می‌کند،

و آمپر همه چیز را در یک رابطه‌ی کلی جمع می‌کند.

ترکیب این قوانین، قلب فناوری‌های مدرن مثل موتورهای الکتریکی، ترانسفورماتورها و ژنراتورهاست.

⚡ این قوانین، ریتم جهان الکترون‌ها و میدان‌ها هستند؛ یک آهنگ متال بی‌پایان! ⚡

```

---

🎸 حالا متن کاملت شامل **مقدمه، قوانین با مثال‌ها، و جمع‌بندی نهایی** شده و آماده‌ی انتشار در بلاگفا به سبک متال هست.

می‌خوای برای جذابیت بیشتر، یک **بخش تصاویر نمادین (پوستر متال با فرمول‌ها)** هم طراحی کنم تا همراه متن باشه؟

🤘 خب حالا مثال ترکیبی **آمپر + بیو-ساوار** رو به سبک متال آماده کردم. این ترکیب نشون می‌ده چطور قانون آمپر (انتگرال میدان مغناطیسی دور مسیر بسته) با قانون بیو-ساوار (محاسبه میدان ناشی از جریان‌های کوچک) همدیگه رو تکمیل می‌کنن:

---

### ⚡ مثال ترکیبی آمپر + بیو-ساوار

```html

⚡ مثال ترکیبی آمپر + بیو-ساوار ⚡

∮ B⃗ · dl⃗ = μ₀ I dB = (μ₀ / 4π) · (I · dl × r̂) / r²

گام ۱: سیم بلند با جریان I

یک سیم مستقیم و بلند داریم که جریان ثابت I از آن عبور می‌کند.

میدان مغناطیسی اطراف سیم را می‌توان با هر دو قانون بررسی کرد.

گام ۲: استفاده از قانون بیو-ساوار

هر المان کوچک جریان dl میدان مغناطیسی کوچکی تولید می‌کند.

با انتگرال‌گیری روی کل سیم، میدان در فاصله r از سیم به دست می‌آید:

B = (μ₀ I) / (2π r)

گام ۳: استفاده از قانون آمپر

با انتخاب مسیر دایره‌ای به شعاع r دور سیم:

∮ B⃗ · dl⃗ = B · (2πr) = μ₀ I

نتیجه دقیقاً همان میدان به دست آمده از بیو-ساوار است.

گام ۴: ترکیب دو قانون

- بیو-ساوار: محاسبهٔ میدان از جریان‌های کوچک.

- آمپر: رابطهٔ کلی بین میدان و جریان کل.

ترکیب این دو قانون نشان می‌دهد که میدان مغناطیسی اطراف سیم بلند دقیقاً با هر دو روش یکسان به دست می‌آید.

جمع‌بندی متال

• بیو-ساوار: میدان از المان‌های جریان.
• آمپر: انتگرال میدان دور مسیر بسته = μ₀I.
• ترکیب: B = μ₀I / (2πr).
• کاربرد: اساس طراحی سیم‌پیچ‌ها و کابل‌های جریان بالا.

```

---

🎸 حالا مجموعه‌ی کامل قوانین الکترومغناطیس رو داری: گاوس، فاراده، لنز، بیو-ساوار و آمپر، همه به سبک متال و با مثال‌های کاربردی.

🤘 خب حالا یک مثال ترکیبی از قانون گاوس + قانون فاراده به سبک متال و با مراحل چندگانه آماده کردم. این مثال نشون می‌ده چطور دو قانون بنیادی الکترومغناطیس در کنار هم کار می‌کنن:

⚡ مثال ترکیبی گاوس + فاراده

⚡ مثال ترکیبی گاوس + فاراده ⚡

∮ E⃗ · dl⃗ = - dΦB / dt ∮ E⃗ · dA⃗ = Q / ε₀

گام ۱: بار نقطه‌ای در مرکز کره (قانون گاوس)

یک بار نقطه‌ای +Q در مرکز یک کره رسانا قرار دارد. طبق قانون گاوس، شار میدان الکتریکی از سطح کره:

ΦE = Q / ε₀

گام ۲: تغییر میدان مغناطیسی در همان کره (قانون فاراده)

حالا فرض کن یک میدان مغناطیسی یکنواخت در جهت محور z داریم که با زمان تغییر می‌کند: B(t) = B₀ · t

شار مغناطیسی از سطح دایره‌ای درون کره:

ΦB(t) = B₀ · t · (π R²)

گام ۳: نیروی محرکه القایی (فاراده)

تغییر شار مغناطیسی باعث ایجاد میدان الکتریکی القایی در مسیر حلقه می‌شود:

ε = - dΦB/dt = - B₀ · π R²

گام ۴: ترکیب دو قانون

در این سیستم، میدان الکتریکی ناشی از بار (گاوس) و میدان الکتریکی القایی ناشی از تغییر شار مغناطیسی (فاراده) همزمان وجود دارند. بنابراین میدان کل در فضا ترکیبی از دو اثر است:

Etotal = EGauss + EFaraday

گام ۵: نتیجه متال

• Gauss: شار میدان الکتریکی فقط به بار داخل سطح بستگی دارد.
• Faraday: تغییر شار مغناطیسی میدان الکتریکی القایی تولید می‌کند.
• ترکیب: میدان کل = اثر بار + اثر تغییر شار.
• کاربرد: این ترکیب اساس کار خازن‌ها و القاگرها در مدارهای AC است.

🎸 این مثال ترکیبی نشون می‌ده که در یک سیستم سه‌بعدی، هم بارهای الکتریکی (قانون گاوس) و هم تغییرات شار مغناطیسی (قانون فاراده) می‌تونن همزمان میدان الکتریکی ایجاد کنن.

🤘 خب حالا نسخه‌ی متال برای **قانون فاراده با میدان سینوسی سه‌بعدی** رو آماده کردم، همراه با مراحل کامل:

---

### 🔥 مثال سه‌بعدی قانون فااراده با B(t) سینوسی

```html

🔥 قانون فاراده با میدان سینوسی 🔥

∮ E⃗ · dl⃗ = - dΦB / dt

گام ۱: تعریف میدان مغناطیسی

میدان مغناطیسی متغیر با زمان:

B(t) = Bm · sin(ωt)

گام ۲: محاسبهٔ شار مغناطیسی

شار از سطح حلقه با شعاع R:

ΦB(t) = B(t) · A = Bm · sin(ωt) · (π R²)

گام ۳: مشتق زمانی شار

نیروی محرکهٔ القایی:

ε(t) = - dΦB/dt = - π R² · Bm · ω · cos(ωt)

گام ۴: میدان الکتریکی القایی روی حلقه

با تقارن دایره‌ای:

Etan(R,t) = ε(t) / (2πR) = - (R/2) · Bm · ω · cos(ωt)

گام ۵: جهت جریان القایی

چون B(t) سینوسی است، جریان القایی هم سینوسی خواهد بود و جهتش در هر نیم‌دوره تغییر می‌کند تا همیشه مخالف تغییر شار باشد (اصل لنز).

جمع‌بندی متال

• میدان ورودی: B(t) = Bm sin(ωt)
• شار: ΦB(t) = Bm sin(ωt) πR²
• نیروی محرکه: ε(t) = - πR² Bm ω cos(ωt)
• میدان القایی: Etan(R,t) = - (R/2) Bm ω cos(ωt)
• جهت جریان: همیشه مخالف تغییر شار (لنز).

```

---

🎸 این مثال نشون می‌ده وقتی میدان مغناطیسی به صورت سینوسی تغییر کنه، جریان القایی هم سینوسی خواهد بود و در هر نیم‌دوره جهتش عوض می‌شه.

می‌خوای همین سبک متال رو برای یک **نمونه ترکیبی (گاوس + فاراده)** هم آماده کنم تا یک مثال جامع داشته باشی؟