1-گروه کوکستر

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه ششم بهمن ۱۴۰۲ | 16:38

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، یک گروه کوکستر ، به نام HSM کوکستر ، یک گروه انتزاعی است که یک توصیف رسمی از نظر بازتاب‌ها (یا آینه‌های کالیدوسکوپی ) را می‌پذیرد. در واقع، گروه های محدود کوکستر دقیقاً گروه های بازتاب اقلیدسی محدود هستند . برای مثال، گروه تقارن هر چند وجهی منتظم یک گروه کاکستر محدود است. با این حال، همه گروه‌های کاکستر متناهی نیستند و نمی‌توان همه را از نظر تقارن و بازتاب‌های اقلیدسی توصیف کرد. گروه های کوکستر در سال 1934 به عنوان انتزاع گروه های بازتاب معرفی شدند، [1] و گروه های کوکستر محدود در سال 1935 طبقه بندی شدند .

گروه های کوکستر در بسیاری از زمینه های ریاضی کاربرد پیدا می کنند. نمونه هایی از گروه های محدود کوکستر شامل گروه های تقارن چند توپی منظم و گروه های ویل از جبرهای ساده لی است . نمونه‌هایی از گروه‌های بی‌نهایت کاکستر شامل گروه‌های مثلثی مربوط به تسلیحات منظم صفحه اقلیدسی و صفحه هذلولی ، و گروه‌های ویل جبرهای بی‌بعد کک - مودی است . [3] [4] [5]

تعریف [ ویرایش ]

به طور رسمی، یک گروه کوکستر را می توان به عنوان یک گروه با ارائه تعریف کرد

$\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle$

جایی که $m_{ii}=1$ و $m_{ij}=m_{ji}\geq 2$ یا عدد صحیح است یا $\infty$ برای $i\neq j$ . در اینجا، شرایط $m_{ij}=\infty$ به این معنی که هیچ رابطه ای از فرم وجود ندارد $(r_{i}r_{j})^{m}=1$ برای هر عدد صحیح $m\geq 2$ باید تحمیل شود.

جفت $(W,S)$ جایی که $W$ یک گروه کوکستر با مولد است $S=\{r_{1},\dots,r_{n}\}$ سیستم کوکستر نامیده می شود . توجه داشته باشید که به طور کل $S$ به طور منحصر به فرد توسط تعیین نمی شود $W$ . به عنوان مثال، گروه های کوکستر از نوع $B_{3}$ و $A_{1}\times A_{3}$ هم شکل هستند اما سیستم های کوکستر معادل نیستند، زیرا اولی دارای 3 مولد و دومی دارای 1 + 3 = 4 مولد است (برای توضیح این نماد به زیر مراجعه کنید).

از تعریف فوق بلافاصله می توان چند نتیجه گرفت.

ارتباط $m_{ii}=1$ یعنی که $(r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1$ برای همه $i$ ; به این ترتیب مولدها دگرگونی هستند .
اگر $m_{ij}=2$ ، سپس مولدها $r_{i}$ و $r_{j}$ رفت و آمد این امر با مشاهده آن نتیجه می گیرد

$xx=yy=1$ ،

با هم

$xyxy=1$

دلالت دارد

$xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx$ .

متناوبا، از آنجایی که مولدها انفولشن هستند، $r_{i}=r_{i}^{-1}$ ، بنابراین

$1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^ {-1}r_{j}^{-1}$ . یعنی کموتاتور از $r_{i}$ و $r_{j}$ برابر 1 یا معادل آن است $r_{i}$ و $r_{j}$ رفت و آمد

دلیل اینکه $m_{ij}=m_{ji}$ برای $i\neq j$ در تعریف آمده است که

$yy=1$ ،

با هم

$(xy)^{m}=1$

قبلاً به آن اشاره دارد

$(yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1$ .

شاهد جایگزین این استلزام این است که $(xy)^{k}$ و $(yx)^{k}$ مزدوج هستند : در واقع

$y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}$ .

ماتریس کوکستر و ماتریس شلافلی [ ویرایش ]

ماتریس کوکستر است $n\times n$ ماتریس متقارن با ورودی ها $m_{ij}$ . در واقع، هر ماتریس متقارن با ورودی های مورب منحصراً 1 و ورودی های غیر مورب در مجموعه $\{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}$ یک ماتریس کوکستر است.

ماتریس کوکستر را می توان به راحتی توسط گراف کوکستر ، طبق قوانین زیر، کدگذاری کرد.

رئوس گراف با زیرنویس های مولد برچسب گذاری می شوند.
رگه ها $i$ و $j$ اگر و فقط اگر مجاور هستند $m_{ij}\geq 3$ .
یک لبه با مقدار برچسب گذاری شده است $m_{ij}$ هر زمان که ارزش باشد $4$ یا بزرگتر

به طور خاص، دو مولد اگر و فقط در صورتی که توسط یک لبه به یکدیگر متصل نباشند، رفت و آمد می کنند. علاوه بر این، اگر یک گراف کاکستر دارای دو یا چند جزء متصل باشد ، گروه مرتبط ضرب مستقیم گروه‌های مرتبط با اجزای جداگانه است. بنابراین اتحاد متمایز گرافهای کوکستر یک ضرب مستقیم از گروه های کوکستر به دست می دهد.

ماتریس کاکستر، $M_{ij}$ ، مربوط به $n\times n$ ماتریس شلافلی $C$ با ورودی ها $C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})$ ، اما عناصر اصلاح شده اند و متناسب با حاصلضرب نقطه مولدهای زوجی هستند. ماتریس شلافلی مفید است زیرا مقادیر ویژه آن تعیین می کند که آیا گروه کوکستر از نوع محدود (همه مثبت)، نوع آفین (همه غیر منفی، حداقل یک صفر) یا نوع نامعین (در غیر این صورت) است. نوع نامشخص گاهی اوقات بیشتر تقسیم می شود، به عنوان مثال به گروه های هذلولی و دیگر گروه های کوکستر. با این حال، چندین تعاریف غیر معادل برای گروه های کوکستر هذلولی وجود دارد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی