حلقه ساده

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه ششم بهمن ۱۴۰۰ | 1:43

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

منابع در جبر انتزاعی ، شاخه ای از ریاضیات ، حلقه ساده حلقه ای غیر صفر است که علاوه بر ایده آل صفر و خودش، ایده آل دو طرفه ای ندارد. به طور خاص، یک حلقه جابجایی یک حلقه ساده است اگر و فقط اگر یک میدان باشد.

مرکز یک حلقه ساده لزوماً یک میدان است . نتیجه این است که یک حلقه ساده یک جبر انجمنی در این میدان است. بنابراین جبر ساده و حلقه ساده مترادف یکدیگرند.

چندین مرجع (به عنوان مثال، لانگ (2002) یا بورباکی (2012)) علاوه بر این نیاز دارند که یک حلقه ساده آرتینی چپ یا راست ( یا به همان نسبت نیمه ساده ) باشد. تحت چنین اصطلاحاتی، حلقه غیر صفر بدون ایده آل های دو طرفه غیر پیش پا افتاده، شبه ساده نامیده می شود .

حلقه‌هایی که مانند حلقه‌ها ساده هستند، اما خودشان یک ماژول ساده نیستند، وجود دارند: یک حلقه ماتریسی کامل بر روی یک میدان، هیچ ایده‌آل غیر اساسی ندارد (زیرا هر ایده‌آل $M_{n}(R)$ از فرم است $M_{n}(I)$ با $من$ یک ایده آل از $آر$ ) اما دارای ایده آل های چپ غیر پیش پا افتاده است (مثلا مجموعه ماتریس هایی که تعدادی ستون صفر ثابت دارند).

طبق قضیه آرتین-ودربرن ، هر حلقه ساده ای که آرتینین چپ یا راست باشد، یک حلقه ماتریسی بر روی یک حلقه تقسیم است . به طور خاص، تنها حلقه‌های ساده‌ای که یک فضای برداری با بعد محدود روی اعداد واقعی هستند، حلقه‌های ماتریس‌هایی هستند که روی اعداد حقیقی، اعداد مختلط یا چهارتایی قرار دارند.

یک مثال از یک حلقه ساده که یک حلقه ماتریسی بر روی یک حلقه تقسیم نیست جبر Weyl است .

فهرست

شخصیت پردازی [ ویرایش ]

یک حلقه یک جبر ساده است اگر فاقد ایده آل های دو طرفه غیر پیش پا افتاده باشد.

یک مثال فوری از جبرهای ساده جبرهای تقسیمی هستند که در آن هر عنصر غیر صفر دارای یک معکوس ضرب است، به عنوان مثال جبر واقعی ربعات . همچنین، می توان نشان داد که جبر از $n\ بار n$ ماتریس با ورودی در حلقه تقسیم ساده است. در واقع، این همه جبرهای ساده با بعد محدود را تا ایزومورفیسم مشخص می کند ، یعنی هر جبر ساده ای که بر روی مرکز آن بعد محدود باشد، به یک جبر ماتریسی روی یک حلقه تقسیم هم شکل است. این در سال 1907 توسط جوزف ودربرن در پایان نامه دکترای خود، در اعداد ابرمجموعه ، که در مجموعه مقالات انجمن ریاضی لندن ظاهر شد ثابت شد . تز ودربرن جبرهای ساده و نیمه ساده را طبقه بندی کرد. جبرهای ساده اجزای سازنده جبرهای نیمه ساده هستند: هر جبر نیمه ساده با ابعاد محدود، حاصل ضرب دکارتی، به معنای جبر، از جبرهای ساده است.

نتیجه ودربرن بعداً به حلقه های نیمه ساده در قضیه آرتین- ودربرن تعمیم داده شد.

مثالها [ ویرایش ]

جبر ساده مرکزی (گاهی اوقات جبر برائر نامیده می شود) یک جبر ساده با ابعاد محدود بر روی یک میدان است . $اف$ که مرکز آن است $اف$ .

اجازه دهید $\mathbb {R}$ میدان اعداد حقیقی باشد، $\mathbb {C}$ میدان اعداد مختلط باشد و $\mathbb {H}$ کواترنیون ها .

تمام جبر ساده بعد محدود $\mathbb {R}$ نسبت به حلقه ماتریسی هم شکل است $\mathbb {R}$ ، $\mathbb {C}$ ، یا $\mathbb {H}$ . تمام جبر ساده مرکزی $\mathbb {R}$ نسبت به حلقه ماتریسی هم شکل است $\mathbb {R}$ یا $\mathbb {H}$ . این نتایج از قضیه فروبنیوس دنبال می شود .
تمام جبر ساده بعد محدود $\mathbb {C}$ یک جبر ساده مرکزی است و به یک حلقه ماتریسی هم شکل است $\mathbb {C}$ .
هر جبر ساده مرکزی محدود بعدی بر روی یک میدان محدود به حلقه ماتریسی روی آن میدان هم شکل است.
برای یک حلقه جابجایی ، چهار ویژگی زیر معادل هستند: حلقه نیمه ساده بودن . آرتینی بودن و کاهش یافته ; بودن یک حلقه نوترین کاهش یافته با ابعاد Krull 0. و هم شکل بودن به حاصلضرب مستقیم محدود میدان ها.

قضیه ودربرن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه آرتین–ودربرن

قضیه ودربرن حلقه های ساده را با یک واحد و یک ایده آل چپ حداقل مشخص می کند. (شرط آرتینی چپ تعمیم فرض دوم است.) یعنی می گوید که هر حلقه ای تا هم ریختی ، حلقه ای از $n\ بار n$ ماتریس روی یک حلقه تقسیم

اجازه دهید $دی$ حلقه تقسیم باشد و $M_{n}(D)$ حلقه ای از ماتریس ها با ورودی های داخل باشد $دی$ . نشان دادن این که هر چپ آرمانی در داخل است کار سختی نیست $M_{n}(D)$ شکل زیر را می گیرد:

$\{M\in M_{n}(D)\mid {\text{the }}n_{1},\dots ,n_{k}{\text{-امین ستونهای }}M{\text { ورودی صفر دارند}}\}$ ،

برای برخی از زیر مجموعه های ثابت $\{n_{1},\dots ,n_{k}\}\subseteq \{1,\dots n\}$ . بنابراین یک ایده آل مینیمال در $M_{n}(D)$ از فرم است

$\{M\in M_{n}(D)\mid {\text{همه ستون‌ها به جز }}k{\text{-امین ورودی صفر دارند}}\}$ ،

برای یک معین $ک$ . به عبارت دیگر، اگر $من$ پس یک ایده آل چپ حداقلی است $I=M_{n}(D)e$ ، جایی که $ه$ ماتریس ناتوان با 1 در است $(k,k)$ ورود و صفر در جای دیگر. همچنین، $دی$ هم شکل است $eM_{n}(D)e$ . ایده آل چپ $من$ را می توان به عنوان یک ماژول سمت راست مشاهده کرد $eM_{n}(D)e$ ، و حلقه $M_{n}(D)$ به وضوح با جبر هممورفیسم های این ماژول هم شکل است.

مثال بالا لم زیر را پیشنهاد می کند:

لما $آ$ حلقه ای با هویت است $1$ و یک عنصر ناتوان $ه$ ، جایی که $AeA=A$ . اجازه دهید $من$ ایده آل چپ باشید $Ae$ ، به عنوان یک ماژول سمت راست در نظر گرفته شده است $eAe$ . سپس $آ$ نسبت به جبر هممورفیسم های روی هم شکل است $من$ ، نشان داده شده با $\operatorname {Hom} (I)$ .

اثبات: ما "نمایش منظم چپ" را تعریف می کنیم $\phi \colon A\to \operatorname {Hom} (I)$ توسط $\phi (a)m=am$ برای $m\in I$ . سپس $\phi$ تزریقی است زیرا اگر $a\cdot I=aAe=0$ ، سپس $aA=aAeA=0$ ، که دلالت بر آن دارد $a=a\cdot 1=0$ .
برای سوژه گرایی ، اجازه دهید $T\in \operatorname {Hom} (I)$ . از آنجا که $AeA=A$ ، واحد $1$ را می توان به صورت بیان کرد $\textstyle 1=\sum a_{i}eb_{i}$ . بنابراین
$\textstyle T(m)=T(1\cdot m)=T(\sum a_{i}eb_{i}m)=\sum T(a_{i}eeb_{i}m)=\sum T(a_{i}e)eb_{i}m=(\sum T(a_{i}e)eb_{i})m$ .
از آنجایی که بیان $\textstyle (\sum T(a_{i}e)eb_{i})$ بستگی ندارد $متر$ ، $\phi$ سوژه ای است. این لم را ثابت می کند.

قضیه ودربرن به راحتی از لم پیروی می کند.

قضیه ( ودربرن ). اگر $آ$ یک حلقه ساده با واحد است $1$ و یک ایده آل چپ مینیمال $من$ ، سپس $آ$ نسبت به حلقه هم شکل است $n\ بار n$ ماتریس روی یک حلقه تقسیم

به سادگی باید مفروضات لم را تأیید کرد، یعنی یک ناتوان را پیدا کرد $ه$ به طوری که $I=Ae$ ، و سپس آن را نشان دهید $eAe$ حلقه تقسیم است فرضیه $A=AeA$ از $آ$ ساده بودن

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_ring

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی