گروه کواترنیون

گروه کواترنیون
این مقاله در مورد یک گروه خاص است ، یعنی یک گروه منحصر به فرد تا ایزومورفیسم . مشاهده اطلاعات خاص (مانند تئوری نمایش خطی، ساختار زیر گروه) در مورد این گروه
مشاهده لیست کاملی از گروه های خاص (این یک لیست بسیار بزرگ است!) [نمایش بیشتر]
فهرست
1تعریف
1.1تعریف با ارائه
1.2تعاریف کلامی
1.3جدول ضرب
2موقعیت در طبقه بندی ها
3عناصر
3.1ساختار کلاس مزدوجی
3.2ساختار کلاس اتومورفیسم
4توابع حسابی
4.1توابع حسابی پایه
4.2توابع حسابی ماهیت شمارش عنصر
4.3توابع حسابی ماهیت شمارش زیرگروهی
4.4لیستی از متغیرهای عددی
5خواص گروهی
5.1خواص مهم
5.2سایر خواص
6زیر گروه ها
7توابع تعریف کننده زیرگروه و توابع تعیین کننده ضریب مرتبط
8اتومورفیسم و اندومورفیسم
9نظریه نمایش خطی
9.1خلاصه
9.2جدول ویژگی
10ویژگی های متمایز
10.1کوچکترین در نوع خود
10.2متفاوت از بقیه هم راستا
11اجرای GAP
11.1شناسه گروه
11.2سالن-شماره ارشد
11.3توضیحات کوتاه
تعریف
تعریف با ارائه
گروه کواترنیون ارائه زیر را دارد :
$\langle i,j,k \mid i^2 = j^2 = k^2 = ijk \rangle$
هویت نشان داده می شود $1$ ، عنصر مشترک $i^2 = j^2 = k^2 = ijk$ نشان داده می شود $-1$ ، و عناصر $i^3، j^3، k^3$ به ترتیب نشان داده $-i،-j،-k$ می شوند.
آیا در مورد ارائه به طور کلی یا این یکی به طور خاص گیج شده اید؟ اگر با این چیزها تازه کار هستید، ساخت گروه کواترنیون را از ارائه آن بررسی کنید. نظریه پردازان گروه پیچیده می توانند معادل سازی ارائه های گروه دو حلقه ای را بخوانند
تعاریف کلامی
گروه کواترنیون گروهی با هشت عنصر است که به یکی از روش های زیر قابل توصیف است:
این گروه شامل هشت عنصر است $1,-1,i,-i,j,-j,k,-k$ که در آن 1 عنصر هویت است، $(-1)^2 = 1$ و همه عناصر دیگر از ریشه مربع هستند $-1$ ، به طوری که $(-1)i = -i، (-1)j = -j، (-1)k= -k$ و بیشتر، $ij = k، ji = -k، jk = i، kj = -i، ki = j، ik = -j$ (روابط باقی مانده را می توان از اینها استنباط کرد).
این گروه دو حلقه ای با پارامتر 2 است، یعنی $Dic_2$ .
این گروه فیبوناچی $F(2،3)$ است.
جدول ضرب
در جدول زیر عنصر ردیف در سمت چپ و عنصر ستون در سمت راست ضرب شده است.
عنصر $\! 1$ $\! -1$ $\! من$ $\! -من$ $\! j$ $\! -j$ $\! ک$ $\! -k$
$\! 1$ $\! 1$ $\! -1$ $\! من$ $\! -من$ $\! j$ $\! -j$ $\! ک$ $\! -k$
$\! -1$ $\! -1$ $\! 1$ $\! -من$ $\! من$ $\! -j$ $\! j$ $\! -k$ $\! ک$
$\! من$ $\! من$ $\! -من$ $\! -1$ $\! 1$ $\! ک$ $\! -k$ $\! -j$ $\! j$
$\! -من$ $\! -من$ $\! من$ $\! 1$ $\! -1$ $\! -k$ $\! ک$ $\! j$ $\! -j$
$\! j$ $\! j$ $\! -j$ $\! -k$ $\! ک$ $\! -1$ $\! 1$ $\! من$ $\! -من$
$\! -j$ $\! -j$ $\! j$ $\! ک$ $\! -k$ $\! 1$ $\! -1$ $\! -من$ $\! من$
$\! ک$ $\! ک$ $\! -k$ $\! j$ $\! -j$ $\! -من$ $\! من$ $\! -1$ $\! 1$
$\! -k$ $\! -k$ $\! ک$ $\! -j$ $\! j$ $\! من$ $\! -من$ $\! 1$ $\! -1$

موقعیت در طبقه بندی ها
نوع طبقه بندی نام در آن طبقه بندی
شناسه GAP (8،4) یعنی چهارمین گروه از مرتبه 8
سالن-شماره ارشد 5 در میان گروه های مرتبه 8
نماد تالار - ارشد $8\Gamma_2a_2$
عناصر
اطلاعات بیشتر: ساختار عنصری گروه کواترنیونی
ساختار کلاس مزدوجی
کلاس مزدوجی اندازه کلاس مزدوجی ترتیب عناصر در کلاس مزدوجی متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ 1 \}$ 1 1 کل گروه
$\! \{ -1 \}$ 1 2 کل گروه
$\! \{ من، - من \}$ 2 4 $\{ 1,-1,i,-i \}$ ، مثل $\langle i \rangle$
$\! \{j,-j \}$ 2 4 $\{ 1,-1,j,-j\}$ -- مثل $\langle j \rangle$
$\! \{k,-k \}$ 2 4 $\{ 1,-1,k,-k \}$ -- مثل $\langle k \rangle$
ساختار کلاس اتومورفیسم
کلاس هم ارزی (مدار) تحت عمل اتومورفیسم ها اندازه کلاس هم ارزی (مدار) تعداد کلاس های مزدوج در آن اندازه هر کلاس مزدوجی ترتیب عناصر
$\! \{ 1 \}$ 1 1 1 1
$\! \{ -1 \}$ 1 1 1 2
$\! \{ i,-i,j,-j,k,-k \}$ 6 3 2 4

عنصر	$\! 1$	$\! -1$	$\! من$	$\! -من$	$\! j$	$\! -j$	$\! ک$	$\! -k$
$\! 1$	$\! 1$	$\! -1$	$\! من$	$\! -من$	$\! j$	$\! -j$	$\! ک$	$\! -k$
$\! -1$	$\! -1$	$\! 1$	$\! -من$	$\! من$	$\! -j$	$\! j$	$\! -k$	$\! ک$
$\! من$	$\! من$	$\! -من$	$\! -1$	$\! 1$	$\! ک$	$\! -k$	$\! -j$	$\! j$
$\! -من$	$\! -من$	$\! من$	$\! 1$	$\! -1$	$\! -k$	$\! ک$	$\! j$	$\! -j$
$\! j$	$\! j$	$\! -j$	$\! -k$	$\! ک$	$\! -1$	$\! 1$	$\! من$	$\! -من$
$\! -j$	$\! -j$	$\! j$	$\! ک$	$\! -k$	$\! 1$	$\! -1$	$\! -من$	$\! من$
$\! ک$	$\! ک$	$\! -k$	$\! j$	$\! -j$	$\! -من$	$\! من$	$\! -1$	$\! 1$
$\! -k$	$\! -k$	$\! ک$	$\! -j$	$\! j$	$\! من$	$\! -من$	$\! 1$	$\! -1$

نوع طبقه بندی	نام در آن طبقه بندی
شناسه GAP	(8،4) یعنی چهارمین گروه از مرتبه 8
سالن-شماره ارشد	5 در میان گروه های مرتبه 8
نماد تالار - ارشد	$8\Gamma_2a_2$

کلاس مزدوجی	اندازه کلاس مزدوجی	ترتیب عناصر در کلاس مزدوجی	متمرکز کننده عنصر اول کلاس
$\! \{ 1 \}$	1	1	کل گروه
$\! \{ -1 \}$	1	2	کل گروه
$\! \{ من، - من \}$	2	4	$\{ 1,-1,i,-i \}$ ، مثل $\langle i \rangle$
$\! \{j,-j \}$	2	4	$\{ 1,-1,j,-j\}$ -- مثل $\langle j \rangle$
$\! \{k,-k \}$	2	4	$\{ 1,-1,k,-k \}$ -- مثل $\langle k \rangle$