اصل همیلتون

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ | 20:25

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مکانیک کلاسیک
بخشی از یک سریال در
${\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})$ قانون دوم حرکت
تاریخ جدول زمانی کتاب های درسی
نشان دادن شاخه ها
نشان دادن مبانی
نشان دادن فرمولاسیون
نشان دادن موضوعات اصلی
نشان دادن چرخش
نشان دادن دانشمندان
پورتال فیزیک دسته بندی
v تی ه

در فیزیک ، اصل همیلتون ، فرمول بندی اصل کنش ثابت توسط ویلیام روآن همیلتون است . بیان می‌کند که دینامیک یک سیستم فیزیکی توسط یک مسئله متغیر برای یک تابع بر اساس یک تابع واحد، لاگرانژی تعیین می‌شود ، که ممکن است شامل تمام اطلاعات فیزیکی مربوط به سیستم و نیروهای وارد بر آن باشد. مسئله تغییرات معادل است و امکان استخراج معادلات دیفرانسیل حرکت سیستم فیزیکی را فراهم می کند. اگرچه در اصل برای مکانیک کلاسیک فرموله شده است اصل همیلتون در زمینه‌های کلاسیک مانند میدان‌های الکترومغناطیسی و گرانشی نیز کاربرد دارد و نقش مهمی در مکانیک کوانتومی ، نظریه میدان کوانتومی و نظریه‌های بحرانی دارد.

همانطور که سیستم تکامل می یابد، q مسیری را از طریق فضای پیکربندی ردیابی می کند (فقط برخی از آنها نشان داده شده است). مسیر طی شده توسط سیستم (قرمز) دارای یک عمل ثابت است (δ S = 0) تحت تغییرات کوچک در پیکربندی سیستم (δ q ). [1]

فهرست

فرمول بندی ریاضی [ ویرایش ]

اصل همیلتون بیان می کند که تکامل واقعی q ( t ) یک سیستم توصیف شده توسط N مختصات تعمیم یافته q = ( q 1 , q 2 , ..., q N ) بین دو حالت مشخص q 1 = q ( t 1 ) و q 2 = q ( t 2 ) در دو زمان مشخص t 1 و t 2 یک نقطه ثابت (نقطه ای که در آن تغییرات صفر است) ازعمل عملکردی

${\mathcal {S}}[{\mathbf {q}}]\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int _{{t_{1}}}^{{t_{ 2}}}L({\mathbf {q}}(t)،{\dot {{\mathbf {q}}}}(t),t)\,dt$

جایی که {\displaystyle L(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)} $L({\mathbf {q}}،{\dot {{\mathbf {q}}}}،t)$ تابع لاگرانژی برای سیستم است . به عبارت دیگر، هر گونه اغتشاش مرتبه اول تکامل واقعی منجر به (حداکثر) تغییرات مرتبه دوم در{\displaystyle {\mathcal {S}}} ${\mathcal {S}}$ . عمل{\displaystyle {\mathcal {S}}} ${\mathcal {S}}$ تابعی است ، یعنی چیزی که یک تابع را به عنوان ورودی خود می گیرد و یک عدد واحد، یک اسکالر را برمی گرداند . از نظر تحلیل تابعی ، اصل همیلتون بیان می کند که تکامل واقعی یک سیستم فیزیکی حل معادله تابعی است.

اصل همیلتون

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0.$

یعنی سیستم مسیری را در فضای پیکربندی طی می‌کند که عمل برای آن ثابت است، با شرایط مرزی ثابت در ابتدا و انتهای مسیر.

معادلات اویلر-لاگرانژ به دست آمده از انتگرال کنشی [ ویرایش ]

همچنین مشتق دقیق‌تر معادله اویلر-لاگرانژ را ببینید

نیاز به اینکه مسیر واقعی q ( t ) یک نقطه ثابت از عملکرد عملکرد باشد{\displaystyle {\mathcal {S}}} ${\mathcal {S}}$ معادل مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل برای q ( t ) است ( معادلات اویلر-لاگرانژ )، که ممکن است به صورت زیر مشتق شوند.

فرض کنید q ( t ) تکامل واقعی سیستم را بین دو حالت مشخص شده نشان دهد . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ یک اغتشاش کوچک که در نقاط انتهایی مسیر صفر است

${\boldsymbol \varepsilon }(t_{1})={\boldsymbol \varepsilon }(t_{2})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ 0$

برای اولین بار در اغتشاش ε ( t )، تغییر در عمل تابعی است{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}} $\delta {\mathcal {S}}$ خواهد بود

$\delta {\mathcal {S}}=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\;\left[L({\mathbf {q}}+{\boldsymbol \varepsilon }،{\dot {{\mathbf {q}}}}+{\dot {{\boldsymbol {\varepsilon }}}})-L({\mathbf {q}}،{\dot {{\mathbf { q}}}})\right]dt=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\;\left({\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}+{\dot {{\boldsymbol {\varepsilon }}}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\mathbf { q}}}}}}\right)\,dt$

جایی که ما L لاگرانژ را به مرتبه اول در اغتشاش ε ( t ) گسترش داده ایم.

اعمال ادغام توسط قطعات در ترم آخر منجر به

$\delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\mathbf {q}}}}}}\right] _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\;\left({\boldsymbol \varepsilon } \cdot {\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\boldsymbol \varepsilon }\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{ \partial {\dot {{\mathbf {q}}}}}}\right)\,dt$

${\boldsymbol \varepsilon }(t_{1})={\boldsymbol \varepsilon }(t_{2})\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ 0$ باعث می شود اولین ترم ناپدید شود

$\delta {\mathcal {S}}=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\;{\boldsymbol \varepsilon }\cdot \left({\frac {\partial L }{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\mathbf {q}}}}}} \راست)\,dt$

اصل همیلتون ایجاب می کند که این مرتبه اول تغییر کند $\delta {\mathcal {S}}$ برای تمام اغتشاشات ممکن ε ( t ) صفر است ، یعنی مسیر واقعی یک نقطه ثابت از عملکرد تابعی است ${\mathcal {S}}$ (یا حداقل، حداکثر یا نقطه زینی). این نیاز می تواند برآورده شود اگر و فقط اگر

معادلات اویلر – لاگرانژ

${\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {{\mathbf { q}}}}}=0$

این معادلات معادلات اویلر-لاگرانژ برای مسئله تغییرات نامیده می شوند.

لحظه متعارف و ثابت های حرکت [ ویرایش ]

تکانه مزدوج p k برای مختصات تعمیم یافته q k با این معادله تعریف می شود

$p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}$ .

یک مورد خاص مهم از معادله اویلر-لاگرانژ زمانی اتفاق می‌افتد که L یک مختصات تعمیم‌یافته q k را به صراحت نداشته باشد.

${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot { q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,$

یعنی تکانه مزدوج ثابت حرکت است.

در چنین مواردی مختصات q k مختصات چرخه ای نامیده می شود . به عنوان مثال، اگر از مختصات قطبی t، r، θ برای توصیف حرکت مسطح یک ذره استفاده کنیم، و اگر L به θ وابسته نباشد ، تکانه مزدوج تکانه زاویه ای حفظ شده است.

مثال: ذره آزاد در مختصات قطبی [ ویرایش ]

مثال‌های بی‌اهمیت به درک استفاده از اصل عمل از طریق معادلات اویلر-لاگرانژ کمک می‌کنند. یک ذره آزاد (جرم m و سرعت v ) در فضای اقلیدسی در یک خط مستقیم حرکت می کند. با استفاده از معادلات اویلر-لاگرانژ، می توان آن را در مختصات قطبی به صورت زیر نشان داد. در غیاب پتانسیل، لاگرانژ به سادگی برابر با انرژی جنبشی است

$L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y} }^{2}\راست)$

در مختصات متعامد ( x ، y )، که در آن نقطه نشان دهنده تمایز با توجه به پارامتر منحنی (معمولا زمان، t ) است. بنابراین، با استفاده از معادلات اویلر-لاگرانژ،

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x} }=0\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {x}}=0$

و به همین ترتیب برای y . بنابراین می توان از فرمول اویلر-لاگرانژ برای استخراج قوانین نیوتن استفاده کرد.

در مختصات قطبی ( r , φ) انرژی جنبشی و در نتیجه لاگرانژ تبدیل می شود

$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).$

مولفه های r و φ شعاعی معادلات اویلر-لاگرانژ به ترتیب تبدیل می شوند

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r} }=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \ varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.$

به یاد داشته باشید که r نیز به زمان وابسته است و برای محاسبه مشتق زمان کل به قانون محصول نیاز است ${\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\varphi }}$ .

حل این دو معادله به دست آمده است

$r={\sqrt {(at+b)^{2}+c^{2}}}$

$\varphi =\tan ^{{-1}}\left({\frac {at+b}{c}}\right)+d$

برای مجموعه ای از ثابت های a، b، c، d که با شرایط اولیه تعیین می شوند. بنابراین، در واقع، راه حل یک خط مستقیم است که در مختصات قطبی داده شده است: a سرعت، c فاصله نزدیکترین نزدیک به مبدا، و d زاویه حرکت است.

برای اجسام قابل تغییر شکل اعمال می شود [ ویرایش ]

اصل همیلتون یک اصل متغیر مهم در الاستودینامیک است. برخلاف سیستمی متشکل از اجسام صلب، اجسام تغییر شکل پذیر دارای تعداد بی نهایت درجه آزادی هستند و مناطق پیوسته ای از فضا را اشغال می کنند. در نتیجه، وضعیت سیستم با استفاده از توابع پیوسته مکان و زمان توصیف می‌شود. اصل توسعه یافته همیلتون برای چنین اجسامی توسط

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\delta W_{e}+\delta T-\delta U\right]dt=0$

که در آن T انرژی جنبشی، U انرژی الاستیک، W e کاری است که توسط بارهای خارجی روی بدن انجام می شود و t 1 ، t 2 زمان های اولیه و نهایی است. اگر سیستم محافظه کار باشد، کار انجام شده توسط نیروهای خارجی ممکن است از یک پتانسیل اسکالر V حاصل شود. در این مورد،

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[T-(U+V)\right]dt=0.$

این اصل همیلتون نامیده می شود و تحت تبدیل مختصات ثابت است.

مقایسه با اصل Maupertuis [ ویرایش ]

اصل همیلتون و اصل Maupertuis گاهی اوقات با هم اشتباه گرفته می شوند و هر دو (به اشتباه) اصل حداقل عمل نامیده می شوند. آنها از سه جهت مهم متفاوت هستند:

تعریف آنها از عمل ...

اصل Maupertuis از یک انتگرال بر روی مختصات تعمیم یافته استفاده می کند که به عنوان عمل اختصاری یا عمل کاهش یافته شناخته می شود.

${\mathcal {S}}_{{0}}\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \int {\mathbf {p}}\cdot d{\mathbf {q}}$

که در آن p = ( p 1 , p 2 , ... , p N ) ممانه مزدوج تعریف شده در بالا هستند. در مقابل، اصل همیلتون استفاده می کند ${\mathcal {S}}$ انتگرال لاگرانژی در طول زمان .

راه حلی که آنها تعیین می کنند ...

اصل همیلتون مسیر q ( t ) را به عنوان تابعی از زمان تعیین می کند، در حالی که اصل Maupertuis فقط شکل مسیر را در مختصات تعمیم یافته تعیین می کند. به عنوان مثال، اصل Maupertuis شکل بیضی را تعیین می کند که یک ذره تحت تأثیر یک نیروی مرکزی معکوس مربع مانند گرانش بر روی آن حرکت می کند ، اما به خودی خود نحوه حرکت ذره در طول آن مسیر را توصیف نمی کند. (با این حال، این پارامتر زمان ممکن است از طریق خود مسیر در محاسبات بعدی با استفاده از بقای انرژی تعیین شود ). در مقابل، اصل همیلتون مستقیماً حرکت در امتداد بیضی را به عنوان تابعی از زمان مشخص می کند.

... و محدودیت های تغییر.

اصل Maupertuis مستلزم آن است که دو حالت نقطه پایانی q 1 و q 2 داده شود و انرژی در طول هر مسیر حفظ شود (انرژی یکسان برای هر مسیر). این امر باعث می‌شود زمان‌های نقطه پایانی نیز متفاوت باشند. در مقابل، اصل همیلتون مستلزم بقای انرژی نیست، اما مستلزم آن است که زمان‌های پایانی t 1 و t 2 و همچنین حالت‌های نقطه پایانی q 1 و q 2 مشخص شود.

اصل عمل برای فیلدها [ ویرایش ]

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه میدان کلاسیک

اصل عمل را می توان برای بدست آوردن معادلات حرکت برای میدان هایی مانند میدان الکترومغناطیسی یا گرانش گسترش داد.

معادله انیشتین از عمل انیشتین-هیلبرت استفاده می کند که توسط یک اصل متغیر محدود شده است .

مسیر یک جسم در یک میدان گرانشی (یعنی سقوط آزاد در فضا-زمان، به اصطلاح ژئودزیک) را می توان با استفاده از اصل عمل پیدا کرد.

مکانیک کوانتومی و نظریه میدان کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه میدان کوانتومی

در مکانیک کوانتومی ، سیستم یک مسیر واحد را دنبال نمی کند که عملکرد آن ثابت باشد، بلکه رفتار سیستم به تمام مسیرهای قابل تصور و ارزش عمل آنها بستگی دارد. عمل مربوط به مسیرهای مختلف برای محاسبه انتگرال مسیر استفاده می شود که دامنه احتمال نتایج مختلف را نشان می دهد.

اگرچه در مکانیک کلاسیک با قوانین نیوتن معادل است ، اما اصل عمل برای تعمیم ها مناسب تر است و نقش مهمی در فیزیک مدرن ایفا می کند. در واقع، این اصل یکی از تعمیم های بزرگ در علم فیزیک است. به ویژه، در مکانیک کوانتومی به طور کامل مورد توجه و درک قرار گرفته است . فرمول انتگرال مسیر ریچارد فاینمن در مکانیک کوانتومی بر اساس یک اصل کنش ثابت است که از انتگرال های مسیر استفاده می کند. معادلات ماکسول را می توان به عنوان شرایط کنش ثابت به دست آورد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton%27s_principle

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی