پراش فراونهوفر

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در اپتیک ، معادله پراش فراونهوفر برای مدل‌سازی پراش امواج زمانی که الگوی پراش در فاصله طولانی از جسم در حال پراش (در ناحیه میدان دور) مشاهده می‌شود، و همچنین زمانی که در صفحه کانونی مشاهده می‌شود، استفاده می‌شود . لنز تصویربرداری . [1] [2] در مقابل، الگوی پراش ایجاد شده در نزدیکی جسم (در ناحیه میدان نزدیک ) توسط معادله پراش فرنل ارائه می‌شود .

این معادله به افتخار جوزف فون فراونهوفر [3] نامگذاری شد ، اگرچه او در واقع در توسعه این نظریه نقشی نداشت. [ نیازمند منبع ]

این مقاله توضیح می‌دهد که در کجا می‌توان معادله فرانهوفر را اعمال کرد، و شکل الگوی پراش فراونهوفر را برای دیافراگم‌های مختلف نشان می‌دهد. یک درمان ریاضی دقیق از پراش فراونهوفر در معادله پراش فراونهوفر ارائه شده است .

فهرست

معادله [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله پراش فراونهوفر

هنگامی که یک پرتو نور تا حدی توسط یک مانع مسدود می شود، مقداری از نور در اطراف جسم پراکنده می شود، نوارهای روشن و تاریک اغلب در لبه سایه دیده می شوند - این اثر به عنوان پراش شناخته می شود . [4] این اثرات را می‌توان با استفاده از اصل هویگنز-فرنل مدل‌سازی کرد . هویگنز فرض کرد که هر نقطه در جبهه موج به عنوان منبع موجک های ثانویه کروی عمل می کند و مجموع این موجک های ثانویه شکل موج ادامه را در هر زمان بعدی تعیین می کند، در حالی که فرنل معادله ای را با استفاده از موجک های هویگنس همراه با اصل برهم نهی ایجاد کرد. امواج، که این اثرات پراش را به خوبی مدل می کند.

به طور کلی محاسبه دامنه موج داده شده توسط مجموع موجک های ثانویه ساده نیست (مجموع موج نیز یک موج است)، که هر کدام دامنه ، فاز و جهت نوسان خاص خود را دارند ( قطب شدن )، زیرا این شامل جمع می شود. از بسیاری از امواج با دامنه، فاز و قطبش متفاوت. هنگامی که دو موج نور به عنوان میدان های الکترومغناطیسی با هم جمع شوند ( جمع برداری )، دامنه مجموع موج به دامنه، فازها و حتی قطبش امواج منفرد بستگی دارد. در جهت معینی که میدان‌های موج الکترومغناطیسی پرتاب می‌شوند (یا با در نظر گرفتن موقعیتی که دو موج دارای قطبش یکسان هستند)، دو موج با دامنه برابر (پیش‌تاب‌شده )که در فاز هستند (همان فاز) دامنه مجموع موج حاصل را دو برابر دامنه موج منفرد می‌دهند، در حالی که دو موج با دامنه مساوی که در فازهای متضاد هستند، دامنه صفر موج حاصل را نشان می‌دهند که یکدیگر را خنثی می‌کنند. به طور کلی، یک انتگرال دو بعدی روی متغیرهای پیچیده باید حل شود و در بسیاری از موارد، یک راه حل تحلیلی در دسترس نیست. [5]

معادله پراش فراونهوفر یک نسخه ساده شده از فرمول پراش کیرشهوف است و می‌توان از آن برای مدل‌سازی پراش نور استفاده کرد، زمانی که هم یک منبع نور و هم یک صفحه مشاهده (صفحه‌ای از مشاهده که در آن موج پراش مشاهده می‌شود) به طور موثری به طور موثر از یک پراش فاصله دارند. دیافراگم [6] با یک منبع نور به اندازه کافی دور از دیافراگم پراش، نور تابشی به دیافراگم به طور موثر یک موج مسطح است.به طوری که فاز نور در هر نقطه از دیافراگم یکسان است. در یک صفحه مشاهده به اندازه کافی دور از دیافراگم، فاز موجی که از هر نقطه روی دیافراگم می آید، به طور خطی با موقعیت نقطه روی دیافراگم تغییر می کند و باعث می شود که مجموع امواج در یک نقطه مشاهده در صفحه محاسبه شود. مشاهده در بسیاری از موارد نسبتاً ساده است. حتی دامنه امواج ثانویه که از دیافراگم در نقطه مشاهده می آیند را می توان برای یک محاسبه موج پراش ساده در این مورد یکسان یا ثابت در نظر گرفت. پراش در چنین نیاز هندسی، پراش فرانهوفر نامیده می شود ، و شرایطی که پراش فرانهوفر معتبر است ، شرایط فرانهوفر نامیده می شود ، همانطور که در کادر سمت راست نشان داده شده است.[7] یک موج پراش اغلب میدان دور نامیده می‌شود اگر حداقل تا حدی شرایط فراونهوفر را برآورده کند، به طوری که فاصله بین دیافراگم و صفحه مشاهده را برآورده کند. $L$ است $L\gg {\frac {W^{2}}{\lambda }}$ .

پراش فراونهوفر زمانی اتفاق می افتد که:

${\frac {W^{2}}{L\lambda }}\ll 1$ (شرایط فرانهوفر)

$دبلیو$ - بزرگترین اندازه دیافراگم یا شکاف پراش، $\لامبدا$ - طول موج، $L$ – از بین دو فاصله کوچکتر یکی بین دیافراگم پراش و صفحه مشاهده و دیگری بین صفحه پراش و منبع موج نقطه ای است.

به عنوان مثال، اگر یک سوراخ دایره‌ای به قطر 0.5 میلی‌متر توسط یک نور لیزر با طول موج 0.6 میکرومتر روشن شود، در آن صورت پراش فراونهوفر در صورتی رخ می‌دهد که فاصله دید بیشتر از 1000 میلی‌متر باشد.

اشتقاق شرط فراونهوفر [ ویرایش ]

هندسه ای که برای استخراج شرایط فراونهوفر استفاده می شود که در آن پراش فراونهوفر معتبر است.

اشتقاق شرط Fraunhofer در اینجا بر اساس هندسه توصیف شده در کادر سمت راست است. [8] مسیر موج پراش r 2 را می توان بر حسب مسیر موج پراش دیگری r 1 و فاصله b بین دو نقطه پراش با استفاده از قانون کسینوس بیان کرد .

${{r}_{2}}={{\left(r_{1}^{2}+{{b}^{2}}-2b{{r}_{1}}\cos \ چپ ({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}}={{r}_{1}}{{\left( 1+{\frac {{b}^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{{r}_{1}}}\sin \theta \right) }^{\frac {1}{2}}}$ .

این را می توان با استفاده از سری دو جمله ای برای گسترش داد ${{\left(1+x\right)}^{\frac {1}{2}}}$ $x={\frac {{b}^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{{r}_{1}}}\sin \theta$ ;

${{r}_{2}}={{r}_{1}}\left(1-{\frac {b}{{r}_{1}}}\sin \theta +{\ frac {{b}^{2}}{2r_{1}^{2}}}{{\cos }^{2}}\theta +\ldots \right)={{r}_{1}}- b\sin \theta +{\frac {{b}^{2}}{2{{r}_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta +\ldots ~$ .

اختلاف فاز بین امواجی که در طول مسیرهای r2 و r1 منتشر می شوند، با عدد موج که λ طول موج نور است،

$k{{r}_{2}}-k{{r}_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {{b}^{2}}{2{{r }_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta +\ldots$ .

$k{\frac {{b}^{2}}{2{{r}_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta =\pi {\frac {{b }^{2}}{\lambda {{r}_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta \ll \pi$ بنابراین ${\frac {{b}^{2}}{\lambda {{r}_{1}}}}{{\cos }^{2}}\theta \ll 1$ ، سپس اختلاف فاز است $k{{r}_{2}}-k{{r}_{1}}\cong -kb\sin \theta$ . مفهوم هندسی این عبارت این است که مسیرهای r 2 و r 1 تقریباً با یکدیگر موازی هستند. از آنجایی که می تواند مسیر موج پراش صفحه پراش - صفحه مشاهده وجود داشته باشد که زاویه آن نسبت به خط مستقیم موازی با محور نوری نزدیک به 0 باشد، این شرایط تقریب را می توان بیشتر به صورت ساده تر کرد. ${\frac {{b}^{2}}{\lambda }}\ll L$ که در آن L فاصله بین دو صفحه در امتداد محور نوری است. با توجه به این واقعیت که یک موج تابشی در یک صفحه پراش عملاً یک موج صفحه است اگر ${\frac {{b}^{2}}{\lambda }}\ll L$ در جایی که L فاصله بین صفحه پراش و منبع موج نقطه ای است، شرط فراونهوفر ${\frac {{b}^{2}}{\lambda }}\ll L$ جایی که L کوچکتر از دو فاصله است، یکی بین صفحه پراش و صفحه مشاهده و دیگری بین صفحه پراش و منبع موج نقطه ای است.

صفحه کانونی عدسی مثبت به عنوان صفحه میدان دور [ ویرایش ]

موج صفحه ای که توسط یک عدسی متمرکز شده است.

در میدان دور، مسیرهای انتشار موجک ها از هر نقطه روی دیافراگم تا نقطه مشاهده تقریباً موازی هستند و یک عدسی مثبت (عدسی کانونی) پرتوهای موازی را به سمت عدسی به نقطه ای در صفحه کانونی متمرکز می کند (موقعیت نقطه کانونی). در صفحه کانونی به زاویه پرتوهای موازی نسبت به محور نوری بستگی دارد). بنابراین، اگر یک عدسی مثبت با فاصله کانونی به اندازه کافی بلند (به طوری که تفاوت بین جهت گیری میدان الکتریکی موجک ها در فوکوس نادیده گرفته شود) بعد از دیافراگم قرار گیرد، آنگاه لنز عملاً الگوی پراش فراونهوفر دیافراگم را روی کانون خود می سازد. صفحه به عنوان پرتوهای موازی با یکدیگر در کانون برخورد می کنند. [9]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fraunhofer_diffraction

+ نوشته شده در پنجشنبه سی ام دی ۱۴۰۰ ساعت 20:26 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی