{\iint }_{S}\text{curl}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{F}·d\text{S}={\int }_{C}\text{F}·d\text{r},

r\left(t\right)=〈\text{−sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t,0,1-\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t〉,0\le t<2\pi .

\text{F}=〈xy,{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2},yz〉


انتگرال خط را محاسبه کنید که در {\int }_{C}\text{F}·d\text{r}،آن C مرز متوازی الاضلاع با رئوس و\text{F}=〈xy,{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2},yz〉\ چپ (0,0,1\راست)،\چپ (0,1,0\راست)،\چپ (2,0,-1\راست)،\ چپ (2،1،-2\راست).

برای محاسبه مستقیم انتگرال خط، باید هر ضلع متوازی الاضلاع را به طور جداگانه پارامتر کنیم، چهار انتگرال خط جداگانه را محاسبه کرده و نتیجه را اضافه کنیم. این خیلی پیچیده نیست، اما زمان بر است.

در مقابل، بیایید انتگرال خط را با استفاده از قضیه استوکس محاسبه کنیم. فرض کنید S سطح متوازی الاضلاع را نشان دهد. توجه داشته باشید که S بخشی از نمودار z=1-xyبرای \ چپ (x,y\راست)تغییر در ناحیه مستطیلی با رئوس \ چپ (0,0\ راست)، \ چپ (0،1\ راست)، \ چپ (2,0\ راست)،و \ چپ (2،1\ راست)در صفحه xy است. بنابراین، یک پارامتر از S است 〈x,y,1-xy〉,0\le x\le 2,0\le y\le 1.. حلقه F است \text{−}〈z,0,x〉,و قضیه استوکس و ( شکل)

 

\begin{array}{cc}\hfill {\iint }_{S}\text{curl}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{F}·d\text{S}& ={\int }_{C}\text{F}·d\text{r}\hfill \\ & ={\int }_{0}^{2\pi }〈1-\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t\phantom{\rule{0.2em}{0ex}},0,-\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t〉·\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}〈-\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t,0,\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t〉dt\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\hfill \\ & ={\int }_{0}^{2\pi }\left(\text{−}\text{cos}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t+{\text{cos}}^{2}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t-{\text{sin}}^{2}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t\right)dt\hfill \\ & ={\left[-\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}t+\frac{1}{2}\text{sin}\left(2t\right)\right]}_{0}^{2\pi }\hfill \\ & =\left(-\text{sin}\left(2\pi \right)+\frac{1\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}}{2}\text{sin}\left(4\pi \right)\right)-\left(-\text{sin}0+\frac{1}{2}\text{sin}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}0\right)\hfill \\ & =0.\hfill \end{array}