قضیه هلمهولتز

در فیزیک و ریاضیات ، در حوزه حساب بردار ، قضیه هلمهولتز ، [1] [2] همچنین به عنوان قضیه اساسی حساب برداری ، [3] [4] [5] [6] [7] [ 8] 9] بیان می کند که هر میدان برداری به اندازه کافی صاف و سریع در حال پوسیدگی در سه بعدی را می توان به مجموع یک میدان برداری غیر چرخشی ( بدون پیچ ) و یک میدان برداری سلونوئیدی ( بدون واگرایی ) تفکیک کرد. این به عنوان شناخته شده است قضیه هلمهولتز یا نمایش هلمهولتز . این نام از هرمان فون هلمهولتز گرفته شده است. [10]

از آنجایی که یک میدان برداری چرخشی دارای پتانسیل اسکالر و یک میدان برداری سلونوئیدی دارای پتانسیل برداری است ، قضیه هلمهولتز بیان می‌کند که یک میدان برداری (با شرایط همواری و فروپاشی مناسب) می‌تواند به عنوان مجموع شکل قضیه شود. $-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A}$ ، جایی که $\phi$ یک میدان اسکالر به نام "پتانسیل اسکالر" و A یک میدان برداری است که به آن پتانسیل برداری می گویند.

فهرست

بیان قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $\mathbf {F}$ یک میدان برداری در یک دامنه متناهی باشد $V\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ، که دو بار به طور پیوسته قابل تمایز است و اجازه دهید $اس$ سطحی باشد که دامنه را در بر می گیرد $V$ . سپس $\mathbf {F}$ را می توان به یک جزء بدون چرخش و یک جزء بدون واگرایی قضیه کرد: [11]

$\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,$ جایی که

${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf { F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }} \oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ' |}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{ \frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{ \frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\ mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{تراز شده}}$

و $\nabla$ عملگر nabla با توجه به $\mathbf {r'}$ ، نه $\mathbf {r}$ .

اگر $V=\mathbb {R} ^{3}$ و بنابراین نامتناهی است، و $\mathbf {F}$ سریعتر ناپدید می شود $1/r$ مانند $r\to \infty$ ، سپس یکی دارد [12]

${\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac { \nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt] \mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \ mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{تراز شده}}$

مشتق [ ویرایش ]

فرض کنید یک تابع برداری داریم $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ که ما چرخش آن را می شناسیم، $\nabla \times \mathbf {F}$ و واگرایی، $\nabla \cdot \mathbf {F}$ ، در دامنه و میدانهای روی مرز. نوشتن تابع با استفاده از تابع دلتا در فرم

$\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{ |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,,$

جایی که $\nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla$ عملگر لاپلاس است، ما داریم

${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r})&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{ 3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(- {\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ' )}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[ \nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\ راست|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')} {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1 }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F } (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right) \right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ ریاضی {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}}\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} - \mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left( \int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} }\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}}\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} - \mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left( \int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} }\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{ \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}}\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}}\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{تراز شده}}$

که در آن از تعریف بردار لاپلاسی استفاده کرده ایم :

$\nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a})\ ,$

تمایز / ادغام با توجه به ${\mathbf r}'$ توسط $\nabla '/\mathrm {d} V',$ و در خط آخر خطی بودن آرگومان های تابع:

$\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf { r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .$

سپس با استفاده از اتخاد های برداری

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a}) \\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{تراز شده}}$

ما گرفتیم

${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right| }}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf { r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _ {V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|} }\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{تراز شده}}$

به لطف قضیه واگرایی ، معادله را می توان به صورت بازنویسی کرد

${\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right| }}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)} {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{ V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}} \mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\ چپ|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1} {4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{ \frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right) }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1 }{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} - \mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times { \frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\ راست]\پایان{تراز شده}}}\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4 \pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{تراز شده}}}\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4 \pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{تراز شده}}}-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\ راست)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{تراز شده}}}-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\ راست)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{تراز شده}}$

با سطح بیرونی نرمال $\mathbf {\hat {n}} '$ .

تعریف کردن

$\Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\ mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }} \oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} - \mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \ left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\ pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf { r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'$

بالاخره بدست می آوریم

$\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .$

$-{\frac {1}{4\pi \چپ|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}$ تابع سبز برای لاپلاسی است، و در یک محیط کلی تر باید با تابع سبز مناسب جایگزین شود - برای مثال، در دو بعد باید با تابع سبز جایگزین شود. ${\frac {1}{2\pi }}\ln \چپ|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|$ . برای تعمیم ابعاد بالاتر، بحث قضیه هاج را در زیر ببینید .

مشتق دیگری از تبدیل فوریه [ ویرایش ]

توجه داشته باشید که در قضیه ای که در اینجا بیان شد این شرط را قرار داده ایم که اگر $\mathbf {F}$ پس در یک دامنه متناهی تعریف نشده است $\mathbf {F}$ باید سریعتر از $1/r$ . بنابراین، تبدیل فوریه از $\mathbf {F}$ ، نشان داده شده است $\mathbf {G}$ ، وجود تضمین شده است. ما کنوانسیون را اعمال می کنیم

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k }$

تبدیل فوریه یک میدان اسکالر یک میدان اسکالر است و تبدیل فوریه یک میدان برداری یک میدان برداری با همان ابعاد است.

حال میدانهای اسکالر و برداری زیر را در نظر بگیرید:

${\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\ |\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k})&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\ Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r})&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{تراز شده}}$

از این رو

${\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k})+i\mathbf {k} \ بار \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iint i\mathbf {k} G_ {\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{ \mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ) +\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{تراز شده}}$

میدانهایی با واگرایی و پیچ خوردگی تجویز شده [ ویرایش ]

اصطلاح "قضیه هلمهولتز" می تواند به موارد زیر نیز اشاره داشته باشد. فرض کنید C یک میدان برداری سلونوئیدی و d یک میدان اسکالر روی R3 باشد که به اندازه کافی صاف هستند و سریعتر از 1 / r2 در بی نهایت ناپدید می شوند. سپس یک میدان برداری F وجود دارد به طوری که

$\nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;$

اگر علاوه بر این، میدان برداری F به صورت r → ∞ ناپدید شود ، F منحصر به فرد است. [12]

به عبارت دیگر، یک میدان برداری را می توان هم با واگرایی مشخص و هم با یک چرخش مشخص ساخت، و اگر در بی نهایت نیز ناپدید شود، به طور منحصر به فرد با واگرایی و کرل آن مشخص می شود. این قضیه در الکترواستاتیک اهمیت زیادی دارد ، زیرا معادلات ماکسول برای میدان های الکتریکی و مغناطیسی در حالت استاتیک دقیقاً از این نوع هستند. [12] اثبات با ساختی است که ساختار فوق را تعمیم می دهد: ما تنظیم کردیم

$\mathbf {F} =-\nabla ({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C}))،$

جایی که ${\mathcal {G}}$ عملگر پتانسیل نیوتنی را نشان می دهد. (هنگامی که بر روی یک میدان برداری مانند ∇ × F عمل می کنیم، بر روی هر جزء تعریف می شود.)

فرم های دیفرانسیل [ ویرایش ]

قضیه هاج ارتباط نزدیکی با قضیه هلمهولتز دارد، که از میدان های برداری در R3 به اشکال دیفرانسیل در منیفولد ریمانی M تعمیم می یابد . اکثر فرمولاسیون های قضیه هاج نیاز دارند که M فشرده باشد . [13] از آنجایی که این در مورد R3 صادق نیست ، قضیه قضیه هاج به طور دقیق تعمیم قضیه هلمهولتز نیست. با این حال، متناهییت فشردگی در فرمول معمول قضیه هاج را می توان با مفروضات فروپاشی مناسب در بی نهایت در اشکال دیفرانسیل درگیر جایگزین کرد و تعمیم مناسبی از قضیه هلمهولتز ارائه کرد.

فرمولاسیون ضعیف [ ویرایش ]

قضیه هلمهولتز را می توان با کاهش مفروضات منظم (نیاز به وجود مشتقات قوی) نیز تعمیم داد. فرض کنید Ω یک دامنه لیپشیتز متناهی و به سادگی متصل است . هر میدان برداری مربع انتگرال u ∈ ( L 2 (Ω)) 3 دارای قضیه متعامد است:

$\mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A}$

جایی که φ در فضای سوبولف H 1 (Ω) از توابع مربع انتگرال پذیر در Ω است که مشتقات جزئی تعریف شده در معنای توزیع مربع انتگرال پذیر هستند، و A ∈ H (curl، Ω) ، فضای سوبولف از میدان های برداری متشکل از مربع است. میدانهای برداری قابل ادغام با چرخش ادغام پذیر مربعی.

برای یک میدان برداری کمی هموارتر u ∈ H (کرل، Ω) ، قضیه مشابه برقرار است:

$\mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v}$

جایی که φ ∈ H 1 (Ω)، v ∈ ( H 1 (Ω)) d .

میدانهای طولی و عرضی [ ویرایش ]

اصطلاحی که اغلب در فیزیک استفاده می شود به جزء بدون پیچش یک میدان برداری به عنوان مولفه طولی و جزء بدون واگرایی به عنوان مولفه عرضی اشاره می کند. [14] این اصطلاح از ساختار زیر می آید: تبدیل فوریه سه بعدی را محاسبه کنید ${\hat {\mathbf {F} }}$ از زمینه برداری $\mathbf {F}$ . سپس این میدان را در هر نقطه k به دو جزء تقسیم کنید که یکی از آنها به صورت طولی یعنی موازی با k و دیگری در جهت عرضی یعنی عمود بر k است. تا اینجای کار داریم

${\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\ mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )$

$\mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k})=0.$

$\mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .$

اکنون یک تبدیل فوریه معکوس برای هر یک از این اجزا اعمال می کنیم. با استفاده از ویژگی های تبدیل فوریه، ما به دست می آوریم:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )$

$\nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r})=0$

$\nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0}$

از آنجا که $\nabla \times (\nabla \Phi )=0$ و $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$ ،

می توانیم دریافت کنیم

$\mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\ nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'$

$\mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \ mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'$

بنابراین این در واقع قضیه هلمهولتز است. [15]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نمایش کلبش برای قضیه مرتبط با زمینه های برداری
داروین لاگرانژیان برای یک برنامه
قضیه پولوئیدال- چرخش ای برای قضیه بیشتر جزء بدون واگرایی $\nabla \times \mathbf {A}$ .
قضیه اسکالر-بردار-تانسور
نظریه هاج قضیه هلمهولتز را تعمیم می دهد

+ نوشته شده در سه شنبه بیست و هشتم دی ۱۴۰۰ ساعت 2:5 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی