ریاضیات

نظریه هموتوپی منطقی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 13:22

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات و به طور خاص در توپولوژی ، نظریه هموتوپی منطقی یک نسخه ساده شده از نظریه هموتوپی برای فضاهای توپولوژیکی است که در آن همه پیچ خوردگی در گروه های هموتوپی نادیده گرفته می شود. توسط دنیس سالیوان ( 1977 ) و دانیل کویلن ( 1969 ) تاسیس شد. این ساده سازی نظریه هموتوپی محاسبات را بسیار ساده تر می کند.

انواع همجنس منطقی فضاهای متصل به سادگی را می توان با (کلاسهای ایزومورفیسم) برخی از اجسام جبری به نام مدلهای حداقلی سالیوان ، که جبرهای درجه بندی متغیر مبادله ای بر اساس اعداد منطقی هستند و شرایط خاصی را برآورده می کنند ، شناسایی کرد.

یک کاربرد هندسی قضیه سالیوان و میشلین ویگو-پوآریر (1976) بود: هر منیفولد X بسته ریمانی که به سادگی متصل می شود و حلقه همسانی منطقی آن توسط یک عنصر ایجاد نمی شود دارای تعداد بیشماری ژئودزیک بسته از نظر هندسی است . [1] اثبات استفاده تئوری homotopy منطقی نشان می دهد که تعداد بتی از فضای حلقه رایگان از X بیکران است. سپس قضیه از نتیجه 1969 دتلف گرومول و ولفگانگ مایر ناشی می شود .

فهرست

فضاهای منطقی [ ویرایش ]

نقشه مداوم $f \ روده بزرگ X \ به Y$ از متصل به سادگی فضاهای توپولوژیک است که به نام هم ارزی هموتوپی منطقی اگر القا ریخت در گروه های homotopy tensored با اعداد گویا $\ mathbb {Q}$ به معادل: f معادل هموتوپی منطقی است اگر و تنها در صورتی که باعث ایجاد ایزومورفیسم در گروه های همولوژیک منحصر به فرد با ضرایب منطقی شود. [2] دسته هموتوپی منطقی (از فضاهای متصل به سادگی) تعریف می شود که محلی سازی از دسته از فضاهای متصل به سادگی با توجه به معادله هموتوپی منطقی. هدف نظریه هموتوپی منطقی درک این مقوله است. یعنی اگر همه معادلات هموتوپی منطقی را ایزومورفیسم اعلام کرد ، چقدر اطلاعات باقی می ماند؟

یک نتیجه اساسی این است که مقوله هموتوپی منطقی معادل یک زیرگروه کامل از رده هموتوپی فضاهای توپولوژیکی ، زیرمجموعه فضاهای منطقی است. با تعریف ، یک فضای منطقی یک مجموعه CW به سادگی متصل است که همه گروه های هموتوپی آن فضاهای بردار بر روی اعداد منطقی هستند. برای هر مجموعه CW که به سادگی متصل است $ایکس$ ، یک فضای منطقی وجود دارد ${\ displaystyle X _ {\ mathbb {Q}}}$ ، منحصر به فرد تا معادل هموتوپی ، با نقشه ${\ displaystyle X \ to X _ {\ mathbb {Q}}}$ که باعث ایجاد ایزومورفیسم در گروه های هموتوپی با اعداد منطقی می شود. [3] فضا ${\ displaystyle X _ {\ mathbb {Q}}}$ به آن عقلانی شدن می گویند $ایکس$ به این یک مورد خاص از ساخت سالیوان برای محلی سازی یک فضا در مجموعه معینی از اعداد اول است .

یکی تعاریف معادل را با استفاده از همولوژی به جای گروه های هموتوپی دریافت می کند. یعنی یک مجموعه CW به سادگی متصل شده است $ایکس$ اگر و فقط در صورتی گروه های همولوژی آن یک فضای منطقی باشد ${\ displaystyle H_ {i} (X، \ mathbb {Z})}$ فضاهای بردار منطقی برای همه هستند $من> 0$ به [4] عقلانیت یک مجموعه CW که به سادگی متصل شده است $ایکس$ فضای منطقی منحصر به فرد است ${\ displaystyle X \ to X _ {\ mathbb {Q}}}$ (تا معادل هموتوپی) با نقشه ${\ displaystyle X \ to X _ {\ mathbb {Q}}}$ که باعث ایجاد ایزومورفیسم در همولوژی منطقی می شود. بنابراین یکی دارد

${\ displaystyle \ pi _ {i} (X _ {\ mathbb {Q}}) \ cong \ pi _ {i} (X) \ otimes {\ mathbb {Q}}}$

${\ displaystyle H_ {i} (X _ {\ mathbb {Q}}، {\ mathbb {Z}}) \ cong H_ {i} (X، {\ mathbb {Z}}) \ otimes {\ mathbb {Q} } \ cong H_ {i} (X، {\ mathbb {Q}})}$

برای همه $من> 0$ به

این نتایج برای فضاهای متصل به سادگی با کمی تغییر در فضاهای بدون قدرت (فضاهایی که گروه بنیادی آنها نیرو ندارد و بر گروههای هموتوپی بالاتر به صورت ناخواسته عمل می کند) گسترش می یابد.

محاسبه گروههای هموتوپی کره یک مشکل باز مرکزی در نظریه هموتوپی است. با این حال ، گروههای همگن منطقی از حوزه ها توسط ژان پیر سر در 1951 محاسبه شد :

${\ displaystyle \ pi _ {i} (S^{2a-1}) \ otimes \ mathbb {Q} \ cong {\ begin {case} \ mathbb {Q} & {\ text {if}} i = 2a- 1 \\ 0 & {\ متن {در غیر اینصورت}} \ پایان {موارد}}}$

${\ displaystyle \ pi _ {i} (S^{2a}) \ otimes \ mathbb {Q} \ cong {\ begin {case} \ mathbb {Q} & {\ text {if}} i = 2a {\ text {یا}} i = 4a-1 \\ 0 & {\ text {در غیر اینصورت.}} \ پایان {موارد}}}$

این امر امکان توصیف کل مقوله هموتوپی منطقی را به شیوه ای محاسبه کننده نشان می دهد. نظریه هموتوپی منطقی بیشتر این هدف را محقق کرده است.

در نظریه هموتوپی ، کره ها و فضاهای ایلنبرگ - مک لاین دو نوع متفاوت از فضاهای اساسی هستند که می توان همه فضاها را از آنها ساخت. در نظریه هموتوپی منطقی ، این دو نوع فضا بسیار به هم نزدیک می شوند. به طور خاص ، محاسبه Serre نشان می دهد که ${\ displaystyle S _ {\ mathbb {Q}}^{2a-1}}$ فضای ایلنبرگ - مک لین است ${\ displaystyle K (\ mathbb {Q} ، 2a-1)}$ به به طور کلی، اجازه دهید X هر فضای که های cohomology منطقی حلقه یک رایگان است مدرج مبادلهای جبر (یک ضرب تانسوری یک حلقه چند جمله ای بر روی ژنراتور حتی درجه و جبر بیرونی در ژنراتور از درجه فرد). سپس عقلانیت ${\ displaystyle X _ {\ mathbb {Q}}}$ یک کالا از فضاهای Eilenberg را-MacLane. فرضیه حلقه کوهومولوژی برای هر گروه فشرده دروغ (یا به طور کلی ، هر فضای حلقه ) اعمال می شود. [5] به عنوان مثال ، برای گروه واحد SU ( n ) ،

${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n) _ {\ mathbb {Q}} \ simeq S _ {\ mathbb {Q}}^{3} \ times S _ {\ mathbb {Q}}^{5} \ times \ cdots \ times S _ {\ mathbb {Q}}^{2n-1}.}$

حلقه کوهومولوژی و هموتوپی جبر دروغ [ ویرایش ]

دو تغییر ناپذیر اساسی از یک فضا X در دسته هموتوپی منطقی وجود دارد: حلقه کوهومولوژی منطقی ${\ displaystyle H^{*} (X ، \ mathbb {Q})}$ و homotopy دروغ جبر ${\ displaystyle \ pi _ {*} (X) \ otimes \ mathbb {Q}}$ به هم شناسی منطقی یک جبر درجه بندی شده و مبادله ای است $\ mathbb {Q}$ ، و گروههای هموتوپی از طریق محصول Whitehead جبر درجه بندی شده Lie را تشکیل می دهند . (دقیق تر ، نوشتن $\ امگا ایکس$ برای فضای حلقه X ، ما آن را داریم ${\ displaystyle \ pi _ {*} (\ Omega X) \ otimes \ mathbb {Q}}$ یک درجه جبر دروغ است $\ mathbb {Q}$ به با توجه به ایزومورفیسم ${\ displaystyle \ pi _ {i} (X) \ cong \ pi _ {i-1} (\ Omega X)}$ ، این فقط به تغییر درجه بندی 1 می انجامد.) به عنوان مثال ، قضیه Serre در بالا چنین می گوید ${\ displaystyle \ pi _ {*} (\ Omega S^{n}) \ otimes \ mathbb {Q}}$ است رایگان جبر دروغ مدرج در یک ژنراتور از درجه $n-1$ به

راه دیگر برای از جبر هموتوپی دروغ فکر می کنم این است که همسانی از فضای حلقه از X است جبر پوشاند جهانی از جبر دروغ هموتوپی: [6]

${\ displaystyle H _ {*} (\ Omega X، {\ mathbb {Q}}) \ cong U (\ pi _ {*} (\ Omega X) \ otimes \ mathbb {Q})}}$

برعکس ، می توان جبر دروغی هموتوپی منطقی را از همولوژی فضای حلقه به عنوان زیرفضای عناصر ابتدایی در جبر Hopf بازسازی کرد. ${\ displaystyle H _ {*} (\ Omega S^{n}) \ otimes \ mathbb {Q}}$ به [7]

نتیجه مرکزی این نظریه این است که مقوله هموتوپی منطقی را می توان به صورت کاملاً جبری توصیف کرد. در واقع ، به دو روش مختلف جبری. ابتدا ، Quillen نشان داد که طبقه هموتوپی منطقی معادل دسته هموتوپی جبرهای درجه بندی دیفرانسیل متصل به هم است . (جبر دروغ درجه بندی مرتبط ${\ displaystyle \ ker (d)/\ operatorname {im} (d)}$ دروغ جبر هموتوپی.) دوم است، به Quillen نشان داد که دسته هموتوپی منطقی معادل دسته homotopy از 1 متصل دیفرانسیل مدرج cocommutative است coalgebras . [8] (coalgebra مربوط به همولوژیکی منطقی X به عنوان یک coalgebra است ؛ فضای بردار دوگانه حلقه cohomology منطقی است.) این معادلات از جمله اولین کاربردهای نظریه دسته های مدل Quillen بودند .

به طور خاص ، توصیف دوم حاکی از آن است که برای هر گونه درجه بندی-رفت و آمد $\ mathbb {Q}$ -جبر A از فرم

${\ displaystyle A = \ mathbb {Q} \ oplus A^{2} \ oplus A^{3} \ oplus \ cdots،}$

با هر فضای بردار ${\ displaystyle A^{i}}$ از بعد محدود ، یک فضای X به سادگی متصل وجود دارد که حلقه همسانی منطقی آن ایزومورفیک A است . (در مقابل، محدودیت های بسیاری، به طور کامل درک نشده است، در انتگرال و یا وزارت دفاع وجود دارد ص حلقه cohomology از فضاهای توپولوژیک، برای اعداد اول ص .) در همان روح، سالیوان نشان داد که هر درجه بندی مبادلهای $\ mathbb {Q}$ -جبر با ${\ displaystyle A^{1} = 0}$ که ارضا پوانکاره دوگانگی حلقه cohomology از برخی به سادگی متصل است صاف منیفولد بسته، به جز در بعد 4 ؛ در این مورد ، فرد همچنین باید فرض کند که تقاطع در حال جفت شدن است ${\ displaystyle A^{2a}}$ از شکل است ${\ displaystyle \ sum \ pm x_ {i}^{2}}$ بر فراز $\ mathbb {Q}$ به [9]

ممکن است س askال شود که چگونه می توان بین دو توصیف جبری از طبقه بندی هموتوپی منطقی عبور کرد. به طور خلاصه ، یک جبر دروغ یک جبر درجه بندی شده و جابجایی را توسط گروه شناسی جبر Lie تعیین می کند ، و یک جبر تعویضی افزایش یافته ، جبر درجه بندی شده لی را با کاهش همنوازی آندره-کویلن تعیین می کند . به طور کلی ، نسخه هایی از این سازه ها برای جبرهای درجه بندی شده متفاوت وجود دارد. این دوگانگی بین جبرهای مبادله ای و جبرهای دروغ ، نسخه ای از دوگانگی کوزول است .

جبر سالیوان [ ویرایش ]

برای فضاهایی که همسانی منطقی آنها در هر درجه دارای ابعاد محدود است ، سالیوان همه انواع هموتوپی منطقی را بر اساس اشیاء جبری ساده تر ، جبر سالیوان طبقه بندی کرد. طبق تعریف ، جبر سالیوان جبری درجه بندی شده دیفرانسیل متغیر نسبت به معقولات است $\ mathbb {Q}$ ، که جبر اصلی آن جبر درجه بندی شده مبادله رایگان است ${\ displaystyle \ bigwedge (V)}$ بر روی فضای بردار درجه بندی شده

${\ displaystyle V = \ bigoplus _ {n> 0} V^{n} ،}$

رضایت در بر داشت زیر "شرایط nilpotence" در دیفرانسیل آن د : فضای V اتحادیه از یک مجموعه از زیرفضاهای درجه بندی است، ${\ displaystyle V (0) \ subseteq V (1) \ subseteq \ cdots}$ ، جایی که $d = 0$ بر $V (0)$ و ${\ displaystyle d (V (k))}$ موجود است در ${\ displaystyle \ bigwedge (V (k-1))}$ به در زمینه جبرهای درجه بندی دیفرانسیل A ، "جابجایی" به معنای درجه ای-تعویضی استفاده می شود. به این معنا که،

${\ displaystyle ab = (-1)^{ij} ba}$

برای یک در ${\ displaystyle A^{i}}$ و b در $A^{j}$ به

اگر تصویر d در آن وجود داشته باشد ، جبر سالیوان حداقل نامیده می شود ${\ displaystyle \ bigwedge ^{+} (V) ^{2}}$ ، جایی که ${\ displaystyle \ bigwedge ^{+} (V)}$ مجموع مستقیم زیر فضاهای درجه مثبت است ${\ displaystyle \ bigwedge (V)}$ به

مدل سالیوان برای یک دیفرانسیل مبادلهای درجه بندی جبر جبر سالیوان است ${\ displaystyle \ bigwedge (V)}$ با همومورفیسم ${\ displaystyle \ bigwedge (V) \ به A}$ که باعث ایجاد ایزومورفیسم در همولوژی می شود. اگر ${\ displaystyle A^{0} = \ mathbb {Q}}$ ، سپس A دارای حداقل مدل سالیوان است که تا ایزومورفیسم منحصر به فرد است. (هشدار: حداقل جبر سالیوان با همان جبر کوهومولوژی A نیازی به الگوی حداقلی سالیوان برای A نیست : همچنین لازم است که ایزومورفیسم همولوژی با همومورفیسم جبرهای درجه بندی شده متفاوت ایجاد شود. نمونه هایی از غیر ایزومورفیک وجود دارد حداقل مدلهای سالیوان با جبرهای کوهومولوژی ایزومورفیک.)

حداقل مدل سالیوان یک فضای توپولوژیکی [ ویرایش ]

برای هر مکان توپولوژیکی X ، سالیوان یک جبر درجه بندی شده دیفرانسیل تعویضی را تعریف کرد ${\ displaystyle A_ {PL} (X)}$ ، جبر اشکال دیفرانسیل چند جمله ای روی X با ضرایب منطقی نامیده می شود . عنصری از این جبر شامل (تقریباً) یک شکل چند جمله ای در هر یک از ساده های ساده X است که با نقشه های صورت و انحطاط سازگار است. این جبر معمولاً بسیار بزرگ است (ابعاد غیر قابل شمارش) اما می توان آن را با جبر بسیار کوچکتر جایگزین کرد. به طور دقیق تر ، هر جبر درجه بندی دیفرانسیل با همان مدل حداقل سالیوان به عنوان ${\ displaystyle A_ {PL} (X)}$ یک مدل برای فضای X نامیده می شود . وقتی X به سادگی متصل می شود ، چنین مدلی نوع هموتوپی منطقی X را تعیین می کند .

برای هرگونه پیچیدگی CW X که به سادگی با همه گروه های منطقی منطقی از بعد محدود ارتباط دارد ، حداقل مدل سالیوان وجود دارد $\ bigwedge V$ برای ${\ displaystyle A_ {PL} (X)}$ ، که دارای ویژگی آن است ${\ displaystyle V^{1} = 0}$ و همه ${\ displaystyle V^{k}}$ دارای ابعاد محدود هستند این است که به نام سالیوان مدل حداقل از X ؛ تا ایزومورفیسم منحصر به فرد است. [10] این یک معادله بین انواع هموتوپی منطقی چنین فضاهایی و چنین جبرهایی با ویژگی های زیر می دهد:

هم شناسی منطقی فضا ، همشناسی مدل حداقلی سالیوان آن است.
فضاهای تجزیه ناپذیر در V دوگانه گروه های همتای منطقی فضا X هستند .
محصول وایتهد در هموتوپی منطقی دوگانه "قسمت درجه دوم" دیفرانسیل d است .
دو فضا دارای یک نوع هموتوپی منطقی هستند اگر و فقط در صورتی که حداقل جبر سالیوان آنها ایزومورف باشد.
یک فضای X به سادگی متصل شده است که مربوط به هر جبر سالیوان احتمالی است ${\ displaystyle V^{1} = 0}$ و همه ${\ displaystyle V^{k}}$ از بعد محدود

هنگامی که X یک منیفولد صاف است ، جبر دیفرانسیل اشکال دیفرانسیل صاف در X (مجموعه de Rham ) تقریباً یک مدل برای X است . دقیق تر آن محصول تانسور یک مدل برای X با واقعی است و بنابراین نوع هموتوپی واقعی را تعیین می کند . در واقع می توان به بیشتر و تعریف ص نوع هموتوپی -completed از X برای یک عدد اول ص . "مربع حساب" سالیوان بسیاری از مشکلات در تئوری homotopy به ترکیبی از منطقی و کاهش می دهد ص -completed نظریه homotopy، برای کلیه اعداد اول ص . [11]

ساخت حداقل مدلهای سالیوان برای فضاهای متصل به سادگی به فضاهای بدون قدرت گسترش می یابد. برای گروه های بنیادی کلی تر ، همه چیز پیچیده تر می شود. به عنوان مثال ، گروههای هموتوپی منطقی یک مجموعه CW محدود (مانند گوه ${\ displaystyle S^{1} \ vee S^{2}}$ ) می تواند فضاهای بردار نامحدود باشد.

فضاهای رسمی [ ویرایش ]

مبادلهای دیفرانسیل مدرج جبر ، دوباره با ${\ displaystyle A^{0} = \ mathbb {Q}}$ ، اگر A دارای مدلی با دیفرانسیل ناپدید شود ، رسمی نامیده می شود . این مساوی است با الزام این که جبر کوه شناسی A (که به عنوان یک جبر افتراقی با دیفرانسیل بی اهمیت در نظر گرفته می شود) مدلی برای A باشد (گرچه لازم نیست حداقل مدل باشد). بنابراین نوع هموتوپی منطقی یک فضای رسمی به طور کامل توسط حلقه همسانی آن تعیین می شود.

نمونه هایی از فضاهای رسمی شامل کره، H-فضاهای ، فضاهای متقارن ، و جمع و جور منیفولدهای Kahler از . [12] رسمیت تحت محصولات و مبالغ گوه حفظ می شود . برای مانیفولدها ، رسمیت با مبالغ متصل حفظ می شود .

از طرف دیگر ، نیلمنفولدهای بسته تقریباً هرگز رسمی نیستند: اگر M یک نایلمنفولد رسمی است ، پس M باید یک توروس در برخی ابعاد باشد. [13] ساده ترین مثال یک نیلمانفولد غیررسمی ، منیفولد هایزنبرگ است ، ضریب گروه هایزنبرگ از ماتریس های مثلثی فوقانی 3 × 3 واقع با 1 در مورب توسط زیرگروه ماتریس های آن با ضرایب انتگرال. منیفولدهای بسته سمپلتیک لازم نیست رسمی باشند: ساده ترین مثال منیفولد Kodaira -Thurston (محصول منیفولد هایزنبرگ با یک دایره) است. همچنین نمونه هایی از منیفولدهای بسته سمپلتیک غیر رسمی و به سادگی متصل وجود دارد. [14]

غیر رسمی اغلب توسط محصولات Massey قابل تشخیص است . در واقع ، اگر جبر درجه بندی شده A رسمی باشد ، همه محصولات ماسسی (مرتبه بالاتر) باید ناپدید شوند. برعکس واقعیت ندارد: رسمیت به معنای خالص ، ناپدید شدن "یکنواخت" همه محصولات ماسسی است. مکمل حلقه های Borromean یک فضای غیر رسمی است: از یک محصول سه بعدی غیرعادی Massey پشتیبانی می کند.

مثالها [ ویرایش ]

اگر X یک کره از بعد فرد باشد ${\ displaystyle 2n+1> 1}$ ، مدل سالیوان بسیار ناچیز آن دارای یک ژنراتور از درجه $2n+1$ با ${\ displaystyle da = 0}$ ، و اساس عناصر 1 ، الف .
اگر X یک کره با ابعاد زوج باشد ${\ displaystyle 2n> 0}$ ، حداقل مدل سالیوان آن دارای دو ژنراتور a و b درجه است $2n$ و $4n+1$ ، با ${\ displaystyle db = a^{2}}$ ، ${\ displaystyle da = 0}$ ، و اساس عناصر ${\ displaystyle 1، a، b \ to a^{2}}$ ، ${\ displaystyle ab \ to a^{3}}$ ، ${\ displaystyle a^{2} b \ to a^{4}، \ ldots}$ ، جایی که پیکان عمل d را نشان می دهد .
اگر X است فضا پیچیده تصویری ${\ mathbb {CP}}^{n}$ با $n> 0$ ، حداقل مدل سالیوان آن دارای دو ژنراتور u و x درجه 2 و $2n+1$ ، با ${\ displaystyle du = 0}$ و ${\ displaystyle dx = u^{n+1}}$ به این اساس عناصر را دارد ${\ displaystyle 1 ، u ، u^{2} ، \ ldots ، u^{n}}$ ، ${\ displaystyle x \ به u^{n+1}}$ ، ${\ displaystyle xu \ to u^{n+2}، \ ldots}$ به
فرض کنید V دارای 4 عنصر a ، b ، x ، y درجه 2 ، 3 ، 3 و 4 با دیفرانسیل باشد ${\ displaystyle da = 0}$ ، ${\ displaystyle db = 0}$ ، ${\ displaystyle dx = a^{2}}$ ، ${\ displaystyle dy = ab}$ به سپس این جبر حداقل جبر سالیوان است که رسمی نیست. جبر کوهومولوژی تنها در بعد 2 ، 3 ، 6 دارای اجزای غیرجذبی است که به ترتیب توسط a ، b و ${\ displaystyle xb-ay}$ به هر گونه همومورفیسم از V تا جبر کوه شناسی آن y را به 0 و x را به مضرب b نشان می دهد . بنابراین نقشه می دهد ${\ displaystyle xb-ay}$ تا 0. بنابراین V نمی تواند الگویی برای جبر کوه شناسی آن باشد. فضاهای توپولوژیکی مربوطه دو فضا با حلقه های همومولوژی منطقی ایزومورفیک اما انواع هموتوپی منطقی متفاوت هستند. توجه کنید که ${\ displaystyle xb-ay}$ در محصول Massey وجود دارد $\ langle [a] ، [a] ، [b] \ rangle$ به

فضاهای بیضوی و هذلولی [ ویرایش ]

نظریه هموتوپی منطقی یک دوگانگی غیرمنتظره را در بین مجتمع های CW محدود نشان داد: یا گروههای هموتوپی منطقی در درجات به اندازه کافی صفر هستند ، یا آنها به طور تصاعدی رشد می کنند . به عبارت دیگر ، بگذارید X یک فضای متصل به سادگی باشد ${\ displaystyle H _ {*} (X ، \ mathbb {Q})}$ یک بعد محدود است $\ mathbb {Q}$ فضای بردار (برای مثال ، یک مجموعه CW محدود دارای این ویژگی است). تعریف X به عقلانی بیضوی اگر ${\ displaystyle \ pi _ {*} (X) \ otimes \ mathbb {Q}}$ همچنین ابعاد متناهی است $\ mathbb {Q}$ فضای بردار ، و در غیر این صورت منطقی هذلولی است . سپس فلیکس و هالپرین نشان دادند: اگر X منطقی هذلولی باشد ، یک عدد واقعی وجود دارد $C> 1$ و یک عدد صحیح N به طوری که

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ dim _ {\ mathbb {Q}} \ pi _ {i} (X) \ otimes {\ mathbb {Q}} \ geq C^{n} }$

برای همه $n \ geq N$ به [15]

به عنوان مثال ، کره ها ، فضاهای پیچیده پیش بینی شده و فضاهای همگن برای گروه های فشرده دروغ بیضوی هستند. از سوی دیگر ، "بیشتر" مجموعه های محدود هذلولی هستند. مثلا:

حلقه همسانی منطقی یک فضای بیضوی دوگانگی پوانکره را ارضا می کند. [16]
اگر X یک فضای بیضوی باشد که بالاترین گروه همسانی منطقی غیر صفر آن در درجه n است ، پس هر عدد Betti} ${\ displaystyle b_ {i} (X)}$ حداکثر ضریب دو جمله ای است ${\ binom {n} {i}}$ (با برابری برای n -بعدی torus). [17]
مشخصه اویلر از یک فضای بیضوی X نامنفی است. اگر ویژگی اویلر مثبت باشد ، پس همه اعداد بتی فرد ${\ displaystyle b_ {2i+1} (X)}$ صفر هستند و حلقه منطقی همسانی X یک حلقه تقاطع کامل است . [18]

بسیاری دیگر از محدودیت ها در حلقه هم منطقی منطقی یک فضای بیضوی وجود دارد. [19]

حدس بات پیش بینی می کند که هر منیفولد بسته ریمانی بسته شده به سادگی با انحنای مقطعی غیر منفیباید منطقی بیضوی باشد. اطلاعات اندکی در مورد این حدس وجود دارد ، اگرچه در مورد همه نمونه های شناخته شده از چنین چند وجهی صدق می کند. [20]

حدس هالپرین ادعا می کند که توالی طیفی Serre منطقیاز یک دنباله فیبر از فضاهای متصل به سادگی با فیبر بیضوی منطقی با ویژگی اولر غیر صفر در صفحه دوم ناپدید می شود.

به سادگی وصل مجموعه محدود X عقلانی بیضوی است اگر و تنها اگر همسانی منطقی از فضای حلقه $\ امگا ایکس$ حداکثر چند جمله ای رشد می کند به طور کلی تر ، اگر مدلسازی p p از X نامیده شود بیضوی است $\ امگا ایکس$ حداکثر برای چند عدد ، برای هر عدد اول p رشد می کند . همه منیفولدهای ریمانی شناخته شده با انحنای مقطعی غیر منفی در واقع بیضوی یکپارچه هستند. [21]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

قضیه مندل -آنالوگ نظریه هموتوپی منطقی در تنظیمات p-adic
نظریه هموتوپی رنگی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_homotopy_theory

نظریه هموتوپی رنگی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 13:20

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، نظریه homotopy رنگی یکی از زیرشاخه های است نظریه homotopy پایدار که مطالعات پیچیده گرا نظریه های cohomology از "رنگی" نقطه نظر، که بر اساس Quillen را کار را مربوط نظریه های cohomology به گروه های رسمی. در این تصویر ، نظریه ها از نظر "سطوح رنگی" طبقه بندی شده اند. یعنی ارتفاعات گروههای رسمی که نظریه ها را از طریق قضیه فانکتور دقیق Landweber تعریف می کنند . نظریه های معمول مورد مطالعه شامل: نظریه K پیچیده ، کوهومولوژی بیضوی ، نظریه K Morava و tmf .

فهرست

قضیه همگرایی رنگی [ ویرایش ]

در توپولوژی جبری، به همگرایی رنگی قضیه بیان حد هموتوپی از برج رنگی (تعریف شده در زیر) از یک محدود ص طیف -local $ایکس$ است $ایکس$ خودش قضیه توسط هاپکینز و راونل اثبات شد.

بیانیه [ ویرایش ]

اجازه دهید ${\ displaystyle L_ {E (n)}}$ نشان دهنده محلی سازی Bousfield با توجه به نظریه E Morava و اجازه دهید $ایکس$ متناهی باش ، $پ$ -طیف محلی سپس یک برج مربوط به محلی سازی ها وجود دارد

${\ displaystyle \ cdots \ rightarrow L_ {E (2)} X \ rightarrow L_ {E (1)} X \ rightarrow L_ {E (0)} X}$

برج رنگی نامیده می شود ، به طوری که حد هموتوپی آن با طیف اصلی یکسان است $ایکس$ به

مراحل برج بالا اغلب ساده سازی طیف اصلی است. مثلا، ${\ displaystyle L_ {E (0)} X}$ بومی سازی منطقی است و ${\ displaystyle L_ {E (1)} X}$ محلی سازی با توجه به است ص -local K -theory .

گروه های هموتوپی پایدار [ ویرایش ]

به طور خاص ، اگر $پ$ -طیف محلی $ایکس$ طیف پایدار است $پ$ -طیف حوزه محلی ${\ displaystyle \ mathbb {S} _ {(p)}}$ ، سپس حد هموتوپی این دنباله اصلی است $پ$ -طیف حوزه محلی این یک مشاهده کلیدی برای مطالعه گروه های هموتوپی پایدار از کره ها با استفاده از نظریه هموتوپی رنگی است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Chromatic_homotopy_theory

نظریه هموتوپی پایدار

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 13:17

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، نظریه هموتوپی پایدار آن قسمتی از نظریه هموتوپی (و در نتیجه توپولوژی جبری ) است که به تمام ساختار و پدیده هایی که پس از کاربردهای زیاد فانکشنر تعلیق باقی مانده اند مربوط می شود . یک نتیجه بنیادی قضیه تعلیق فرویدنتال بود ، که بیان می کند که با توجه به هر فضای تیز $ایکس$ ، گروه های هموتوپی ${\ displaystyle \ pi _ {n+k} (\ Sigma ^{n} X)}$ تثبیت برای $n$ به اندازه کافی بزرگ به طور خاص ، گروه های homotopy از حوزه ها ${\ displaystyle \ pi _ {n+k} (S^{n})}$ تثبیت برای ${\ displaystyle n \ geq k+2}$ به مثلا،

${\ displaystyle \ langle {\ text {id}} _ {S^{1}} \ rangle = \ mathbb {Z} = \ pi _ {1} (S^{1}) \ cong \ pi _ {2} (S^{2}) \ cong \ pi _ {3} (S^{3}) \ cong \ cdots}$

${\ displaystyle \ langle \ eta \ rangle = \ mathbb {Z} = \ pi _ {3} (S^{2}) \ to \ pi _ {4} (S^{3}) \ cong \ pi _ { 5} (S^{4}) \ cong \ cdots}$

در دو مثال فوق همه نقشه های بین گروه های هموتوپی کاربردهای عامل تعلیق هستند . مثال اول یک نتیجه استاندارد قضیه Hurewicz است ، که ${\ displaystyle \ pi _ {n} (S^{n}) \ cong \ mathbb {Z}}$ به در مثال دوم نقشه Hopf ، $\ eta$ ، به سیستم تعلیق آن ترسیم شده است ${\ displaystyle \ Sigma \ eta}$ که تولید می کند ${\ displaystyle \ pi _ {4} (S^{3}) \ cong \ mathbb {Z} /2}$ به

یکی از مهمترین مشکلات در نظریه هموتوپی پایدار ، محاسبه گروههای هموتوپی پایدار از کره ها است . طبق قضیه فرویدنتال ، در محدوده پایدار ، گروههای هموتوپی کره نه به ابعاد خاص حوزه ها در حوزه و هدف ، بلکه به تفاوت در این ابعاد بستگی دارد. با این حساب ساقه پایدار k -th است

${\ displaystyle \ pi _ {k}^{s}: = \ lim _ {n} \ pi _ {n+k} (S^{n})}$ به

این گروه abelian برای همه k است . این یک قضیه از ژان پیر سر [1] است که این گروه ها برای آن محدود هستند $k \ neq 0$ به در واقع ، ترکیب می سازد $\ pi _ {*}^{{S}}$ به یک حلقه درجه بندی شده یک قضیه از گورو نیشیدا [2] بیان می کند که همه عناصر درجه بندی مثبت در این حلقه صفر است. بنابراین تنها ایده آل های اولیه ، اعداد اولیه هستند ${\ displaystyle \ pi _ {0}^{s} \ cong \ mathbb {Z}}$ به بنابراین ساختار ${\ displaystyle \ pi _ {*}^{s}}$ کاملاً پیچیده است

در درمان مدرن نظریه هموتوپی پایدار ، فضاها معمولاً با طیف ها جایگزین می شوند . با پیروی از این خط فکری ، می توان یک دسته کلی هموتوپی پایدار ایجاد کرد. این طبقه دارای خواص بسیار خوبی است که در طبقه همنوازی (ناپایدار) فضاها وجود ندارد ، به دنبال این واقعیت که قفل تعلیق وارونه می شود. به عنوان مثال ، مفهوم دنباله کوفیبره و دنباله فیبره معادل هستند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Stable_homotopy_theory

نظریه هموتوپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 13:9

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، نظریه هموتوپی مطالعه سیستماتیک موقعیت هایی است که در آن نقشه ها با هموتوپی بین آنها آمده است. این موضوع به عنوان موضوعی در توپولوژی جبری شروع شد ، اما امروزه به عنوان یک رشته مستقل مورد مطالعه قرار می گیرد. علاوه بر توپولوژی جبری ، این نظریه در زمینه های دیگر ریاضیات مانند هندسه جبری (به عنوان مثال ، نظریه هموتوپی A¹ ) و نظریه دسته (به ویژه مطالعه دسته های بالاتر ) نیز مورد استفاده قرار گرفته است.

فهرست

مفاهیم [ ویرایش ]

فضاها و نقشه ها [ ویرایش ]

در نظریه هموتوپی و توپولوژی جبری ، کلمه "فضا" نشان دهنده یک فضای توپولوژیکی است . به منظور جلوگیری از آسیب شناسی ، به ندرت با فضاهای دلخواه کار می شود. در عوض ، نیاز به فضاهایی است که محدودیت های بیشتری را برآورده سازد ، مانند ایجاد فشرده ، هاسدورف یا مجموعه CW .

در همان روشی که در بالا ذکر شد ، " نقشه " یک تابع مداوم است ، احتمالاً با برخی محدودیت های اضافی.

غالباً فرد با یک فضای برجسته کار می کند - یعنی فضایی با یک "نقطه متمایز" ، که به آن نقطه پایه می گویند. سپس نقشه اشاره شده نقشه ای است که نقاط پایه را حفظ می کند. یعنی نقطه پایه دامنه را به دامنه کدوم ارسال می کند. در مقابل ، یک نقشه رایگان نقشه ای است که نیازی به حفظ نقاط پایه ندارد.

هموتوپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هموتوپی

بگذارید فاصله واحد را نشان دهم . خانواده ای از نقشه ها فهرست بندی شده توسط I ، ${\ displaystyle h_ {t}: X \ به Y}$ homotopy از نامیده می شود $h_ {0}$ به $h_ {1}$ اگر ${\ displaystyle h: I \ times X \ to Y، (t، x) \ mapsto h_ {t} (x)}$ یک نقشه است (به عنوان مثال ، باید یک تابع پیوسته باشد ). وقتی X ، Y فضاهای نوک تیز هستند ، $h_ {t}$ برای حفظ نقاط پایه مورد نیاز است. هموتوپی را می توان یک رابطه معادل نشان داد . با توجه به یک فاصله نقطه ای X و یک عدد صحیح $n \ geq 1$ ، اجازه دهید ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) = [S^{n}، X] _ {*}}$ کلاسهای هموتوپی نقشه های مبنا باشد ${\ displaystyle S^{n} \ to X}$ از یک (اشاره) n -کره $S^{n}$ به X . همانطور که معلوم می شود ، $\ pi_n (X)$ گروه هستند ؛ به خصوص، $\ pi _ {1} (X)$ است به نام گروه اساسی از X .

اگر یکی برای کار با یک فضای به جای یک فضای اشاره کرد ترجیح میدهد، است که مفهوم یک وجود دارد groupoid اساسی (و انواع بالاتر): تعریف، groupoid اساسی یک فضای X است دسته که در آن اشیاء نقاط هستند X و morphisms مسیر هستند.

تراکم و فیبراسیون [ ویرایش ]

نقشه $f: A \ به X$ اگر (1) نقشه داده شود ، cofibration نامیده می شود ${\ displaystyle h_ {0}: X \ to Z}$ و (2) هموتوپی ${\ displaystyle g_ {t}: A \ to Z}$ ، هموتوپی وجود دارد ${\ displaystyle h_ {t}: X \ به Z}$ که گسترش می یابد $h_ {0}$ و از این قبیل ${\ displaystyle h_ {t} \ circ f = g_ {t}}$ به تا حدی ضعیف ، آنالوگ نمودار تعیین کننده یک ماژول تزریقی در جبر انتزاعی است . اساسی ترین مثال یک جفت CW است $(X ، A)$ ؛ از آنجا که بسیاری فقط با مجتمع های CW کار می کنند ، مفهوم cofibration اغلب ضمنی است.

fibration است که، یک نقشه: در مفهوم Serre ساخته مفهوم دوگانه cofibration است ${\ displaystyle p: X \ به B}$ اگر (1) نقشه داده شود ، یک فیبراسیون است ${\ displaystyle Z \ to X}$ و (2) هموتوپی ${\ displaystyle g_ {t}: Z \ به B}$ ، هموتوپی وجود دارد ${\ displaystyle h_ {t}: Z \ to X}$ به طوری که $h_ {0}$ یکی داده شده است و $p \ circ h_ {t} = g_ {t}$ به یک مثال اساسی یک نقشه پوششی است (در واقع ، یک فیبراسیون تعمیم یک نقشه پوششی است). اگر $ه$ یک اصل G -bundle ، این است که، یک فضای با رایگان و متعدی (توپولوژیکی) اقدام گروه یک ( توپولوژیکی گروه)، سپس بر روی نقشه طرح ریزی $p: E \ به X$ نمونه ای از فیبراسیون است.

طبقه بندی فضاها و عملیات هموتوپی [ ویرایش ]

با توجه به گروه های توپولوژیکی G از فضای طبقه بندی برای اصلی G -bundles ( "" تا به هم ارزی) یک فضا است $BG$ به طوری که برای هر فضای X ،

${\ displaystyle [X، BG] =}$ {بسته اصلی G در بسته X ${\ displaystyle، \، \، [f] \ mapsto f^{*} EG}$

جایی که

سمت چپ مجموعه ای از کلاسهای هموتوپی نقشه است ${\ displaystyle X \ به BG}$ ،
~ به ایزومورفیسم بسته ها اشاره می کند و
= با کشیدن عقب بسته نرم افزاری مشخص می شود $به عنوان مثال$ بر $BG$ (به نام بسته نرم افزاری جهانی) در امتداد نقشه ${\ displaystyle X \ به BG}$ به

قضیه نمایندگی براون وجود فضاهای طبقه بندی را تضمین می کند.

طیف و کوهولوژی عمومی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: طیف (توپولوژی جبری) و کوهومولوژی عمومی

این ایده که یک فضای طبقه بندی کننده دسته های اصلی را طبقه بندی می کند ، می تواند بیشتر پیش رود. برای مثال ، می توان کلاس های کوهومولوژی را طبقه بندی کرد: با توجه به گروه abelian A (مانند $\ mathbb {Z}$ ) ،

${\ displaystyle [X، K (A، n)] = \ نام اپراتور {H} ^{n} (X؛ A)}$

جایی که $K (A ، n)$ است فضای Eilenberg را-MacLane . معادله فوق منجر به تصور یک نظریه هم شناسی عمومی می شود. به عنوان مثال ، یک عامل متغیر از طبقه فضاها تا گروه گروه آبلی که بدیهیات کلی نظریه کوهومولوژی معمولی را برآورده می کند. همانطور که معلوم است، چنین عمل کننده ممکن است representable به با یک فاصله اما همیشه می توانید توسط یک دنباله از فضاهای (اشاره) با ساختار نقشه طیف نامیده می شود نشان داده شود. به عبارت دیگر ، ارائه نظریه همگانی عمومی به معنای ارائه طیف است.

یک مثال اساسی از یک طیف ، طیف کره ای است : ${\ displaystyle S^{0} \ به S^{1} \ به S^{2} \ به \ cdots}$

قضایای کلیدی [ ویرایش ]

قضیه سیفرت ون کامپن
قضیه برش هموتوپی
قضیه تعلیق فرویدنتال (نتیجه قضیه برش)
قضیه دقیق فانکتور لند وبر
مکاتبات دلد - کان
استدلال Eckmann در-هیلتون - این نشان می دهد برای گروه های homotopy بالاتر به عنوان مثال عبارتند آبلی .
قضیه ضریب جهانی

نظریه انسداد و کلاس مشخصه [ ویرایش ]

این بخش نیاز به توسعه دارد . با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( مه 2020 )

همچنین ببینید: کلاس مشخصه ، برج پستنیکف ، پیچش وایتهد

بومی سازی و تکمیل یک فضا [ ویرایش ]

این بخش نیاز به توسعه دارد . با افزودن به آن می توانید کمک کنید . ( مه 2020 )

مقاله اصلی: محلی سازی فضای توپولوژیکی

نظریه های خاص [ ویرایش ]

چندین نظریه خاص وجود دارد

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_theory

دسته (رسته)هموتوپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 12:46

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، در دسته هموتوپی است دسته ساخته شده از این دسته از فضاهای توپولوژیک که در یک معنا شناسایی دو فضا که به همان شکل. این عبارت در واقع برای دو دسته متفاوت (اما مرتبط) استفاده می شود ، همانطور که در زیر مورد بحث قرار گرفته است.

به طور کلی ، به جای شروع با طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی ، می توان با هر دسته مدل شروع کرد و دسته هموتوپی مربوط به آن را تعریف کرد ، با ساختاری که توسط Quillen در 1967 معرفی شد . به این ترتیب ، نظریه هموتوپی را می توان برای بسیاری از مقوله های دیگر در هندسه و جبر.

فهرست

دسته هموتوپی ساده لوحانه [ ویرایش ]

دسته از فضاهای توپولوژیک بالا است اشیاء فضاهای توپولوژیک و morphisms نقشه های مداوم بین آنها. تعریف قدیمی تر از دسته هموتوپی hTop ، که برای وضوح در این مقاله ، طبقه بندی ساده لوحانه [1] نامیده می شود ، دارای اشیاء یکسانی است و مورفیسم یک کلاس هموتوپی از نقشه های پیوسته است. یعنی دو نقشه پیوسته f : X → Y در دسته هموتوپی ساده لوح یکسان در نظر گرفته می شوند در صورتی که بتوان یکی را به طور پیوسته به دیگری تغییر شکل داد. یک عملگر از بالا به hTop وجود داردکه فضاهایی را برای خود و مورفیسم هایی به کلاسهای هموتوپی آنها می فرستد. نقشه F : X → Y است که به نام هم ارزی هموتوپی اگر آن را یک می شود ریخت در رده هوموتوپی ساده و بی تکلف. [2]

به عنوان مثال: دایره S 1 ، از هواپیما R 2 منهای منشاء، و نوار موبیوس همه homotopy معادل، اگر چه این فضاهای توپولوژیک هستند homeomorphic .

علامت [ X ، Y ] اغلب برای مجموعه ای از شکل بندی ها از یک فضای X به یک فضای Y در رده هموتوپی ساده لوحانه استفاده می شود (اما برای دسته های مربوطه که در زیر مورد بحث قرار می گیرد نیز استفاده می شود).

دسته هموتوپی ، به دنبال Quillen [ ویرایش ]

Quillen (1967) بر مقوله دیگری تأکید کرد که بیشتر طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی را ساده می کند. نظریه پردازان هموتوپی مجبورند هر از گاهی با هر دو دسته کار کنند ، اما اجماع بر این است که نسخه کوئیلن از اهمیت بیشتری برخوردار است ، و بنابراین اغلب اوقات صرفاً "مقوله هموتوپی" نامیده می شود. [3]

در ابتدا یک معادل هموتوپی ضعیف تعریف می شود : یک نقشه پیوسته در صورتی که باعث ایجاد بیهودگی در مجموعه اجزای مسیر و بیهودگی در گروه های هموتوپی با نقاط پایه دلخواه شود ، معادل هموتوپی ضعیف نامیده می شود . سپس مقوله هموتوپی (واقعی) با محلی سازی تعریف می شودطبقه بندی فضاهای توپولوژیکی با توجه به معادلات هموتوپی ضعیف. به این معنا که اشیاء هنوز فضاهای توپولوژیکی هستند ، اما برای هر معادل هموتوپی ضعیف یک مورفیسم معکوس اضافه می شود. این امر تأثیر می گذارد که یک نقشه پیوسته اگر و تنها در صورتی که یک هم ارزی هموتوپی ضعیف باشد ، به یک ایزومورفیسم در رده هموتوپی تبدیل می شود. فانکتورهای آشکاری از دسته فضاهای توپولوژیکی گرفته تا رده هموتوپی ساده لوحانه (همانطور که در بالا تعریف شده است) و از آنجا تا رده هموتوپی وجود دارد.

نتایج JHC Whitehead ، به ویژه قضیه وایتهد و وجود تقریب های CW ، [4] توضیح صریح تری از دسته هموتوپی ارائه می دهد. یعنی، دسته هموتوپی است معادل به زیرشاخه کامل از دسته هموتوپی ساده و بی تکلف است که متشکل از مجتمع CW . از این نظر ، مقوله هموتوپی بسیاری از پیچیدگی طبقه فضاهای توپولوژیکی را از بین می برد.

مثال: بگذارید X مجموعه اعداد طبیعی {0 ، 1 ، 2 ، ...} و Y مجموعه {0} {1 ، 1/2 ، 1/3 ، ...} باشد ، هر دو با توپولوژی فضا از خط واقعی . تعریف F : X → Y توسط نقشه برداری شماره 0 تا 0 و n را به 1 / N برای اعداد صحیح مثبت n را . سپس f پیوسته است و در واقع هم ارز هموتوپی ضعیفی است ، اما معادل هموتوپی نیست. بنابراین مقوله هموتوپی ساده ، فضاهایی مانند X و Y را متمایز می کند ، در حالی که در دسته هموتوپی ایزومورفیک می شوند.

برای فضاهای توپولوژیکی X و Y ، علامت [ X ، Y ] بسته به زمینه ممکن است برای مجموعه ریخت شناسی از X تا Y در دو دسته هموتوپی ساده یا دسته هموتوپی واقعی استفاده شود.

فضاهای ایلنبرگ - مک لاین [ ویرایش ]

یکی از انگیزه های این دسته ها این است که بسیاری از متغیرهای فضاهای توپولوژیکی در طبقه هموتوپی ساده لوحانه یا حتی در طبقه هموتوپی واقعی تعریف می شوند. به عنوان مثال ، برای معادل سازی هموتوپی ضعیف فضاهای توپولوژیکی f : X → Y ، همومورفیسم مرتبط f * : H i ( X ، Z ) H i ( Y ، Z ) گروه های همولوژیک منحصر به فرد یک ایزومورفیسم برای همه اعداد طبیعی i است به [5] نتیجه می شود که برای هر عدد طبیعی i ، همولوژی H منحصر به فرد استمن را می توان به عنوان یک بازیگر از دسته هموتوپی تا گروه گروه آبلیان در نظر گرفت. به طور خاص ، دو نقشه هموتوپیک از X تا Y باعث ایجادهمومورفیسم یکسان در گروه های همولوژیک منحصر به فرد می شود.

های cohomology منحصر به فرد است اموال حتی بهتر: این یک است عمل کننده representable به در دسته homotopy از. یعنی برای هر گروه A و شماره طبیعی ابلیان ، یک مجموعه CW K ( A ، i ) به نام فضای Eilenberg -MacLane و یک کلاس کوه شناسی u در H i ( K ( A ، i )، A ) وجود دارد به طوری که تابع حاصله

${\ displaystyle [X، K (A، i)] \ به H^{i} (X، A)}$

(دادن با عقب کشیدن u به X ) برای همه فضاهای توپولوژیکی X است . [6] در اینجا [ X ، Y ] باید به معنای مجموعه نقشه ها در دسته هموتوپی واقعی باشد ، در صورتی که بخواهیم این عبارت برای همه فضاهای توپولوژیکی X وجود داشته باشد. اگر X یک مجتمع CW باشد ، در دسته ساده لوحانه قرار می گیرد .

نسخه اشاره شده [ ویرایش ]

یکی از انواع مفید ، طبقه همتای فضاهای نوک تیز است . منظور از فضای اشاره یک جفت ( X ، x ) با X یک فضای توپولوژیکی و x یک نقطه در X است که به آن نقطه پایه می گویند. طبقه بالا * فضاهای نوک تیز دارای فضاهای نوک تیز است و مورفیسم f : X → Y یک نقشه پیوسته است که نقطه پایه X را به نقطه پایه Y می بردبه دسته ساده لوحانه فضاهای نوک تیز دارای اجسام یکسانی است و مورفیسم ها کلاسهای هموتوپی نقشه های نوک تیز هستند (به این معنی که نقطه پایه در سراسر هموتوپی ثابت می ماند). سرانجام ، مقوله هموتوپی "واقعی" فضاهای اشاره شده از دسته Top * با وارونه کردن نقشه های نوک تیز که معادل هموتوپی ضعیفی هستند بدست می آید.

برای فضاهای نوک تیز X و Y ، [ X ، Y ] بسته به زمینه ممکن است مجموعه ای از مورفیسم ها را از X تا Y در هر یک از نسخه های طبقه همتای فضاهای نوک تیز نشان دهد.

چندین ساختار اساسی در نظریه هموتوپی به طور طبیعی بر اساس طبقه بندی فضاهای نوک تیز (یا در طبقه هموتوپی مربوط) تعریف می شود ، نه بر اساس طبقه بندی فضاها. به عنوان مثال ، تعلیق Σ X و فضای حلقه Ω X برای یک فضای نوک تیز X تعریف شده و یک فضای نوک تیز دیگر ایجاد می کند. همچنین ، محصول سر و صدا X ∧ Y یک عامل مهم در فضاهای نوک تیز X و Y است . به عنوان مثال ، تعلیق را می توان به صورت زیر تعریف کرد

${\ displaystyle \ Sigma X = S^{1} \ wedge X.}$

فانکتورهای فضای تعلیق و حلقه یک جفت فانکتور مجاور تشکیل می دهند ، به این معنا که یک ایزومورفیسم طبیعی وجود دارد

${\ displaystyle [\ Sigma X، Y] \ cong [X، \ Omega Y]}$

برای همه فضاهای X و Y

دسته بندی های بتنی [ ویرایش ]

در حالی که اشیاء یک دسته هموتوپی مجموعه هایی هستند (با ساختار اضافی) ، مورفیسم ها توابع واقعی بین آنها نیستند ، بلکه یک دسته از توابع (در رده هموتوپی ساده لوحانه) یا "زیگزاگ" توابع (در رده هموتوپی) هستند. در واقع، Freyd نشان داد که نه دسته هموتوپی ساده و بی تکلف از فضاهای اشاره کرد و نه دسته homotopy از فضاهای اشاره است دسته بتن . یعنی هیچ عامل وفادار از این دسته ها به دسته مجموعه ها وجود ندارد . [7]

دسته بندی های مدل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: دسته مدل

یک مفهوم کلی تر وجود دارد: دسته هموتوپی یک دسته مدل . طبقه بندی مدل ، دسته C با سه نوع مورفیسم متمایز به نام فیبرها ، کوفیبره ها و معادلات ضعیف است که چندین اصل را برآورده می کند. دسته هموتوپی مرتبط با محلی سازی C با توجه به معادلات ضعیف تعریف می شود.

این ساختار ، که برای ساختار مدل استاندارد فضاهای توپولوژیکی (با ساختار مدل استاندارد آن (گاهی اوقات ساختار مدل Quillen نامیده می شود) اعمال می شود ، طبقه هموتوپی تعریف شده در بالا را ارائه می دهد. بسیاری از ساختارهای مدل دیگر بر اساس طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی در نظر گرفته شده اند ، بسته به اینکه فرد چقدر می خواهد طبقه بندی را ساده کند. به عنوان مثال ، در ساختار مدل Hurewicz در فضاهای توپولوژیکی ، طبقه هموتوپی مرتبط ، دسته هموتوپی ساده لوحانه است که در بالا تعریف شده است. [8]

همان دسته هموتوپی می تواند از بسیاری از مدلهای مختلف ایجاد شود. یک مثال مهم ساختار مدل استاندارد بر روی مجموعه های ساده است : دسته هموتوپی مربوطه معادل طبقه هموتوپی فضاهای توپولوژیکی است ، حتی اگر مجموعه های ساده اشیاء تعریف شده ترکیبی باشند که فاقد هرگونه توپولوژی باشند. برخی توپولوژیستها به جای ترجیح می دهند به کار با فشرده تولید فضاهای هاسدورف ضعیف ؛ مجدداً ، با ساختار مدل استاندارد ، دسته هموتوپی مربوط به مقوله هموتوپی همه فضاهای توپولوژیکی است. [9]

برای یک مثال جبری بیشتر از یک دسته مدل، اجازه دهید یک دسته آبلی ثانیه Grothendieck ، برای مثال این دسته از ماژول های بیش از یک حلقه یا این دسته از قرقره از گروه های abelian در یک فضای توپولوژیک. سپس یک ساختار مدل در دسته مجموعه های زنجیره ای اجسام در A وجود دارد ، که معادلات ضعیف آنها شبه ایزومورفیسم است . [10] دسته هموتوپی حاصله ، دسته مشتق شده D ( A ) نامیده می شود.

در نهایت ، دسته هموتوپی پایدار به عنوان دسته هموتوپی مرتبط با یک ساختار مدل در طبقه بندی طیف ها تعریف می شود . طیف های مختلف مختلفی در نظر گرفته شده است ، اما همه تعاریف پذیرفته شده یک دسته هموتوپی را ارائه می دهند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_category

ادامه گروه هموتوپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 12:28

فضاها و حوزه های همگن [ ویرایش ]

تحقق بسیاری از حوزه ها به عنوان فضاهای همگن وجود دارد که ابزارهای خوبی برای محاسبه گروه های هموتوپی گروه های دروغ و طبقه بندی بسته های اصلی در فضاهای ساخته شده از کره ها فراهم می کند.

گروه ویژه متعامد [ ویرایش ]

فیبر وجود دارد [4]

${\ displaystyle SO (n-1) \ to SO (n) \ to SO (n)/SO (n-1) \ cong S^{n-1}}$

دنباله دقیق طولانی

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {i} (SO (n-1)) \ to \ pi _ {i} (SO (n)) \ to \ pi _ {i} (S^{n-1 }) \ به \ pi _ {i-1} (SO (n-1)) \ به \ cdots}$

که گروه های هموتوپی مرتبه پایین را محاسبه می کند ${\ displaystyle \ pi _ {i} (SO (n-1)) \ cong \ pi _ {i} (SO (n))}$ برای ${\ displaystyle i <n-1،}$ از آنجا که $S^{{n-1}}$ است ${\ displaystyle (n-2)}$ -متصل. به طور خاص ، یک فیبراسیون وجود دارد

${\ displaystyle SO (3) \ به SO (4) \ به S^{3}}$

که گروههای هموتوپی پایین آنها را می توان به صراحت محاسبه کرد. از آنجا که ${\ displaystyle SO (3) \ cong \ mathbb {RP} ^{3}،}$ و فیبراسیون وجود دارد

${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ به S ^{n} \ به \ mathbb {RP} ^{n}}$

ما داریم ${\ displaystyle \ pi _ {i} (SO (3)) \ cong \ pi _ {i} (S^{3})}$ برای ${\ displaystyle i> 1.}$ با استفاده از این ، و این واقعیت که ${\ displaystyle \ pi _ {4} (S^{3}) = \ mathbb {Z} /2،}$ که می توان با استفاده از سیستم Postnikov محاسبه کرد ، توالی دقیق طولانی داریم

${\ displaystyle {\ شروع {تراز} \ cdots \ به & \ pi _ {4} (SO (3)) \ به \ pi _ {4} (SO (4)) \ به \ pi _ {4} (S ^{3}) \ به \\\ به & \ pi _ {3} (SO (3)) \ به \ pi _ {3} (SO (4)) \ به \ pi _ {3} (S^{ 3}) \ به \\\ به & \ pi _ {2} (SO (3)) \ به \ pi _ {2} (SO (4)) \ به \ pi _ {2} (S^{3} ) \ به \ cdots \\\ پایان {تراز}}}$

از آنجا که ${\ displaystyle \ pi _ {2} (S^{3}) = 0}$ ما داریم ${\ displaystyle \ pi _ {2} (SO (4)) = 0.}$ همچنین ، ردیف وسط می دهد ${\ displaystyle \ pi _ {3} (SO (4)) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$ از آنجا که نقشه اتصال ${\ displaystyle \ pi _ {4} (S ^{3}) = \ mathbb {Z} /2 \ to \ mathbb {Z} = \ pi _ {3} (\ mathbb {RP} ^{3})}$ بی اهمیت است همچنین ، ما می توانیم بدانیم ${\ displaystyle \ pi _ {4} (SO (4))}$ دارای دو پیچش است

کاربرد برای بسته های کره ای [ ویرایش ]

میلنور [5] از این واقعیت استفاده کرد ${\ displaystyle \ pi _ {3} (SO (4)) = \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$ دسته بندی دسته های 3 حوزه ای ${\ displaystyle S^{4} ،}$ به طور خاص ، او توانست کره های عجیب و غریبی را پیدا کند که منیفولدهای صافی هستند که به نام حوزه های میلنور تنها به صورت همومورفیک شناخته می شوند ${\ displaystyle S^{7} ،}$ نمی diffeomorphic . توجه داشته باشید که هر بسته نرم افزاری می تواند از a ساخته شود $4$ - بسته بردار ، که دارای گروه ساختار هستند ${\ displaystyle SO (4)}$ از آنجا که $S^{3}$ می تواند ساختار یک منیفولد ریمانی جهت دار را داشته باشد .

فضای نمایشی پیچیده [ ویرایش ]

یک فیبراسیون وجود دارد

${\ displaystyle S^{1} \ to S^{2n-1} \ to \ mathbb {CP}^{n}}$

جایی که $S^{{2n-1}}$ حوزه واحد در است ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n}.}$ این دنباله می تواند برای نشان دادن وصل بودن ساده مورد استفاده قرار گیرد ${\ mathbb {CP}}^{n}$ برای همه $n$

روشهای محاسبه [ ویرایش ]

به طور کلی محاسبه گروه های هموتوپی بسیار دشوارتر از سایر متغیرهای هموتوپی است که در توپولوژی جبری آموخته اند. بر خلاف قضیه سیفرت -ون کامپن برای گروه اساسی و قضیه برش برای همولوژی و کوهومولوژی منحصر به فرد ، هیچ روش ساده ای برای محاسبه گروه های هموتوپی یک فضا با تجزیه آن به فضاهای کوچکتر وجود ندارد. با این حال ، روشهای توسعه یافته در دهه 1980 شامل قضیه نوع ون کامپن برای گروپوئیدهای هموتوپی بالاتر امکان محاسبات جدید در انواع هموتوپی و غیره در گروههای هموتوپی را فراهم کرده است. برای نمونه نتیجه مقاله 2010 توسط الیس و میخایلوف را ببینید. [6]

برای برخی فضاها ، مانند tori ، همه گروههای هموتوپی بالاتر (یعنی گروههای هموتوپی دوم و بالاتر) بی اهمیت هستند . اینها به اصطلاح فضاهای کروی هستند . با این حال ، علیرغم تحقیقات شدید در محاسبه گروه های هموتوپی کره ها ، حتی در دو بعد یک لیست کامل مشخص نیست. برای محاسبه حتی چهارمین گروه هموتوپی از $S^{2}$ فرد به تکنیک های بسیار پیشرفته تری نسبت به تعاریف ممکن است نیاز داشته باشد. به ویژه دنباله طیفی Serre فقط برای این منظور ساخته شده است.

گروه های homotopy خاصی از N متصل فضاهای می توان با مقایسه با محاسبه گروه های همسانی از طریق قضیه Hurewicz .

فهرستی از روشهای محاسبه گروههای هموتوپی [ ویرایش ]

دنباله دقیق طولانی گروه های هموتوپی یک فیبراسیون.
قضیه Hurewicz ، که دارای چندین نسخه است.
قضیه Blakers – Massey ، همچنین به عنوان برش برای گروه های هموتوپی شناخته می شود.
قضیه تعلیق فرویدنتال ، نتیجه برش برای گروه های هموتوپی.

گروه های هموتوپی نسبی [ ویرایش ]

همچنین یک تعمیم مفید از گروه های هموتوپی وجود دارد ، ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) ،}$ گروه های هموتوپی نسبی نامیده می شود $\ pi _ {n} (X ، A)$ برای یک جفت ${\ displaystyle (X ، A) ،}$ که در آن است فضا از $ایکس.$

ساخت و ساز با مشاهده این است که برای گنجاندن ${\ displaystyle i: (A، x_ {0}) \ hookrightarrow (X، x_ {0})،}$ روی هر گروه هموتوپی یک نقشه القایی وجود دارد ${\ displaystyle i _ {*}: \ pi _ {n} (A) \ به \ pi _ {n} (X)}$ که به طور کلی تزریقی نیست. در واقع ، عناصر هسته با در نظر گرفتن نماینده مشخص می شوند ${\ displaystyle f: I^{n} \ to X}$ و گرفتن هموتوپی مبتنی بر ${\ displaystyle F: I^{n} \ times I \ to X}$ به نقشه ثابت $x_0 ،$ یا به عبارت دیگر ${\ displaystyle H_ {I^{n} \ times 1} = f،}$ در حالی که محدودیت به هر جزء مرزی دیگر از ${\ displaystyle I^{n+1}}$ بی اهمیت است بنابراین ، ما ساختار زیر را داریم:

عناصر چنین گروهی ، کلاسهای هموتوپی نقشه های پایه هستند ${\ displaystyle D^{n} \ to X}$ که مرز را حمل می کنند $S^{{n-1}}$ به . دو نقشه $f ، g$ اگر با یک هموتوپی که پایه را حفظ می کند هموتوپیک باشند نسبت به A نامیده می شوند ${\ displaystyle F: D_ {n} \ بار [0،1] \ تا X}$ به طوری که ، برای هر p در $S^{{n-1}}$ و t در ${\ displaystyle [0،1] ،}$ عنصر ${\ displaystyle F (p، t)}$ در A است . توجه داشته باشید که گروه های هموتوپی معمولی برای مورد خاصی که در آن بازیابی می شوند ، بازیابی می شوند ${\ displaystyle A = x_ {0}}$ نقطه پایه است

این گروه ها برای abelian هستند ${\ displaystyle n \ geq 3 (E)}$ اما برای $n = 2$ گروه بالای یک ماژول متقاطع را با گروه پایین تشکیل دهید ${\ displaystyle \ pi _ {1} (A).}$

همچنین یک دنباله دقیق طولانی از گروه های هموتوپی نسبی وجود دارد که می توان از طریق توالی Puppe بدست آورد :

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (A) \ to \ pi _ {n} (X) \ to \ pi _ {n} (X، A) \ to \ pi _ {n-1} (A) \ به \ cdots}$

مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

گروه های هموتوپی برای نظریه هموتوپی اساسی هستند ، که به نوبه خود توسعه دسته بندی های مدل را تحریک می کند . می توان گروههای انتزاعی انتزاعی را برای مجموعه های ساده تعریف کرد .

گروه های همولوژی از این نظر شبیه گروه های هموتوپی هستند که می توانند "حفره" هایی را در یک فضای توپولوژیکی نشان دهند. با این حال، گروه های homotopy معمولا نمی جابجایی ، و اغلب بسیار پیچیده و سخت به محاسبه. در مقابل ، گروه های همولوژیک عوض می شوند (همانطور که گروه های هموتوپی بالاتر هستند). از این رو ، گاهی اوقات گفته می شود که "همولوژی جایگزینی جایگزین هموتوپی است". [7] با توجه به فضای توپولوژیکی $ایکس،$ آن N گروه هوموتوپی هفتم است که معمولا توسط نشان داده می شود ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) ،}$ و گروه همشناسی n -th آن معمولاً با ${\ displaystyle H_ {n} (X).}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_group

گروه هموتوپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 12:26

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، گروه های هموتوپی در توپولوژی جبری برای طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی استفاده می شود . اولین و ساده ترین گروه هموتوپی گروه بنیادی است که اطلاعات مربوط به حلقه ها در یک فضا را ثبت می کند . از نظر بصری ، گروه های هموتوپی اطلاعات مربوط به شکل یا حفره های اصلی یک فضای توپولوژیکی را ثبت می کنند.

برای تعریف گروه هموتوپی n ، نقشه های حفظ کننده نقطه از یک کره ابعادی n (با نقطه مبنا ) به یک فضای معین (با نقطه پایه) در کلاسهای معادل ، به نام کلاسهای هموتوپی ، جمع آوری می شوند . اگر یکی بتواند پیوسته به دیگری تغییر شکل دهد ، دو نگاشت یکنواخت هستند . این کلاسهای هموتوپی گروهی را تشکیل می دهند که گروه n -th homotopy نامیده می شود ، ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) ،}$ از فضای داده شده X با نقطه پایه. فضاهای توپولوژیکی با گروه های هموتوپی متفاوت هرگز معادل ( هومومورفیک ) نیستند ، اما فضاهای توپولوژیکی که هومومورفیک نیستند می توانند گروه های هموتوپی یکسانی داشته باشند.

مفهوم هموتوپی مسیرها توسط کامیل جردن مطرح شد . [1]

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

در ریاضیات مدرن معمول است که یک دسته را با ارتباط دادن به هر شی از این دسته ، شیئی ساده تر که هنوز اطلاعات کافی در مورد موضوع مورد نظر را حفظ می کند ، مطالعه کنید. گروه های هموتوپی راهی برای ارتباط گروه ها با فضاهای توپولوژیکی هستند.

یک توروس

یک کره

این ارتباط بین توپولوژی و گروه ها به ریاضیدانان اجازه می دهد تا بینش هایی را از نظریه گروه تا توپولوژی به کار گیرند . برای مثال ، اگر دو جسم توپولوژیکی دارای گروه های هموتوپی متفاوت باشند ، نمی توانند ساختار توپولوژیکی یکسانی داشته باشند - واقعیتی که اثبات آن تنها با استفاده از وسایل توپولوژیکی دشوار است. به عنوان مثال ، توروس با کره متفاوت است : torus دارای "سوراخ" است. کره ندارد با این حال ، از آنجا که پیوستگی (مفهوم اساسی توپولوژی) فقط با ساختار محلی سروکار دارد ، تعریف رسمی تفاوت آشکار جهانی دشوار است. گروههای هموتوپی ، اطلاعات مربوط به ساختار جهانی را حمل می کنند.

در مورد مثال: اولین گروه هموتوپی از گاو نر $تی$ است

${\ displaystyle \ pi _ {1} (T) = \ mathbb {Z} ^{2} ،}$ زیرا پوشش جهانی توروس صفحه اقلیدسی است ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2} ،}$ نقشه برداری بر روی توروس ${\ displaystyle T \ cong \ mathbb {R} ^{2}/\ mathbb {Z} ^{2}.}$ در اینجا ضریب در طبقه فضاهای توپولوژیکی قرار می گیرد ، نه گروه یا حلقه. از سوی دیگر ، حوزه $S^{2}$ ارضا می کند:

${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (S^{2} \ right) = 0،}$ زیرا هر حلقه را می توان به یک نقشه ثابت منقبض کرد ( برای این و نمونه های پیچیده تری از گروه های هموتوپی به گروه های هموتوپی کره نگاه کنید).

از این رو ، گوزن هومومورفیک این کره نیست.

تعریف [ ویرایش ]

در N -sphere $S^{n}$ ما یک نقطه پایه را انتخاب نمایید . برای یک فضای X با نقطه پایه b ، ما تعریف می کنیم $\ pi_n (X)$ مجموعه کلاسهای هموتوپی نقشه ها باشد

${\ displaystyle f: S^{n} \ to X}$ که نقطه پایه a را به نقطه پایه b نشان می دهد . به طور خاص ، کلاس های معادل سازی توسط هموتوپی هایی که بر اساس پایه کره ثابت هستند ، ارائه می شود. معادل ، تعریف کنید $\ pi_n (X)$ گروه کلاسهای هموتوپی نقشه ها باشد ${\ displaystyle g: [0،1]^{n} \ تا X}$ از N -cube به X است که گرفتن مرز از N -cube به ب .

ترکیب در گروه بنیادی

برای $n \ geq 1 ،$ کلاسهای هموتوپی یک گروه تشکیل می دهند . برای تعریف عملکرد گروه ، به یاد بیاورید که در گروه اصلی ، محصول ${\ displaystyle f \ ast g}$ از دو حلقه ${\ displaystyle f، g: [0،1] \ به X}$ با تنظیم تعیین می شود

${\ displaystyle f*g = {\ begin {case} f (2t) & t \ in \ left [0، {\ tfrac {1} {2}} \ right] \\ g (2t-1) & t \ in \ چپ [{\ tfrac {1} {2}} ، 1 \ راست] \ پایان {موارد}}}$

ایده ترکیب در گروه بنیادین این است که مسیر اول و دوم را پی در پی طی کنید ، یا معادل آن ، دو حوزه خود را در کنار هم قرار دهید. مفهوم ترکیب مورد نظر برای گروه هموتوپی n یکسان است ، با این تفاوت که اکنون حوزه هایی که به هم می چسبانیم مکعب هستند و باید آنها را در امتداد یک صورت بچسبانیم. بنابراین ما مجموع نقشه ها را تعریف می کنیم ${\ displaystyle f، g: [0،1]^{n} \ تا X}$ با فرمول

${\ displaystyle (f+g) (t_ {1} ، t_ {2} ، \ ldots، t_ {n}) = {\ شروع {case} f (2t_ {1} ، t_ {2} ، \ ldots ، t_ {n}) & t_ {1} \ in \ left [0، {\ tfrac {1} {2}} \ right] \\ g (2t_ {1} -1، t_ {2}، \ ldots، t_ {n }) & t_ {1} \ in \ left [{\ tfrac {1} {2}} ، 1 \ right] \ end {case}}}$

برای تعریف مربوطه از نظر حوزه ها ، مجموع را تعریف کنید $f + g$ از نقشه ها ${\ displaystyle f، g: S^{n} \ to X}$ بودن $\ سای$ با h تشکیل شده است ، جایی که $\ سای$ نقشه از $S^{n}$ به مجموع گوه دو n -کره که خط استوا را فرو می ریزد و h نقشه از مجموع گوه دو n -کره تا X است که در کره اول f و در دوم آن g است .

اگر ${\ displaystyle n \ geq 2 ،}$ سپس $\ pi _ {n}$ است آبلی . [2] علاوه بر این ، مشابه گروه اصلی ، برای یک فضای متصل به مسیر هر دو انتخاب نقطه پایه باعث ایجاد ایزومورفیک می شود ${\ displaystyle \ pi _ {n}.}$ [3]

این وسوسه کننده است که سعی کنیم با حذف نقاط پایه ، تعریف گروه های هموتوپی را ساده کنیم ، اما این معمولاً برای فضاهایی که به سادگی متصل نیستند ، حتی برای فضاهای متصل به مسیر ، کار نمی کند. مجموعه کلاسهای هموتوپی نقشه ها از یک کره به یک فضای متصل به مسیر ، گروه هموتوپی نیست ، بلکه اساساً مجموعه مدارهای گروه اساسی در گروه هموتوپی است و به طور کلی ساختار گروه طبیعی ندارد.

راهی برای برون رفت از این مشکلات با تعریف گروپوئیدهای هموتوپی بالاتر از فضاهای فیلتر شده و n -مکعب فضاها پیدا شده است. اینها به ترتیب به گروههای هموتوپی نسبی و به گروههای هموتوپی n -adic مربوط می شوند. سپس قضیه هموتوپی ون کامپن بالاتر را قادر می سازد تا اطلاعات جدیدی در مورد گروه های هموتوپی و حتی انواع هموتوپی بدست آورد. برای پیشینه و منابع بیشتر ، به "نظریه گروه های بعدی بعدی" و منابع زیر مراجعه کنید.

دنباله طولانی طولانی یک فیبراسیون [ ویرایش ]

اجازه دهید ${\ displaystyle p: E \ to B}$ می تواند یک فیبراسیون Serre با فیبر را حفظ کند ${\ displaystyle F ،}$ یعنی یک نقشه دارای ویژگی بلند کردن هموتوپی نسبت به مجتمع های CW . فرض کنید که B متصل به مسیر است. سپس یک دنباله دقیق طولانی از گروه های هموتوپی وجود دارد

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (F) \ to \ pi _ {n} (E) \ to \ pi _ {n} (B) \ to \ pi _ {n-1} (F ) \ to \ cdots \ to \ pi _ {0} (E) \ to 0.}$

در اینجا نقشه های مربوط به $\ pi _ {0}$ همومورفیسم گروهی نیستند زیرا $\ pi _ {0}$ گروه نیستند ، اما دقیقاً به این معنا هستند که تصویر برابر با هسته است .

مثال: فیبراسیون Hopf . بگذارید B مساوی شود $S^{2}$ و E برابر است ${\ displaystyle S^{3}.}$ اجازه دهید ص شود هاف fibration ، که دارای فیبر $S^{1}.$ از دنباله دقیق طولانی

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (S^{1}) \ to \ pi _ {n} (S^{3}) \ به \ pi _ {n} (S^{2}) \ به \ pi _ {n-1} (S^{1}) \ به \ cdots}$ و این واقعیت که ${\ displaystyle \ pi _ {n} \ left (S^{1} \ right) = 0}$ برای ${\ displaystyle n \ geq 2 ،}$ ما آن را پیدا می کنیم ${\ displaystyle \ pi _ {n} \ left (S^{3} \ right) = \ pi _ {n} \ left (S^{2} \ right)}$ برای $n \ geq 3.$ به خصوص، ${\ displaystyle \ pi _ {3} (S^{2}) = \ pi _ {3} (S^{3}) = \ mathbb {Z}.}$

در مورد فضای پوشش ، هنگامی که فیبر گسسته است ، آن را داریم ${\ displaystyle \ pi _ {n} (E)}$ ایزومورفیک است به ${\ displaystyle \ pi _ {n} (B)}$ برای $n> 1 ،$ که ${\ displaystyle \ pi _ {n} (E)}$ تعبیه injectively به ${\ displaystyle \ pi _ {n} (B)}$ برای همه مثبت ${\ displaystyle n ،}$ و این که زیر گروه از $\ pi _ {1} (B)$ که مربوط به تعبیه است ${\ displaystyle \ pi _ {1} (E)}$ است cosets در پوشا و یکبهیک با عناصر از فیبر.

هنگامی که لرزش فیبر نگاشت است ، یا به صورت دوتایی ، کوفیبره مخروط نگاشت است ، سپس توالی دقیق (یا دوتایی دقیق) حاصل شده توسط توالی Puppe داده می شود .

هموتوپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 12:7

دو مسیر خط کشی نشان داده شده در بالا نسبت به نقاط پایانی آنها هموتوپی هستند. انیمیشن نشان دهنده یک هموتوپی احتمالی است.

در توپولوژی ، شاخه ای از ریاضیات ، دو توابع پیوسته از یک فضای توپولوژیک به دیگری به نام homotopic (از یونانی ὁμός homós "همان، مشابه" و τόπος TOPOS "مکان") اگر یکی می تواند "به طور مداوم تغییر شکل" را در دیگر، از جمله تغییر شکل که هموتوپی بین دو تابع نامیده می شود . یکی از استفاده های قابل توجه از هموتوپی تعریف است گروه های homotopy و گروه های cohomotopy ، مهم ویژگیهای در توپولوژی جبری . [1]

در عمل ، استفاده از هموتوپي با فضاهاي خاص مشكلات فني دارد. توپولوژیست های جبری با فضاهای فشرده ، مجتمع های CW یا طیف ها کار می کنند .

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

هموتوپی بین دو درونه گیریها از چنبره به R 3 : به عنوان "سطح یک شیرینی بی شیرینی" و "سطح یک فنجان قهوه". این نیز نمونه ای از ایزوتوپی است .

به طور رسمی ، هموتوپی بین دو تابع پیوسته f و g از یک مکان توپولوژیکی X به یک مکان توپولوژیکی Y به عنوان یک تابع پیوسته تعریف شده است. ${\ displaystyle H: X \ بار [0،1] \ به Y}$ از حاصلضرب فضای X با فاصله واحد [0 ، 1] تا Y به گونه ای که $H (x ، 0) = f (x)$ و $H (x ، 1) = g (x)$ برای همه $x \ در X$ به

اگر ما از دوم فکر می کنم پارامتر از H به عنوان زمان و سپس H را توصیف تغییر شکل مداوم از F به گرم : در زمان 0 ما باید تابع F و در زمان 1 ما باید تابع گرم . ما همچنین می توانیم پارامتر دوم را یک "کنترل کننده لغزنده" در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد با حرکت اسلایدر از 0 به 1 و برعکس ، از f به g انتقال هموار داشته باشیم .

یک نماد جایگزین این است که بگوییم همتاپی بین دو تابع پیوسته $f ، g: X \ به Y$ خانواده ای از عملکردهای پیوسته است ${\ displaystyle h_ {t}: X \ به Y}$ برای $t \ در [0،1]$ به طوری که ${\ displaystyle h_ {0} = f}$ و ${\ displaystyle h_ {1} = g}$ ، و نقشه ${\ displaystyle (x، t) \ mapsto h_ {t} (x)}$ پیوسته از ${\ displaystyle X \ times [0،1]}$ به $Y$ به دو نسخه با تنظیم همزمان می شوند ${\ displaystyle h_ {t} (x) = H (x، t)}$ به نیاز به هر نقشه کافی نیست $h_t (x)$ پیوسته بودن [2]

انیمیشن است که در سمت راست لوپ یک مثال از یک هموتوپی بین دو فراهم می کند درونه گیریها ، F و G ، از چنبره به R 3 . X است چنبره، Y است R 3 ، F برخی تابع پیوسته از چنبره است R 3 که طول می کشد چنبره به سطح از یک شیرینی بی شیرینی به شکل تعبیه شده است که با شروع می شود انیمیشن؛ g برخی از عملکردهای پیوسته است که توروس را به شکل سطح لیوان قهوه-قهوه تعبیه می کند. انیمیشن تصویر h t ( x ) را به عنوان تابعی از پارامتر نشان می دهدt ، جایی که t با گذشت زمان از 0 تا 1 در هر چرخه حلقه متحرک تغییر می کند. مکث می کند ، سپس تصویر را نشان می دهد که t از 1 تا 0 تغییر می کند ، مکث می کند و این چرخه را تکرار می کند.

خواص [ ویرایش ]

گفته می شود که توابع پیوسته f و g هموتوپی هستند اگر و فقط اگر هموتوپی H وجود داشته باشد که f را به g نشان می دهد. همجنس بودن رابطه ای برابر با مجموعه ای از همه توابع پیوسته از X تا Y است . این رابطه هموتوپی با ترکیب عملکرد به این معنا سازگار است : اگر f 1 ، g 1 : X → Y هموتوپیک باشد و f 2 ، g 2 : Y → Zهموتوپیک هستند ، سپس ترکیبات آنها f 2 ∘ f 1 و g 2 ∘ g 1 : X → Z نیز هموتوپیک هستند.

مثالها [ ویرایش ]

اگر ${\ displaystyle f، g: \ mathbb {R} \ به \ mathbb {R} ^{2}}$ داده می شوند توسط ${\ displaystyle f (x): = (x ، x^{3})}$ و ${\ displaystyle g (x) = (x، e^{x})}$ ، سپس نقشه ${\ displaystyle H: \ mathbb {R} \ times [0،1] \ به \ mathbb {R} ^{2}}$ داده شده توسط ${\ displaystyle H (x، t) = (x، (1-t) x^{3}+te^{x})}$ یک homotopy بین آنها است.
به طور کلی تر ، اگر ${\ displaystyle C \ subseteq \ mathbb {R} ^{n}}$ یک محدب زیر مجموعه ای از فضای اقلیدسی و ${\ displaystyle f، g: [0،1] \ به C}$ هستند مسیر با نقاط پایانی همان، و سپس یک وجود دارد هموتوپی خطی [3] (یا خط مستقیم هموتوپی ) داده شده توسط

${\ displaystyle {\ شروع {تراز} H: [0،1] و \ بار [0،1] \ longrightarrow C \\ (s، t) \ longmapsto (1 & -t) f (s)+tg (s) . \ پایان {تراز}}}$

اجازه دهید ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {B^{n}}: B^{n} \ به B^{n}}$ شود تابع هویت در واحد N - دیسک ، یعنی مجموعه ${\ displaystyle B ^{n}: = \ {x \ in \ mathbb {R} ^{n}: \ | x \ | \ leq 1 \}}$ به اجازه دهید ${\ displaystyle c _ {\ vec {0}}: B^{n} \ به B^{n}}$ شود تابع ثابت ${\ displaystyle c _ {\ vec {0}} (x): = {\ vec {0}}}$ که هر نقطه ای را به مبدأ ارسال می کند . سپس موارد زیر یک هموتوپی بین آنها است:

${\ displaystyle {\ شروع {تراز} H: B^{n} & \ times [0،1] \ longrightarrow B^{n} \\ (x، t) & \ longmapsto (1-t) x. \ پایان {هم راستا}}}$

معادل سازی هموتوپی [ ویرایش ]

با توجه به دو فضای توپولوژیکی X و Y ، هم ارز همنوع بین X و Y یک جفت نقشه پیوسته f : X → Y و g : Y → X است ، به گونه ای که g ∘ f با نقشه هویت id x و f ∘ g همسان است . یکسان با شناسه Y است . اگر چنین جفتی وجود داشته باشد ، گفته می شود که X و Y معادل هموتوپی یا از یک نوع هموتوپی هستندبه از نظر بصری ، دو فاصله X و Y معادل هموتوپی هستند اگر بتوان آنها را با خم شدن ، کوچک شدن و گسترش عملیات به یکدیگر تبدیل کرد. فضاهایی را که هموتوپیک معادل یک نقطه هستند ، منقبض می نامند .

هم ارزی هموتوپی در مقابل هومومورفیسم [ ویرایش ]

همسانریختی یک مورد خاص از یک هم ارزی هموتوپی، است که در آن گرم ∘ F برابر به نقشه هویت شناسه X (نه تنها homotopic به آن)، و ج ∘ گرم به شناسه برابر است Y . [4] : 0:53:00 بنابراین ، اگر X و Y هومومورف باشند ، معادل هموتوپی هستند ، اما عکس آن صادق نیست. چند نمونه:

یک دیسک جامد معادل یک نقطه واحد است ، زیرا می توانید دیسک را در امتداد خطوط شعاعی به طور مداوم به یک نقطه تغییر شکل دهید. با این حال ، آنها هومومورف نیستند ، زیرا بین آنها هیچ گونه اعتراضی وجود ندارد (از آنجا که یکی مجموعه ای نامتناهی است ، در حالی که دیگری محدود است).
نوار موبیوس و (بسته) نوار untwisted هموتوپی هم معادل هستند، شما می توانید از هر دو نوار به طور مداوم به یک دایره تغییر شکل. اما آنها هومومورف نیستند.

مثالها [ ویرایش ]

اولین مثال از هم ارزی هموتوپی است $\ mathbb {R} ^{n}$ با یک نقطه ، مشخص شده است ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ simeq \ {0 \}}$ به قسمتی که باید بررسی شود وجود هموتوپی است ${\ displaystyle H: I \ times \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$ بین ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {\ mathbb {R} ^{n}}}$ و $p_ {0}$ ، فرافکنی از $\ mathbb {R} ^{n}$ بر مبدا این را می توان چنین توصیف کرد ${\ displaystyle H (t، \ cdot) = t \ cdot p_ {0}+(1-t) \ cdot \ operatorname {id} _ {\ mathbb {R} ^{n}}}$ به
بین آنها هم ارزایی هموتوپی وجود دارد $S^{1}$ ( 1-کره ) و ${\ mathbb {R}}^{2}-\ {0 \}$ به
به طور کلی، ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}-\ {0 \} \ simeq S ^{n-1}}$ به
هر بسته نرم افزاری فیبر $\ pi: E \ به B$ با الیاف $F_ {b}$ هموتوپی معادل یک نقطه دارای فضاهای کل و پایه معادل هموتوپی است. این دو مثال قبلی را از آن زمان تعمیم می دهد ${\ displaystyle \ pi: \ mathbb {R} ^{n}-\ {0 \} \ به S ^{n-1}}$ یک بسته فیبر با فیبر است ${\ mathbb {R}} _ {{> 0}}$ به
هر بسته نرم افزاری بردار یک بسته نرم افزاری فیبر است که دارای هموتوپی فیبر معادل یک نقطه است.
برای هرچی $0 \ leq k <n$ ، ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}-\ mathbb {R} ^{k} \ simeq S ^{nk-1}}$ با نوشتن $\ mathbb {R} ^{n}$ مانند ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{k} \ times \ mathbb {R} ^{nk}}$ و استفاده از معادلات هموتوپی بالا.
اگر یک مجتمع فرعی باشد $آ$ از مجتمع CW $ایکس$ منقبض است ، سپس فضای ضریب $X/A$ هموتوپی معادل است $ایکس$ به [5]
جمع تغییر شکل ارزی هموتوپی است.

Null-homotopy [ ویرایش ]

گفته می شود که یک تابع f خالی-هموتوپیک است اگر با عملکرد ثابت هموتوپیک باشد. ( بعضاً هموتوپی از f به یک تابع ثابت را null-homotopy می نامند .) به عنوان مثال ، نقشه f از دایره واحد S 1 به هر فضای X دقیقاً زمانی که بتوان آن را به صورت نقشه از دیسک واحد D 2 به X که با موافق F در مرز.

از این تعاریف برمی آید که یک فضای X در صورتی منقبض است که و تنها در صورتی که نقشه هویت از X به خود-که همیشه معادل هموتوپی است-خالی-هموتوپیک باشد.

عدم تغییر [ ویرایش ]

هم ارزي هموتوپي مهم است زيرا در توپولوژي جبري بسياري از مفاهيم هموتوپي ثابت هستند ، يعني به رابطه هم ارزي هموتوپي احترام مي گذارند. به عنوان مثال ، اگر X و Y فضاهای معادل هموتوپی باشند ، پس:

X است مسیر متصل اگر و تنها اگر Y است.
X به سادگی متصل می شود اگر و فقط اگر Y باشد.
(به مفرد) همسانی و های cohomology گروه از X و Y هستند ریخت .
اگر X و Y متصل به مسیر باشند ، گروههای اصلی X و Y ایزومورف هستند و گروههای هموتوپی بالاتر نیز همینطور . (بدون فرض اتصال مسیر ، π 1 ( X ، x 0 ) ایزومورف به π 1 ( Y ، f ( x 0 )) است که f : X → Y معادل هموتوپی و x 0 ∈ X است .)

یک مثال از تغییر ناپذیری جبری فضاهای توپولوژیکی که هموتوپی نیست ، از فشرده سازی همولوژی پشتیبانی می کند (که به طور خلاصه ، همولوژی فشردگی است و فشردگی هموتوپی ثابت نیست).

انواع [ ویرایش ]

هموتوپی نسبی [ ویرایش ]

برای تعریف گروه بنیادی ، فرد به مفهوم هموتوپی نسبت به یک زیرفضا نیاز دارد . اینها هموتوپی هایی هستند که عناصر زیرفضا را ثابت نگه می دارند. به طور رسمی: اگر F و G نقشه های مداوم از هستند X به Y و K است زیر مجموعه از X ، پس ما می گویند که F و G نسبی homotopic به K اگر وجود داشته باشد هموتوپی وجود دارد H : X × [0، 1] → Y بین f و g به گونه ای که H (k ، t ) = f ( k ) = g ( k ) برای همه k ∈ K و t ∈ [0 ، 1]. همچنین، اگر گرم است جمع از X به K و F روی نقشه هویت است، این است که به عنوان قوی شناخته شده جمع تغییر شکل از X به K . وقتی K یک نقطه است ، از اصطلاح هموتوپی نوک تیز استفاده می شود.

ایزوتوپی [ ویرایش ]

unknot است معادل نیست گره سه پره از آنجا که یکی را نمی توان به دیگری از طریق یک مسیر پیوسته از homeomorphisms از فضای محیط تغییر شکل. بنابراین آنها ایزوتوپی محیط نیستند.

در مورد دو تابع به طور مستمر پرداخت F و G از فضا توپولوژیکی X به فضای توپولوژیک Y هستند درونه گیریها ، می توان پرسید که آیا می توان آنها را از طریق درونه گیریها، متصل می شود. این امر مفهوم ایزوتوپی را ایجاد می کند ، که یک هموتوپی است ، H ، در نماد مورد استفاده قبلی ، به طوری که برای هر t ثابت ، H ( x ، t ) جاسازی می کند. [6]

مفهوم مرتبط اما متفاوت مفهوم ایزوتوپی محیط است .

نیاز به ایزوتوپی بودن دو جاسازی نیاز قوی تری نسبت به هموتوپی بودن آنها است. به عنوان مثال، نقشه از بازه -1، 1] به اعداد حقیقی تعریف شده توسط F ( X ) = - X است نه ایزوتوپی به هویت گرم ( X ) = X . هرگونه همنوازی از f تا هویت باید نقاط پایانی را مبادله کند ، این بدان معناست که آنها باید از یکدیگر "عبور" کنند. علاوه بر این ، f جهت فاصله را تغییر داده است و g تغییر نکرده است ، که تحت یک ایزوتوپی غیرممکن است. با این حال ، نقشه ها هموتوپی هستند. یک هموتوپی از f تا هویت استH : [−1 ، 1] × [0 ، 1] → [−1 ، 1] توسط H ( x ، y ) = 2 yx - x داده شده است .

با استفاده از ترفند اسکندر ، دو هومومورفیسم (که موارد خاصی از جاسازی هستند) از توپ واحد که بر روی مرز توافق دارند ، ایزوتوپی نشان داده می شود . به همین دلیل ، نقشه دیسک واحد در R 2 با f ( x ، y ) = ( -x ، -y ) ایزوتوپی برای چرخش 180 درجه در اطراف مبدا است ، بنابراین نقشه هویت و f ایزوتوپی هستند زیرا می توانند با چرخش به هم متصل شوند.

در توپولوژی هندسی - به عنوان مثال در نظریه گره - ایده ایزوتوپی برای ایجاد روابط هم ارزی استفاده می شود. به عنوان مثال ، چه زمانی باید دو گره را یکسان در نظر گرفت؟ ما دو گره، K 1 و K 2 ، در سه بعدی فضا. گره تعبیه یک فضای یک بعدی ، "حلقه رشته" (یا دایره) است ، در این فضا ، و این تعبیه باعث ایجاد یک هومومورفیسم بین دایره و تصویر آن در فضای جاسازی می شود. ایده شهودی پشت مفهوم معادل سازی گره این است که می توان از طریق یک مسیر جاسازی ، یک جاسازی را به دیگری تغییر شکل داد : یک عملکرد پیوسته که از t شروع می شود = 0 دادن K 1 تعبیه، پایان دادن به در تی = 1 دادن K 2 تعبیه، با تمام مقادیر متوسط مربوط به درونه گیریها. این با تعریف ایزوتوپی مطابقت دارد. Isotopy برای محیط ، مورد مطالعه در این زمینه، یک Isotopy برای از فضای بزرگ تر، در پرتو عمل خود را در submanifold تعبیه شده در نظر گرفته است. گره K 1 و K 2 هستند معادل در نظر گرفته زمانی که Isotopy برای محیط حرکت می کند که وجود دارد K 1 به K 2 . این تعریف مناسب در دسته توپولوژیکی است.

زبان مشابه برای مفهوم معادل در زمینه هایی استفاده می شود که در آنها مفهوم قوی تری از معادل سازی وجود دارد. به عنوان مثال ، مسیری بین دو جاسازی صاف ، ایزوتوپی صاف است .

هموتوپی شبیه به زمان [ ویرایش ]

در یک منیفولد لورنتزی ، منحنی های خاصی به صورت زمان دار مشخص می شوند (نشان دهنده چیزی است که فقط در جلو ، نه در عقب ، در هر زمان محلی پیش می رود). یک هموتوپی زمانی بین دو منحنی زمانی یک هموتوپی است به گونه ای که در طول تبدیل مداوم از یک منحنی به منحنی دیگر منحنی زمان دار باقی می ماند. هیچ منحنی بسته زمانی (CTC) در منیفولد Lorentzian به طور هم زمان تا اندازه ای یکسان نیست (یعنی هموتوپیک زمانی خالی). بنابراین گفته می شود که چنین منیفولد با منحنی های زمانی متصل می شود. منیفولدی مانند 3 کره را می توان به سادگی (با هر نوع منحنی) به هم متصل کرد ، و در عین حال می تواند باشدقسمت زمان اتصال ضرب . [7]

خواص [ ویرایش ]

ویژگی های بلند کردن و توسعه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ویژگی بلند کردن هموتوپی

اگر هموتوپی H : X × [0،1] → Y و یک جلد p : Y → Y داشته باشیم و نقشه ای به ما داده شود h 0 : X → Y به گونه ای که H 0 = p ○ h 0 ( h 0 نامیده می شود آسانسور از ساعت 0 )، سپس ما می توانیم تمام بلند H به یک نقشه H : X × [0، 1] → Y به طوری که ص ○ H = Hبه ویژگی لیفتینگ هموتوپی برای مشخص کردن لرزش ها استفاده می شود .

یکی دیگر از ویژگیهای مفید که شامل هموتوپی است ، ویژگی توسعه هموتوپی است که مشخص کننده گسترش یک هموتوپی بین دو تابع از زیرمجموعه برخی از مجموعه ها به خود مجموعه است. هنگام برخورد با فیبرها مفید است .

گروه ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه هموتوپی

از آنجا که رابطه دو تابع است ${\ displaystyle f، g \ colon X \ to Y}$ یکنواخت بودن نسبت به یک زیرفضا یک رابطه هم ارزی است ، ما می توانیم به کلاسهای هم ارزی نقشه ها بین X و Y ثابت نگاه کنیم . اگر درست کنیم ${\ displaystyle X = [0،1]^{n}}$ ، فاصله واحد [0 ، 1] n بار با خودش عبور می کند و ما مرز آن را می گیریم ${\ displaystyle \ partial ([0،1]^{n})}$ بعنوان یک زیرفضا ، سپس کلاسهای معادل یک گروه را تشکیل می دهند که مشخص شده است ${\ displaystyle \ pi _ {n} (Y ، y_ {0})}$ ، جایی که $y_ {0}$ در تصویر زیرفضا قرار دارد ${\ displaystyle \ partial ([0،1]^{n})}$ به

ما می توانیم عمل یک کلاس معادل سازی را در کلاس دیگر تعریف کنیم و بنابراین یک گروه بدست می آوریم. این گروه ها گروه های هموتوپی نامیده می شوند . در مورد $n = 1$ ، آن را گروه بنیادی نیز می نامند .

دسته هموتوپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: دسته هموتوپی

ایده هموتوپی را می توان به یک دسته رسمی از نظریه دسته تبدیل کرد . دسته هموتوپی دسته که اشیاء فضاهای توپولوژیک، و که morphisms کلاسهای همارزی homotopy از نقشه های مداوم هستند می باشد. دو فضای توپولوژیکی X و Y در این دسته اگر و تنها در صورتی که معادل هموتوپی باشند ، ایزومورف هستند. سپس یک عامل در طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی هموتوپی ثابت است اگر بتوان آن را به عنوان یک عامل در طبقه هموتوپی بیان کرد.

به عنوان مثال ، گروه های همولوگ یک هموتوپی فانکشنال هستند : این بدان معناست که اگر f و g از X تا Y هموتوپیک باشند ، همومورفیسم های گروهی که توسط f و g در سطح گروه های همولوژی ایجاد می شوند یکسان هستند: H n ( f ) = H n ( g ): H n ( X ) → H n ( Y ) برای همه n . به همین ترتیب ، اگر X و Y علاوه بر این مسیر متصل باشند، و هموتوپی بین f و g مشخص است ، سپس همومورفیسم های گروهی که توسط f و g در سطح گروه های هموتوپی ایجاد می شوند نیز یکسان هستند: π n ( f ) = π n ( g ): π n ( X ) → π n ( Y )

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

بر اساس مفهوم هموتوپی ، روشهای محاسبه برای معادلات جبری و دیفرانسیل توسعه داده شده است. روشهای معادلات جبری شامل روش ادامه هموتوپی [8] و روش تداوم (به ادامه عددی مراجعه کنید ) است. روشهای معادلات دیفرانسیل شامل روش تجزیه و تحلیل هموتوپی است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

هم ارزی فیبر-هموتوپی (نسخه نسبی معادل هموتوپی)
هومیوتوپی
نظریه نوع هموتوپی
گروه کلاس نقشه برداری
حدس پوانکره
هموتوپی منظم

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy

ادامه تنوع محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 2:7

اقدامات تنوع محدود [ ویرایش ]

امضا (یا پیچیده ) اندازه گیری $\ مو$ در یک فضای قابل اندازه گیری $(X ، \ سیگما)$ گفته می شود که تنوع محدود است اگر تنوع کلی آن باشد $\ scriptstyle \ Vert \ mu \ Vert = | \ mu | (X)$ محدود است: برای اطلاعات بیشتر به هالموس (1950 ، ص 123) ، کولموگروف & فومین (1969 ، p. 346) یا ورودی " تنوع کلی " مراجعه کنید.

مثالها [ ویرایش ]

تابع F ( X ) = گناه (1 / X ) است نه تنوع محدود در بازه $[0،2/\ pi]$ به

همانطور که در مقدمه ذکر شد ، دو دسته بزرگ از مثالهای توابع BV توابع یکنواخت و توابع کاملاً پیوسته هستند. برای مثال منفی: تابع

$f (x) = {\ begin {case} 0 ، و {\ mbox {if}} x = 0 \\\ sin (1/x) ، و {\ mbox {if}} x \ neq 0 \ end {case }}$

است نه تنوع محدود در بازه $[0،2/\ pi]$

تابع F ( X ) = X گناه (1 / X ) است نه تنوع محدود در بازه $[0،2/\ pi]$ به

در حالی که دیدن آن سخت تر است ، عملکرد پیوسته

$f (x) = \ begin {case} 0 ، و \ mbox {if} x = 0 \\ x \ sin (1/x) ، و \ mbox {if} x \ neq 0 \ end {case}$

است نه تنوع محدود در بازه $[0،2/\ pi]$ یا

تابع f ( x ) = x 2 sin (1/ x ) دارای تغییرات محدودی در فاصله است $[0،2/\ pi]$ به

در عین حال ، عملکرد

$f (x) = {\ شروع {case} 0 ، و {\ mbox {if}} x = 0 \\ x^{2} \ sin (1/x) ، و {\ mbox {if}} x \ neq 0 \ end {case}}$

تغییرات محدودی در فاصله است $[0،2/\ pi]$ به با این حال ، هر سه عملکرد در هر بازه دارای تغییرات محدودی هستند $[الف ، ب]$ با $a> 0$ به

فضای سوبولوف $W^{{1،1}} (\ امگا)$ یک زیر مجموعه مناسب از $BV (\ امگا)$ به در واقع ، برای هر کدام $تو$ که در $W^{{1،1}} (\ امگا)$ امکان اندازه گیری وجود دارد $\ scriptstyle \ mu: = \ nabla u {\ mathcal L}$ (جایی که $\ scriptstyle {\ mathcal L}$ است اندازه گیری لبگ در $\ امگا$ ) به گونه ای که برابری

${\ displaystyle \ int u \ operatorname {div} \ phi =-\ int \ phi \، d \ mu =-\ int \ phi \، \ nabla u \ qquad \ forall \ phi \ in C_ {c}^{1 }}$

صادق است ، زیرا چیزی بیشتر از تعریف مشتق ضعیف نیست ، و بنابراین صادق است. به راحتی می توان نمونه ای از عملکرد BV را پیدا کرد که اینطور نیست $W^{{1،1}}$ : در بعد یک ، هر تابع مرحله ای با یک جهش بی اهمیت انجام می شود.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

ریاضیات [ ویرایش ]

توابع تغییرات محدود در ارتباط با مجموعه ناپیوستگی توابع و تفاوت عملکردهای واقعی مورد مطالعه قرار گرفته اند و نتایج زیر مشهور است. اگر $f$ یک تابع واقعی از تغییرات محدود در فاصله است $[الف ، ب]$ سپس

$f$ است به طور مداوم به جز در ترین در یک مجموعه شمارا ؛
$f$ در همه جا محدودیت های یک طرفه دارد (محدودیت هایی از سمت چپ در همه جا) $(a، b]$ ، و از سمت راست در همه جا $[الف ، ب]$ ؛
مشتق $f '(x)$ تقریباً در همه جا وجود دارد (یعنی به جز مجموعه ای از اندازه گیری صفر ).

برای واقعی توابع چند متغیر واقعی

تابع مشخصه از یک مجموعه کاسیوپوli است BV تابع: BV توابع در اساس نظریه مدرن محیطی قرار دارند.
حداقل سطوح هستند نمودار از BV توابع: در این زمینه، و مرجع ( در گییوستی 1984 ).

فیزیک و مهندسی [ ویرایش ]

توانایی توابع BV برای مقابله با ناپیوستگی ها استفاده از آنها را در علوم کاربردی گسترده کرده است: راه حل مسائل مکانیک ، فیزیک ، سینتیک شیمیایی اغلب با توابع تغییرات محدود قابل نمایش است. این کتاب ( هدجییو & ولپرت 1985 ) مجموعه بسیار گسترده ای از کاربردهای فیزیک ریاضی در مورد توابع BV را توضیح می دهد. همچنین برخی از برنامه های مدرن وجود دارد که شایسته توضیح مختصری است.

عملکرد مامفورد-شاه : مشکل تقسیم بندی برای یک تصویر دو بعدی ، یعنی مشکل بازتولید صادقانه خطوط و مقیاس های خاکستری معادل به حداقل رساندن چنین عملکردی است .
کل تنش زدایی از تنوع

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_variation

ادامه تنوع محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 2:6

کلیات و برنامه های افزودنی [ ویرایش ]

توابع وزنی BV [ ویرایش ]

می توان مفهوم فوق از تنوع کلی را به گونه ای کلی تعمیم داد که تغییرات مختلف وزن متفاوتی داشته باشند. دقیق تر ، اجازه دهید $\ scriptstyle \ varphi: [0،+\ infty] \ longrightarrow [0،+\ infty)$ هرگونه عملکرد افزایشی باشد به گونه ای که $\ scriptstyle \ varphi (0) = \ varphi (0+) = \ lim _ {{x \ rightarrow 0 _ {+}}} \ varphi (x) = 0$ ( عملکرد وزن ) و اجازه دهید $\ scriptstyle f: [0، T] \ longrightarrow X$ یک تابع از فاصله باشد $[0 ، T]$ ⊂ℝ در نظر گرفتن مقادیر در یک فضای بردار نرمال $ایکس$ به سپس $\ scriptstyle {\ boldsymbol \ varphi}$ -تغییر از $f$ بر فراز $[0 ، T]$ به عنوان ... تعریف شده است

${\ displaystyle \ mathop {\ varphi {\ text {-}} \ operatorname {Var}} _ {[0، T]} (f): = \ sup \ sum _ {j = 0}^{k} \ varphi \ چپ (| f (t_ {j+1})-f (t_ {j}) | _ {X} \ راست) ،}$

جایی که طبق معمول ، سوپریموم در تمام پارتیشن های محدود بازه گرفته می شود $[0 ، T]$ ، یعنی تمام مجموعه های محدود از اعداد حقیقی $t_ {i}$ به طوری که

${\ displaystyle 0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {k} = T.}$

مفهوم اصلی تنوع در بالا مورد خاص مورد خاص است $\ scriptstyle \ varphi$ -تغییری که تابع وزن برای آن تابع هویت است : بنابراین یک تابع انتگرالی است $f$ گفته می شود که یک تابع وزنی BV (وزن است $\ scriptstyle \ varphi$ ) اگر و فقط اگر آن است $\ scriptstyle \ varphi$ -تغییر محدود است

${\ displaystyle f \ in BV _ {\ varphi} ([0، T]؛ X) \ iff \ mathop {\ varphi {\ text {-}} \ operatorname {Var}} _ {[0، T]} (f ) <+\ infty}$

فضا $\ scriptstyle BV _ {\ varphi} ([0، T]؛ X)$ یک فضای بردار توپولوژیکی با توجه به هنجار است

${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV _ {\ varphi}}: = \ | f \ | _ {\ infty}+\ mathop {\ varphi {\ text {-}} \ operatorname {Var}} _ {[ 0 ، T]} (f) ،}$

جایی که $\ scriptstyle \ | f \ | _ {{\ infty}}$ هنجار معمول برتر را نشان می دهد $f$ به توابع وزنی BV توسط Władysław Orlicz و Julian Musielak در مقاله Musielak & Orlicz 1959 معرفی و مورد مطالعه قرار گرفت : Laurence Chisholm Young قبلاً مورد مطالعه قرار گرفت $\ scriptstyle \ varphi (x) = x^{p}$ جایی که $پ$ یک عدد صحیح مثبت است

**توابع SBV [ ویرایش ]**

توابع SBV به عنوان مثال توابع خاص از محدود تنوع های معرفی شدند لوئیجی آمبروسیو و انیو د جورجیو در مقاله ( آمبروسیو و د Giorgi 1988 )، برخورد با ناپیوستگی رایگان مشکلات variational : با توجه به زیر مجموعه باز $\ امگا$ از $\ mathbb {R} ^{n}$ ، فضا $SBV (\ امگا)$ یک زیرفضا خطی مناسب از است $BV (\ امگا)$ ، زیرا گرادیان ضعیف هر تابع متعلق به آن دقیقاً از مجموع یک تشکیل شده است $n$ - پشتیبانی ابعادی و $n-1$ - بعدی پشتیبانی اندازه گیری و هیچ شرایط متوسط بعدی ، همانطور که در تعریف زیر دیده می شود.

تعریف . با توجه به یک تابع ادغام پذیر محلی $تو$ ، سپس $\ scriptstyle u \ in {S \! BV} (\ Omega)$ اگر و تنها اگر

1. دو تابع برل وجود دارد $f$ و $گرم$ از دامنه $\ امگا$ و کدومن $\ mathbb {R} ^{n}$ به طوری که

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ vert f \ vert \، dH^{n}+\ int _ {\ Omega} \ vert g \ vert \، dH^{n-1} <+\ infty.}$

2. برای همه توابع بردار متغیر پیوسته $\ scriptstyle \ phi$ از پشتیبانی جمع و جور موجود در $\ امگا$ ، یعنی برای همه $\ scriptstyle \ phi \ in C_ {c}^{1} (\ امگا، {\ mathbb {R}}^{n})$ فرمول زیر درست است:

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} u \ operatorname {div} \ phi \، dH^{n} = \ int _ {\ Omega} \ langle \ phi، f \ rangle \، dH^{n}+\ int _ {\ Omega} \ langle \ phi، g \ rangle \، dH^{n-1}.}$

جایی که $H^{\ alpha}$ هست $\ آلفا$ - بعدی اندازه گیری هاسدورف .

جزئیات مربوط به خواص توابع SBV را می توان در آثاری که در بخش کتابشناسی ذکر شده است ، یافت: به ویژه مقاله ( دی گیورگی 1992 ) حاوی یک کتابشناسی مفید است .

دنباله های bv [ ویرایش ]

دانفورد و شوارتز (1958 ، فصل چهارم) به عنوان نمونه های خاصی از فضاهای باناخ ، فضاهای دنباله های تغییرات محدود را علاوه بر فضاهای توابع تغییرات محدود ، در نظر می گیرند. تنوع کل یک دنباله x = ( x i ) از اعداد واقعی یا مختلط با این تعریف می شود

$تلویزیون (x) = \ sum _ {{i = 1}}^{\ infty} | x _ {{i+1}}-x_ {i} |.$

فضای همه دنباله های تنوع کلی محدود با bv نشان داده می شود . هنجار در bv توسط نشان داده شده است

${\ displaystyle \ | x \ | _ {bv} = | x_ {1} |+\ نام اپراتور {TV} (x) = | x_ {1} |+\ sum _ {i = 1}^{\ infty} | x_ {i+1} -x_ {i} |.}}$

با این هنجار ، فضای bv یک فضای باناخ است که نسبت به آن یکسان است $\ ell _ {1}$ به

تنوع کلی به خودی خود یک هنجار در زیرفضای خاصی از bv تعریف می کند که با bv 0 مشخص می شود و شامل توالی x = ( x i ) است که

$\ lim _ {{n \ to \ infty}} x_ {n} = 0.$

هنجار در bv 0 نشان داده شده است

$\ | x \ | _ {{bv_ {0}}} = TV (x) = \ sum _ {{i = 1}}^{\ infty} | x _ {{i+1}}-x_ {i} | به$

با توجه به این هنجار bv 0 نیز به فضای باناخ تبدیل می شود ، که ایزومورفیک و ایزومتریک است $\ ell _ {1}$ (اگرچه به روش طبیعی نیست).

ادامه تنوع محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 1:52

توابع محلی BV [ ویرایش ]

اگر فضای تابع از توابع به صورت محلی انتگرال ، یعنی توابع متعلق به ${\ displaystyle \ scriptstyle L _ {\ text {loc}}^{1} (\ امگا)}$ ، در تعاریف قبلی 1.2 ، 2.1 و 2.2 به جای یکی از توابع قابل ادغام جهانی در نظر گرفته شده است ، پس فضای تابع تعریف شده از توابع تغییرات محلی است . به طور دقیق ، با توسعه این ایده برای تعریف 2.2 ، یک تنوع محلی به شرح زیر تعریف می شود ،

${\ displaystyle V (u، U): = \ sup \ left \ {\ int _ {\ Omega} u (x) \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \، \ mathrm {d } x: {\ boldsymbol {\ phi}} \ در C_ {c} ^{1} (U، \ mathbb {R} ^{n}) ، \ \ Vert {\ boldsymbol {\ phi}} \ Vert _ { L^{\ infty} (\ Omega)} \ leq 1 \ right \}}$

برای هر مجموعه $\ scriptstyle U \ in {\ mathcal {O}} _ {c} (\ امگا)$ ، با تعریف $\ scriptstyle {\ mathcal {O}} _ {c} (\ امگا)$ به عنوان مجموعه ای از همه زیر مجموعه های باز از قبل فشرده از $\ امگا$ با توجه به استاندارد توپولوژی از محدود بعدی فضاهای برداری ، و نسبت به کلاس از توابع تنوع به صورت محلی محدود است تعریف می شود

${\ displaystyle BV _ {\ text {loc}} (\ Omega) = \ {u \ in L _ {\ text {loc}}^{1} (\ Omega) \ the colon V (u، U) <+\ infty \ ؛ \ forall U \ in {\ mathcal {O}} _ {c} (\ Omega) \}}$

نشانه گذاری [ ویرایش ]

اساساً دو قرارداد متمایز برای نشان دادن فضاهای توابع با تنوع محلی یا جهانی وجود دارد و متأسفانه کاملاً مشابه هستند: اولین مورد ، که در این نوشته تصویب شده است ، به عنوان مثال در منابع Giusti (1984) استفاده می شود. (تا حدی) ، Hudjaev & Vol'pert (1985) (تا حدی) ، Giaquinta ، Modica & Souček (1998) و یکی از موارد زیر است

$\ scriptstyle BV (\ امگا)$ فضای توابع تغییرات محدود جهانی را مشخص می کند
$\ scriptstyle BV _ {{loc}} (\ امگا)$ فضای توابع تغییرات محدود محلی را مشخص می کند

مورد دوم ، که در منابع Vol'pert (1967) و Mazya (1985) (تا حدی) به کار رفته است ، موارد زیر است:

$\ scriptstyle \ overline {BV} (\ امگا)$ فضای توابع تغییرات محدود جهانی را مشخص می کند
$\ scriptstyle BV (\ امگا)$ فضای توابع تغییرات محدود محلی را مشخص می کند

ویژگیهای اساسی [ ویرایش ]

در زیر فقط ویژگیهای مشترک برای توابع یک متغیر و توابع چند متغیر در نظر گرفته می شود و اثبات ها فقط برای توابع چند متغیر انجام می شود ، زیرا اثبات در مورد یک متغیر یک انطباق مستقیم از چندین متغیر است. case variables: همچنین ، در هر بخش مشخص می شود که آیا ویژگی نیز با توابع تغییرات محدود محلی تقسیم شده است یا خیر. منابع ( Giusti 1984 ، صص 7-9) ، ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) و ( Màlek et al. 1996 ) به طور گسترده استفاده می شوند.

توابع BV فقط ناپیوستگی های نوع پرش یا قابل جابجایی دارند [ ویرایش ]

در مورد یک متغیر ، ادعا روشن است: برای هر نقطه $x_ {0}$ در فاصله ${\ displaystyle [a، b] \ subset \ mathbb {R}}$ تعریف تابع $تو$ ، یکی از دو ادعای زیر درست است

$\ lim _ {{x \ rightarrow x _ {{0^{-}}}}}!! \! \! u (x) = \! \! \! \ lim _ {{x \ rightarrow x _ {{0^ {+}}}}} \! \! \! u (x)$

$\ lim _ {{x \ rightarrow x _ {{0^{-}}}}}!! \! \! u (x) \ neq \! \! \! \ lim _ {{x \ rightarrow x _ {{0 ^{+}}}}} \! \! \! u (x)$

در حالی که هر دو حد وجود دارد و محدود است. در مورد توابع چند متغیر ، مقدماتی برای درک وجود دارد: اول از همه ، پیوسته ای از جهت ها وجود دارد که در امتداد آنها می توان به یک نقطه معین نزدیک شد $x_ {0}$ متعلق به دامنه $\ mathbb {R} ^{n}$ به لازم است که یک مفهوم مناسب از حد دقیق را مشخص کرد : انتخاب واحد بردار $\ scriptstyle {{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}} \ در {\ mathbb {R}}^{n}$ امکان تقسیم وجود دارد $\ امگا$ در دو مجموعه

$\ Omega _ {{({{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}} = \ امگا \ cap \ {{\ boldsymbol {x}} \ در {\ mathbb {R}}^{n} | \ langle {\ boldsymbol {x}}-{\ boldsymbol {x}} _ {0} ، {{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}} } \ rangle> 0 \} \ qquad \ Omega _ {{(-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}} = \ امگا \ cap \ {{\ boldsymbol {x}} \ in {\ mathbb {R}}^{n} | \ langle {\ boldsymbol {x}}-{\ boldsymbol {x}} _ {0}،-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}} rangle> 0 \}$

سپس برای هر نقطه $x_ {0}$ متعلق به دامنه $\ scriptstyle \ Omega \ in {\ mathbb {R}}^{n}$ از عملکرد BV $تو$ ، تنها یکی از دو ادعای زیر درست است

$\ lim _ {{{overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{({{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x} }) = \! \! \! \! \! \! \! \ lim _ {{{\ overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{(-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x}})$

$\ lim _ {{{overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{({{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x} }) \ neq \! \! \! \! \! \! \! \ lim _ {{{\ \ overetet {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{ \ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{(-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \ ! \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x}})$

یا $x_ {0}$ متعلق به زیرمجموعه ای از $\ امگا$ داشتن صفر $n-1$ بعدی اندازه گیری هاسدورف . مقادیر

$\ lim _ {{{overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{({{{boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x} }) = u _ {{{\ boldsymbol {{\ hat a}}}}} ({\ boldsymbol {x}} _ {0}) \ qquad \ lim _ {{{\ overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ در \ امگا _ {{(-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x}}) = u _ {{-{\ boldsymbol {{\ کلاه a}}}}} ({\ boldsymbol {x}} _ {0})$

نامیده می شوند محدودیت تقریبی از BV تابع $تو$ در نقطه $x_ {0}$ به

V (·، Ω) در L 1 (Ω) نیمه پیوسته پایین تر است [ ویرایش ]

کاربردی $\ scriptstyle V (\ cdot، \ Omega): BV (\ Omega) \ rightarrow {\ mathbb {R}}^{+}$ است کمتر نیمه پیوسته : برای دیدن این، یک را انتخاب نمایید دنباله کوشی از BV توابع} $\ scriptstyle \ {u_ {n} \} _ {{n \ in {\ mathbb {N}}}}$ همگرا به $\ scriptstyle u \ in L _ {{\ text {loc}}}^{1} (\ امگا)$ به سپس ، از آنجا که همه توابع دنباله و تابع حد آنها قابل ادغام و با تعریف حد پایین هستند

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} V (u_ {n}، \ Omega) \ geq \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {\ Omega} u_ {n} (x) \ operatorname {div} \، {\ boldsymbol {\ phi}} \، \ mathrm {d} x \ geq \ int _ {\ Omega} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} u_ {n} (x) \ operatorname {div} \، {\ boldsymbol {\ phi}} \، \ mathrm {d} x = \ int _ {\ Omega} u (x) \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} \، \ mathrm {d} x \ qquad \ forall {\ boldsymbol {\ phi}} \ in C_ {c} ^{1} (\ Omega، \ mathbb {R} ^{n})، \ quad \ Vert {\ boldsymbol {\ phi}} \ Vert _ {L^{\ infty} (\ Omega)} \ leq 1}$

اکنون با توجه به سوپریمم در مجموعه ای از توابع $\ scriptstyle {\ boldsymbol {\ phi}} \ در C_ {c}^{1} (\ امگا ، {\ mathbb {R}}^{n})$ به طوری که $\ scriptstyle \ Vert {\ boldsymbol {\ phi}} \ Vert _ {{L^{\ infty} (\ Omega)}} \ leq 1$ سپس نابرابری زیر صادق است

$\ liminf _ {{n \ rightarrow \ infty}} V (u_ {n} ، \ Omega) \ geq V (u ، \ Omega)$

که دقیقاً تعریف نیمه پیوستگی پایین است .

تنوع محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 1:45

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در تجزیه و تحلیل ریاضی ، یک تابع از تغییرات محدود ، همچنین به عنوان تابع BV شناخته می شود ، یک تابع با ارزش واقعی است که تنوع کلی آن محدود (محدود) است: نمودار تابع دارای این ویژگی به معنای دقیق رفتار می کند. برای یک تابع پیوسته از یک متغیر بودن به معنای تنوع محدود که فاصله در امتداد جهت از Y محور ، غفلت از سهم حرکت در طول X محور ، سفر یک نقطهحرکت در امتداد نمودار مقدار محدودی دارد. برای یک تابع پیوسته از چندین متغیر ، معنای تعریف یکسان است ، با این تفاوت که مسیر پیوسته ای که باید در نظر گرفته شود نمی تواند کل نمودار تابع داده شده باشد (که در این مورد یک سطح فوقانی است) ، اما می تواند هر تقاطع از نمودار خود را با یک ابرصفحه (در مورد توابع دو متغیر، یک هواپیما ) موازی با ثابت X محور و به Y محور.

توابع تغییرات محدود دقیقاً همان کارکردهایی هستند که با توجه به آنها می توان انتگرال ریمان -استیلتس را از همه توابع پیوسته یافت.

ویژگی دیگر بیان می کند که توابع تغییرات محدود در یک فاصله فشرده دقیقاً همان f هستند که می توانند به عنوان تفاوت g - h نوشته شوند ، جایی که هم g و h یکنواخت محدود هستند . به طور خاص ، یک عملکرد BV ممکن است ناپیوستگی داشته باشد ، اما حداکثر تعداد زیادی از آنها.

در مورد چند متغیر، تابع F تعریف شده روی یک زیر مجموعه باز Ω از $\ mathbb {R} ^{n}$ گفته می شود که اگر مشتق توزیعی آن یک اندازه گیری رادون محدود با بردار باشد ، تغییرات محدودی دارد .

یکی از مهمترین جنبه های توابع تغییرات محدود این است که آنها جبری از توابع ناپیوسته را تشکیل می دهند که اولین مشتق آن تقریباً در همه جا وجود دارد : با توجه به این واقعیت ، آنها می توانند و مکرراً برای تعریف راه حل های کلی مسائل غیر خطی شامل عملکردها ، معمولی و معمولی مورد استفاده قرار می گیرند. معادلات دیفرانسیل جزئی در ریاضیات ، فیزیک و مهندسی .

ما زنجیره های زیر را برای توابع پیوسته در یک فاصله بسته و محدود خط واقعی داریم:

به طور مداوم مشتقپذیر ⊆ lipschits را مداوم ⊆ کاملا پیوسته ⊆ مستمر و تنوع محدود ⊆ مشتقپذیر تقریبا در همه جا

فهرست

لیست فضاهای باناخ

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 1:35

در زمینه ریاضی تجزیه و تحلیل عملکردی ، فضاهای باناخ از مهمترین اهداف مطالعه هستند. در سایر زمینه های تحلیل ریاضی ، بیشتر فضاهایی که در عمل بوجود می آیند نیز فضاهای باناچ هستند.

فهرست

فضاهای کلاسیک باناخ[ ویرایش ]

با توجه به (دایستل(1984 ، فصل هفتم، فضاهای کلاسیک باناخ فضاهایی هستند که توسط دانفورد و شوارتز (1958)عریف شده اند ، که منبع جدول زیر است.

$\ mathbb {F}$ نشان دهنده درست از اعداد حقیقی $\ mathbb {R}$ یا اعداد مختلط ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$
$ک$ یک فضای جمع و جور Hausdorff است .
${\ displaystyle p، q \ in \ mathbb {R}}$ اعداد واقعی هستند با ${\ displaystyle 1 <p، q <\ infty}$ که ترکیبات هولدر هستند ، به این معنی که آنها راضی می کند ${\ displaystyle {\ frac {1} {q}}+{\ frac {1} {p}} = 1}$ و بنابراین نیز ${\ displaystyle q = {\ frac {p} {p-1}}.}$
$\ سیگما$ هست یک $\ سیگما$ -جبر مجموعه ها
$\ شی$ جبری از مجموعه ها است (برای فضاهایی که فقط به افزودنی محدود نیاز دارند ، مانند فضای ba ).
$\ مو$ یک اندازه گیری با تنوع ${\ displaystyle | \ mu |.}$ معیار مثبت یک تابع مجموعه مثبت با ارزش واقعی است که بر روی a تعریف شده است $\ سیگما$ -جبر که به طور قابل شماری افزودنی است.

واژه نامه نمادها برای جدول زیر:

	فضای دوگانه	بازتابی	به طور پی در پی کامل	هنجار		یادداشت
فضاهای کلاسیک Banach
${\ mathbb {F}}^{n}$	${\ mathbb {F}}^{n}$	آره	آره	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {2}}$	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} \| x_ {i} \|^{2} \ right)^{1/2}}$	فضای اقلیدسی
${\ displaystyle \ ell _ {p}^{n}}$	${\ displaystyle \ ell _ {q}^{n}}$	آره	آره	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {p}}$	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1}^{n} \| x_ {i} \|^{p} \ right)^{\ frac {1} {p}}}$
${\ displaystyle \ ell _ {\ infty}^{n}}$	${\ displaystyle \ ell _ {1}^{n}}$	آره	آره	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {\ infty}}$	${\ displaystyle = \ max \ n محدودیت ها _ {1 \ leq i \ leq n} \| x_ {i} \|}$
$\ ell ^{p}$	$\ ell ^{q}$	آره	آره	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {p}}$	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1}^{\ infty} \| x_ {i} \|^{p} \ right)^{\ frac {1} {p}}}$
$\ ell ^{1}$	${\ displaystyle \ ell ^{\ infty}}$	خیر	آره	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {1}}$	${\ displaystyle = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ left \| x_ {i} \ right \|}$
${\ displaystyle \ ell ^{\ infty}}$	${\ displaystyle \ operatorname {ba}}$	خیر	خیر	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {\ infty}}$	${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {i} \ left \| x_ {i} \ right \|}$
${\ displaystyle \ operatornname {c}}$	$\ ell ^{1}$	خیر	خیر		${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {i} \ left \| x_ {i} \ right \|}$
$c_ {0}$	$\ ell ^{1}$	خیر	خیر	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {\ infty}}$	${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {i} \ left \| x_ {i} \ right \|}$	ایزومورف اما ایزومتریک نیست $ج$
${\ displaystyle \ operatorname {bv}}$	${\ displaystyle \ ell ^{\ infty}}$	خیر	آره	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {bv}}$	${\ displaystyle = \ left \| x_ {1} \ right \|+\ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ left \| x_ {i+1} -x_ {i} \ right \|}$	از نظر ایزومتری ایزومورفیک به ${\ displaystyle \ ell ^{1}.}$
${\ displaystyle \ operatorname {bv} _ {0}}$	${\ displaystyle \ ell ^{\ infty}}$	خیر	آره	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {bv_ {0}}}$	${\ displaystyle = \ sum _ {i = 1}^{\ infty} \ left \| x_ {i+1} -x_ {i} \ right \|}$	از نظر ایزومتری ایزومورفیک به ${\ displaystyle \ ell ^{1}.}$
${\ displaystyle \ operatorname {bs}}$	${\ displaystyle \ operatorname {ba}}$	خیر	خیر		${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {n} \ left \| \ sum _ {i = 1}^{n} x_ {i} \ right \|}$	از نظر ایزومتری ایزومورفیک به ${\ displaystyle \ ell ^{\ infty}.}$
${\ displaystyle \ operatorname {cs}}$	$\ ell ^{1}$	خیر	خیر	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {bs}}$	${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {n} \ left \| \ sum _ {i = 1}^{n} x_ {i} \ right \|}$	از نظر ایزومتری ایزومورفیک به $ج$
${\ displaystyle B (K، \ Xi)}$	${\ displaystyle \ operatorname {ba} (\ Xi)}$	خیر	خیر	${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {B}}$	${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {k \ in K} \| f (k) \|}$
$C (K)$	${\ displaystyle \ operatorname {rca} (K)}$	خیر	خیر	${\ displaystyle \ \| x \ \| _ {C (K)}}$	${\ displaystyle = \ max \ n محدودیت ها _ {k \ in K} \| f (k) \|}$
${\ displaystyle \ operatorname {ba} (\ Xi)}$	؟	خیر	آره	${\ displaystyle \ \| \ mu \ \| _ {ba}}$	${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {S \ in \ Sigma} \| \ mu \| (S)}$
${\ displaystyle \ operatorname {ca} (\ Sigma)}$	؟	خیر	آره	${\ displaystyle \ \| \ mu \ \| _ {ba}}$	${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {S \ in \ Sigma} \| \ mu \| (S)}$	یک زیرفضا بسته از ${\ displaystyle \ operatorname {ba} (\ Sigma).}$
${\ displaystyle \ operatorname {rca} (\ Sigma)}$	؟	خیر	آره	{ba}} ${\ displaystyle \ \| \ mu \ \| _ {ba}}$	${\ displaystyle = \ sup \ n محدودیت ها _ {S \ in \ Sigma} \| \ mu \| (S)}$	یک زیرفضا بسته از ${\ displaystyle \ operatorname {ca} (\ Sigma).}$
${\ displaystyle L^{p} (\ mu)}$	${\ displaystyle L^{q} (\ mu)}$	آره	آره	${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {p}}$	} ${\ displaystyle = \ left (\ int \| f \|^{p} \، d \ mu \ right)^{\ frac {1} {p}}}$
$L^1 (\ mu)$	${\ displaystyle L^{\ infty} (\ mu)}$	خیر	آره	${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {1}}$	${\ displaystyle = \ int \| f \| \، d \ mu}$	دوگانه است ${\ displaystyle L^{\ infty} (\ mu)}$ اگر $\ مو$ است $\ سیگما$ -finite .
${\ displaystyle \ operatornname {BV} ([a، b])}$	؟	خیر	آره	${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {BV}}$	${\ displaystyle = V_ {f} ([a، b])+\ lim \ n محدودیت ها _ {x \ به a^{+}} f (x)}$	${\ displaystyle V_ {f} ([a، b]).}$ است تنوع کل از $f$
${\ displaystyle \ operatorname {NBV} ([a، b])}$	؟	خیر	آره	{BV}} ${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {BV}}$	${\ displaystyle = V_ {f} ([a، b])}$	${\ displaystyle \ operatorname {NBV} ([a، b])}$ شامل ${\ displaystyle \ operatornname {BV} ([a، b])}$ عملکردهایی به گونه ای که } ${\ displaystyle \ lim \ n محدودیت ها _ {x \ to a^{+}} f (x) = 0}$
${\ displaystyle \ operatorname {AC} ([a، b])}$	${\ displaystyle \ mathbb {F} +L^{\ infty} ([a، b])}$	خیر	آره	${\ displaystyle \ \| f \ \| _ {BV}}$	${\ displaystyle = V_ {f} ([a، b])+\ lim \ n محدودیت ها _ {x \ به a^{+}} f (x)}$	ایزومورفیک به فضای سوبولف ${\ displaystyle W^{1،1} ([a، b]).}$
${\ displaystyle C^{n} ([a، b])}$	${\ displaystyle \ operatorname {rca} ([a، b])}$	خیر	خیر	${\ displaystyle \ \| f \ \|}$	${\ displaystyle = \ sum _ {i = 0}^{n} \ sup \ n محدودیت ها _ {x \ in [a، b]} \ left \| f^{(i)} (x) \ right \|}$	ایزومورفیک به ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ oplus C ([a، b])،}$ در اصل توسط قضیه تیلور .

فضاهای باناخ در سایر زمینه های تجزیه و تحلیل [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Banach_spaces

ادامه سرعت فرار

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم شهریور ۱۴۰۰ | 13:45

استخراج سرعت فرار با استفاده از حساب [ ویرایش ]

اجازه دهید G باشد ثابت گرانش و اجازه دهید M باشد جرم زمین (یا دیگر بدن گرانشی) و م شود جرم بدن فرار و یا پرتابه. در فاصله r از مرکز گرانش ، بدن نیروی جذابی را احساس می کند

$F = G \ frac {Mm} {r^2}.$

کار مورد نیاز برای حرکت بدن بیش از یک فاصله کوچک دکتر در برابر این نیرو بنابراین با توجه به

${\ displaystyle dW = F \، dr = G {\ frac {Mm} {r^{2}}} \، dr.}$

مجموع کار مورد نیاز برای حرکت بدن از سطح r 0 جسم گرانشی به بی نهایت [15]

${\ displaystyle W = \ int _ {r_ {0}}^{\ infty} G {\ frac {Mm} {r^{2}}} \، dr = G {\ frac {Mm} {r_ {0} }} = mgr_ {0}.}$

به منظور انجام این کار تا بی نهایت دسترس، حداقل انرژی جنبشی بدن در خروج باید این کار مطابقت، بنابراین فرار سرعت V 0 ارضا

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv_ {0}^{2} = G {\ frac {Mm} {r_ {0}}}،}$

که منجر به

$v_0 = \ sqrt \ frac {2GM} {r_0} = \ sqrt {2gr_0}.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

سیاهچاله - جسمی با سرعت فرار بیشتر از سرعت نور
انرژی مشخصه (C 3 )
بودجه دلتا-v- سرعت مورد نیاز برای انجام مانورها.
تیرکمان گرانشی گرانشی - تکنیکی برای تغییر مسیر
جاذبه خوب
فهرست اجسام مصنوعی در مدار هلیوسنتری
لیست اجسام مصنوعی که از منظومه شمسی خارج می شوند
گلوله توپ نیوتن
اثر Oberth - سوزاندن پیشرانه در عمق میدان گرانش تغییرات بیشتری در انرژی جنبشی ایجاد می کند
مشکل دو بدن

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Escape_velocity

ادامه سرعت فرار

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم شهریور ۱۴۰۰ | 13:44

از یک بدن در حال گردش [ ویرایش ]

سرعت فرار در ارتفاع معین برابر است ${\ sqrt {2}}$ برابر سرعت در یک مدار دایره ای در ارتفاع یکسان (این را با معادله سرعت در مدار دایره ای مقایسه کنید ). این با این واقعیت مطابقت دارد که انرژی بالقوه نسبت به بی نهایت یک جسم در چنین مداری منهای دو برابر انرژی جنبشی آن است ، در حالی که برای فرار از مجموع انرژی بالقوه و جنبشی باید حداقل صفر باشد. سرعت مربوط به مدار دایره ای را گاهی اوقات اولین سرعت کیهانی می نامند ، در حالی که در این زمینه از سرعت فرار به عنوان سرعت دوم کیهانی یاد می شود . [10]

برای یک جسم در یک مدار بیضی شکل که مایل به سرعت بخشیدن به یک مدار فرار به سرعت لازم متفاوت خواهد بود، و بیشتر خواهد بود در periapsis زمانی که بدن نزدیک به بدن مرکزی. با این حال ، سرعت مداری بدن نیز در این نقطه به بالاترین حد خود می رسد و تغییر سرعت مورد نیاز در کمترین حد خود خواهد بود ، همانطور که توسط اثر Oberth توضیح داده شده است .

سرعت فرار باریسنتریک [ ویرایش ]

از نظر فنی ، سرعت فرار را می توان نسبت به بدن دیگر ، بدن مرکزی یا نسبت به مرکز جرم یا مرکز بارسیستم اجسام اندازه گیری کرد. بنابراین برای سیستمهای دو جسمی ، اصطلاح سرعت فرار می تواند مبهم باشد ، اما معمولاً منظور آن سرعت فرار باریسنتریک جسم با جرم کمتر است. در زمینه های گرانشی ، سرعت فرار به سرعت فرار ذرات آزمایش با جرم صفر نسبت به مرکز بار توده های تولید کننده میدان اشاره دارد. در بیشتر موقعیت های مربوط به فضاپیما ، تفاوت ناچیز است. برای جرمی برابر موشک Saturn V ، سرعت فرار نسبت به سکوی پرتاب 253.5 صبح است/ثانیه (8 نانومتر در سال) سریعتر از سرعت فرار نسبت به مرکز متقابل جرم. [ نیازمند منبع ]

ارتفاع مسیرهای سرعت پایین [ ویرایش ]

نادیده گرفتن همه عوامل غیر از نیروی گرانشی بین بدن و جسم ، جسمی که با سرعت به صورت عمودی پرتاب می شود $v$ از سطح بدن کروی با سرعت فرار $v_ {e}$ و شعاع $R$ به حداکثر ارتفاع می رسد $ساعت$ برآورده کردن معادله [11]

${\ displaystyle v = v_ {e} {\ sqrt {\ frac {h} {R+h}}} \،}$

که حل آن برای h نتیجه می دهد

${\ displaystyle h = {\ frac {x^{2}} {1-x^{2}}} \ R \،}$

جایی که ${\ textstyle x = v/v_ {e}}$ نسبت سرعت اصلی است $v$ به سرعت فرار ${\ displaystyle v_ {e}.}$

بر خلاف سرعت فرار ، جهت (عمودی به سمت بالا) برای دستیابی به حداکثر ارتفاع مهم است.

مسیر حرکت [ ویرایش ]

اگر جسمی دقیقاً به سرعت فرار برسد ، اما مستقیماً از سیاره هدایت نشود ، آنگاه مسیر یا مسیر منحنی را دنبال می کند. اگرچه این مسیر شکل بسته ای ایجاد نمی کند ، اما می توان از آن به عنوان یک مدار نام برد. با فرض این که گرانش تنها نیروی مهم در سیستم است ، سرعت این جسم در هر نقطه از مسیر برابر سرعت فرار در آن نقطه به دلیل حفظ انرژی خواهد بود ، کل انرژی آن همیشه باید 0 باشد ، که این بدان معناست که همیشه دارای سرعت فرار است. مشتق بالا را ببینید شکل مسیر یک سهمی استتمرکز آنها در مرکز جرم کره زمین قرار دارد. فرار واقعی مستلزم یک دوره با مسیری است که با سیاره یا جو آن تلاقی نمی کند ، زیرا این باعث سقوط جسم می شود. هنگام دور شدن از منبع ، این مسیر را مدار فرار می نامند . مدارهای فرار با مدارهای C3 = 0 شناخته می شوند . C3 است انرژی مشخصه ، = - GM / 2 ، که در آن است نیمقطر بزرگ است که بی نهایت برای مدار سهموی.

اگر جسمی سرعتی بیشتر از سرعت فرار داشته باشد ، مسیر آن یک مسیر هذلولی ایجاد می کند و دارای سرعت بیش از حد هذلولی ، معادل انرژی اضافی بدن است. فوق العاده نسبتا کوچک دلتا V بالا که نیاز به سرعت بخشیدن به سرعت فرار می توانید در سرعت نسبتا بزرگ در بی نهایت است. برخی از مانورهای مداری از این واقعیت استفاده می کنند. به عنوان مثال ، در مکانی که سرعت فرار 11.2 کیلومتر بر ثانیه است ، افزودن 0.4 کیلومتر در ثانیه سرعت بیش از حد هذلولی 3.02 کیلومتر در ثانیه را به همراه دارد:

${\ displaystyle v _ {\ infty} = {\ sqrt {V^{2}-{v_ {e}}^{2}}} = {\ sqrt {(11.6 {\ متن {km/s}})^{ 2}-(11.2 {\ متن {km/s}})^{2}}} \ تقریباً 3.02 {\ متن {km/s}}.}$

اگر جسمی در مدار دایره ای (یا در پریاپس یک مدار بیضوی) در امتداد جهت حرکت خود برای فرار از سرعت شتاب دهد ، نقطه شتاب پری آپسیس مسیر فرار را تشکیل می دهد. جهت نهایی سفر 90 درجه نسبت به جهت نقطه شتاب خواهد بود. اگر بدن به بیش از سرعت فرار شتاب دهد ، مسیر نهایی حرکت در زاویه کوچکتری قرار می گیرد و با یکی از علامت های بی نظیری که در حال انجام است نشان می دهد. این بدان معناست که زمان شتاب بسیار مهم است اگر قصد فرار در جهت خاصی است.

اگر سرعت پری آپسیس v باشد ، مرکزیت خارج از مرکز را با موارد زیر می توان نام برد:

${\ displaystyle e = 2 (v/v_ {e})^{2} -1}$

این برای خطوط بیضوی ، سهمی و هذلولی معتبر است. اگر مسیر هذلولی یا سهمی باشد ، بدون علامت به یک زاویه نزدیک می شود $\ تتا$ از جهت در پری آپسیس ، با

${\ displaystyle \ sin \ theta = 1/e.}$

سرعت بدون علامت نزدیک می شود

${\ displaystyle {\ sqrt {v^{2} -v_ {e}^{2}}}.}$

فهرست سرعتهای فرار [ ویرایش ]

در این جدول ، نیمه چپ سرعت فرار از سطح مرئی (که ممکن است مانند مشتری مانند گاز باشد) را نسبت به مرکز سیاره یا ماه (یعنی نسبت به سطح متحرک آن) نشان می دهد. در نیمه راست ، V e به سرعت نسبت به بدن مرکزی (به عنوان مثال خورشید) اشاره می کند ، در حالی که V te سرعت (در سطح قابل مشاهده بدن کوچکتر) نسبت به بدن کوچکتر (سیاره یا ماه) است. )

محل	نسبت به	V e (کیلومتر بر ثانیه) [12]	محل	نسبت به	V e (کیلومتر بر ثانیه) [12]	سیستم فرار ، V te (کیلومتر/ثانیه)
روی خورشید	جاذبه خورشید	617.5
روی عطارد	جاذبه عطارد	4.25	در عطارد	جاذبه خورشید	67.7 پوند	20.3 پوند
روی زهره	گرانش زهره	10.36	در زهره	جاذبه خورشید	49.5	17.8
روی زمین	گرانش زمین	11.186	در زمین	جاذبه خورشید	42.1	16.6
روی ماه	جاذبه ماه	2.38	در ماه	جاذبه زمین	1.4	2.42
در مریخ	جاذبه مریخ	5.03	در مریخ	جاذبه خورشید	34.1	11.2
در سرس	گرانش سرس	0.51	در سرس	جاذبه خورشید	25.3	7.4
روی مشتری	گرانش مشتری	60.20	در مشتری	جاذبه خورشید	18.5	60.4
در Io	جاذبه ایو	2.558	در Io	گرانش مشتری	24.5	7.6
در اروپا	جاذبه اروپا	2.025	در اروپا	گرانش مشتری	19.4	6.0
در گانیمد	جاذبه گانیمد	2.741	در گانیمد	گرانش مشتری	15.4	5.3
در Callisto	جاذبه کالیستو	2.440	در کالیستو	گرانش مشتری	11.6	4.2
روی زحل	گرانش زحل	36.09	در زحل	جاذبه خورشید	13.6	36.3
روی تایتان	جاذبه تیتان	2.639	در تایتان	گرانش زحل	7.8	3.5
روی اورانوس	جاذبه اورانوس	21.38	در اورانوس	جاذبه خورشید	9.6	21.5
روی نپتون	گرانش نپتون	23.56	در نپتون	جاذبه خورشید	7.7	23.7
در مورد تریتون	جاذبه تریتون	1.455	در تریتون	گرانش نپتون	6.2	2.33
روی پلوتو	جاذبه پلوتو	1.23	در پلوتو	جاذبه خورشید	6.6 پوند	2.3 پوند
در شعاع کهکشانی منظومه شمسی	کهکشان راه شیری گرانش را	492–594 [13] [14]
در افق رویداد	گرانش یک سیاهچاله	299،792.458 ( سرعت نور )

دو ستون آخر دقیقاً بستگی به این دارد که در مدار سرعت گریز به کجا می رسد ، زیرا مدارها دقیقاً دایره ای نیستند (به ویژه تیر و پلوتون).

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Escape_velocity

ادامه سرعت فرار

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم شهریور ۱۴۰۰ | 13:43

نمای کلی [ ویرایش ]

Luna 1 که در سال 1959 به فضا پرتاب شد ، اولین جسم بشر بود که به سرعت فرار از زمین دست یافت (جدول زیر را ببینید). [5]

وجود سرعت فرار نتیجه حفاظت از انرژی و میدان انرژی با عمق محدود است. برای جسمی با انرژی کل معین ، که تحت نیروهای محافظه کار حرکت می کند (مانند میدان گرانش ساکن) ، این امکان وجود دارد که جسم به ترکیب مکانها و سرعتی برسد که دارای کل انرژی هستند. و مکانهایی که دارای انرژی بالقوه بالاتر از این هستند به هیچ وجه نمی توان به آنها دست یافت. با افزودن سرعت (انرژی جنبشی) به جسم ، مکانهای ممکن را که می توان به آنها رسید ، گسترش می دهد ، تا زمانی که با انرژی کافی ، بی نهایت شوند.

برای یک نیروی پتانسیل گرانشی معین در یک موقعیت معین ، سرعت فرار حداقل سرعتی است که یک جسم بدون پیشران برای "فرار" از گرانش نیاز دارد (یعنی به طوری که گرانش هرگز نتواند آن را به عقب بکشد). سرعت فرار در واقع یک سرعت (نه یک سرعت) است زیرا یک جهت را مشخص نمی کند: صرف نظر از جهت حرکت ، جسم می تواند از میدان گرانشی فرار کند (به شرطی که مسیر آن از سیاره قطع نکند).

یک روش زیبا برای به دست آوردن فرمول سرعت فرار ، استفاده از اصل حفظ انرژی است (برای راه دیگر ، بر اساس کار ، به زیر مراجعه کنید ). به منظور سادگی ، مگر اینکه خلاف آن بیان شود ، ما فرض می کنیم که یک جسم با دور شدن از آن از میدان گرانشی یک سیاره کروی یکنواخت فرار می کند و تنها نیروی قابل توجهی که بر جسم متحرک وارد می شود ، گرانش سیاره است. تصور کنید که یک سفینه فضایی با جرم m در ابتدا در فاصله r از مرکز جرم سیاره قرار دارد که جرم آن M است و سرعت اولیه آن برابر سرعت فرار آن است ، $v_ {e}$ به در حالت نهایی ، فاصله ای بی نهایت از سیاره خواهد داشت و سرعت آن نیز به طور غفلت ناپذیری اندک خواهد بود. انرژی جنبشی K و پتانسیل گرانشی انرژی U گرم تنها نوع انرژی است که ما با برخورد (ما را به کشیدن از جو چشم پوشی) هستند، بنابراین توسط حفاظت از انرژی،

${\ displaystyle (K+U_ {g}) _ {initial} = (K+U_ {g}) _ {final} \،}$

ما می توانیم K ƒinal = 0 را تنظیم کنیم زیرا سرعت نهایی به طور دلخواه کوچک است و U gƒinal = 0 زیرا فاصله نهایی بی نهایت است ، بنابراین

${\ displaystyle {\ شروع {تراز} \ Rightarrow {} & {\ frac {1} {2}} mv_ {e}^{2}+{\ frac {-GMm} {r}} = 0+0 \\ [3pt] \ Rightarrow {} & v_ {e} = {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ mu} {r}}} \ end {چین}}}$

که μ پارامتر گرانشی استاندارد است .

همان نتیجه با به دست آمده نسبیتی محاسبه، که در این صورت متغیر R نشان دهنده رادیال هماهنگ و یا کاهش دور از متریک شوارتزشیلد . [6] [7]

کمی فراتر از این ، "سرعت فرار" عبارت است از سرعت اولیه مورد نیاز برای رفتن از نقطه اولیه در میدان پتانسیل گرانشی به بی نهایت و خاتمه در بی نهایت با سرعت باقیمانده صفر ، بدون هیچ گونه شتاب اضافی. [8] همه سرعتها و سرعتها با توجه به میدان اندازه گیری می شود. علاوه بر این ، سرعت فرار در نقطه ای از فضا برابر با سرعتی است که یک جسم در صورت استراحت از فاصله نامحدود آغاز می کند و توسط گرانش به آن نقطه کشیده می شود.

در استفاده معمول ، نقطه اولیه در سطح یک سیاره یا ماه است . در سطح زمین ، سرعت فرار حدود 11.2 کیلومتر بر ثانیه است که تقریباً 33 برابر سرعت صوت (33 ماخ) و چندین برابر سرعت پوزه یک گلوله تفنگ (حداکثر 1.7 کیلومتر در ثانیه) است. با این حال ، در ارتفاع 9000 کیلومتری در "فضا" ، کمی کمتر از 7.1 کیلومتر در ثانیه است. توجه داشته باشید که این سرعت فرار نسبت به یک چارچوب مرجع غیرقابل چرخش است ، نه نسبت به سطح متحرک سیاره یا ماه (به پایین مراجعه کنید).

سرعت فرار مستقل از جرم جسم در حال فرار است. مهم نیست که جرم 1 کیلوگرم باشد یا 1000 کیلوگرم. مقدار انرژی مورد نیاز متفاوت است. برای یک جرم با جرم $متر$ انرژی مورد نیاز برای فرار میدان گرانشی زمین است GMM / R ، تابعی از جرم جسم (که در آن R شعاع زمین است، G است ثابت گرانش ، و M جرم است زمین ، M = 5.9736 × 10 24 کیلوگرم ) مقدار مرتبط انرژی مداری خاصی است که در اصل مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل تقسیم بر جرم است. وقتی یک جسم به سرعت فرار رسیده است که انرژی مداری خاص بیشتر یا مساوی صفر است.

سناریوها [ ویرایش ]

از سطح بدن [ ویرایش ]

یک عبارت جایگزین برای سرعت فرار $v_ {e}$ به ویژه در سطح بدن مفید است:

${\ displaystyle v_ {e} = {\ sqrt {2gr \،}}}$

که در آن R است فاصله بین مرکز بدن و نقطه که در آن سرعت فرار در حال محاسبه و گرم است شتاب گرانشی در این فاصله (به عنوان مثال، گرانش سطحی ). [9]

برای جسمی با توزیع کروی متقارن جرم ، سرعت فرار $v_ {e}$ از سطح متناسب با شعاع با فرض چگالی ثابت و متناسب با ریشه مربعی چگالی متوسط ρ است.

${\ displaystyle v_ {e} = Kr {\ sqrt {\ rho}}}$

جایی که ${\ displaystyle K = {\ sqrt {{\ frac {8} {3}} \ pi G}} \ تقریباً 2.364 \ بار 10^{-5} {\ متن {m}}^{1.5} {\ text { kg}}^{-0.5} {\ text {s}}^{-1}}$

توجه داشته باشید که این سرعت فرار نسبت به یک چارچوب مرجع غیرقابل چرخش است ، نه نسبت به سطح متحرک سیاره یا ماه ، همانطور که اکنون توضیح می دهیم.

از یک بدن چرخان [ ویرایش ]

سرعت فرار نسبت به سطح بدن در حال چرخش بستگی به مسیری دارد که بدن فرار در آن حرکت می کند. به عنوان مثال ، با توجه به اینکه سرعت چرخش زمین در خط استوا 465 متر بر ثانیه است ، موشکی که از خط استوای زمین به سمت شرق به صورت مماس پرتاب می شود ، برای فرار به سرعت اولیه حدود 10.735 کیلومتر بر ثانیه نسبت به سطح متحرک در نقطه پرتاب نیاز دارد. در حالی که موشکی که از خط استوا زمین به سمت غرب به طور مماسی پرتاب می شود ، به سرعت اولیه ای در حدود 11.665 کیلومتر بر ثانیه نسبت به آن سطح متحرک نیاز دارد . سرعت سطح با کسینوس عرض جغرافیایی کاهش می یابد ، بنابراین امکانات پرتاب فضا اغلب تا آنجا که امکان پذیر است نزدیک به خط استوا قرار دارند ، به عنوان مثالکیپ کاناورال (عرض جغرافیایی 28 درجه 28 درجه شمالی) و مرکز فضایی گویان فرانسه (عرض جغرافیایی 5 درجه 14 درجه شمالی).

ملاحظات کاربردی [ ویرایش ]

در بیشتر شرایط دستیابی به سرعت فرار تقریباً فوری ، به دلیل شتاب ضمنی و همچنین به این دلیل که در صورت وجود جو ، سرعت های مافوق صوت درگیر (در زمین سرعت 11.2 کیلومتر بر ثانیه یا 40.320 کیلومتر در ساعت) غیرممکن است. باعث می شود اکثر اجسام در اثر گرمایش آیرودینامیکی بسوزانند یا با کشش جوی پاره شوند . برای یک مدار واقعی فرار ، یک فضاپیما به طور پیوسته از جو خارج می شود تا به سرعت فرار متناسب با ارتفاع آن (که کمتر از سطح آن خواهد بود) برسد. در بسیاری از موارد ، فضاپیما ممکن است ابتدا در مدار پارکینگ (به عنوان مثال در مدار پایین زمین قرار گیرددر 160 تا 2000 کیلومتر) و سپس به سرعت فرار در آن ارتفاع شتاب می گیرد ، که کمی پایین تر خواهد بود (حدود 11.0 کیلومتر در ثانیه در مدار کم زمین 200 کیلومتری). با این حال ، تغییرات اضافی مورد نیاز در سرعت بسیار کمتر است زیرا فضاپیما دارای سرعت مداری قابل توجهی است (در مدار پایین زمین تقریباً 7.8 کیلومتر بر ثانیه یا 28.080 کیلومتر در ساعت)

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Escape_velocity

سرعت فرار

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم شهریور ۱۴۰۰ | 13:42

برای سایر کاربردها ، سرعت فرار (ابهام زدایی) را ببینید .

نباید با سرعت مداری اشتباه گرفته شود .

آسترودینامیک
بخشی از یک سری در حال پخش است

مکانیک مداری
نشان دادن عناصر مداری
نشان دادن انواع مدارهای دو جسمی ، بر اساس گریز از مرکز
نشان دادن معادلات
مکانیک آسمانی
نشان دادن تأثیرات گرانشی
نشان دادن مدارهای بدن N
مهندسی و کارایی
نشان دادن مهندسی قبل از پرواز
نشان دادن اقدامات کارآیی
v t ه

پرواز فضایی
بخشی از یک سری در حال پخش است

تاریخ
مسابقه فضایی جدول زمانی پروازهای فضایی کاوشگرهای فضایی ماموریت های ماه
برنامه های کاربردی
ماهواره های رصد زمین ماهواره های جاسوسی ماهواره های ارتباطی ماهواره نظامی ناوبری ماهواره ای تلسکوپ های فضایی اکتشافات فضایی توریسم فضایی استعمار فضایی
فضاپیما
فضاپیمای رباتیک ماهواره ای کاوشگر فضایی فضاپیمای باربری پرواز فضایی انسان کپسول فضایی ایستگاه فضایی هواپیمای فضایی
پرتاب فضایی
بندر فضایی سکوی پرتاب وسایل نقلیه پرهزینه و قابل استفاده مجدد سرعت فرار پرتاب فضایی غیر موشکی
انواع پروازهای فضایی
زیر مداری مداری بین سیاره ای در میان ستارگان بین کهکشانی
آژانس های فضایی
اطلاعات بیشتر: فهرست آژانس های فضایی دولتی
نیروهای فضایی
PLASSF AAE سپاه پاسداران انقلاب اسلامی VKS USSF
دستورات فضایی
COMAE NORAD CDE DSA COS SOS SC ناتو CONIDA KV اضافه کردن UKSC USSPACECOM
پرواز فضایی خصوصی
فضای Axiom ARCAspace آسترا بیگلو هوافضا منبع آبی Suborbitals کپنهاگ نورثروپ گرومن هوافضا پریگی آزمایشگاه موشک شرکت سیرا نوادا اسپیس ایکس ویرجین کهکشان هوافضا XCOR
پورتال پرواز فضایی
v t ه

در فیزیک (به ویژه مکانیک آسمانی ) ، سرعت فرار حداقل سرعت لازم برای فرار یک جسم آزاد و بدون نیروی پیشران از تأثیر گرانش یک جرم عظیم است ، بنابراین به فاصله نامحدودی از آن می رسد. سرعت فرار با جرم بدن (جسمی که باید از آن فرار کرد) افزایش می یابد و با فاصله جسم فرار از مرکز آن کاهش می یابد. بنابراین سرعت فرار بستگی به مسافتی دارد که جسم قبلاً طی کرده است و محاسبه آن در فاصله معین این واقعیت را در نظر می گیرد که بدون شتاب جدید در حین حرکت - به دلیل گرانش جرم عظیم - سرعت آن کاهش می یابد ، اما هرگز کاملاً چنین نخواهد شد. آهسته تا توقف

یک موشک ، که به طور مداوم با اگزوز خود شتاب می گیرد ، می تواند بدون رسیدن به سرعت گریز فرار کند ، زیرا همچنان به انرژی جنبشی موتورهای خود می افزاید. با توجه به پیشران کافی که می تواند شتاب جدیدی را برای موشک ایجاد کند تا بتواند با شتاب گرانش مقابله کند و در نتیجه سرعت آن را حفظ کند ، می تواند با هر سرعتی به فرار برسد.

سرعت فرار از سطح زمین حدود 11186 متر بر ثانیه (6.951 مایل بر ثانیه ؛ 40.270 کیلومتر در ساعت ؛ 36.700 فوت/ثانیه ؛ 25.020 مایل در ساعت ؛ 21.744 نانومتر) است. [1] به طور کلی، سرعت فرار سرعت که در آن مجموع از یک شی است انرژی جنبشی و آن انرژی پتانسیل گرانشی برابر با صفر است. [nb 1]جسمی که به سرعت فرار رسیده است نه در سطح و نه در مدار بسته (با هر شعاع) قرار دارد. با سرعت فرار در جهتی که از سطح یک جرم عظیم دور باشد ، جسم از بدن دور می شود و برای همیشه کند می شود و به سرعت صفر نزدیک می شود ، اما هرگز به آن نمی رسد. پس از دستیابی به سرعت فرار ، دیگر نیازی به تکان دادن دیگر نیست تا بتواند به فرار خود ادامه دهد. به عبارت دیگر، اگر با توجه به سرعت فرار، جسم خواهد شد دور از بدن دیگر حرکت می کند، به طور مداوم کاهش، و مجانبی نزدیک سرعت صفر به عنوان فاصله جسم نزدیک بی نهایت ، هرگز دوباره. [2]سرعتهای بالاتر از سرعت فرار سرعت مثبت را در فاصله نامحدود حفظ می کند. توجه داشته باشید که حداقل سرعت فرار فرض می کند که اصطکاکی وجود ندارد (به عنوان مثال ، کشش جوی) ، که باعث افزایش سرعت لحظه ای مورد نیاز برای فرار از تأثیر گرانشی می شود ، و هیچ شتاب یا شتاب خارجی در آینده وجود نخواهد داشت (به عنوان مثال از رانش یا از گرانش اجسام دیگر) ، که سرعت لحظه ای مورد نیاز را تغییر می دهد.

برای یک جسم عظیم متقارن کروی مانند یک ستاره یا یک سیاره ، سرعت فرار آن جسم ، در فاصله معین ، با فرمول محاسبه می شود [3]

$v_ {e} = {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}}$

جایی که G ثابت ثقل جهانی است ( G ≈ 6.67 × 10 − 11 m 3 · kg − 1 · s − 2 ) ، M جرم جسمی که باید از آن فرار کرد و r فاصله از مرکز جرم بدن به جسم [nb 2] این رابطه مستقل از جرم جسم در حال فرار از بدن عظیم است. برعکس ، جسمی که تحت نیروی جاذبه گرانشی جرم M قرار می گیرد ، از بی نهایت ، با سرعت صفر شروع می شود ، به جرم عظیم با سرعتی برابر سرعت فرار آن با فرمول یکسان برخورد می کند.

وقتی سرعت اولیه داده می شود $V$ بیشتر از سرعت فرار ${\ displaystyle v_ {e} ،}$ جسم بدون علامت به سرعت اضافی هذلولی نزدیک می شود ${\ displaystyle v _ {\ infty} ،}$ برآورده کردن معادله: [4]

${\ displaystyle {v _ {\ infty}}^{2} = V^{2}-{v_ {e}}^{2}.}$

در این معادلات اصطکاک جوی ( کشش هوا ) در نظر گرفته نمی شود.

فهرست

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Escape_velocity

ادامه واژه نامه توپولوژی جبری

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم شهریور ۱۴۰۰ | 1:53

K [ ویرایش ]

k -متغیر

مجتمع کان

مجموعه کان را ببینید .

Kervaire ثابت

ثابت Kervaire .

دوگانگی کوزول

دوگانگی Koszul .

فرمول Künneth

L [ ویرایش ]

انگشتر لازارد

حلقه لازارد L است (بزرگ) حلقه جابجایی همراه با گروه قانون رسمی ƒ است که در میان تمام قوانین گروه رسمی به این معنا که هر رسمی گروه قانون جهانی گرم بیش از یک حلقه جابجایی R از طریق یک حلقه همریخت به دست آمده L → R نقشه برداری ƒ به گرم . با توجه به قضیه Quillen ، این حلقه ضریب بوردیسم پیچیده MU است. تنظیمات از L است به نام فضای مدول قوانین گروه رسمی .

قضیه نقطه ثابت Lefschetz

Lefschetz به نقطه ثابت قضیه می گوید: با توجه به محدود های simplicial پیچیده K و تحقق هندسی آن X ، اگر یک نقشه $f: X \ به X$ نقطه ثابتی ندارد ، سپس عدد Lefschetz از f ؛ به این معنا که،

$\ sum _ {0}^{\ infty} (-1)^{q} \ operatorname {tr} (f _ {*}: \ operatorname {H} _ {q} (X) \ به \ operatorname {H} _ {q} (X))$

صفر است برای مثال ، از قضیه نقطه ثابت بروور از عدد Lefschetz دلالت دارد $f: D^{n} \ به D^{n}$ همانطور که همولوژی های بالاتر ناپدید می شوند ، یکی است.

فضای لنز

فضای لنز فضای خارج قسمت است $\ {z \ in \ mathbb {C} ^{n} || z | = 1 \}/\ mu _ {p}$ جایی که $\ mu _ {p}$ این گروه از ریشه های p -th وحدت است که بر روی واحد واحد عمل می کند $\ zeta \ cdot (z_ {1}، \ dots، z_ {n}) = (\ zeta z_ {1}، \ dots، \ zeta z_ {n})$ به

دنباله طیفی لری

ضریب محلی

1. یک ماژول روی حلقه گروه $\ mathbb {Z} [\ pi _ {1} B]$ برای برخی از فضای مبتنی بر B ؛ به عبارت دیگر ، یک گروه هابلی همراه با همومورفیسم $\ pi _ {1} B \ به \ operatorname {Aut} (A)$ به

2. سیستم ضریب محلی بر روی یک فضای پایه B با یک گروه abelian A یک بسته فیبر روی B با فیبر A گسسته است . اگر B یک پوشش جهانی را بپذیرد ${\ widetilde {B}}$ ، در این صورت این معنا با معنای 1 منطبق است: به این معنا که هر سیستم ضریب محلی بیش از B را می توان به عنوان بسته نرم افزاری ارائه کرد ${\ widetilde {B}} \ times _ {\ pi _ {1} B} الف$ به

حوزه محلی

محلی سازی یک کره در برخی از اعداد اول

بومی سازی

برش ثابت محلی

یک شف ثابت محلی در یک فضای X یک شف است به طوری که هر نقطه از X دارای یک محله باز است که برگه در آن ثابت است .

فضای حلقه

فضای حلقه $\ امگا ایکس$ یک فضای مبتنی بر X فضای همه حلقه هایی است که در نقطه پایه X شروع و پایان می یابد .

M [ ویرایش ]

قضیه مادسن -وایس

نقشه برداری

مخروط نگاشت نقشه ƒ: X → Y با چسباندن مخروط بر روی X به Y بدست می آید .

مخروط نقشه برداری (یا cofiber) از یک ƒ نقشه: X → Y است $C_ {f} = Y \ cup _ {f} CX$ به

2. استوانه نقشه برداری نقشه ƒ: X → Y است $M_ {f} = Y \ cup _ {f} (X \ بار I)$ به توجه داشته باشید: $C_ {f} = M_ {f}/(X \ بار \ {0 \})$ به

3. نسخه های کاهش یافته موارد فوق با استفاده از مخروط کاهش یافته و سیلندر کاهش یافته بدست می آید.

4. فضای مسیر نقشه برداری P p یک نقشه p : E → B عقب کشیدن است ${\ displaystyle B^{I} \ به B}$ همراه ص . اگر P fibration است، پس از آن بر روی نقشه طبیعی E → P P است هم ارزی فیبر هموتوپی ؛ بنابراین ، به طور خلاصه ، می توان E را با تغییر مسیر مسیر نقشه برداری بدون تغییر نوع هموتوپی فیبر جایگزین کرد .

دنباله مایر - ویتوریس

دسته مدل

ارائه یک دسته ∞ . [4] همچنین رده مدل را ببینید .

فضای مور

ضرب

تعمیم تئوری cohomology E ضربی است اگر E * ( X ) است حلقه مدرج . به عنوان مثال، نظریه cohomology عادی و پیچیده K -theory ضربی هستند (در واقع، نظریه های cohomology تعریف شده توسط E ∞ -rings ضربی می باشد.)

N [ ویرایش ]

n -cell

اصطلاح دیگری برای n -disk.

n -متصل است

یک فضای مبتنی بر X است N متصل اگر ${\ displaystyle \ pi _ {q} X = 0}$ برای تمام اعداد صحیح q ≤ n . به عنوان مثال ، "1-متصل" همان چیزی است که " به سادگی متصل " است.

n -معادل

جفت NDR

یک جفت فاصله $A \ زیرمجموعه X$ در صورت وجود نقشه ، یک جفت NDR (= جفت عقب نشینی تغییر شکل محله) است $u: X \ به I$ و یک هموتوپی $h_ {t}: X \ تا X$ به طوری که $A = u^{-1} (0)$ ، $h_ {0} = \ operatorname {id} _ {X}$ ، $h_ {t} | _ {A} = \ operatorname {id} _ {A}$ و $h_ {1} (\ {x | u (x) <1 \}) \ زیرمجموعه A$ به
اگر A یک زیرفضا بسته از X است ، پس آن جفت $A \ زیرمجموعه X$ یک جفت NDR است اگر و فقط اگر $A \ hookrightarrow X$ یک فیبراسیون است

بی قدرت

1. فضای غیرممکن ؛ به عنوان مثال ، یک فضا به سادگی متصل صفر است.

2. قضیه صریح .

غیرابلیلی

1. کوهومولوژی غیرآبیلی

2. توپولوژی جبری nonabelian

عادی شده

با توجه به یک گروه ساده G ، مجموعه زنجیره ای نرمال شده NG از G توسط داده می شود ${\ displaystyle (NG) _ {n} = \ cap _ {1}^{\ infty} \ operatorname {ker} d_ {i}^{n}}$ با دیفرانسیل n -th داده شده توسط ${\ displaystyle d_ {0}^{n}}$ ؛ به طور شهودی ، زنجیره های منحط را بیرون می اندازد. [5] این مجموعه پیچیده مور نیز نامیده می شود .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_algebraic_topology

ادامه واژه نامه توپولوژی جبری

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم شهریور ۱۴۰۰ | 1:45

h[ ویرایش ]

h-cobordism

ساعت-cobordism .

قضیه هیلتون -میلنور

قضیه هیلتون-Milnor 'ثانیه .

H-space

H-فضای یک فضای مبتنی بر این است که یک است ماگما unital تا هموتوپی.

همولوگوس

دو چرخه اگر متعلق به یک کلاس همولوژی باشند ، همولوگ هستند.

دسته هموتوپی

بگذارید C یک زیر شاخه از دسته همه فضاها باشد. سپس دسته های homotopy از C دسته طبقه ای که از اشیاء همان کلاس از اشیاء از است C اما مجموعه ای از morphisms از یک شی X را به یک شی Y مجموعه ای از کلاس های homotopy از morphisms از است X به Y در C . به عنوان مثال ، نقشه معادل هموتوپی است اگر و فقط اگر ایزومورفیسم در رده هموتوپی باشد.

homotopy colimit

هموتوپی بر روی یک فضای B

هموتوپی h t به گونه ای که برای هر t ثابت ، h t یک نقشه روی B است .

هم ارزي هموتوپي

1. نقشه ƒ: X → Y یک هم ارزی هموتوپی اگر آن را معکوس به هموتوپی است. یعنی نقشه g: Y → X به گونه ای وجود دارد که g ∘ to با نقشه هویت در X یکسان و ƒ ∘ g با نقشه هویت در Y یکنواخت است .

2- در صورت وجود معادل هموتوپی بین این دو ، دو فاصله معادل هموتوپی نامیده می شود. به عنوان مثال ، طبق تعریف ، یک فضا در صورتی انقباض پذیر است که معادل هموتوپی یک فضای نقطه ای باشد.

قضیه برش هموتوپی

قضیه هموتوپی برداشتن یک جایگزین برای شکست برداشتن برای گروه های homotopy است.

فیبر هموتوپی

فیبر هموتوپی از یک نقشه ƒ بر اساس: X → Y ، مشخص شده توسط F ƒ از قلاب است $PY \ به Y، \، \ chi \ mapsto \ chi (1)$ همراه F .

محصول فیبر هموتوپی

یک محصول فیبر محدودیت خاصی دارد . جایگزینی این محدوده lim با حد homotopy holim یک محصول الیاف homotopy را به دست می آورد .

گروه هموتوپی

1. برای یک فضای مبتنی بر X ، اجازه دهید $\ pi _ {n} X = [S^{n} ، X]$ ، مجموعه ای از کلاسهای هموتوپی نقشه های مبتنی بر. سپس $\ pi _ {0} X$ مجموعه ای از اجزای متصل به مسیر X است ، $\ pi _ {1} X$ گروه اساسی X و است $\ pi _ {n} X ، \ ، n \ geq 2$ (بالاتر) هستند N هفتم گروه های homotopy از X .

2. برای فضاهای مبتنی بر $A \ زیرمجموعه X$ ، گروه هموتوپی نسبی $\ pi _ {n} (X ، A)$ به عنوان ... تعریف شده است $\ pi _ {n-1}$ از فضای مسیرهایی که همه از نقطه پایه X شروع می شوند و جایی در A ختم می شوند . به طور برابر ، آن است $\ pi _ {n-1}$ از فیبر هموتوپی از $A \ hookrightarrow X$ به

3. اگر E یک طیف است ، پس ${\ displaystyle \ pi _ {k} E = \ varinjlim _ {n} \ pi _ {k+n} E_ {n}.}$

4. اگر X یک فضای مبتنی بر، پس از آن است پایدار K هفتم هموتوپی گروه از X است ${\ displaystyle \ pi _ {k} ^{s} X = \ varinjlim _ {n} \ pi _ {k+n} \ Sigma ^{n} X}$ به به عبارت دیگر ، این گروه k -th هموتوپی طیف تعلیق X است .

ضریب هموتوپی

اگر G یک گروه دروغ است که روی مانیفولد X عمل می کند ، سپس فضای ضریب $(EG \ بار X)/G$ ضریب هموتوپی (یا ساختمان بورل) X توسط G نامیده می شود ، جایی که EG بسته نرم افزاری G است .

توالی طیفی هموتوپی

کره هموتوپی

هاپف

1. هاینز هاف .

2. هوپ ثابت .

3. قضیه شاخص هاپف .

4. ساخت هاپف .

هورویچ

Hurewicz قضیه ایجاد یک رابطه بین گروه های homotopy و گروه های همسانی.

I[ ویرایش ]

فضای حلقه بی نهایت

ماشین فضایی حلقه بی نهایت

ماشین فضایی حلقه بی نهایت .

بی نهایت تلسکوپ نقشه برداری

ادغام در امتداد فیبر

ایزوتوپی

J [ ویرایش ]

J- همومورفیسم

مشاهده J-همریخت .

پیوستن

عضویت فضاهای بر اساس X ، Y است $X \ star Y = \ Sigma (X \ wedge Y).$

ادامه واژه نامه توپولوژی جبری

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم شهریور ۱۴۰۰ | 1:43

D [ ویرایش ]

تغییر عرشه

اصطلاح دیگری برای اتومورفیسم پوشش.

کوهلوژی Deligne -Beilinson

گول زدن

چرخه انحطاط

درجه

E [ ویرایش ]

بحث اکمان -هیلتون

بحث اكمن -هیلتون .

دوگانگی اکمان -هیلتون

فضاهای ایلنبرگ - مک لین

با توجه به گروه abelian π ، فضاهای ایلنبرگ -مک لین $K (\ pi ، n)$ مشخص می شوند با

$\ pi _ {q} K (\ pi، n) = {\ شروع {case} \ pi & {\ text {if}} q = n \\ 0 & {\ text {در غیر این صورت}} \ پایان {موارد}}$ به

بدیهیات ایلنبرگ – استنرود

بدیهیات Eilenberg را-کردن Steenrod هستند مجموعه ای از بدیهیات است که هر نظریه cohomology (مفرد، تلفن همراه، و غیره) باید برآورده سازد. تضعیف بدیهیات (یعنی انداختن بدیهیات ابعادی) منجر به یک نظریه هم شناسی عمومی می شود .

قضیه ایلنبرگ - زیلبر

E N جبر

توپولوژی جبری معادل

توپولای جبری معادل مطالعه فضاهایی با عملکرد گروهی (پیوسته) است .

دقیق

دنباله ای از مجموعه های نوک تیز $X {\ overset {f} {\ to}} Y {\ overset {g} {\ to}} Z$ است دقیق اگر تصویر از F همزمان با پیش تصویر از نقطه انتخاب شده از Z .

برش

برداشتن اصل برای برابری می گوید: اگر $U \ زیرمجموعه X$ و ${\ overline {U}} \ subset \ operatorname {int} (A)$ ، سپس برای هر q ،

$\ operatorname {H} _ {q} (XU، AU) \ به \ operatorname {H} _ {q} (X، A)$

یک ایزومورفیسم است

جفت/سه گانه هیجان انگیز

F [ ویرایش ]

همولوژي عامل سازي

معادل فیبر-هموتوپی

با توجه D → B ، E → B ، یک ƒ نقشه: D → E بیش از B است هم ارزی فیبر هموتوپی اگر آن را معکوس به هموتوپی است که بیش از B . واقعیت اصلی این است که اگر D → B ، E → B لرزش باشند ، هم ارزي هموتوپي از D به E معادل فيبر هموتوپي است.

فیبردگی

نقشه p : E → B یک فیبراسیون است اگر برای هر گونه هموتوپی مشخص باشد $g_ {t}: X \ به B$ و یک نقشه $h_ {0}: X \ به E$ به طوری که $p \ circ h_ {0} = g_ {0}$ ، هموتوپی وجود دارد $h_ {t}: X \ به E$ به طوری که $p \ circ h_ {t} = g_ {t}$ به (ملک فوق به نام اموال بلند کردن هموتوپی .) نقشه پوشش مثال پایه یک fibration است.

دنباله فیبره

یکی می گوید ${\ displaystyle F \ to X {\ overset {p} {\ to}} B}$ یک دنباله فیبراسیون است به این معنی که p یک fibration است و F هموتوپی معادل فیبر homotopy از p است ، با درک برخی از نقاط پایه.

به طور کامل تحت سلطه

طبقه اساسی

گروه اساسی

گروه اساسی از یک فضای X با نقطه پایه X 0 گروه از کلاس های homotopy از حلقه ها در است X 0 . این دقیقاً اولین گروه هموتوپی ( X ، x 0 ) است و بنابراین با آن نشان داده می شود $\ pi _ {1} (X ، x_ {0})$ به

گروپوئید اساسی

گروه اصلی گروه فضایی X مقوله ای است که اجسام آن نقاط X و مورفیسم های آنها x → y کلاس های هموتوپی مسیرهای x تا y هستند . بنابراین ، مجموعه تمام ریخت شناسی ها از یک شی x 0 به خود ، طبق تعریف ، گروه بنیادی است $\ pi _ {1} (X ، x_ {0})$ به

رایگان

مترادف با بی اساس به عنوان مثال ، فضای آزاد مسیر یک فضای X به فضای همه نقشه ها از I تا X اشاره دارد . یعنی ، ${\ displaystyle X^{I}}$ در حالی که فضای مسیر یک فضای مبتنی بر X شامل نقشه ای است که نقطه پایه را حفظ می کند (یعنی 0 به نقطه پایه X می رود ).

قضیه تعلیق فرویدنتال

برای یک فضای مبتنی بر nondegenerately X از تعلیق Freudenthal می قضیه می گوید: اگر X است ( N -1) متصل، و سپس همریخت تعلیق

${\ displaystyle \ pi _ {q} X \ به \ pi _ {q+1} \ Sigma X}$

برای q <2 n - 1 و اگر q = 2 n - 1 فرضی است .

G [ ویرایش ]

G-fibration

G-fibration با برخی از مونوئید توپولوژیکی G . یک مثال ، لرزش فضای مسیر مور است .

Γ- فضا

نظریه همشناسی عمومی

یک نظریه همشناسی عمومی یک عامل متقابل از دسته جفت فضاها تا گروه گروه آبلیان است که همه بدیهیات ایلنبرگ - استنرود را به جز بدیهیات ابعاد برآورده می کند.

حدس هندسه سازی

جنس

تکمیل گروه

شبیه گروه

ح-فضای X گفته می شود grouplike یا grouplike اگر $\ pi _ {0} X$ یک گروه است ؛ یعنی X بدیهیات گروه را تا هموتوپی برآورده می کند.

توالی گیسین

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_algebraic_topology

ادامه واژه نامه توپولوژی جبری

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم شهریور ۱۴۰۰ | 1:42

ج [ ویرایش ]

محصول کلاه

ch کوه شناسی

سلولی

1. نقشه ƒ: X → Y بین مجتمع های CW به صورت سلولی است $f (X^{n}) \ زیرمجموعه Y^{n}$ برای همه N .

2. قضیه تقریب سلولی می گوید که هر نقشه بین مجتمع های CW یک نقشه سلولی بین آنها است.

3. همولوژي سلولي همولوژي (متعارف) مجموعه CW است. توجه داشته باشید که این مورد برای مجتمع های CW صدق می کند و به طور کلی به فضاها مربوط نمی شود. همولوژی سلولی بسیار محاسبه پذیر است. این به ویژه برای فضاهایی با تجزیه سلول های طبیعی مانند فضاهای برآمدگی یا Grassmannian مفید است.

هموتوپی زنجیره ای

با توجه به نقشه های زنجیره ای $f ، g: (C ، d_ {C}) \ به (D ، d_ {D})$ در بین مجموعه های زنجیره ای از ماژول های، یک هموتوپی زنجیره بازدید کنندگان از F به گرم یک توالی های homomorphisms ماژول است $s_ {i}: C_ {i} \ به D_ {i+1}$ رضایت بخش $f_ {i} -g_ {i} = d_ {D} \ circ s_ {i}+s_ {i-1} \ circ d_ {C}$ به

نقشه زنجیره ای

یک نقشه زنجیره ای $f: (C ، d_ {C}) \ به (D ، d_ {D})$ بین مجتمع های زنجیره ای ماژول ها دنباله ای از همومورفیسم های ماژول است $f_ {i}: C_ {i} \ به D_ {i}$ که با تفاوتها حرکت می کند ؛ یعنی ، $d_ {D} \ circ f_ {i} = f_ {i-1} \ circ d_ {C}$ به

هم ارزی هموتوپی زنجیره ای

یک نقشه زنجیره ای که یک ایزومورفیسم تا هموتوپی زنجیره ای است. این است که اگر ƒ : C → D یک نقشه زنجیره ای است، و سپس آن را به یک هم ارزی زنجیره هموتوپی است اگر یک نقشه زنجیره ای وجود دارد گرم : D → C به طوری که گرم ƒ و ƒ گرم هستند homotopic زنجیره ای به homomorphisms هویت در C و D ، به ترتیب.

تغییر فیبر

تغییر از فیبر از یک fibration ص ارزی هموتوپی است، تا هموتوپی، بین الیاف از ص ناشی از یک مسیر در پایه.

تنوع شخصیتی

انواع شخصیت [2] از π گروه و یک گروه جبری G (به عنوان مثال، یک گروه دروغ پیچیده تقلیل) است ثابت هندسی بهره نظریه های G :

${\ mathcal {X}} (\ pi، G) = \ operatorname {Hom} (\ pi، G)/\!/G$ به

کلاس مشخصه

بگذارید Vect ( X ) مجموعه ای از کلاسهای ایزومورفیسم بسته های بردار در X باشد. می توانیم مشاهده کنیم $X \ mapsto \ operatorname {Vect} (X)$ به عنوان یک عملگر متقابل از بالا به مجموعه با ارسال نقشه ƒ: X → Y به عقب کش ƒ * در امتداد آن. سپس یک کلاس ویژگی است تحول طبیعی از Vect به های cohomology عمل کننده H را * . به صراحت ، به هر بسته بردار E یک کلاس کوه شناسی ، مثلاً c ( E ) اختصاص می دهیم . تخصیص طبیعی است به این معنا که ƒ * c ( E ) = c (ƒ * E ).

نظریه هموتوپی رنگی

نظریه homotopy رنگی .

کلاس

1. کلاس چرن .

2. کلاس استیفل -ویتنی .

طبقه بندی فضا

آزادانه می توان گفت که یک فضای طبقه بندی کننده فضایی است که نشان دهنده برخی از عملکردهای متغیر است که بر اساس طبقه بندی فضاها تعریف شده است. مثلا، $BU$ فضای طبقه بندی کننده به این معنا است ${\ displaystyle [-، BU]}$ فانکتور است ${\ displaystyle X \ mapsto \ operatorname {Vect} ^{\ mathbb {R}} (X)}$ که فضایی را به مجموعه کلاسهای ایزومورفیسم بسته های بردار واقعی بر روی فضا ارسال می کند.

چنگ زدن

دنباله طیفی کوبار

ناسازگاری

1. به cobordism مراجعه کنید .

2- حلقه ناسازگاری حلقه ای است که عناصر آن کلاسهای ناهنجاری است.

3. همچنین به قضیه h-cobordism ، قضیه s-cobordism مراجعه کنید .

حلقه ضریب

اگر E یک طیف حلقه است ، حلقه ضریب آن حلقه است $\ pi _ {*} E$ به

دنباله کوفیبر

دنباله کوفیبر هر دنباله ای است که معادل توالی باشد ${\ displaystyle X {\ overset {f} {\ to}} Y \ to C_ {f}}$ برای برخی ƒ کجا $C_ {f}$ مخروط نگاشت کاهش یافته ƒ است (cofiber of called نامیده می شود).

تقریب cofibrant

فیبراسیون

نقشه $i: A \ به B$ در صورتی که خاصیت را برآورده کند ، یک cofibration است: داده شده است $h_ {0}: B \ to X$ و هموتوپی $g_ {t}: A \ to X$ به طوری که ${\ displaystyle g_ {0} = h_ {0} \ circ i}$ ، هموتوپی وجود دارد $h_ {t}: B \ به X$ به طوری که $h_ {t} \ circ i = g_ {t}$ به [3] کوفیبره تزریقی است و روی تصویر آن هومومورفیسم است.

هموتوپی منسجم

انسجام

مشاهده انسجام (نظریه هموتوپی)

گروه کوهوموتوپی

برای یک فضای مبتنی بر X ، مجموعه کلاسهای هموتوپی ${\ displaystyle [X، S^{n}]}$ است به نام N هفتم گروه های cohomotopy از X .

عملیات کوهومولوژی

تکمیل

بوردیسم پیچیده

پیچیده گرا

نظریه های cohomology ضربی E است پیچیده گرا اگر محدودیت بر روی نقشه E 2 ( C P ∞ ) → E 2 ( C P 1 ) پوشا است.

مخروط

مخروط بیش از یک فضای X است $CX = X \ بار I/X \ بار \ {0 \}$ به کاهش مخروطی از به دست آمده سیلندر کاهش $X \ wedge I _ {+}$ با فرو ریختن بالای آن

پیوندی

یک طیف E است همبند اگر ${\ displaystyle \ pi _ {q} E = 0}$ برای تمام اعداد صحیح منفی Q .

فضای پیکربندی

مقدار ثابت

یک شف ثابت در یک فضای X یک شف است ${\ mathcal {F}}$ در X به گونه ای که برای برخی از مجموعه A و برخی از نقشه ${\ displaystyle A \ به {\ mathcal {F}} (X)}$ ، نقشه طبیعی ${\ displaystyle A \ به {\ mathcal {F}} (X) \ به {\ mathcal {F}} _ {x}}$ برای هر x در X دو طرفه است .

مداوم

هم شناسی مداوم .

فضای قابل انعطاف

یک فضا است contractible اگر نقشه هویت در فضای homotopic به نقشه ثابت است.

پوشش

1. یک نقشه p : Y → X یک نقشه پوششی یا پوششی است اگر هر نقطه از x دارای یک محله N باشد که به طور مساوی توسط p پوشانده شده است . این بدان معناست که تصویر پیش از N یک اتحاد جدا از مجموعه های باز است که هر یک از آنها به صورت هومومورفیک با N ترسیم می شود.

2. در صورتی که هر فیبر p -1 ( x ) دقیقاً n عنصر داشته باشد ، n -Sheet می شود .

3. اگر Y به سادگی متصل باشد جهانی است.

4. مورفیسم پوشش ، نقشه ای بر روی X است . به طور خاص ، اتومورفیسم پوشش p : Y → X (که به آن تغییر عرشه نیز گفته می شود ) نقشه Y → Y بر روی X است که عکس دارد. به عنوان مثال، همسانریختی بیش X .

5- پوشش G پوششي است كه از عمل گروهي بر روي فضاي X توسط گروه G بوجود مي آيد و نقشه پوشش نقشه نصاب از X تا فضاي مدار X/G است . این مفهوم برای بیان ویژگی جهانی مورد استفاده قرار می گیرد: اگر X یک پوشش جهانی (به ویژه متصل) را بپذیرد ، پس

$\ operatorname {Hom} (\ pi _ {1} (X، x_ {0}) ، G)$ مجموعه ای از کلاسهای ایزومورفیسم پوشش G است .

به طور خاص ، اگر G abelian است ، پس سمت چپ است $\ operatorname {Hom} (\ pi _ {1} (X، x_ {0})، G) = \ operatornname {H} ^{1} (X؛ G)$ (نک. کوهومولوژی nonabelian .)

محصول فنجان

مجتمع CW

مجموعه CW فضایی X مجهز به ساختار CW است. یعنی یک فیلتراسیون

$X^{0} \ زیرمجموعه X^{1} \ زیرمجموعه X^{2} \ زیر مجموعه \ cdots \ زیرمجموعه X$

به طوری که (1) X 0 گسسته است و (2) X n از X n -1 با اتصال n -سلول به دست می آید.

همولوژی چرخه ای

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_algebraic_topology

واژه نامه توپولوژی جبری

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم شهریور ۱۴۰۰ | 1:39

این یک واژه نامه از ویژگی ها و مفاهیم در توپولوژی جبری در ریاضیات است.

همچنین نگاه کنید به: واژه نامه توپولوژی ، فهرست موضوعات توپولوژی جبری ، واژه نامه نظریه دسته ها ، واژه نامه هندسه دیفرانسیل و توپولوژی ، جدول زمانی چند منظوره .

کنوانسیون : در طول مقاله، من فاصله واحد، نشان دهنده S N N -sphere و D N N نیم دیسک. همچنین ، در طول مقاله ، فضاها منطقی فرض می شود . به عنوان مثال ، یک فضا یک مجموعه CW است یا به صورت فشرده فضایی ضعیف از هاوسدورف ایجاد می کند . به طور مشابه ، هیچ تلاشی برای قطعی شدن تعریف طیف انجام نمی شود . یک مجموعه ساده به عنوان یک فضا در نظر گرفته نمی شود. به طور کلی ، ما بین مجموعه های ساده و تحقق هندسی آنها تمایز قائل می شویم.
معیار ورود : از آنجا که در حال حاضر واژه نامه ای از جبر همولوژیکی در ویکی پدیا وجود ندارد ، این واژه نامه همچنین شامل چند مفهوم در جبر همولوژیک است (به عنوان مثال ، هموتوپی زنجیره ای). برخی مفاهیم در توپولوژی هندسی نیز بازی عادلانه ای هستند. از سوی دیگر ، مواردی که در واژه نامه توپولوژی ظاهر می شوند عموما حذف می شوند. نظریه هموتوپی انتزاعی و نظریه هموتوپی انگیزشی نیز خارج از محدوده است. واژه نامه نظریه دسته بندی مفاهیم نظریه دسته بندی مدل ها را پوشش می دهد (یا پوشش خواهد داد) .

نقطه پایه یک فضای مبتنی بر.

$X _ {+}$

برای یک فضای بی پایه X ، X + فضایی است که از پیوستن به یک نقطه پایه جدا از هم بدست می آید.

A [ ویرایش ]

عقب نشینی محله مطلق

چکیده

1. نظریه هموتوپی انتزاعی

آدامز

1. جان فرانک آدامز .

2. دنباله طیفی آدامز .

3. حدس آدامز .

4. متغیرهای الکترونیکی آدامز .

5. عملیات آدامز .

دوگانگی اسکندر

ترفند اسکندر

الکساندر ترفند تولید بخش از نقشه محدودیت ${\ displaystyle \ operatorname {بالا} (D^{n+1}) \ به \ operatorname {بالا} (S^{n})}$ ، بالا نشان دهنده یک گروه همومورفیسم ؛ یعنی ، این بخش با ارسال یک هومومورفیسم ارائه می شود ${\ displaystyle f: S^{n} \ به S^{n}}$ به هومومورفیسم

${\ displaystyle {\ widetilde {f}}: D^{n+1} \ به D^{n+1}، \، 0 \ mapsto 0،0 \ neq x \ mapsto | x | f (x/| x |)}$ به

این بخش در واقع یک هموتوپی معکوس است. [1]

تجزیه و تحلیل وضعیت

فضای کروی

نقشه مونتاژ

عطیه

1. مایکل عطیه .

2. دوگانگی عطیه .

3. دنباله طیفی Atiyah -Hirzebruch .

ب [ ویرایش ]

ساخت نوار

فضای مبتنی بر

یک جفت ( X ، ایکس 0 ) متشکل از یک فضای X و یک نقطه X 0 در X .

شماره بتی

همومورفیسم بوکشتاین

بورل

حدس بورل .

همولوژی Borel – Moore

قضیه بورسوک

بات

1. رائول بات .

2. قضیه تناوب Bott برای گروه های واحد می گوید: ${\ displaystyle \ pi _ {q} U = \ pi _ {q+2} U ، q \ geq 0}$ به

3. قضیه تناوب Bott برای گروه های متعامد می گوید: $\ pi _ {q} O = \ pi _ {q+8} O ، q \ geq 0$ به

قضیه نقطه ثابت بروور

بروور قضیه نقطه ثابت می گوید که هر نقشه $f: D^{n} \ به D^{n}$ دارای نقطه ثابتی است

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Glossary_of_algebraic_topology

پارادوکس کاری

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم شهریور ۱۴۰۰ | 21:52

برای پازل توهم و تشریح پل نوری به پازل مربع گم شده مراجعه کنید .

پارادوکس کاری یک پارادوکس است که در آن یک ادعای دلخواه F از وجود یک جمله C ثابت می شود که در مورد خود می گوید "اگر C ، سپس F " ، که به چند قاعده منطقی به ظاهر بی ضرر نیاز دارد. از آنجا که F دلخواه است ، هر منطقی که این قوانین را داشته باشد به فرد اجازه می دهد همه چیز را ثابت کند. پارادوکس ممکن است با زبان طبیعی و منطق های مختلف ، از جمله اشکال خاصی از نظریه مجموعه ها ، محاسبه لامبدا و منطق ترکیبی بیان شود .

نام پارادوکس از نام منطق کار Haskell Curry گرفته شده است . همچنین نامیده شده است تناقض تنبلی و سنگینی حرکت را پس از مارتین هوگو تنبلی و سنگینی حرکت ، [1] با توجه به ارتباط آن با قضیه تنبلی و سنگینی حرکت است .

فهرست

به زبان طبیعی [ ویرایش ]

ادعاهای صورت "اگر A ، سپس B" ادعاهای مشروط نامیده می شوند. پارادوکس کاری از نوع خاصی از جمله مشروط خود ارجاعی استفاده می کند ، همانطور که در این مثال نشان داده شده است:

اگر این جمله درست باشد ، آلمان با چین هم مرز است.

با وجودی که آلمان با چین هم مرز نیست ، جمله نمونه مطمئناً یک جمله طبیعی زبان است و بنابراین می توان حقیقت آن جمله را تحلیل کرد. پارادوکس از این تحلیل ناشی می شود. تجزیه و تحلیل شامل دو مرحله است.

اول ، می توان از تکنیک های رایج اثبات زبان طبیعی برای اثبات درست بودن جمله مثال استفاده کرد.
ثانیاً ، می توان از حقیقت جمله مثال برای اثبات هم مرز بودن آلمان با چین استفاده کرد. از آنجا که آلمان با چین هم مرز نیست ، این نشان می دهد که خطایی در یکی از اثبات ها وجود داشته است.

ادعای "مرز آلمان با چین" می تواند با هر ادعای دیگری جایگزین شود و حکم همچنان قابل اثبات است. بنابراین به نظر می رسد هر جمله قابل اثبات است. از آنجا که اثبات فقط از روشهای استنباط مورد قبول استفاده می کند و به نظر می رسد هیچ یک از این روش ها نادرست به نظر نمی رسد ، این وضعیت متناقض است. [2]

اثبات غیر رسمی [ ویرایش ]

روش استاندارد برای اثبات جملات شرطی (جملات شکل "اگر A ، سپس B") " اثبات شرطی " نامیده می شود. در این روش ، برای اثبات "اگر A ، سپس B" ، ابتدا A فرض می شود و سپس با آن فرض B درست نشان داده می شود.

برای ایجاد پارادوکس کاری ، همانطور که در دو مرحله بالا توضیح داده شد ، این روش را روی جمله "اگر این جمله درست است ، آلمان با چین هم مرز است" اعمال کنید. در اینجا A ، "این جمله درست است" ، به جمله کلی اشاره دارد ، در حالی که B "آلمان با چین همسایه است". بنابراین ، فرض A همان فرض "اگر A ، سپس B" است. بنابراین ، در فرض A ، ما هر دو A و "اگر A ، سپس B" را فرض کرده ایم. بنابراین ، B با روش modus ponens درست است و ما ثابت کرده ایم "اگر این جمله درست باشد ،" آلمان با چین هم مرز است "درست است." به روش معمول ، با فرض فرضیه و نتیجه گیری.

در حال حاضر ، زیرا ما ثابت کرده ایم "اگر این جمله درست است ، پس" آلمان با چین درست است "، پس ما دوباره می توانیم modus ponens را اعمال کنیم ، زیرا می دانیم که ادعای" این جمله درست است "درست است. از این طریق می توان نتیجه گرفت که آلمان با چین همسایه است.

اثبات رسمی [ ویرایش ]

منطق معنایی [ ویرایش ]

مثال در بخش قبل از استدلال غیر رسمی و طبیعی زبان استفاده می کرد. پارادوکس کاری نیز در برخی از انواع منطق رسمی رخ می دهد . در این زمینه ، نشان می دهد که اگر فرض کنیم یک جمله رسمی (X → Y) وجود دارد ، جایی که X خود معادل (X → Y) است ، می توان Y را با اثبات رسمی اثبات کرد. یکی از نمونه های چنین اثبات رسمی به شرح زیر است. برای توضیح نماد منطقی مورد استفاده در این بخش ، به فهرست نمادهای منطقی مراجعه کنید .

X: = (X → Y)
فرض ، نقطه شروع ، معادل "اگر این جمله درست است ، پس Y"
X → X
قانون هویت
X → (X → Y)
سمت راست 2 را جایگزین کنید ، زیرا X معادل X → Y با 1 است
X → Y
از 3 با انقباض
ایکس
جایگزین 4 ، 1
Y
از 5 و 4 توسط modus ponens

اثبات جایگزین از طریق قانون پیرس است . اگر X = X → Y سپس (X → Y) → X. این به همراه قانون پیرس ((X → Y) → X) X و modus ponens بر X و متعاقباً Y (مانند اثبات بالا) دلالت دارد.

بنابراین ، اگر Y در یک سیستم رسمی یک گزاره غیرقابل اثبات باشد ، هیچ گزاره X در آن سیستم وجود ندارد که X معادل دلالت (X → Y) باشد. در مقابل ، بخش قبل نشان می دهد که در زبان طبیعی (غیر رسمی) ، برای هر گزاره زبان طبیعی Y یک عبارت طبیعی زبان Z وجود دارد که Z معادل (Z → Y) در زبان طبیعی است. یعنی ، Z "اگر این جمله درست باشد ، Y است".

در موارد خاصی که طبقه بندی Y از قبل مشخص است ، برای آشکار سازی تناقض به چند مرحله نیاز است. به عنوان مثال ، هنگامی که Y "آلمان با چین همسایه است" مشخص شود که Y نادرست است.

X = (X → Y)
فرض
X = (X → غلط)
جایگزین ارزش شناخته شده Y
X = (¬X ∨ غلط)
پیامد
X = ¬X
هویت

نظریه مجموعه ساده لوحانه [ ویرایش ]

حتی اگر منطق ریاضی زیر هیچ جمله خود ارجاعی را نپذیرد ، اشکال خاصی از نظریه مجموعه های ساده لوحانه همچنان در برابر پارادوکس کاری قرار دارند. در نظریه های مجموعه ای که درک نامحدود را امکان پذیر می کند ، با این وجود می توان با بررسی مجموعه ، هر گزاره منطقی Y را اثبات کرد.

${\ displaystyle X \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ چپ \ {x \ mid x \ in x \ به Y \ right \}.}$

فرض کنید که $\که در$ بر هر دو اولویت دارد $\به$ و $\ چپ راست$ ، اثبات به شرح زیر است:

${\ displaystyle X = \ left> {x \ mid x \ in x \ to Y \ right \}}$
تعریف X
${\ displaystyle x = X \ به (x \ in x \ leftrightarrow X \ in X)}$
جایگزینی مجموعه های برابر در عضویت
${\ displaystyle x = X \ به ((x \ در x \ به Y) \ leftrightarrow (X \ در X \ به Y))}$
افزودن نتیجه به دو طرف حالت دو شرطی (از 2)
${\ displaystyle X \ in X \ leftrightarrow (X \ in X \ to Y)}$
قانون بتن ریزی (از 1 و 3)
${\ displaystyle X \ در X \ به (X \ در X \ به Y)}$
حذف دو شرطی (از 4)
${\ displaystyle X \ در X \ به Y}$
انقباض (از 5)
${\ displaystyle (X \ در X \ به Y) \ به X \ در X}$
حذف دو شرطی (از 4)
${\ displaystyle X \ in X}$
Modus ponens (از 6 و 7)
$Y$
Modus ponens (از 8 و 6)

مرحله 4 تنها گام نامعتبر در نظریه مجموعه سازگار است. در نظریه مجموعه های Zermelo -Fraenkel ، یک فرضیه اضافی مبنی بر این که X یک مجموعه است لازم است ، که در ZF یا در ZFC پسوند آن (با بدیهیات انتخاب ) قابل اثبات نیست .

بنابراین ، در نظریه مجموعه سازگار ، مجموعه ${\ displaystyle \ left \ {x \ mid x \ in x \ to Y \ right \}}$ برای نادرست وجود ندارد Y . این را می توان به عنوان نوعی از پارادوکس راسل در نظر گرفت ، اما یکسان نیست. برخی از پیشنهادات نظریه مجموعه ها سعی کرده اند با پارادوکس راسل نه با محدود کردن قاعده درک ، بلکه با محدود کردن قواعد منطق به گونه ای برخورد کنند که ماهیت متناقض مجموعه همه مجموعه هایی را که خود عضو نیستند ، تحمل کند. وجود شواهدی مانند موارد فوق نشان می دهد که چنین کاری چندان ساده نیست ، زیرا حداقل یکی از قوانین کسر مورد استفاده در اثبات بالا باید حذف یا محدود شود.

حساب لامبدا [ ویرایش ]

پارادوکس کاری ممکن است در محاسبه لامپدا بدون نوع بیان شود ، که با منطق محدود محدود غنی شده است . برای مقابله با محدودیت های نحوی محاسبات لامبدا ، $متر$ باید تابع implication را با دو پارامتر یعنی عبارت lambda نشان دهد ${\ displaystyle ((mA) B)}$ باید معادل علامت اینفایکس معمول باشد $A \ به B$ به

یک فرمول دلخواه $Z$ می توان با تعریف یک تابع lambda اثبات کرد ${\ displaystyle N: = \ lambda p. ((mp) Z)}$ ، و ${\ displaystyle X: = ({\ textf {Y}} N)}$ ، جایی که ${\ displaystyle {\ textf {Y}}}$ نشان دهنده ترکیب نقطه ثابت کاری است . سپس ${\ displaystyle X = (NX) = ((mX) Z)}$ با تعریف ${\ displaystyle {\ textf {Y}}}$ و $N$ بنابراین ، منطق منطقی فوق را می توان در حساب تکرار کرد: [3] [4] [5]

${\ displaystyle {\ begin {array} {cll} \ vdash & ((mX) X) & {\ mbox {توسط حداقل منطق منطقی}} A \ to A \\\ vdash & ((mX) ((mX) Z)) & {\ mbox {since}} X = ((mX) Z) \\\ vdash & ((mX) Z) & {\ mbox {by theoremem}} (A \ to (A \ to B) ) \ vdash (A \ to B) {\ mbox {of minimal logic}} \\\ vdash & X & {\ mbox {since}} X = ((mX) Z) \\\ vdash & Z & {\ mbox {by modus ponens }} A، (A \ to B) \ vdash B {\ mbox {from}} X {\ mbox {and}} ((mX) Z) \\\ end {array}}}$

در محاسبه لامبدا به سادگی تایپ شده ، ترکیب کننده های نقطه ثابت را نمی توان تایپ کرد و بنابراین پذیرفته نمی شوند.

منطق ترکیبی [ ویرایش ]

پارادوکس کاری همچنین ممکن است در منطق ترکیبی بیان شود که دارای قدرت بیان معادل حساب lambda است . هر عبارت lambda ممکن است به منطق ترکیبی ترجمه شود ، بنابراین ترجمه اجرای پارادوکس کاری در حساب lambda کافی است.

اصطلاح فوق $ایکس$ ترجمه می شود به ${\ displaystyle (r \ r)}$ در منطق ترکیبی ، کجا

${\ displaystyle r = {\ textf {S}} \ ({\ textf {S}} ({\ textf {K}} متر) ({\ textf {S}} {\ textf {I}} {\ textf { I}})) \ ({\ textf {K}} Z)؛}$ از این رو [6]

${\ displaystyle (r \ r) = ((m (rr)) \ Z).}$

بحث [ ویرایش ]

پارادوکس کاری را می توان در هر زبانی که از عملیات منطقی اولیه پشتیبانی می کند ، فرموله کرد که همچنین اجازه می دهد تا یک تابع خود بازگشتی به عنوان یک عبارت ساخته شود. دو مکانیسم که از ساختن پارادوکس حمایت می کند ، خودارجاعی است (توانایی اشاره به "این جمله" از داخل یک جمله) و درک نامحدود در نظریه مجموعه ساده لوحانه. زبانهای طبیعی تقریباً مانند بسیاری از زبانهای دیگر دارای ویژگیهای بسیاری هستند که می توانند برای ایجاد پارادوکس مورد استفاده قرار گیرند. معمولاً افزودن قابلیت های برنامه نویسی متا به یک زبان ، ویژگی های مورد نیاز را اضافه می کند. منطق ریاضی به طور کلی اجازه نمی دهد که صریح به جملات خود اشاره شود. با این حال قلب قضایای ناقص بودن گودلاین است که می توان شکل متفاوتی از خود ارجاع را اضافه کرد. دیدن تعداد گودل .

بدیهیات درک نامحدود توانایی ایجاد یک تعریف بازگشتی در نظریه مجموعه ها را می افزاید. این نظریه توسط نظریه مجموعه مدرن پشتیبانی نمی شود .

قواعد منطقی مورد استفاده در ساخت اثبات عبارتند از قاعده فرض برای اثبات شرطی ، قاعده انقباض و روش مطلوب . اینها در رایج ترین سیستم های منطقی مانند منطق مرتبه اول گنجانده شده اند.

پیامدهای منطق رسمی [ ویرایش ]

در دهه 1930 ، پارادوکس کاری و پارادوکس مرتبط کلین روسر نقش عمده ای در نشان دادن ناسازگاری سیستم های منطقی رسمی مبتنی بر عبارات خود بازگشتی ایفا کردند . این شامل برخی از نسخه های حساب lambda و منطق ترکیبی است .

کاری با پارادوکس کلین -روسر [7] آغاز شد و نتیجه گرفت که مشکل اصلی را می توان در این پارادوکس ساده تر کاری بیان کرد. [8] [9] ممکن است نتیجه گیری او به این صورت باشد که منطق ترکیبی و حساب لامبدا را نمی توان به عنوان زبانهای قیاسی یکسان دانست ، در حالی که هنوز امکان بازگشت وجود دارد.

در مطالعه منطق ترکیبی استنباطی (قیاسی) ، کاری در سال 1941 [10] مفاهیم پارادوکس را به این معنا تشخیص داد که بدون محدودیت ، ویژگیهای زیر از منطق ترکیبی ناسازگار است:

کامل ترکیبی . این بدان معناست که یک عملگر انتزاعی در سیستم قابل تعریف (یا اولیه) است ، که این مورد نیاز به قدرت بیان سیستم است.
کامل بودن قیاسی . این یک الزام برای مشتق پذیری است ، یعنی این اصل که در یک سیستم رسمی با مفاهیم مادی و روش های مثبت ، اگر Y از فرضیه X قابل اثبات باشد ، در این صورت اثبات X → Y نیز وجود دارد. [11]

وضوح [ ویرایش ]

در این قسمت از منابع ذکر نشده است . لطفاً با افزودن استناد به منابع معتبر ، به بهبود این بخش کمک کنید . مواد بدون منبع ممکن است مورد اعتراض قرار گرفته و حذف شوند . ( اوت 2019 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

صحت واقعی این بخش مورد مناقشه است . بحث مربوطه را می توان در بحث: پارادوکس کاری: یافت . لطفاً برای اطمینان از منبع قابل اعتماد بودن اظهارات مورد اختلاف کمک کنید . ( اوت 2019 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

توجه داشته باشید که برخلاف پارادوکس دروغگو یا پارادوکس راسل ، پارادوکس کاری به مدل استفاده از نفی بستگی ندارد ، زیرا کاملاً عاری از نفی است. بنابراین منطقهای متناقض هنوز می توانند در برابر این تناقض آسیب پذیر باشند ، حتی اگر از پارادوکس دروغگو مصون باشند.

وضوح در حساب لامبدا [ ویرایش ]

منشاء آلونزو چرچ را حساب لاندا ممکن است، "چگونه می تواند به شما حل یک معادله، برای ارائه یک تعریف یک تابع؟". این در این معادل سازی بیان می شود ،

${\ displaystyle f \ x = y \ iff f = \ lambda xy}$

اگر یک و تنها یک تابع وجود داشته باشد ، این تعریف معتبر است $f$ که معادله را برآورده می کند $f \ x = y$ ، اما در غیر این صورت نامعتبر است. این هسته اصلی مشکلی است که استفان کول کلین و سپس هاسکل کاری با منطق ترکیبی و حساب لامبدا کشف کردند.

وضعیت را می توان با تعریف مقایسه کرد

${\ displaystyle y = x^{2} \ iff x = {\ sqrt {y}}.}$

این تعریف خوب است تا زمانی که فقط مقادیر مثبت برای ریشه مربع مجاز باشد. در ریاضیات ، یک متغیر کمی وجودی ممکن است چندین مقدار را نشان دهد ، اما فقط یک بار. کمیت وجودی ، گسست بسیاری از موارد یک معادله است. در هر معادله یک مقدار برای متغیر وجود دارد.

با این حال ، در ریاضیات ، عبارت بدون متغیر آزاد باید دارای یک و تنها یک مقدار باشد. بنابراین $\ sqrt {4}$ فقط می تواند نمایندگی کند $+2$ به با این حال ، هیچ راه مناسبی برای محدود کردن انتزاع lambda به یک مقدار یا اطمینان از وجود مقدار وجود ندارد.

محاسبه لامبدا با گذراندن همان تابع که به عنوان پارامتر نامیده می شود ، امکان بازگشت مجدد را فراهم می کند. این اجازه می دهد موقعیت هایی که در آن $f \ x = y$ دارای راه حل های متعدد یا بدون راه حل برای آن است $f$ به

محاسبه لامبدا ممکن است به عنوان بخشی از ریاضیات در نظر گرفته شود در صورتی که تنها انتزاع های لامبدا که نشان دهنده یک راه حل واحد برای یک معادله هستند مجاز باشند. سایر انتزاعات لامبدا در ریاضیات نادرست است.

پارادوکس کاری و پارادوکسهای دیگر در محاسبه لامبدا بوجود می آیند زیرا ناسازگاری حساب لامبدا به عنوان یک سیستم قیاسی در نظر گرفته می شود . همچنین به حساب لامبدا قیاسی مراجعه کنید .

دامنه اصطلاحات حساب lambda [ ویرایش ]

محاسبه لامبدا یک نظریه ثابت در حوزه خود است . با این حال ، افزودن تعریف انتزاعی لامبدا به ریاضیات عمومی سازگار نیست . اصطلاحات لامبدا مقادیر مربوط به حوزه حسابداری لامبدا را توصیف می کنند. هر عبارت lambda دارای مقداری در آن حوزه است.

هنگامی که ترجمه عبارت از ریاضیات به حساب Lambda، حوزه نظر حساب لاندا است که همیشه ریخت به حوزه از عبارات ریاضی. این عدم ایزومورفیسم منشا تناقضات ظاهری است.

وضوح به زبانهای نامحدود [ ویرایش ]

بسیاری از سازه های زبانی وجود دارند که به طور ضمنی از معادله ای استفاده می کنند که ممکن است هیچ یا چند راه حل نداشته باشد. حل صدا برای این مشکل این است که این عبارات را از لحاظ نحوی به یک متغیر کمی شده پیوند دهید. متغیر مقادیر متعدد را به گونه ای نشان می دهد که در استدلال مشترک بشر معنی دار است ، اما در ریاضیات نیز معتبر است.

به عنوان مثال ، یک زبان طبیعی که به عملکرد Eval اجازه می دهد از نظر ریاضی سازگار نیست. اما هر فراخوانی به اوال با آن زبان طبیعی ممکن است به شیوه ای سازگار با ریاضیات ترجمه شود. ترجمه Eval (s) به ریاضیات است

اجازه دهید x = Eval (s) در x باشد.

بنابراین در کجا s = "Eval (s) → y" ،

اجازه دهید x = x → y در x باشد.

اگر y نادرست است ، x = x → y نادرست است ، اما این یک دروغ است ، نه تناقض.

وجود متغیر x در زبان طبیعی ضمنی بود. متغیر x زمانی ایجاد می شود که زبان طبیعی به ریاضیات ترجمه شود. این به ما امکان می دهد در عین حفظ یکپارچگی ریاضی ، از زبان طبیعی با معانی طبیعی استفاده کنیم.

وضوح در منطق رسمی [ ویرایش ]

بحث در منطق رسمی با فرض اعتبار نامگذاری (X → Y) به عنوان X شروع می شود. با این حال ، این نقطه شروع معتبری نیست. ابتدا باید اعتبار نامگذاری را استنباط کنیم. قضیه زیر به راحتی اثبات می شود و چنین نامگذاری را نشان می دهد:

${\ displaystyle \ forall A، \ exist X، X = A.}$

در عبارت بالا فرمول A به عنوان X. به نام حالا اقدام به نمونه فرمول با (X → Y) برای A. این حال، این ممکن نیست، به عنوان دامنه $\ وجود دارد X$ در محدوده $\ forall A$ به ترتیب کمیسازها ممکن است با استفاده از Skolemization معکوس شود :

${\ displaystyle \ وجود دارد f ، \ forall A ، f (A) = A.}$

با این حال ، در حال حاضر instantiation می دهد

${\ displaystyle f (X \ به Y) = X \ به Y ،}$ که نقطه شروع اثبات نیست و منجر به تناقض نمی شود. هیچ مثال دیگری برای A وجود ندارد که منجر به نقطه شروع پارادوکس شود.

وضوح در نظریه مجموعه [ ویرایش ]

در نظریه مجموعه های Zermelo -Fraenkel (ZFC) ، بدیهیات درک نامحدود با گروهی از بدیهیات که اجازه ساخت مجموعه ها را می دهد جایگزین می شود. بنابراین نمی توان پارادوکس کاری را در ZFC بیان کرد. ZFC در پاسخ به پارادوکس راسل تکامل یافت.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Curry%27s_paradox

پارادوکس دادگاه

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم شهریور ۱۴۰۰ | 21:47

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

رفتن به ناوبری پرش به جستجو

پارادوکس دادگاه ، همچنین به عنوان شناخته شده counterdilemma از Euathlus یا پروتاگوراس "پارادوکس ، یک است تناقض منشاء آن در یونان باستان .

فهرست

مورد [ ویرایش ]

گفته می شود که پروتاگوراس ، سوفسطای مشهور ، دانش آموز امیدوار کننده ای را به نام ایواتلوس پذیرفت ، زیرا این دانش آموز پس از برنده شدن در اولین پرونده دادگاه ، هزینه آموزش پروتاگوراس را پرداخت می کند. پس از آموزش ، یواتلوس تصمیم گرفت که وارد حرفه وکالت نشود ، بلکه به جای آن وارد سیاست می شود ، و بنابراین پروتاگوراس تصمیم می گیرد که از یواتلوس برای مبلغی که به او بدهکار است شکایت کند. [1]

استدلالها [ ویرایش ]

پروتاگوراس استدلال کرد که اگر او در این پرونده برنده شود ، پول او پرداخت می شود. اگر یواتلوس در این پرونده برنده می شد ، پروتاگوراس همچنان طبق قرارداد اولیه دستمزد می گرفت ، زیرا یواتلوس اولین پرونده خود را برنده می شد. با این حال ، یواتلوس ادعا کرد که در صورت برنده شدن ، با تصمیم دادگاه مجبور به پرداخت هزینه پروتاگوراس نخواهد بود. اگر از سوی دیگر ، پروتاگوراس برنده می شد ، پس یواتلوس هنوز در پرونده ای برنده نمی شد و بنابراین ملزم به پرداخت نخواهد بود. بنابراین این س isال مطرح می شود که کدامیک از این دو مرد حق دارند؟

منشا [ ویرایش ]

داستان توسط نویسنده لاتین Aulus Gellius در شبهای زیر شیروانی مرتبط است . [2]

میراث [ ویرایش ]

این پارادوکس اغلب برای اهداف طنز آمیز ذکر می شود تا نشانه ای از "نژاد تصادف" همیشه بین دسته های پزشکی قانونی و سیاسی باشد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Paradox_of_the_Court

معضل تمساح

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم شهریور ۱۴۰۰ | 21:42

رفتن به ناوبری پرش به جستجو

برای قسمت فارگو ، معمای تمساح را ببینید .

تناقض تمساح ، همچنین به عنوان سفسطه تمساح شناخته می شود، است تناقض در منطق در خانواده از پارادوکس به عنوان پارادوکس دروغگو . [1] در این فرضیه آمده است که یک تمساح ، که کودکی را به سرقت برده است ، به والدین قول می دهد که فرزندش در صورتی بازگردانده می شود که تنها در صورتی که به درستی پیش بینی کند که تمساح بعدی چه خواهد کرد.

اگر والدین حدس بزنند که کودک بازگردانده می شود ، معامله از نظر منطقی روان است ، اما غیرقابل پیش بینی است ، اما اگر والدین حدس بزنند که کودک بازگردانده نمی شود ، یک معضل برای تمساح پیش می آید. در صورتی که تمساح تصمیم به نگهداری کودک بگیرد ، شرایط وی را نقض می کند: پیش بینی والدین تأیید شده است ، و کودک باید بازگردانده شود. با این حال ، در صورتی که تمساح تصمیم به بازگرداندن فرزند خود می گیرد ، او همچنان شرایط خود را نقض می کند ، حتی اگر این تصمیم بر اساس نتیجه قبلی باشد: پیش بینی والدین جعل شده است و کودک نباید بازگردانده شود. بنابراین این سوال که تمساح باید چه کند باید متناقض باشد و هیچ راه حل موجهی وجود ندارد. [2] [3] [4]

معضل تمساح به افشای برخی از مشکلات منطقی ارائه شده توسط فراشناخت کمک می کند . از این نظر ، از نظر ساخت و ساز شبیه پارادوکس آویزان غیر منتظره است ، که ریچارد مونتاگ (1960) برای نشان دادن این که مفروضات زیر در مورد دانش هنگام آزمایش در ترکیب ناسازگار است ، استفاده می کند: [2]

(i) اگر ρ درست شناخته شود ، پس ρ .

(ii) مشخص است که (i).

(iii) اگر ρ دلالت بر σ دارد ، و ρ درست شناخته شده است ، پس σ نیز صادق است.

منابع یونان باستان اولین کسانی بودند که درباره معضل تمساح صحبت کردند. [1]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Crocodile_dilemma

پارادوکس بری

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم شهریور ۱۴۰۰ | 21:36

تناقض بری است خود ارجاع تناقض ناشی از یک عبارت مانند "کوچکترین عدد صحیح مثبت نیست تعریف در کمتر از شصت حروف" (یک عبارت با حروف پنجاه و هفت).

برتراند راسل ، اولین به بحث در مورد تناقض در چاپ، آن را منسوب به GG بری (1867-1928)، [1] یک تازه وارد کتابدار در آکسفورد را کتابخانه بودلیان . راسل بری را "تنها فردی در آکسفورد که منطق ریاضی را درک می کرد" نامید. [2]

فهرست

نمای کلی [ ویرایش ]

عبارت را در نظر بگیرید:

"کوچکترین عدد صحیح مثبت با کمتر از شصت حرف قابل تعریف نیست."

از آنجا که در حروف الفبای انگلیسی فقط بیست و شش حرف وجود دارد ، بی نهایت تعداد زیادی عبارت زیر شصت حرف وجود دارد ، و از این رو بی نهایت اعداد صحیح مثبت که با عبارات زیر شصت حرف تعریف می شوند. از آنجا که بی نهایت تعداد صحیح مثبت وجود دارد ، این بدان معناست که اعداد صحیح مثبت وجود دارد که نمی توان آنها را با عبارات زیر شصت حرف تعریف کرد. اگر اعداد صحیح مثبت وجود داشته باشد که ویژگی خاصی را برآورده می کند ، کوچکترین عدد صحیح مثبت وجود دارد که آن ویژگی را برآورده می کند. بنابراین ، کوچکترین عدد صحیح مثبت وجود دارد که ویژگی "با کمتر از شصت حرف قابل تعریف نیست" را برآورده می کند. این عددی است که عبارت بالا به آن اشاره دارد. اما عبارت بالا حروف تنها پنجاه و هفت است طولانی، به همین دلیل آن است تعریف در کمتر از شصت نامه ها، و استنمی کوچکترین عدد صحیح مثبت را در کمتر از شصت نامه تعریف نیست، و نه توسط این عبارت تعریف شده است. این یک تناقض است: باید یک عدد صحیح با این عبارت تعریف شود ، اما از آنجا که این عبارت با خود متناقض است (هر عددی که آن را زیر شصت حرف تعریف کند) ، نمی توان عددی صحیح را با آن تعریف کرد.

شاید قیاس مفید دیگر پارادوکس بری عبارت "احساس وصف ناپذیر" باشد. [3] اگر احساس واقعاً وصف ناپذیر باشد ، هیچ توصیفی از احساس درست نخواهد بود. اما اگر کلمه "وصف ناپذیر" چیزی را در مورد احساس بیان می کند ، ممکن است آن را توصیف در نظر بگیریم: این با خود متناقض است.

Gregory J. Chaitin ریاضیدان و دانشمند کامپیوتر در The Unknowable (1999) این نظر را می افزاید: "خب ، تاریخدان ریاضی مکزیکی آلخاندرو گارسیدیگو برای یافتن آن نامه [نامه بری که راسل اظهارات خود را از آن نوشته است] زحمت کشیده است ، و این درست است متن بری در واقع در مورد اولین دستورالعمل صحبت می کند که نمی توان در تعداد محدود کلمات نام برد. طبق نظریه کانتور ، چنین نظمی باید وجود داشته باشد ، اما ما فقط آن را در تعداد محدود کلمات نامگذاری کرده ایم ، که تناقض است. "

وضوح [ ویرایش ]

پارادوکس بری به عنوان فرمول بالا به دلیل ابهام سیستماتیک در کلمه "قابل تعریف" بوجود می آید . در فرمول بندی های دیگر پارادوکس بری ، مانند آن که می گوید: "... در کمتر نامی ..." اصطلاح "نامی" نیز واژه ای است که دارای این ابهام سیستماتیک است. شرایطی از این دست باعث مغالطه های دور باطل می شود . سایر اصطلاحات با این نوع ابهام عبارتند از: رضایت بخش ، درست ، غلط ، عملکرد ، ویژگی ، کلاس ، رابطه ، اصلی و ترتیبی. [4] حل یکی از این پارادوکسها به این معنی است که دقیقاً مشخص کرده است که استفاده از زبان ما در کجا اشتباه بوده و محدودیت هایی در استفاده از زبان ایجاد می کنیم که ممکن است از آنها اجتناب کند.

این خانواده پارادوکس ها را می توان با ترکیب قشربندی معنا در زبان حل کرد. اصطلاحات با ابهام سیستماتیک ممکن است با زیرنویس هایی نوشته شوند که نشان می دهد یک سطح از معنا در تفسیر آنها از اولویت بیشتری نسبت به دیگری برخوردار است. تحت این طرح "عدد قابل نامگذاری 0 در کمتر از یازده کلمه" ممکن است 1 در کمتر از یازده کلمه نامگذاری شود . [5]

آنالوگ های رسمی [ ویرایش ]

با استفاده از برنامه ها یا اثبات طول محدود ، می توان آنالوگ عبارت بری را به زبان ریاضی رسمی ساخت ، همانطور که توسط گرگوری چیتین انجام شده است . اگرچه آنالوگ رسمی منجر به تناقض منطقی نمی شود ، اما نتایج غیرممکن خاصی را اثبات می کند.

جورج بولوس (1989) بر اساس نسخه رسمی پارادوکس بری بنا کرد تا قضیه ناتمامی گودل را به روشی جدید و بسیار ساده تر ثابت کند. ایده اصلی اثبات او این است که گزاره ای که x و n دارد اگر x = n برای یک عدد طبیعی n را بتوان برای n تعریف کرد و مجموعه {( n ، k ): n دارای تعریفی است که is k نمادهای long} را می توان نشان داد (با استفاده از اعداد گودل ). سپس گزاره " ماولین عددی است که با کمتر از k نماد قابل تعریف نیست "می تواند رسمی شود و به معنایی که گفته شد یک تعریف باشد.

رابطه با پیچیدگی کولموگروف [ ویرایش ]

مقاله اصلی: پیچیدگی کولموگروف

به طور کلی نمی توان حداقل تعداد نمادهای مورد نیاز برای توصیف یک رشته (با توجه به مکانیسم توصیف خاص) را به طور ابهام تعریف کرد. در این زمینه ، اصطلاحات رشته و عدد ممکن است به جای یکدیگر استفاده شوند ، زیرا یک عدد در واقع رشته ای از نمادها است ، به عنوان مثال یک کلمه انگلیسی (مانند کلمه "یازده" که در پارادوکس استفاده می شود) در حالی که ، از طرف دیگر ، ممکن است اشاره به هر کلمه ای با عدد ، به عنوان مثال با تعداد موقعیت آن در فرهنگ لغت معین یا رمزگذاری مناسب. برخی از رشته های طولانی را می توان دقیقاً با استفاده از نمادهای کمتر از نمادهای مورد نیاز برای نمایش کامل آنها توصیف کرد ، همانطور که اغلب با فشرده سازی داده ها به دست می آیدبه سپس پیچیدگی یک رشته معین به عنوان حداقل طول مورد نیاز برای توصیف به منظور (بدون ابهام) ارجاع کامل به آن رشته تعریف می شود.

پیچیدگی کولموگروف با استفاده از زبانهای رسمی یا ماشینهای تورینگ تعریف می شود که از ابهاماتی در مورد رشته ای که از توضیحات داده شده ناشی می شود جلوگیری می کند. می توان ثابت کرد که پیچیدگی کولموگروف قابل محاسبه نیست. اثبات تناقض نشان می دهد که اگر می توان پیچیدگی کولموگروف را محاسبه کرد ، همچنین می توان به طور سیستماتیک پارادوکس هایی شبیه به این یکی را ایجاد کرد ، یعنی توصیف هایی کوتاهتر از آنچه پیچیدگی رشته توصیف می کند. به این معنا که تعریف عدد بری متناقض است زیرا در واقع محاسبه چند کلمه برای تعریف یک عدد امکان پذیر نیست و می دانیم که چنین محاسبه ای به دلیل تناقض امکان پذیر نیست.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پارادوکس Bhartrhari ، مقاله ای در سال 1981 در مورد بحث Bhartṛhari در قرن پنجم در مورد پارادوکس خود ارجاعی ، از جمله این واقعیت که بیان چیزی که نامش ناپذیر است آن را نامی می کند
بیور شلوغ
قضیه ناتمامی Chaitin
عدد قابل تعریف
پارادوکس هیلبرت -برنایز
پارادوکس اعداد جالب
پارادوکس ریچارد

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Berry_paradox

بهارتهاری

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم شهریور ۱۴۰۰ | 21:30

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(تغییر مسیر از پارادوکس بهارتارهاری )

برای قهرمان عامیانه ، Bharthari (پادشاه) را ببینید . برای سایر کاربردها ، بهارته اریرا ببینید .

بهارتهاری ( دوناگری : भर्तृहरि ؛ نیز به عنوان romanised بهارتهاری ؛ FL . ج قرن 5 میلادی) است سانسکریت نویسنده به آنها به طور معمول نسبت داده دو نفوذ سانسکریت متون:

Vākyapadīya ، در دستور زبان سانسکریت و فلسفه زبانی، زمینه بنیادی در سنت دستوری هند، توضیح تئوری های متعدد بر روی کلمه و جمله، از جمله نظریه هایی که آمدند تا تحت نام شناخته می شوند Sphoṭa ؛ در این اثر ، برترهری همچنین مشکلات منطقی مانند پارادوکس دروغگو و پارادوکس ناشناس بودن یا بی اهمیت بودن را که به عنوان پارادوکس بهارتری شناخته شده است ، مورد بحث قرار داد و
Śatakatraya ، یک کار از شعر سانسکریت ، شامل سه مجموعه از هر مورد 100 بند. ممکن است توسط همان نویسنده ای باشد که دو اثر دستوری ذکر شده را ساخته است.

در سنت قرون وسطایی تحصیلات هندی ، فرض بر این بود که هر دو متن توسط یک شخص نوشته شده است. [به نقل از منبع ] فیلولوژیست های مدرن به دلیل بحثی که دستور زبان را به تاریخ بعد از شعر قدمت می گذارد ، نسبت به این ادعا تردید داشتند. [ نیازمند منبع ] از آنجا که 1990s، با این حال، محققان توافق کرده اند که هر دو اثر در واقع ممکن است معاصر بوده است، که در این صورت معقول است که تنها یک Bhartrihari که هر دو متن نوشته وجود دارد. [ نیازمند منبع ]

هر دو دستور زبان و آثار شاعرانه تأثیر بسزایی در زمینه های مربوط به خود داشتند. گرامر به طور خاص ، یک دید کلی نسبت به زبان دارد و با موقعیت ترکیب بندی میمامساکاها و دیگران مقابله می کند.

به گفته Aithihyamala ، او همچنین متون دیگری مانند Harikītika و Amaru Shataka را به خود اختصاص داده است .

این شعر شامل ابیات کوتاهی است که در سه قرن جمع آوری شده و هر کدام صد شعر دارند. هر قرن با rasa یا خلق و خوی زیباشناختی متفاوت سروکار دارد. در کل کار شاعرانه او هم در سنت و هم در دانش مدرن بسیار مورد توجه قرار گرفته است.

نام Bhartrihari همچنین گاهی با Bhartrihari traya Shataka ، پادشاه افسانه ای Ujjaini در قرن 1 همراه است.

فهرست

تاریخ و هویت [ ویرایش ]

گزارش مسافر چینی یی-جینگ نشان می دهد که دستور زبان بهارتریاری تا سال 670 میلادی شناخته شده است و احتمالاً او بودایی بوده است ، اما شاعر اینطور نبود. بر این اساس ، نظرات علمی قبلاً این دستور زبان را به نویسنده جداگانه ای با همین نام از قرن هفتم میلادی نسبت داده بود. [1] با این حال ، شواهد دیگر تاریخ بسیار زودتری را نشان می دهد:

مدت ها اعتقاد بر این بود که بهارتریاری در قرن هفتم میلادی زندگی می کرده است ، اما طبق شهادت حجاج چینی ییجینگ [...] او نزد فیلسوف بودایی دیگناگا شناخته شده بود ، و این امر تاریخ او را به قرن پنجم میلادی برمی گرداند.
- [2]

یک دوره ج. 450-500 [3] "قطعاً حداکثر تا 425-450" ، [4] یا ، به دنبال اریش فروالنر ، 450-510 [5] [6] یا شاید 400 قبل از میلاد یا حتی زودتر. [7]

به نظر نمی رسد ادعای دیگر یی-جینگ ، مبنی بر اینکه بوداریهاری بودایی بوده است. موقعیت فلسفی خود را به طور گسترده ای برگزار می شود که شاخه ای از Vyakaran یا مدرسه دستور زبان، نزدیک به متحد واقع گرایی از Naiyayikas و به طور مشخصی به مواضع بودایی مانند مخالف Dignaga ، که به نزدیک تر است پدیده گرایی . همچنین با سایر mImAMsakas مانند Kumarila Bhatta مخالف است . [8] [9] با این حال ، برخی از ایده های او متعاقباً بر برخی از مکاتب بودایی تأثیر گذاشت ، که ممکن است باعث شود یی-جینگ گمان برد که او ممکن است بودایی باشد.

بنابراین ، در کل به نظر می رسد که دیدگاه سنتی سانسکریتیست ، که شاعر شاتاکاترای همان استاد دستور زبان بهارتهاری است ، پذیرفته شود.

اینگالز (1968) ، محقق برجسته سانسکریت ، اظهار داشت که "من دلیلی نمی بینم که او نباید شعرها و دستور زبان و متافیزیک را سروده باشد " ، مانند دارماکیری ، شانکاراچاریا و بسیاری دیگر. [10] خود یی جینگ تصور می کرد که آنها یک شخص هستند ، زیرا او نوشت که (دستور زبان) برارتهاری ، نویسنده وکیاپادیا ، به دلیل تزلزل خود بین راهبایی بودایی و زندگی لذت بخش ، و به خاطر نوشتن آیاتی در عنوان. [11] [12]

وکیاپادیا [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اسفونیا

نظرات بهارتریاری در مورد زبان مبتنی بر دستور زبان های قبلی مانند پاتانجالی است ، اما کاملاً رادیکال بود. یک عنصر کلیدی از مفهوم خود را از زبان مفهوم است sphoṭa یک اصطلاح است که ممکن است در دستور زبان باستان، بر اساس - Sphoṭāyana ، ارجاع شده توسط پانینی متخصص ، [13] در حال حاضر از دست داد.

او در Mahabhashya ، پاتانجلی (2 قرن پیش از میلاد) با استفاده از اصطلاح sphoṭa به معنی صدای زبان، جهانی، در حالی که صدای واقعی ( dhvani ) ممکن است طولانی یا کوتاه، و یا در راه های دیگر متفاوت است. ممکن است تصور شود که این تمایز شبیه تصور کنونی واج است . بهارتهاری با این حال، اعمال مدت sphota به هر عنصر از سخن گفتن، وارنا نامه و یا هجا، پادا کلمه، و vākya این حکم است. او استدلال می کند که برای ایجاد تغییر ناپذیر زبانی ، باید به عنوان کلهای جداگانه ( varṇasphoṭa ، padasphoṭa و vākyasphoṭa) رفتار کرد.به ترتیب). به عنوان مثال ، یک صدای گفتاری یا واریا ممکن است دارای ویژگی های متفاوتی در زمینه های مختلف کلمه باشد (به عنوان مثال جذب ) ، به طوری که تا زمانی که کل کلمه شنیده نشود ، نمی توان صدا را تشخیص داد.

علاوه بر این ، بهارتهاری استدلال می کند که یک جمله جامع از جمله در مورد معنا وجود دارد و می گوید که معنی یک عبارت فقط پس از دریافت کل جمله ( vākyasphoṭa ) شناخته می شود و از عناصر اتمی فردی یا واحدهای زبانی که ممکن است تغییر کند ، تشکیل نشده است. تفسیر آنها بر اساس عناصر بعدی در بیان. علاوه بر این ، کلمات فقط در زمینه جمله ای که معنی آن به طور کلی مشخص است ، درک می شوند. استدلال او در این باره بر اساس فراگیری زبان بود ، به عنوان مثال در نظر بگیرید که کودک تبادل زیر را مشاهده می کند:

بزرگسال مسن ( uttama-vṛddha "بزرگسال"): می گوید "اسب را بیاور"

جوانتر ( madhyama-vṛddha "نیمه بزرگ"): با آوردن اسب واکنش نشان می دهد

کودک که این را مشاهده می کند ، ممکن است بداند که واحد "اسب" به حیوان اشاره دارد. اگر کودک جمله را به طور پیشینی نداند ، درک مفهوم کلمات بدیع برای او دشوار خواهد بود. بنابراین ، ما معنای جمله را به صورت کلی درک می کنیم ، و کلمات را به عنوان بخشهایی از جمله ، و معانی کلمه را به عنوان قسمتهای جمله به معنی "تجزیه و تحلیل ، ترکیب و انتزاع" ( apoddhāra ) می رسانیم . [8]

نظریه sphoṭa تأثیرگذار بود ، اما بسیاری دیگر با آن مخالفت کردند. بعد Mimamsakas مانند Kumarila Bhatta به (ج. 650 CE) به شدت مشاهده vākyasphoṭa را رد کرد، و بحث از قدرت تفکیکی هر کلمه، با این استدلال برای ترکیب معانی ( abhihitānvaya ). Prabhakara مدرسه (ج. 670) در میان Mimamsakas حال در زمان و موقعیت کمتر به اتم، با این استدلال که کلمه معانی وجود داشته باشد، اما توسط بافت (تعیین anvitābhidhāna ).

در بخشی از فصل رابطه بهارتهاری پارادوکس دروغگو را مورد بحث قرار می دهد و یک پارامتر پنهان را مشخص می کند که یک وضعیت بدون مشکل در زندگی روزمره را به یک پارادوکس سرسخت تبدیل می کند. علاوه بر این ، بهارترهاری در اینجا در مورد پارادوکسی بحث می کند که هانس و رادیکا هرتزبرگر آن را " پارادوکس بهارتارهاری " نامیده اند . [14] این تناقض از عبارت "این نام ناپذیر است" یا "این بی اهمیت است" ناشی می شود.

Mahābhāṣya-dīpikā (همچنین Mahābhāṣya-TIKA ) یک subcommentary در اوایل پاتانجلی است Vyākaraṇa-Mahābhāṣya ، نیز به بهارتهاری نسبت داد. [15]

Śatakatraya [ ویرایش ]

مقاله اصلی: Śatakatraya

شعر بهارتهاری است موجز ، و نظرات در آداب و رسوم اجتماعی از زمان. اثر گردآوری شده به عنوان Śatakatraya "سه śatakas یا" صدها "(" قرن ")" شناخته می شود ، شامل سه مجموعه موضوعی در مورد shringara ، vairagya و niti (به طور شل: عشق ، دلسوزی و رفتار اخلاقی) هر کدام از صد آیه است.

متأسفانه نسخه های خطی موجود این شاتاکاها در آیات ذکر شده بسیار متفاوت است. DD Kosambi یک هسته دویست را شناسایی کرد که در همه نسخه ها مشترک است. [10]

در اینجا نمونه ای است که در مورد عادات اجتماعی اظهار نظر می کند:

yasyāsti vittaṃ sa naraḥ kulīnaḥ sa paṇḍitaḥ sa śrutavān guṇajñaḥ sa eva vaktā sa ca darśanīyaḥ sarve guṇaḥ kāñcanam āśrayanti	یک فرد ثروتمند متولد عالمان حکیم و فهیم فصیح و حتی خوش تیپ است- همه فضیلت ها لوازم طلا هستند! [16]
-#51	- ترجمه باربارا استولر میلر

و در اینجا یکی به موضوع عشق می پردازد:

شعله روشن روشن تشخیص انسان می میرد

وقتی دختری با چشمان مشکی لامپش آن را کدر می کند. [بهارتهاری #77 ، tr. جان برو ؛ شعر 167] [17]

پارادوکس بهتراری [ ویرایش ]

پارادوکس بهرترهاری عنوان مقاله ای است که توسط هانس و رادیکا هرتزبرگر در سال 1981 منتشر شد [14] که به بحث درباره پارادوکسهای خود ارجاعی در اثر واکیاپادیا نسبت داده شده به بهارتهاری توجه کرد.

در فصل مربوط به روابط منطقی و زبانی ، Sambandha-samuddeśa ، بهارتهاری چندین گزاره از نوع پارادوکسیکال را مورد بحث قرار می دهد ، از جمله sarvam mithyā bravīmi "همه چیزهایی که من می گویم نادرست است" که متعلق به خانواده پارادوکس دروغگو است ، و همچنین پارادوکس بوجود آمده از بیانیه ای که چیزی است نامگذاری و یا unsignifiable (در سانسکریت: avācya ): این می شود دقیقا شایسته نام بردن و یا signifiable با تماس با آن نامگذاری و یا unsignifiable. وقتی در مورد اعداد صحیح به کار می رود ، امروزه دومی به عنوان پارادوکس بری شناخته می شود .

علاقه Bhartrhari نه در تقویت این و سایر پارادوکسها با انتزاع آنها از زمینه عملگرا ، بلکه در بررسی چگونگی ایجاد یک پارادوکس سرسخت از موقعیتهای بدون مشکل در ارتباطات روزانه است.

یک موقعیت بدون مشکل ارتباط به یک پارادوکس تبدیل می شود - ما یا تناقض داریم ( virodha ) یا پسرفت نامتناهی ( anavasthā ) - هنگامی که انتزاع از دلالت و بسط آن در زمان انجام می شود ، با پذیرش یک کارکرد همزمان ، مخالف ( apara vyāpāra ) قبلی [18]

برای بهارتهاری مهم است که به تجزیه و تحلیل و حل پارادوکس unsignifiability چرا که او بر آن است که آنچه را نمی توان مدلول شود ممکن است با این حال نشان داده شود ( vyapadiśyate ) و آن را ممکن است درک ( pratīyate ) وجود داشته باشد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Bhart%E1%B9%9Bhari#Bhartrhari's_paradox

تناقض آرایشگر

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم شهریور ۱۴۰۰ | 21:25

تناقض آرایشگر است پازل به دست آمده از پارادوکس راسل . این مورد توسط برتراند راسل به عنوان تصویری از پارادوکس مورد استفاده قرار گرفت ، گرچه او آن را به شخصی ناشناس نسبت می دهد که آن را به او پیشنهاد کرده است. [1] این پازل نشان می دهد که یک سناریوی ظاهراً محتمل از نظر منطقی غیرممکن است. به طور خاص ، این یک آرایشگر را توصیف می کند که به گونه ای تعریف شده است که هم خودش را اصلاح می کند و هم خودش را نمی تراشد ، که به این معنی است که هیچ آرایشگری وجود ندارد. [2] [3]

فهرست

پارادوکس [ ویرایش ]

آرایشگر "کسی است که همه آنها را اصلاح می کند ، و تنها کسانی که خود را نمی تراشند". س isال این است که آیا آرایشگر خود را اصلاح می کند؟ [1]

پاسخ به این س aال منجر به تناقض می شود. آرایشگر نمی تواند خود را اصلاح کند همانطور که فقط کسانی را اصلاح می کند که خود را اصلاح نمی کنند. بنابراین ، اگر او خود را اصلاح کند ، دیگر آرایشگر نخواهد بود. برعکس ، اگر آرایشگر خود را اصلاح نکند ، در گروه افرادی قرار می گیرد که توسط آرایشگر تراشیده می شوند و بنابراین ، به عنوان آرایشگر ، باید خودش را اصلاح کند.

این پارادوکس در شکل اصلی خود راه حلی ندارد ، زیرا چنین آرایشگری نمی تواند وجود داشته باشد. س question ال یک س loadال بارگذاری شده است که وجود آرایشگر را فرض می کند ، که نادرست است. تغییرات غیر متناقض دیگری نیز وجود دارد ، اما آنها متفاوت هستند. [3]

تاریخچه [ ویرایش ]

این پارادوکس اغلب به اشتباه به برتراند راسل نسبت داده می شود (به عنوان مثال ، توسط مارتین گاردنر در Aha! ). آن را به گاردنر به عنوان یک فرم جایگزین پیشنهاد شد پارادوکس راسل ، [1] که راسل ابداع کرده بود تا نشان دهد که تئوری مجموعه آن را به عنوان استفاده شد گئورگ کانتور و گوتلوب فرگه موجود تناقض است. با این حال ، راسل انکار کرد که پارادوکس باربر نمونه ای از خود اوست:

این تناقض [پارادوکس راسل] بسیار جالب است. می توانید فرم آن را تغییر دهید ؛ برخی از اشکال اصلاح معتبر هستند و برخی دیگر نه. من یک بار یک فرم به من پیشنهاد کردند که معتبر نبود ، یعنی این سوال که آیا آرایشگر خودش را اصلاح می کند یا نه. شما می توانید آرایشگر را به عنوان "کسی که همه آنها را اصلاح می کند ، و تنها کسانی که خود را اصلاح نمی کنند" تعریف کنید. س isال این است که آیا آرایشگر خود را اصلاح می کند؟ در این شکل حل تناقض چندان دشوار نیست. اما در شکل قبلی ما فکر می کنم واضح است که شما فقط می توانید با مشاهده این نکته که کل س whetherالی که یک کلاس عضو است یا خیر عضو نیست ، مزخرف است ، یعنی هیچ کلاسی عضو خود نیست یا نیست. ، و اینکه گفتن آن حتی درست نیست ، زیرا کل شکل کلمات فقط سر و صدا بدون معنی است.
- برتراند راسل ، فلسفه اتمیسم منطقی [1]

این نکته در نسخه های کاربردی پارادوکس راسل بیشتر توضیح داده شده است .

در منطق مرتبه اول [ ویرایش ]

${\ displaystyle (\ x وجود دارد) ({\ text {person}} (x) \ wedge (\ forall y) ({\ text {person}} (y) \ implies ({\ text {shaves}} (x، y) \ iff \ neg {\ text {shaves}} (y، y))))}$

این جمله می گوید آرایشگر x وجود دارد. آن ارزش صدق نادرست است، به عنوان بند وجودی unsatisfiable (یک تناقض) است، زیرا از سور $(\برای همه )$ به مقدارسنج جهانی y شامل هر عنصر در دامنه ، از جمله آرایشگر بدنام x ما خواهد بود. بنابراین وقتی مقدار x به y اختصاص داده می شود ، جمله موجود در کمیساز جهانی را می توان دوباره نوشت ${\ displaystyle {\ text {shaves}} (x، x) \ iff \ neg {\ text {shaves}} (x، x)}$ ، که نمونه ای از تناقض است ${\ displaystyle a \ iff \ neg a}$ به از آنجا که این جمله برای آن مقدار خاص نادرست است ، کل عبارت جهانی نادرست است. از آنجا که بند وجودی با یک عملوند اشتباه همراه است ، کل جمله نادرست است. راه دیگر برای نشان دادن این امر نفی کل جمله و رسیدن به یک تووتولوژی است . هیچ کس آرایشگر نیست ، بنابراین هیچ راه حلی برای پارادوکس وجود ندارد. [2] [3]

${\ displaystyle (\ x وجود دارد) ({\ text {person}} (x) \ wedge \ bot)}$

${\ displaystyle (\ x وجود دارد) (\ bot)}$

$\ ربات$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Barber_paradox

پارادوکس دما

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم شهریور ۱۴۰۰ | 21:21

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پارادوکس دما یا پارادوکس Partee یک معمای کلاسیک در معناشناسی رسمی و منطق فلسفی است . فرموله شده توسط باربارا پارته ، شامل استدلال زیر است که به اشتباه توسط بسیاری از رسمی سازی ها معتبر پیش بینی می شود.

دما در حال افزایش است.
دما نود است.
بنابراین ، نود در حال افزایش است. (نتیجه گیری نامعتبر)

برای پیش بینی صحیح بی اعتبار بودن این استدلال ، یک رسمی سازی باید این واقعیت را تأیید کند که فرض اول ادعایی در مورد تغییر دما در طول زمان ارائه می دهد ، در حالی که مورد دوم در مورد دما در یک نقطه خاص از زمان اظهار نظر می کند. ریچارد مونتاگ پارادوکس را به عنوان شواهدی مبنی بر اینکه اسامی مفاهیم فردی را نشان می دهد ، که به عنوان توابع از یک جفت جهانی به یک فرد تعریف می شود ، در نظر گرفت. [1] [2] [3]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Temperature_paradox

پارادوکس حلق آویز غیر منتظره

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیستم شهریور ۱۴۰۰ | 21:19

غیر منتظره پارادوکس حلق آویز و یا تعجب آزمون تناقض است تناقض در مورد انتظارات یک فرد را در مورد زمان بندی یک رویداد آینده که به آنها گفته در زمان غیر منتظره رخ خواهد داد. این پارادوکس در مورد به دار آویختن یک زندانی یا امتحان غافلگیر کننده در مدرسه به کار می رود. اولین بار در ستون بازیهای ریاضی مارتین گاردنر در مارس 1963 در مجله Scientific American به عموم معرفی شد.

در مورد ماهیت دقیق آن اجماع وجود ندارد و در نتیجه در مورد یک قطعنامه متعارف توافق نشده است. [1] تجزیه و تحلیل منطقی بر "ارزشهای حقیقت" متمرکز است ، به عنوان مثال با شناسایی آن به عنوان پارادوکس خود ارجاع. در عوض ، مطالعات معرفت شناسی پارادوکس بر مسائل مربوط به دانش متمرکز است . [2] برای مثال ، یک تفسیر آن را به پارادوکس مور تقلیل می دهد . [3] برخی آن را "مشکلی مهم" برای فلسفه می دانند. [4]

فهرست

توضیحات [ ویرایش ]

پارادوکس به شرح زیر توصیف شده است: [5]

قاضی به یک زندانی محکوم می گوید که او ظهر یک روز هفته در هفته بعد به دار آویخته می شود اما اعدام برای زندانی غافلگیر کننده خواهد بود. تا زمانی که جلاد ظهر آن روز جلوی در سلولش را بکوبد ، او روز اعدام را نمی داند.
زندانی پس از تأمل در حکم خود به این نتیجه می رسد که از حلق آویز فرار می کند. استدلال او در چند قسمت است. او با این نتیجه گیری شروع می کند که "حلق آویز" نمی تواند روز جمعه باشد ، زیرا اگر تا پنجشنبه به دار آویخته نشده باشد ، تنها یک روز دیگر باقی مانده است - و بنابراین اگر او روز جمعه به دار آویخته شود ، تعجب آور نخواهد بود. از آنجا که در حکم قاضی مقرر شده بود که اعدام برای او غافلگیرکننده است ، نتیجه می گیرد که نمی تواند در روز جمعه رخ دهد.
او سپس استدلال می کند که به دار آویختن غافلگیر کننده نمی تواند پنجشنبه نیز باشد ، زیرا جمعه قبلاً حذف شده است و اگر او تا ظهر چهارشنبه به دار آویخته نشده باشد ، این مجازات باید در روز پنجشنبه اتفاق بیفتد ، و این امر باعث تعطیلی پنج شنبه نیز نمی شود. با استدلال مشابه ، او نتیجه می گیرد که به دار آویختن نیز نمی تواند چهارشنبه ، سه شنبه یا دوشنبه رخ دهد. او با خوشحالی مطمئن است که به سلول خود باز می گردد و مطمئن است که به دار آویختن به هیچ وجه اتفاق نخواهد افتاد.
هفته بعد ، جلاد ظهر چهارشنبه درب زندانی را می زند - که با وجود همه موارد فوق ، برای او غافلگیرکننده بود. هرچه قاضی گفت به حقیقت پیوست.

نسخه های دیگر پارادوکس حکم اعدام را با تمرین آتش سوزی ناگهانی ، معاینه ، مسابقه پاپ ، راه اندازی آزمون A/B ، شیر پشت در یا پیشنهاد ازدواج قبل از حرکت به سیاتل جایگزین می کند . [1]

مدرسه منطقی [ ویرایش ]

تدوین اعلام قاضی به منطق رسمی به دلیل معنای مبهم کلمه "تعجب" دشوار می شود. [1] تلاش برای فرمول بندی ممکن است به شرح زیر باشد:

زندانی هفته آینده به دار آویخته می شود و تاریخ (به دار آویختن) شب قبل از فرض وقوع این مجازات در طول هفته (A) قابل استنباط نخواهد بود . [1]

با توجه به این اطلاعیه ، زندانی می تواند استنباط کند که اعدام در آخرین روز هفته رخ نمی دهد. با این حال ، برای بازتولید مرحله بعدی استدلال ، که روز آخر هفته را حذف می کند ، زندانی باید استدلال کند که توانایی او در استنباط ، از عبارت (A) ، این است که اعدام در روز آخر رخ نمی دهد ، دلالت دارد که دار زدن در روزهای دوم تا آخر روز تعجب آور نخواهد بود . [1] اما از آنجا که معنای "تعجب" محدود شده است به غیر قابل استنباط از این فرض که این مجازات در طول هفته اتفاق می افتد به جای این که از عبارت (A) قابل استنتاج نیست ، استدلال مسدود می شود. [1]

این نشان می دهد که فرمول بندی بهتر در واقع این خواهد بود:

زندانی هفته آینده به دار آویخته می شود و تاریخ آن شب قبل از استفاده از این عبارت به عنوان بدیهیات (B) قابل استنباط نیست . [1]

فیچ نشان داده است که این عبارت هنوز هم می تواند در منطق رسمی بیان شود. [6] با استفاده از یک شکل معادل پارادوکس که طول هفته را به دو روز کاهش می دهد ، او ثابت کرد که اگرچه خودارجاعی در همه شرایط نامشروع نیست ، اما در این مورد به این دلیل است که این گزاره با خود متناقض است.

مکتب معرفت شناسی [ ویرایش ]

فرمول های معرفت شناسی مختلفی پیشنهاد شده است که نشان می دهد مفروضات ضمنی زندانی در مورد آنچه در آینده خواهد دانست ، همراه با چندین فرضیه محتمل در مورد دانش ، ناسازگار هستند.

چاو (1998) [7] تجزیه و تحلیل مفصلی از نسخه ای از پارادوکس را ارائه می دهد که در آن یک روز به طور غافلگیرکننده ای به وقوع می پیوندد. با استفاده از تجزیه و تحلیل چاو در مورد پرونده حلق آویز غیرمنتظره (دوباره با کوتاه شدن هفته به دو روز برای سادگی) ، ما با این مشاهده شروع می کنیم که به نظر می رسد اعلام قاضی سه چیز را تأیید می کند:

S1: به دار آویختن دوشنبه یا سه شنبه اتفاق می افتد.
S2: اگر اعدام در روز دوشنبه اتفاق بیفتد ، آنگاه زندانی شامگاه یکشنبه نمی داند که در روز دوشنبه اتفاق خواهد افتاد.
S3: اگر اعدام در روز سه شنبه اتفاق بیفتد ، زندانی شامگاه دوشنبه نمی داند که در روز سه شنبه اتفاق خواهد افتاد.

به عنوان اولین قدم ، زندانی دلیل می آورد که سناریویی که در آن دار آویختن در روز سه شنبه اتفاق می افتد غیرممکن است زیرا منجر به تناقض می شود: از یک سو ، توسط S3 ، زندانی قادر به پیش بینی روز سه شنبه اعدام در شامگاه دوشنبه نخواهد بود. اما از سوی دیگر، با S1 و فرایند حذف، زندانی می شود قادر به پیش بینی حلق آویز سه در روز دوشنبه.

تجزیه و تحلیل چاو به نقص ظریفی در استدلال زندانی اشاره می کند. آنچه غیرممکن است ، دار زدن سه شنبه نیست. در عوض ، آنچه غیرممکن است وضعیتی است که در آن به دار آویختن با وجود اینکه زندانی شامگاه دوشنبه می داند که ادعاهای قاضی S1 ، S2 و S3 همگی درست است ، به دار آویخته می شود.

استدلال زندانی ، که باعث ایجاد تناقض می شود ، می تواند از زمین خارج شود زیرا زندانی به طور ضمنی فرض می کند که عصر دوشنبه (اگر هنوز زنده است) S1 ، S2 و S3 را درست می داند. به نظر می رسد این فرض بر اساس چند دلیل مختلف بی دلیل است. ممکن است استدلال شود که اظهارات قاضی مبنی بر اینکه چیزی حقیقت دارد هرگز نمی تواند زمینه کافی برای دانستن حقیقت زندانی باشد. علاوه بر این ، حتی اگر زندانی چیزی را در زمان حال درست بداند ، عوامل روانشناختی ناشناخته ممکن است این دانش را در آینده پاک کند. سرانجام ، چاو پیشنهاد می کند که چون گفته ای که زندانی باید "درست" بداند ، اظهاراتی در مورد ناتوانی او است.برای "دانستن" برخی موارد ، دلیلی وجود دارد که معتقد باشیم پارادوکس آویزان غیر منتظره نسخه پیچیده تری از پارادوکس مور است . با کاهش طول هفته به یک روز ، می توان به یک قیاس مناسب دست یافت. سپس حکم قاضی می شود: فردا شما را به دار خواهند زد ، اما این را نمی دانید .

پیشنهاد شده است که حذف منطقی زندانی هر روز از هفته را به روز معتبری برای اعدام تبدیل می کند.

در ادبیات [ ویرایش ]

این تناقض در رمان Mr Mee از اندرو کرمی ظاهر می شود : [8]

تیسوت یک سوء تفاهم مشابه را در مورد آموزش من نشان داد وقتی که با عصبانیت مکرر خود و اشغال دائمی میز تحریرم عصبانی شده بودم ، به او گفتم: "هفته آینده قصد دارم همسرت را به اینجا بیاورم تا در آنجا با او صحبت کنی. مشکلات را برطرف کنید. من می دانم که شما نمی خواهید او را ببینید ، و بنابراین من به شما نمی گویم که چه روزی او می آید. اما می توانید مطمئن باشید که قبل از پایان هفته ، او را ملاقات خواهید کرد. '
تیسوت می دانست که همسرش جمعه آینده برای رویارویی با او آورده نمی شود ، زیرا در این صورت او می تواند تا عصر پنجشنبه مطمئن شود که او باید بیاید و او می تواند خود را غایب کند. اما به همان اندازه ، من همچنین باید از پنجشنبه اجتناب کنم ، زیرا در غیر این صورت وقتی چهارشنبه بدون صحنه می گذرد ، به او هشدار داده می شود. تیسوت با اخراج یک روز در میان به شیوه ای مشابه ، به این نتیجه رسید که همسرش هرگز نمی تواند به طور غیرمنتظره ای ظاهر شود تا او را تحریک کند. اما روز پنجشنبه او در را جواب داد تا نه تنها توسط او ، بلکه از طرف مادرش نیز مورد استقبال قرار گیرد. هر دوی آنها با صدای محکم به گوش گوش زدند ، در حالی که من خودم را کمیاب کرده بودم و بی سر و صدا قضاوت می کردم که یک منطق بینوا اینقدر مستحق همه چیز است.

این پارادوکس همچنین در رمان کودکانه More Sideways Arithmetic From Wayside School اثر لویی ساشار ظاهر می شود . در یکی از داستانها ، معلم ، خانم جولز ، قصد دارد هفته بعد یک مسابقه پاپ برگزار کند ، اما از قبل به کلاس اطلاع نمی دهد. بر خلاف پارادوکس کلاسیک ، حذف روزها یکی پس از دیگری باعث می شود خانم جولز این ایده را کنار بگذارد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پارادوکس ضربه بطری
بازی Centipede ، تعادل نش که از مکانیسم مشابهی به عنوان اثبات آن استفاده می کند.
معضل تمساح
پارادوکس اعداد جالب
لیست پارادوکس ها

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox

مطالب قدیمی تر

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

آموزش ریاضی

نظریه هموتوپی منطقی

فهرست

فضاهای منطقی [ ویرایش ]

حلقه کوهومولوژی و هموتوپی جبر دروغ [ ویرایش ]

جبر سالیوان [ ویرایش ]

حداقل مدل سالیوان یک فضای توپولوژیکی [ ویرایش ]

فضاهای رسمی [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

فضاهای بیضوی و هذلولی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نظریه هموتوپی رنگی

فهرست

قضیه همگرایی رنگی [ ویرایش ]

بیانیه [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نظریه هموتوپی پایدار

همچنین ببینید [ ویرایش ]

نظریه هموتوپی

فهرست

مفاهیم [ ویرایش ]

فضاها و نقشه ها [ ویرایش ]

هموتوپی [ ویرایش ]

تراکم و فیبراسیون [ ویرایش ]

طبقه بندی فضاها و عملیات هموتوپی [ ویرایش ]

طیف و کوهولوژی عمومی [ ویرایش ]

قضایای کلیدی [ ویرایش ]

نظریه انسداد و کلاس مشخصه [ ویرایش ]

بومی سازی و تکمیل یک فضا [ ویرایش ]

نظریه های خاص [ ویرایش ]

دسته (رسته)هموتوپی

فهرست

دسته هموتوپی ساده لوحانه [ ویرایش ]

دسته هموتوپی ، به دنبال Quillen [ ویرایش ]

فضاهای ایلنبرگ - مک لاین [ ویرایش ]

نسخه اشاره شده [ ویرایش ]

دسته بندی های بتنی [ ویرایش ]

دسته بندی های مدل [ ویرایش ]

ادامه گروه هموتوپی

فضاها و حوزه های همگن [ ویرایش ]

فضای نمایشی پیچیده [ ویرایش ]

روشهای محاسبه [ ویرایش ]

فهرستی از روشهای محاسبه گروههای هموتوپی [ ویرایش ]

گروه های هموتوپی نسبی [ ویرایش ]

مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

گروه هموتوپی

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

دنباله طولانی طولانی یک فیبراسیون [ ویرایش ]

هموتوپی

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

معادل سازی هموتوپی [ ویرایش ]

هم ارزی هموتوپی در مقابل هومومورفیسم [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

Null-homotopy [ ویرایش ]

عدم تغییر [ ویرایش ]

انواع [ ویرایش ]

هموتوپی نسبی [ ویرایش ]

ایزوتوپی [ ویرایش ]

هموتوپی شبیه به زمان [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

ویژگی های بلند کردن و توسعه [ ویرایش ]

گروه ها [ ویرایش ]

دسته هموتوپی [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

ادامه تنوع محدود

اقدامات تنوع محدود [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

ریاضیات [ ویرایش ]

فیزیک و مهندسی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

ادامه تنوع محدود

**توابع SBV [ ویرایش ]**