ریاضیات

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، در دسته هموتوپی است دسته ساخته شده از این دسته از فضاهای توپولوژیک که در یک معنا شناسایی دو فضا که به همان شکل. این عبارت در واقع برای دو دسته متفاوت (اما مرتبط) استفاده می شود ، همانطور که در زیر مورد بحث قرار گرفته است.

به طور کلی ، به جای شروع با طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی ، می توان با هر دسته مدل شروع کرد و دسته هموتوپی مربوط به آن را تعریف کرد ، با ساختاری که توسط Quillen در 1967 معرفی شد . به این ترتیب ، نظریه هموتوپی را می توان برای بسیاری از مقوله های دیگر در هندسه و جبر.

فهرست

• 1دسته هموتوپی ساده لوحانه
• 2طبقه هموتوپی ، به دنبال Quillen
  • 2.1فضاهای ایلنبرگ - مک لین
  • 2.2نسخه اشاره شده
• 3دسته بندی های بتنی
• 4دسته بندی های مدل
• 5یادداشت
• 6منابع

دسته هموتوپی ساده لوحانه [ ویرایش ]

دسته از فضاهای توپولوژیک بالا است اشیاء فضاهای توپولوژیک و morphisms نقشه های مداوم بین آنها. تعریف قدیمی تر از دسته هموتوپی hTop ، که برای وضوح در این مقاله ، طبقه بندی ساده لوحانه [1] نامیده می شود ، دارای اشیاء یکسانی است و مورفیسم یک کلاس هموتوپی از نقشه های پیوسته است. یعنی دو نقشه پیوسته f : X → Y در دسته هموتوپی ساده لوح یکسان در نظر گرفته می شوند در صورتی که بتوان یکی را به طور پیوسته به دیگری تغییر شکل داد. یک عملگر از بالا به hTop وجود داردکه فضاهایی را برای خود و مورفیسم هایی به کلاسهای هموتوپی آنها می فرستد. نقشه F : X → Y است که به نام هم ارزی هموتوپی اگر آن را یک می شود ریخت در رده هوموتوپی ساده و بی تکلف. [2]

به عنوان مثال: دایره S 1 ، از هواپیما R 2 منهای منشاء، و نوار موبیوس همه homotopy معادل، اگر چه این فضاهای توپولوژیک هستند homeomorphic .

علامت [ X ، Y ] اغلب برای مجموعه ای از شکل بندی ها از یک فضای X به یک فضای Y در رده هموتوپی ساده لوحانه استفاده می شود (اما برای دسته های مربوطه که در زیر مورد بحث قرار می گیرد نیز استفاده می شود).

دسته هموتوپی ، به دنبال Quillen [ ویرایش ]

Quillen (1967) بر مقوله دیگری تأکید کرد که بیشتر طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی را ساده می کند. نظریه پردازان هموتوپی مجبورند هر از گاهی با هر دو دسته کار کنند ، اما اجماع بر این است که نسخه کوئیلن از اهمیت بیشتری برخوردار است ، و بنابراین اغلب اوقات صرفاً "مقوله هموتوپی" نامیده می شود. [3]

در ابتدا یک معادل هموتوپی ضعیف تعریف می شود : یک نقشه پیوسته در صورتی که باعث ایجاد بیهودگی در مجموعه اجزای مسیر و بیهودگی در گروه های هموتوپی با نقاط پایه دلخواه شود ، معادل هموتوپی ضعیف نامیده می شود . سپس مقوله هموتوپی (واقعی) با محلی سازی تعریف می شودطبقه بندی فضاهای توپولوژیکی با توجه به معادلات هموتوپی ضعیف. به این معنا که اشیاء هنوز فضاهای توپولوژیکی هستند ، اما برای هر معادل هموتوپی ضعیف یک مورفیسم معکوس اضافه می شود. این امر تأثیر می گذارد که یک نقشه پیوسته اگر و تنها در صورتی که یک هم ارزی هموتوپی ضعیف باشد ، به یک ایزومورفیسم در رده هموتوپی تبدیل می شود. فانکتورهای آشکاری از دسته فضاهای توپولوژیکی گرفته تا رده هموتوپی ساده لوحانه (همانطور که در بالا تعریف شده است) و از آنجا تا رده هموتوپی وجود دارد.

نتایج JHC Whitehead ، به ویژه قضیه وایتهد و وجود تقریب های CW ، [4] توضیح صریح تری از دسته هموتوپی ارائه می دهد. یعنی، دسته هموتوپی است معادل به زیرشاخه کامل از دسته هموتوپی ساده و بی تکلف است که متشکل از مجتمع CW . از این نظر ، مقوله هموتوپی بسیاری از پیچیدگی طبقه فضاهای توپولوژیکی را از بین می برد.

مثال: بگذارید X مجموعه اعداد طبیعی {0 ، 1 ، 2 ، ...} و Y مجموعه {0} {1 ، 1/2 ، 1/3 ، ...} باشد ، هر دو با توپولوژی فضا از خط واقعی . تعریف F :  X  →  Y توسط نقشه برداری شماره 0 تا 0 و n را به 1 / N برای اعداد صحیح مثبت n را . سپس f پیوسته است و در واقع هم ارز هموتوپی ضعیفی است ، اما معادل هموتوپی نیست. بنابراین مقوله هموتوپی ساده ، فضاهایی مانند X و Y را متمایز می کند ، در حالی که در دسته هموتوپی ایزومورفیک می شوند.

برای فضاهای توپولوژیکی X و Y ، علامت [ X ، Y ] بسته به زمینه ممکن است برای مجموعه ریخت شناسی از X تا Y در دو دسته هموتوپی ساده یا دسته هموتوپی واقعی استفاده شود.

فضاهای ایلنبرگ - مک لاین [ ویرایش ]

یکی از انگیزه های این دسته ها این است که بسیاری از متغیرهای فضاهای توپولوژیکی در طبقه هموتوپی ساده لوحانه یا حتی در طبقه هموتوپی واقعی تعریف می شوند. به عنوان مثال ، برای معادل سازی هموتوپی ضعیف فضاهای توپولوژیکی f : X → Y ، همومورفیسم مرتبط f * : H i ( X ، Z ) H i ( Y ، Z ) گروه های همولوژیک منحصر به فرد یک ایزومورفیسم برای همه اعداد طبیعی i است به [5] نتیجه می شود که برای هر عدد طبیعی i ، همولوژی H منحصر به فرد استمن را می توان به عنوان یک بازیگر از دسته هموتوپی تا گروه گروه آبلیان در نظر گرفت. به طور خاص ، دو نقشه هموتوپیک از X تا Y باعث ایجادهمومورفیسم یکسان در گروه های همولوژیک منحصر به فرد می شود.

های cohomology منحصر به فرد است اموال حتی بهتر: این یک است عمل کننده representable به در دسته homotopy از. یعنی برای هر گروه A و شماره طبیعی ابلیان ، یک مجموعه CW K ( A ، i ) به نام فضای Eilenberg -MacLane و یک کلاس کوه شناسی u در H i ( K ( A ، i )، A ) وجود دارد به طوری که تابع حاصله

(دادن با عقب کشیدن u به X ) برای همه فضاهای توپولوژیکی X است . [6] در اینجا [ X ، Y ] باید به معنای مجموعه نقشه ها در دسته هموتوپی واقعی باشد ، در صورتی که بخواهیم این عبارت برای همه فضاهای توپولوژیکی X وجود داشته باشد. اگر X یک مجتمع CW باشد ، در دسته ساده لوحانه قرار می گیرد .

نسخه اشاره شده [ ویرایش ]

یکی از انواع مفید ، طبقه همتای فضاهای نوک تیز است . منظور از فضای اشاره یک جفت ( X ، x ) با X یک فضای توپولوژیکی و x یک نقطه در X است که به آن نقطه پایه می گویند. طبقه بالا * فضاهای نوک تیز دارای فضاهای نوک تیز است و مورفیسم f : X → Y یک نقشه پیوسته است که نقطه پایه X را به نقطه پایه Y می بردبه دسته ساده لوحانه فضاهای نوک تیز دارای اجسام یکسانی است و مورفیسم ها کلاسهای هموتوپی نقشه های نوک تیز هستند (به این معنی که نقطه پایه در سراسر هموتوپی ثابت می ماند). سرانجام ، مقوله هموتوپی "واقعی" فضاهای اشاره شده از دسته Top * با وارونه کردن نقشه های نوک تیز که معادل هموتوپی ضعیفی هستند بدست می آید.

برای فضاهای نوک تیز X و Y ، [ X ، Y ] بسته به زمینه ممکن است مجموعه ای از مورفیسم ها را از X تا Y در هر یک از نسخه های طبقه همتای فضاهای نوک تیز نشان دهد.

چندین ساختار اساسی در نظریه هموتوپی به طور طبیعی بر اساس طبقه بندی فضاهای نوک تیز (یا در طبقه هموتوپی مربوط) تعریف می شود ، نه بر اساس طبقه بندی فضاها. به عنوان مثال ، تعلیق Σ X و فضای حلقه Ω X برای یک فضای نوک تیز X تعریف شده و یک فضای نوک تیز دیگر ایجاد می کند. همچنین ، محصول سر و صدا X ∧ Y یک عامل مهم در فضاهای نوک تیز X و Y است . به عنوان مثال ، تعلیق را می توان به صورت زیر تعریف کرد

فانکتورهای فضای تعلیق و حلقه یک جفت فانکتور مجاور تشکیل می دهند ، به این معنا که یک ایزومورفیسم طبیعی وجود دارد

برای همه فضاهای X و Y

دسته بندی های بتنی [ ویرایش ]

در حالی که اشیاء یک دسته هموتوپی مجموعه هایی هستند (با ساختار اضافی) ، مورفیسم ها توابع واقعی بین آنها نیستند ، بلکه یک دسته از توابع (در رده هموتوپی ساده لوحانه) یا "زیگزاگ" توابع (در رده هموتوپی) هستند. در واقع، Freyd نشان داد که نه دسته هموتوپی ساده و بی تکلف از فضاهای اشاره کرد و نه دسته homotopy از فضاهای اشاره است دسته بتن . یعنی هیچ عامل وفادار از این دسته ها به دسته مجموعه ها وجود ندارد . [7]

دسته بندی های مدل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: دسته مدل

یک مفهوم کلی تر وجود دارد: دسته هموتوپی یک دسته مدل . طبقه بندی مدل ، دسته C با سه نوع مورفیسم متمایز به نام فیبرها ، کوفیبره ها و معادلات ضعیف است که چندین اصل را برآورده می کند. دسته هموتوپی مرتبط با محلی سازی C با توجه به معادلات ضعیف تعریف می شود.

این ساختار ، که برای ساختار مدل استاندارد فضاهای توپولوژیکی (با ساختار مدل استاندارد آن (گاهی اوقات ساختار مدل Quillen نامیده می شود) اعمال می شود ، طبقه هموتوپی تعریف شده در بالا را ارائه می دهد. بسیاری از ساختارهای مدل دیگر بر اساس طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی در نظر گرفته شده اند ، بسته به اینکه فرد چقدر می خواهد طبقه بندی را ساده کند. به عنوان مثال ، در ساختار مدل Hurewicz در فضاهای توپولوژیکی ، طبقه هموتوپی مرتبط ، دسته هموتوپی ساده لوحانه است که در بالا تعریف شده است. [8]

همان دسته هموتوپی می تواند از بسیاری از مدلهای مختلف ایجاد شود. یک مثال مهم ساختار مدل استاندارد بر روی مجموعه های ساده است : دسته هموتوپی مربوطه معادل طبقه هموتوپی فضاهای توپولوژیکی است ، حتی اگر مجموعه های ساده اشیاء تعریف شده ترکیبی باشند که فاقد هرگونه توپولوژی باشند. برخی توپولوژیستها به جای ترجیح می دهند به کار با فشرده تولید فضاهای هاسدورف ضعیف ؛ مجدداً ، با ساختار مدل استاندارد ، دسته هموتوپی مربوط به مقوله هموتوپی همه فضاهای توپولوژیکی است. [9]

برای یک مثال جبری بیشتر از یک دسته مدل، اجازه دهید یک دسته آبلی ثانیه Grothendieck ، برای مثال این دسته از ماژول های بیش از یک حلقه یا این دسته از قرقره از گروه های abelian در یک فضای توپولوژیک. سپس یک ساختار مدل در دسته مجموعه های زنجیره ای اجسام در A وجود دارد ، که معادلات ضعیف آنها شبه ایزومورفیسم است . [10] دسته هموتوپی حاصله ، دسته مشتق شده D ( A ) نامیده می شود.

در نهایت ، دسته هموتوپی پایدار به عنوان دسته هموتوپی مرتبط با یک ساختار مدل در طبقه بندی طیف ها تعریف می شود . طیف های مختلف مختلفی در نظر گرفته شده است ، اما همه تعاریف پذیرفته شده یک دسته هموتوپی را ارائه می دهند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_category