ادامه تنوع محدود

توابع محلی BV [ ویرایش ]

اگر فضای تابع از توابع به صورت محلی انتگرال ، یعنی توابع متعلق به ${\ displaystyle \ scriptstyle L _ {\ text {loc}}^{1} (\ امگا)}$ ، در تعاریف قبلی 1.2 ، 2.1 و 2.2 به جای یکی از توابع قابل ادغام جهانی در نظر گرفته شده است ، پس فضای تابع تعریف شده از توابع تغییرات محلی است . به طور دقیق ، با توسعه این ایده برای تعریف 2.2 ، یک تنوع محلی به شرح زیر تعریف می شود ،

${\ displaystyle V (u، U): = \ sup \ left \ {\ int _ {\ Omega} u (x) \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} (x) \، \ mathrm {d } x: {\ boldsymbol {\ phi}} \ در C_ {c} ^{1} (U، \ mathbb {R} ^{n}) ، \ \ Vert {\ boldsymbol {\ phi}} \ Vert _ { L^{\ infty} (\ Omega)} \ leq 1 \ right \}}$

برای هر مجموعه $\ scriptstyle U \ in {\ mathcal {O}} _ {c} (\ امگا)$ ، با تعریف $\ scriptstyle {\ mathcal {O}} _ {c} (\ امگا)$ به عنوان مجموعه ای از همه زیر مجموعه های باز از قبل فشرده از $\ امگا$ با توجه به استاندارد توپولوژی از محدود بعدی فضاهای برداری ، و نسبت به کلاس از توابع تنوع به صورت محلی محدود است تعریف می شود

${\ displaystyle BV _ {\ text {loc}} (\ Omega) = \ {u \ in L _ {\ text {loc}}^{1} (\ Omega) \ the colon V (u، U) <+\ infty \ ؛ \ forall U \ in {\ mathcal {O}} _ {c} (\ Omega) \}}$

نشانه گذاری [ ویرایش ]

اساساً دو قرارداد متمایز برای نشان دادن فضاهای توابع با تنوع محلی یا جهانی وجود دارد و متأسفانه کاملاً مشابه هستند: اولین مورد ، که در این نوشته تصویب شده است ، به عنوان مثال در منابع Giusti (1984) استفاده می شود. (تا حدی) ، Hudjaev & Vol'pert (1985) (تا حدی) ، Giaquinta ، Modica & Souček (1998) و یکی از موارد زیر است

$\ scriptstyle BV (\ امگا)$ فضای توابع تغییرات محدود جهانی را مشخص می کند
$\ scriptstyle BV _ {{loc}} (\ امگا)$ فضای توابع تغییرات محدود محلی را مشخص می کند

مورد دوم ، که در منابع Vol'pert (1967) و Mazya (1985) (تا حدی) به کار رفته است ، موارد زیر است:

$\ scriptstyle \ overline {BV} (\ امگا)$ فضای توابع تغییرات محدود جهانی را مشخص می کند
$\ scriptstyle BV (\ امگا)$ فضای توابع تغییرات محدود محلی را مشخص می کند

ویژگیهای اساسی [ ویرایش ]

در زیر فقط ویژگیهای مشترک برای توابع یک متغیر و توابع چند متغیر در نظر گرفته می شود و اثبات ها فقط برای توابع چند متغیر انجام می شود ، زیرا اثبات در مورد یک متغیر یک انطباق مستقیم از چندین متغیر است. case variables: همچنین ، در هر بخش مشخص می شود که آیا ویژگی نیز با توابع تغییرات محدود محلی تقسیم شده است یا خیر. منابع ( Giusti 1984 ، صص 7-9) ، ( Hudjaev & Vol'pert 1985 ) و ( Màlek et al. 1996 ) به طور گسترده استفاده می شوند.

توابع BV فقط ناپیوستگی های نوع پرش یا قابل جابجایی دارند [ ویرایش ]

در مورد یک متغیر ، ادعا روشن است: برای هر نقطه $x_ {0}$ در فاصله ${\ displaystyle [a، b] \ subset \ mathbb {R}}$ تعریف تابع $تو$ ، یکی از دو ادعای زیر درست است

$\ lim _ {{x \ rightarrow x _ {{0^{-}}}}}!! \! \! u (x) = \! \! \! \ lim _ {{x \ rightarrow x _ {{0^ {+}}}}} \! \! \! u (x)$

$\ lim _ {{x \ rightarrow x _ {{0^{-}}}}}!! \! \! u (x) \ neq \! \! \! \ lim _ {{x \ rightarrow x _ {{0 ^{+}}}}} \! \! \! u (x)$

در حالی که هر دو حد وجود دارد و محدود است. در مورد توابع چند متغیر ، مقدماتی برای درک وجود دارد: اول از همه ، پیوسته ای از جهت ها وجود دارد که در امتداد آنها می توان به یک نقطه معین نزدیک شد $x_ {0}$ متعلق به دامنه $\ mathbb {R} ^{n}$ به لازم است که یک مفهوم مناسب از حد دقیق را مشخص کرد : انتخاب واحد بردار $\ scriptstyle {{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}} \ در {\ mathbb {R}}^{n}$ امکان تقسیم وجود دارد $\ امگا$ در دو مجموعه

$\ Omega _ {{({{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}} = \ امگا \ cap \ {{\ boldsymbol {x}} \ در {\ mathbb {R}}^{n} | \ langle {\ boldsymbol {x}}-{\ boldsymbol {x}} _ {0} ، {{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}} } \ rangle> 0 \} \ qquad \ Omega _ {{(-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}} = \ امگا \ cap \ {{\ boldsymbol {x}} \ in {\ mathbb {R}}^{n} | \ langle {\ boldsymbol {x}}-{\ boldsymbol {x}} _ {0}،-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}} rangle> 0 \}$

سپس برای هر نقطه $x_ {0}$ متعلق به دامنه $\ scriptstyle \ Omega \ in {\ mathbb {R}}^{n}$ از عملکرد BV $تو$ ، تنها یکی از دو ادعای زیر درست است

$\ lim _ {{{overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{({{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x} }) = \! \! \! \! \! \! \! \ lim _ {{{\ overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{(-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x}})$

$\ lim _ {{{overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{({{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x} }) \ neq \! \! \! \! \! \! \! \ lim _ {{{\ \ overetet {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{ \ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{(-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \ ! \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x}})$

یا $x_ {0}$ متعلق به زیرمجموعه ای از $\ امگا$ داشتن صفر $n-1$ بعدی اندازه گیری هاسدورف . مقادیر

$\ lim _ {{{overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ in \ Omega _ {{({{{boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x} }) = u _ {{{\ boldsymbol {{\ hat a}}}}} ({\ boldsymbol {x}} _ {0}) \ qquad \ lim _ {{{\ overset {{\ boldsymbol {x}} \ rightarrow {\ boldsymbol {x}} _ {0}} {{\ boldsymbol {x}} \ در \ امگا _ {{(-{{\ boldsymbol {{\ hat {a}}}}}، {\ boldsymbol {x}} _ {0})}}}}} \! \! \! \! \! \! \! \! u ({\ boldsymbol {x}}) = u _ {{-{\ boldsymbol {{\ کلاه a}}}}} ({\ boldsymbol {x}} _ {0})$

نامیده می شوند محدودیت تقریبی از BV تابع $تو$ در نقطه $x_ {0}$ به

V (·، Ω) در L 1 (Ω) نیمه پیوسته پایین تر است [ ویرایش ]

کاربردی $\ scriptstyle V (\ cdot، \ Omega): BV (\ Omega) \ rightarrow {\ mathbb {R}}^{+}$ است کمتر نیمه پیوسته : برای دیدن این، یک را انتخاب نمایید دنباله کوشی از BV توابع} $\ scriptstyle \ {u_ {n} \} _ {{n \ in {\ mathbb {N}}}}$ همگرا به $\ scriptstyle u \ in L _ {{\ text {loc}}}^{1} (\ امگا)$ به سپس ، از آنجا که همه توابع دنباله و تابع حد آنها قابل ادغام و با تعریف حد پایین هستند

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} V (u_ {n}، \ Omega) \ geq \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {\ Omega} u_ {n} (x) \ operatorname {div} \، {\ boldsymbol {\ phi}} \، \ mathrm {d} x \ geq \ int _ {\ Omega} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} u_ {n} (x) \ operatorname {div} \، {\ boldsymbol {\ phi}} \، \ mathrm {d} x = \ int _ {\ Omega} u (x) \ operatorname {div} {\ boldsymbol {\ phi}} \، \ mathrm {d} x \ qquad \ forall {\ boldsymbol {\ phi}} \ in C_ {c} ^{1} (\ Omega، \ mathbb {R} ^{n})، \ quad \ Vert {\ boldsymbol {\ phi}} \ Vert _ {L^{\ infty} (\ Omega)} \ leq 1}$

اکنون با توجه به سوپریمم در مجموعه ای از توابع $\ scriptstyle {\ boldsymbol {\ phi}} \ در C_ {c}^{1} (\ امگا ، {\ mathbb {R}}^{n})$ به طوری که $\ scriptstyle \ Vert {\ boldsymbol {\ phi}} \ Vert _ {{L^{\ infty} (\ Omega)}} \ leq 1$ سپس نابرابری زیر صادق است