ادامه گروه هموتوپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 12:28

فضاها و حوزه های همگن [ ویرایش ]

تحقق بسیاری از حوزه ها به عنوان فضاهای همگن وجود دارد که ابزارهای خوبی برای محاسبه گروه های هموتوپی گروه های دروغ و طبقه بندی بسته های اصلی در فضاهای ساخته شده از کره ها فراهم می کند.

گروه ویژه متعامد [ ویرایش ]

فیبر وجود دارد [4]

${\ displaystyle SO (n-1) \ to SO (n) \ to SO (n)/SO (n-1) \ cong S^{n-1}}$

دنباله دقیق طولانی

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {i} (SO (n-1)) \ to \ pi _ {i} (SO (n)) \ to \ pi _ {i} (S^{n-1 }) \ به \ pi _ {i-1} (SO (n-1)) \ به \ cdots}$

که گروه های هموتوپی مرتبه پایین را محاسبه می کند ${\ displaystyle \ pi _ {i} (SO (n-1)) \ cong \ pi _ {i} (SO (n))}$ برای ${\ displaystyle i <n-1،}$ از آنجا که $S^{{n-1}}$ است ${\ displaystyle (n-2)}$ -متصل. به طور خاص ، یک فیبراسیون وجود دارد

${\ displaystyle SO (3) \ به SO (4) \ به S^{3}}$

که گروههای هموتوپی پایین آنها را می توان به صراحت محاسبه کرد. از آنجا که ${\ displaystyle SO (3) \ cong \ mathbb {RP} ^{3}،}$ و فیبراسیون وجود دارد

${\ displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ به S ^{n} \ به \ mathbb {RP} ^{n}}$

ما داریم ${\ displaystyle \ pi _ {i} (SO (3)) \ cong \ pi _ {i} (S^{3})}$ برای ${\ displaystyle i> 1.}$ با استفاده از این ، و این واقعیت که ${\ displaystyle \ pi _ {4} (S^{3}) = \ mathbb {Z} /2،}$ که می توان با استفاده از سیستم Postnikov محاسبه کرد ، توالی دقیق طولانی داریم

${\ displaystyle {\ شروع {تراز} \ cdots \ به & \ pi _ {4} (SO (3)) \ به \ pi _ {4} (SO (4)) \ به \ pi _ {4} (S ^{3}) \ به \\\ به & \ pi _ {3} (SO (3)) \ به \ pi _ {3} (SO (4)) \ به \ pi _ {3} (S^{ 3}) \ به \\\ به & \ pi _ {2} (SO (3)) \ به \ pi _ {2} (SO (4)) \ به \ pi _ {2} (S^{3} ) \ به \ cdots \\\ پایان {تراز}}}$

از آنجا که ${\ displaystyle \ pi _ {2} (S^{3}) = 0}$ ما داریم ${\ displaystyle \ pi _ {2} (SO (4)) = 0.}$ همچنین ، ردیف وسط می دهد ${\ displaystyle \ pi _ {3} (SO (4)) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$ از آنجا که نقشه اتصال ${\ displaystyle \ pi _ {4} (S ^{3}) = \ mathbb {Z} /2 \ to \ mathbb {Z} = \ pi _ {3} (\ mathbb {RP} ^{3})}$ بی اهمیت است همچنین ، ما می توانیم بدانیم ${\ displaystyle \ pi _ {4} (SO (4))}$ دارای دو پیچش است

کاربرد برای بسته های کره ای [ ویرایش ]

میلنور [5] از این واقعیت استفاده کرد ${\ displaystyle \ pi _ {3} (SO (4)) = \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}}$ دسته بندی دسته های 3 حوزه ای ${\ displaystyle S^{4} ،}$ به طور خاص ، او توانست کره های عجیب و غریبی را پیدا کند که منیفولدهای صافی هستند که به نام حوزه های میلنور تنها به صورت همومورفیک شناخته می شوند ${\ displaystyle S^{7} ،}$ نمی diffeomorphic . توجه داشته باشید که هر بسته نرم افزاری می تواند از a ساخته شود $4$ - بسته بردار ، که دارای گروه ساختار هستند ${\ displaystyle SO (4)}$ از آنجا که $S^{3}$ می تواند ساختار یک منیفولد ریمانی جهت دار را داشته باشد .

فضای نمایشی پیچیده [ ویرایش ]

یک فیبراسیون وجود دارد

${\ displaystyle S^{1} \ to S^{2n-1} \ to \ mathbb {CP}^{n}}$

جایی که $S^{{2n-1}}$ حوزه واحد در است ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n}.}$ این دنباله می تواند برای نشان دادن وصل بودن ساده مورد استفاده قرار گیرد ${\ mathbb {CP}}^{n}$ برای همه $n$

روشهای محاسبه [ ویرایش ]

به طور کلی محاسبه گروه های هموتوپی بسیار دشوارتر از سایر متغیرهای هموتوپی است که در توپولوژی جبری آموخته اند. بر خلاف قضیه سیفرت -ون کامپن برای گروه اساسی و قضیه برش برای همولوژی و کوهومولوژی منحصر به فرد ، هیچ روش ساده ای برای محاسبه گروه های هموتوپی یک فضا با تجزیه آن به فضاهای کوچکتر وجود ندارد. با این حال ، روشهای توسعه یافته در دهه 1980 شامل قضیه نوع ون کامپن برای گروپوئیدهای هموتوپی بالاتر امکان محاسبات جدید در انواع هموتوپی و غیره در گروههای هموتوپی را فراهم کرده است. برای نمونه نتیجه مقاله 2010 توسط الیس و میخایلوف را ببینید. [6]

برای برخی فضاها ، مانند tori ، همه گروههای هموتوپی بالاتر (یعنی گروههای هموتوپی دوم و بالاتر) بی اهمیت هستند . اینها به اصطلاح فضاهای کروی هستند . با این حال ، علیرغم تحقیقات شدید در محاسبه گروه های هموتوپی کره ها ، حتی در دو بعد یک لیست کامل مشخص نیست. برای محاسبه حتی چهارمین گروه هموتوپی از $S^{2}$ فرد به تکنیک های بسیار پیشرفته تری نسبت به تعاریف ممکن است نیاز داشته باشد. به ویژه دنباله طیفی Serre فقط برای این منظور ساخته شده است.

گروه های homotopy خاصی از N متصل فضاهای می توان با مقایسه با محاسبه گروه های همسانی از طریق قضیه Hurewicz .

فهرستی از روشهای محاسبه گروههای هموتوپی [ ویرایش ]

دنباله دقیق طولانی گروه های هموتوپی یک فیبراسیون.
قضیه Hurewicz ، که دارای چندین نسخه است.
قضیه Blakers – Massey ، همچنین به عنوان برش برای گروه های هموتوپی شناخته می شود.
قضیه تعلیق فرویدنتال ، نتیجه برش برای گروه های هموتوپی.

گروه های هموتوپی نسبی [ ویرایش ]

همچنین یک تعمیم مفید از گروه های هموتوپی وجود دارد ، ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) ،}$ گروه های هموتوپی نسبی نامیده می شود $\ pi _ {n} (X ، A)$ برای یک جفت ${\ displaystyle (X ، A) ،}$ که در آن است فضا از $ایکس.$

ساخت و ساز با مشاهده این است که برای گنجاندن ${\ displaystyle i: (A، x_ {0}) \ hookrightarrow (X، x_ {0})،}$ روی هر گروه هموتوپی یک نقشه القایی وجود دارد ${\ displaystyle i _ {*}: \ pi _ {n} (A) \ به \ pi _ {n} (X)}$ که به طور کلی تزریقی نیست. در واقع ، عناصر هسته با در نظر گرفتن نماینده مشخص می شوند ${\ displaystyle f: I^{n} \ to X}$ و گرفتن هموتوپی مبتنی بر ${\ displaystyle F: I^{n} \ times I \ to X}$ به نقشه ثابت $x_0 ،$ یا به عبارت دیگر ${\ displaystyle H_ {I^{n} \ times 1} = f،}$ در حالی که محدودیت به هر جزء مرزی دیگر از ${\ displaystyle I^{n+1}}$ بی اهمیت است بنابراین ، ما ساختار زیر را داریم:

عناصر چنین گروهی ، کلاسهای هموتوپی نقشه های پایه هستند ${\ displaystyle D^{n} \ to X}$ که مرز را حمل می کنند $S^{{n-1}}$ به . دو نقشه $f ، g$ اگر با یک هموتوپی که پایه را حفظ می کند هموتوپیک باشند نسبت به A نامیده می شوند ${\ displaystyle F: D_ {n} \ بار [0،1] \ تا X}$ به طوری که ، برای هر p در $S^{{n-1}}$ و t در ${\ displaystyle [0،1] ،}$ عنصر ${\ displaystyle F (p، t)}$ در A است . توجه داشته باشید که گروه های هموتوپی معمولی برای مورد خاصی که در آن بازیابی می شوند ، بازیابی می شوند ${\ displaystyle A = x_ {0}}$ نقطه پایه است

این گروه ها برای abelian هستند ${\ displaystyle n \ geq 3 (E)}$ اما برای $n = 2$ گروه بالای یک ماژول متقاطع را با گروه پایین تشکیل دهید ${\ displaystyle \ pi _ {1} (A).}$

همچنین یک دنباله دقیق طولانی از گروه های هموتوپی نسبی وجود دارد که می توان از طریق توالی Puppe بدست آورد :

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (A) \ to \ pi _ {n} (X) \ to \ pi _ {n} (X، A) \ to \ pi _ {n-1} (A) \ به \ cdots}$

مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

گروه های هموتوپی برای نظریه هموتوپی اساسی هستند ، که به نوبه خود توسعه دسته بندی های مدل را تحریک می کند . می توان گروههای انتزاعی انتزاعی را برای مجموعه های ساده تعریف کرد .

گروه های همولوژی از این نظر شبیه گروه های هموتوپی هستند که می توانند "حفره" هایی را در یک فضای توپولوژیکی نشان دهند. با این حال، گروه های homotopy معمولا نمی جابجایی ، و اغلب بسیار پیچیده و سخت به محاسبه. در مقابل ، گروه های همولوژیک عوض می شوند (همانطور که گروه های هموتوپی بالاتر هستند). از این رو ، گاهی اوقات گفته می شود که "همولوژی جایگزینی جایگزین هموتوپی است". [7] با توجه به فضای توپولوژیکی $ایکس،$ آن N گروه هوموتوپی هفتم است که معمولا توسط نشان داده می شود ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) ،}$ و گروه همشناسی n -th آن معمولاً با ${\ displaystyle H_ {n} (X).}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_group

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی