ریاضیات

مرکز جرم دوازده‌وجهی (Dodecahedron)

یک دوازده‌وجهی منتظم 12 وجه پنج‌ضلعی، 20 رأس و 30 یال دارد. برای یک جسم یکنواخت و همگن:

فرمول مرکز جرم

اگر رأس‌ها = R1, R2, ..., R20

r_cm = (R1 + R2 + ... + R20) / 20

به دلیل تقارن، مرکز جرم دقیقاً در مرکز هندسی دوازده‌وجهی قرار دارد.

مثال ساده

دوازده‌وجهی منتظم با ضلع a و مرکز در مبدا:

r_cm = (0, 0, 0)

نکات

• برای دوازده‌وجهی ناهمگن، تقسیم به حجم‌های کوچک و میانگین وزنی مراکز جرم توصیه می‌شود.
• برای پوسته‌های سطحی، مرکز جرم با میانگین مراکز پنج‌ضلعی‌ها و وزن مساحت آنها محاسبه می‌شود.
• مرکز جرم همیشه روی محور تقارن اصلی و وسط هندسی قرار دارد.

مرکز جرم شش‌وجهی (مکعب یا مستطیل‌مکعب)

شش‌وجهی جسمی است با ۶ وجه. برای یک شش‌وجهی یکنواخت و همگن، مرکز جرم در وسط طول، عرض و ارتفاع قرار دارد.

فرمول کلی

اگر رئوس = A, B, C, D, E, F, G, H

r_cm = (A + B + C + D + E + F + G + H) / 8.

مختصات مرکز جرم برای مستطیل‌مکعب

x_cm = L / 2

y_cm = W / 2

z_cm = H / 2

مثال عددی

L = 4 , W = 2 , H = 6

r_cm = (2, 1, 3)

نکات

• برای شش‌وجهی ناهمگن، از میانگین وزنی استفاده کنید.
• برای پوسته‌های شش‌وجهی، میانگین مراکز وجوه با وزن مساحت هر وجه محاسبه می‌شود.

مرکز جرم پنج‌وجهی (هرم چهارضلعی)

برای یک پنج‌وجهی یکنواخت (همگن) با چگالی ثابت، مرکز جرم جسمی با میانگین برداری رئوس به دست می‌آید.

فرمول کلی

اگر رئوس = A, B, C, D, E

r_cm = (A + B + C + D + E) / 5

توضیح

پنج‌وجهی در این مثال هرم چهارضلعی است.

ابتدا مرکز جرم قاعده (چهارضلعی) را محاسبه می‌کنیم:

G_b = (A + B + C + D)/4

سپس میانگین وزنی با رأس بالا E گرفته می‌شود:

r_cm = (4*G_b + E)/5 = (A + B + C + D + E)/5

مثال عددی

A=(0,0,0)

, B=(1,0,0)

, C=(1,1,0),

D=(0,1,0),

E=(0.5,0.5,1)

r_cm = (A+B+C+D+E)/5 = (0.5, 0.5, 0.2)

نکات

• برای پنج‌وجهی‌های ناهمگن، هر بخش را جداگانه محاسبه کرده و میانگین وزنی بگیرید.
• برای پوسته‌ها، میانگین مراکز وجوه با وزن مساحت هر وجه محاسبه می‌شود.
• تقسیم جسم به تتراهدرون‌ها یا منشورهای ساده روش عملی برای محاسبهٔ دقیق است.

مرکز جرمِ چهاروجهی (تتراهدرون)

برای یک چهاروجهی همگن و یکنواخت، مرکز جرم جسمی (solid centroid) برابر است با میانگین برداری چهار رأس:

r_cm = (r₁ + r₂ + r₃ + r₄) / 4

توضیح کوتاه

چهاروجهی یک نمونهٔ سه‌بعدی از «simplex» است و مشابه مثلث در دو بعد،

centroid آن میانگین رئوسش می‌شود. این نتیجه را می‌توان با پارامتری‌سازی نقاط داخلی و انتگرال‌گیری یا با تجزیهٔ شکل به ساده‌ترها اثبات کرد.

نتیجهٔ مفید

اگر سه رأس پایهٔ مثلث را A,B,C داشته باشیم و مرکز آن‌ها را G_b بنامیم و رأس بالایی D، آنگاه:

r_cm = (3·r_{G_b} + r_D) / 4

مثال عددی

A = (0,0,0)

B = (1,0,0)

C = (0,1,0)

D = (0,0,1)

r_cm = (A+B+C+D) / 4 = (0.25, 0.25, 0.25)

تذکر دربارهٔ پوستهٔ سطحی

اگر فقط سطوح (وجوه) چهاروجهی جرم داشته باشند (یعنی پوسته نازک)، مرکز جرم سطحی متفاوت است و باید میانگین مراکز هر وجه را با وزن مساحت‌شان حساب کرد.

حالتِ جرم‌های نقطه‌ای یا چگالی نابرابر

r_cm = (Σ m_i r_i) / (Σ m_i)

که در آن m_i جرم یا سهم جرم در ناحیهٔ متناظر است.

مرکز جرم ظرف شیر (استوانه + مخروط ناقص)

اگر ظرف از یک استوانهٔ پایین و یک مخروطِ ناقص (frustum) قرار گیرد، برای محاسبهٔ مرکز جرم مایع یا کل سیستم طبق مراحل زیر عمل کنید.

حجم‌ها و مراکز هر قسمت

استوانه:

V_c = π R_c^2 H_c

z_c = H_c / 2

فرَستم (مخروط ناقص) با پایین R1 و بالا R2 و ارتفاع H_f:

V_f = (π H_f / 3) (R1^2 + R1 R2 + R2^2)

مرکز فرَستم نسبت به پایهٔ پایینِ فرَستم:

z_f_rel = H_f * (R1^2 + 2 R1 R2 + 3 R2^2) / (4 (R1^2 + R1 R2 + R2^2))

مرکز فرَستم نسبت به کف ظرف:

z_f = H_c + z_f_rel

حالات پر شدن

حالت A: مایع تا ارتفاع h ≤ H_c (فقط استوانه)

V_ℓ = π R_c^2 h

z_ℓ = h / 2

حالت B: H_c < h ≤ H_c + H_f (استوانه پر، بخشی از فرَستم پر)

در فرَستم تا ارتفاع h_f = h - H_c ، شعاع بالایی:

R_top = R1 + (R2 - R1) * (h_f / H_f)

V_fpart = (π h_f / 3) (R1^2 + R1 R_top + R_top^2)

z_fpart_rel = h_f * (R1^2 + 2 R1 R_top + 3 R_top^2) / (4 (R1^2 + R1 R_top + R_top^2))

z_fpart = H_c + z_fpart_rel

V_ℓ = V_c + V_fpart

z_ℓ = (V_c z_c + V_fpart z_fpart) / (V_c + V_fpart)

مرکز جرم کل (بطری + مایع)

z_total = (M_b z_b + ρ V_ℓ z_ℓ) / (M_b + ρ V_ℓ)

مثال عددی

R_c = 3.0 cm , H_c = 12.0 cm

H_f = 8.0 cm , R1 = 3.0 cm , R2 = 1.5 cm

ρ ≈ 1 g/cm³

M_b = 200 g , z_b = 10.0 cm

→ V_c ≈ 339.29 cm³

→ V_f ≈ 131.95 cm³

→ z_c = 6.0 cm

→ z_f ≈ 15.1429 cm

اگر ظرف کاملاً پر باشد:

V_ℓ ≈ 471.24 cm³ (جرم ≈ 471.24 g)

z_ℓ ≈ 8.56 cm

z_total ≈ 8.99 cm

اگر خواستی، می‌تونم همین محاسبات را در یک جدولِ تعاملی HTML/JavaScript قرار دهم تا با وارد کردن مقادیرِ R_c, H_c, H_f, R2, h (ارتفاع پرشدن) و M_b نتیجهٔ عددی را فوری ببینی — می‌خواهی آن فرم تعاملی را بسازم؟

مرکز جرم بطری شیر

بطری شیر از دو بخش اصلی تشکیل شده است: ظرف (شیشه یا پلاستیک) و مایع شیر درون آن.

مرکز جرم کل در بین این دو بخش قرار دارد و به نسبت جرم هر قسمت بستگی دارد.

۱. فرمول کلی

z_cm = (m₁*z₁ + m₂*z₂) / (m₁ + m₂)

که در آن:

• m₁ = جرم ظرف
• m₂ = جرم شیر
• z₁ = ارتفاع مرکز جرم ظرف (تقریباً نصف ارتفاع بطری)
• z₂ = ارتفاع مرکز جرم شیر (در نیمهٔ ارتفاع قسمت پرشده)

۲. مثال عددی (بطری پر)

ارتفاع بطری H = 30 cm

m₁ = 200 g

m₂ = 800 g

z₁ = 15 cm

z₂ = 15 cm

z_cm = (200*15 + 800*15) / 1000 = 15 cm

نتیجه: مرکز جرم در وسط ارتفاع بطری قرار دارد.

۳. مثال بطری نیمه‌پر

m₁ = 200 g

m₂ = 400 g

h = 15 cm

z₁ = 15 cm

z₂ = h/2 = 7.5 cm

z_cm = (200*15 + 400*7.5) / 600 = 10 cm

نتیجه: مرکز جرم پایین‌تر آمده و در حدود ۱۰ سانتی‌متر از کف بطری است.

۴. نکات طراحی

• بطری‌های سنگین‌تر در پایین پایداری بیشتری دارند.
• در بطری‌های شیشه‌ای ضخامت ته را بیشتر می‌سازند تا مرکز جرم پایین بماند.
• بطری پر نسبت به بطری نیمه‌پر کمتر پایدار است.

مرکز جرم یک صندلی

صندلی جسمی سه‌بعدی و نامتقارن است که از پایه، نشیمن، پشتی و گاهی دسته‌ها تشکیل شده است.
مرکز جرم نقطه‌ای است که اگر صندلی را از آن نگه داریم، در حالت تعادل باقی می‌ماند.

۱. موقعیت تقریبی

در یک صندلی معمولی، مرکز جرم در مرکز هندسی پایه‌ها و کمی پایین‌تر از سطح نشیمن قرار دارد.
وجود پشتی باعث می‌شود این نقطه کمی به سمت عقب متمایل شود.

۲. تقسیم جرم‌ها

• پایه و نشیمن: جرم m₁ در ارتفاع h₁


• پشتی: جرم m₂ در ارتفاع h₂ و فاصله d از مرکز


• دسته‌ها (در صورت وجود): جرم m₃ در ارتفاع h₃

۳. فرمول‌های مرکز جرم

z_cm = (m₁h₁ + m₂h₂ + m₃h₃) / (m₁ + m₂ + m₃) x_cm = (m₂ * d) / (m₁ + m₂)

۴. مثال عددی

m₁ = 6 kg

h₁ = 0.25 m

m₂ = 2 kg

h₂ = 0.6 m

d = 0.1 m

x_cm = (2 * 0.1) / (6 + 2) = 0.025 m = 2.5 cm
z_cm = (6*0.25 + 2*0.6) / 8 = 0.3375 m

نتیجه: مرکز جرم حدود ۳۴ سانتی‌متر از سطح زمین و کمی (۲٫۵ سانتی‌متر) به سمت پشتی صندلی قرار دارد.

۵. نکات فیزیکی

• هرچه پشتی سنگین‌تر باشد، مرکز جرم عقب‌تر می‌رود.


• صندلی‌های اداری سنگین، مرکز جرم پایین‌تر دارند تا پایداری بیشتری داشته باشند.


• با نشستن انسان روی صندلی، مرکز جرم کلی بالا و جلوتر می‌شود.

مرکز جرم قابلمه دو دسته‌ای

قابلمهٔ دو دسته‌ای به دلیل تقارنش، مرکز جرم متعادلی دارد.

دو دسته در دو طرف با جرم مساوی، باعث می‌شوند مرکز جرم دقیقاً در محور میانی قابلمه قرار گیرد.

۱. اجزای قابلمه

• بدنهٔ اصلی: جرم m₁
• دستهٔ راست: جرم m₂
• دستهٔ چپ: جرم m₃

۲. فرمول کلی

اگر فاصلهٔ مرکز هر دسته از محور قابلمه برابر d باشد:

x_cm = (m₂*d + m₃*(-d)) / (m₁ + m₂ + m₃)

اگر m₂ = m₃ ، نتیجه می‌شود:

x_cm = 0

یعنی مرکز جرم در وسط قابلمه قرار دارد.

۳. مثال عددی

m₁ = 1000 g

m₂ = 100 g

m₃ = 100 g

d = 10 cm

x_cm = (100*10 + 100*(-10)) / 1200 = 0

اگر دستهٔ راست سنگین‌تر باشد:

m₂ = 150 g , m₃ = 100 g

x_cm = (150*10 + 100*(-10)) / 1250 = 0.4 cm

نتیجه: مرکز جرم فقط چند میلی‌متر به سمت دستهٔ سنگین‌تر جابه‌جا می‌شود.

۴. نکات طراحی و فیزیکی

• وقتی قابلمه پر از آب یا غذاست، مرکز جرم پایین‌تر از مرکز هندسی قرار دارد.
• در طراحی صنعتی، دسته‌ها طوری انتخاب می‌شوند که مرکز جرم در وسط قرار گیرد و قابلمه هنگام بلند کردن متعادل بماند.
• اگر یکی از دسته‌ها بشکند یا سبک‌تر شود، مرکز جرم به سمت مقابل جابه‌جا می‌شود.

۵. نتیجهٔ نهایی

مرکز جرم قابلمهٔ دو دسته‌ای خالی معمولاً در مرکز هندسی آن و روی محور تقارن قرار دارد.

در حالت پر، مرکز جرم پایین‌تر می‌آید ولی همچنان در مرکز افقی باقی می‌ماند.

مرکز جرم یک لیوان دسته‌دار

لیوان دسته‌دار جسمی نامتقارن است، چون دسته در یک سمت قرار دارد.

بنابراین مرکز جرم کل کمی به سمت دسته جابه‌جا می‌شود.

۱. ترکیب جرم‌ها

لیوان را از دو بخش در نظر می‌گیریم:

• بدنهٔ اصلی استوانه‌ای با جرم m₁
• دسته با جرم m₂

۲. فرمول کلی مرکز جرم

اگر فاصلهٔ مرکز جرم دسته از محور بدنه را d بنامیم:

x_cm = (m₂ * d) / (m₁ + m₂)

۳. مثال عددی

m₁ = 300 g

m₂ = 50 g

d = 6 cm

x_cm = (50 * 6) / (300 + 50) = 300 / 350 = 0.857 cm

نتیجه: مرکز جرم حدود ۰٫۹ سانتی‌متر به سمت دسته جابه‌جا می‌شود.

۴. نکته

• در حالت پر از مایع، مرکز جرم دوباره به سمت محور لیوان برمی‌گردد.
• اگر دسته ضخیم‌تر باشد یا فلزی باشد، مقدار جابه‌جایی بیشتر می‌شود.
• در راستای عمودی، مرکز جرم تقریباً در نیمهٔ ارتفاع لیوان قرار دارد.

۵. جمع‌بندی

مرکز جرم لیوان دسته‌دار کمی از محور تقارن به سمت دسته منحرف است و محل دقیق آن به نسبت جرم دسته و بدنه بستگی دارد.

مرکز جرم بز

مرکز جرم بز نقطه‌ای است که اگر بز را از آن نگه داریم، به‌صورت متعادل می‌ایستد.

در بز سالم و ایستاده، این نقطه در بخش میانی بدن و کمی پایین‌تر از ستون فقرات قرار دارد.

۱. موقعیت تقریبی

• در بز نر: مرکز جرم اندکی به سمت عقب متمایل است.
• در بز ماده: مرکز جرم کمی جلوتر قرار دارد.
• در حالت ایستاده معمولی، حدود ۵۵٪ وزن روی پاهای جلو و ۴۵٪ روی پاهای عقب است.

۲. فرمول محاسبه

اگر نیروهای عمودی روی پاهای جلو و عقب را بدانیم:

x_cm = (Ff * L) / (Ff + Fh)

که در آن:

• Ff = نیروی تحمل‌شده توسط پاهای جلو
• Fh = نیروی تحمل‌شده توسط پاهای عقب
• L = فاصلهٔ بین دو جفت پا
• x_cm = فاصلهٔ مرکز جرم از محور پاهای عقب

۳. مثال عددی

وزن کل W = 60 kg

فاصله بین پاهای جلو و عقب L = 1 m

نیروی پاهای جلو Ff = 0.55 * W = 33 kgf

نیروی پاهای عقب Fh = 0.45 * W = 27 kgf

x_cm = (Ff * L) / W = (33 * 1) / 60 = 0.55 m

نتیجه: مرکز جرم حدود نیم متر جلوتر از پاهای عقب است،

در بخش میانی بدن، نزدیک محل دنده‌های میانی و اندکی پشت شانه‌ها.

۴. نکات فیزیکی

• در بزهای کوهنورد، مرکز جرم پایین‌تر است تا تعادل حفظ شود.
• در حالت راه‌رفتن یا پریدن، مرکز جرم همراه با حرکات سر و پا تغییر می‌کند.
• در بزهای باردار یا با شاخ‌های سنگین، مرکز جرم جلوتر می‌رود.

مرکز جرم شتر

مرکز جرم شتر نقطه‌ای است که تمام وزن بدن در آن متمرکز به‌نظر می‌رسد.
در شتر بدون بار و در حالت ایستاده، این نقطه معمولاً در ناحیهٔ میانی بدن و کمی جلوتر از کوهان قرار دارد.

۱. موقعیت تقریبی مرکز جرم

• در شتر یک‌کوهانه: مرکز جرم نزدیک پایهٔ کوهان یا اندکی جلوتر از آن است.


• در شتر دوکوهانه: مرکز جرم بین دو کوهان و کمی پایین‌تر از خط پشت قرار می‌گیرد.


• در حالت ایستاده، حدود ۶۰٪ وزن روی پاهای جلو و ۴۰٪ روی پاهای عقب است.

۲. روش محاسبهٔ ساده

اگر نیروهای عمودی روی پاهای جلو و عقب را بدانیم (مثلاً با ترازو)،
می‌توانیم فاصلهٔ مرکز جرم از پاهای عقب را از رابطهٔ زیر به‌دست آوریم:

x_cm = (Ff * L) / (Ff + Fh)

که در آن:

• Ff = نیروی تحمل‌شده توسط پاهای جلو (N یا kgf)


• Fh = نیروی تحمل‌شده توسط پاهای عقب


• L = فاصلهٔ بین دو جفت پا (متر)


• x_cm = فاصلهٔ مرکز جرم از پاهای عقب (متر)

۳. مثال عددی

فرض کنید شتر ۴۰۰ کیلوگرمی داریم:

وزن کل W = 400 kg فاصله بین پاهای جلو و عقب L = 2 m نیروی پاهای جلو Ff = 0.6 * W = 240 kgf نیروی پاهای عقب Fh = 0.4 * W = 160 kgf

x_cm = (Ff * L) / W = (240 * 2) / 400 = 1.2 m

نتیجه: مرکز جرم ۱٫۲ متر جلوتر از محور پاهای عقب قرار دارد،
تقریباً در قسمت میانی بدن شتر و کمی پشت شانه‌ها.

۴. نکات فیزیکی

• کوه (hump) چربی زیادی دارد و مرکز جرم را کمی به بالا و جلو منتقل می‌کند.


• در شتر باردار یا حامل بار، مرکز جرم به سمت جلو یا بالا تغییر می‌کند.


• در حالت نشسته یا هنگام راه‌رفتن، مرکز جرم با حرکت گردن و پاها جابه‌جا می‌شود.

۵. خلاصه

به‌طور خلاصه، مرکز جرم شتر در حالت ایستاده بین قفسهٔ سینه و لگن قرار دارد —
نقطه‌ای نزدیک پایهٔ کوهان و حدود ۱٫۲ متر جلوتر از محور پاهای عقب.

خوبه — دربارهٔ مرکز جرمِ شتر (center of mass of a camel) نکات مهم و هم‌چنین روش‌های عملی برای «پیدا کردن» آن را به‌صورت مختصر و کاربردی می‌نویسم.

---

۱) یک توضیح کلی — کجا هست؟

مرکز جرمِ دقیق شتر بستگی دارد به نوع شتر (دُرمداری یک‌کوهانه یا باکتیری دوکوهانه)، مقدار و محل ذخیرهٔ چربی (کوهه/کوه‌ها)، وضعیت پاها، بارداری، داشتن بار و وضعیت خوردن/پُر بودن شکم.

به‌طور کلی برای شترِ ایستاده و بدون بار: مرکز جرم تقریباً در ناحیهٔ تنه میانی تا کمی جلوتر از میانهٔ طول بدن قرار می‌گیرد — یعنی در حوالی پایهٔ کوه (هامپ) یا درست جلوتر از آن، بین قفسهٔ سینه و لگن.

هنگام حرکت (راه‌رفتن، دویدن) و هنگام حمل بار، مرکز جرم به‌صورت قابل‌توجهی جابجا می‌شود.

> خلاصهٔ عملی: مرکز جرم شتر معمولاً «نزدیک تنهٔ میانی» و نه دقیقاً روی سر یا لگن قرار دارد — به‌ویژه به‌دلیل کوه(هامپ) که جرم را به سمت جلو/بالا متمرکز می‌کند.

---

۲) روش‌های عملی برای پیدا کردن مرکز جرم (مرسوم و قابل اجرا)

روش A — روش نیرو/ترازو (سه‌ـ/دو ترازو)

اگر بتوانی نیروی عمودی روی جفت پای جلو و جفت پای عقب را اندازه بگیری:

فرض کن مجموع وزن و بارهای عمودی روی «جفتٔ جلو» برابر و روی «جفتٔ عقب» برابر باشد (نیروها بر حسب نیوتن یا کیلوگرم‌معادل وزن).

فاصلهٔ بین «نتایج اثر واکنش» جفت جلو و جفت عقب را در نظر بگیر (فاصلهٔ مؤثر بین دو «محور نیرو»).

آنگاه فاصلهٔ مرکز جرم از محور عقب (یا از هر نقطهٔ مرجعی) را می‌توان به‌سادگی با مومننت تعادل حساب کرد:

x_{cm} = \frac{F_f \cdot d_f + F_h \cdot d_h}{F_f + F_h}

که اگر مبدأ را در محل پای عقب قرار دهی و و آنگاه ساده می‌شود به:

x_{cm} = \frac{F_f \cdot L}{F_f + F_h} = \frac{F_f \cdot L}{W}

مثال عددی سریع: اگر جفت جلو 60٪ وزن بدن را تحمل کنند () و فاصله بین جفت جلو و عقب باشد، آنگاه

x_{cm} = 0.6 \times 2 / 1 = 1.2\ \text{m}

(یعنی مرکز جرم 1.2 m جلوتر از محور عقب واقع است).

---

روش B — روش «ترازو زیر هر پا» (چهار ترازو)

اگر بتوانی وزن هر پا را جداگانه اندازه بگیری (چهار ترازو یا دو ترازو برای جلو/عقب روی هر طرف)، می‌توان مختصات را از مجموع مومننت‌ها حول مبدأ به دست آورد:

x_{cm} = \frac{\sum_i F_i x_i}{\sum_i F_i},\qquad

y_{cm} = \frac{\sum_i F_i y_i}{\sum_i F_i}

که نیرو روی پای و مختصات آن پا نسبت به مبدا است.

---

روش C — روش هندسی/تعلیق (برای نمونه‌های کوچک یا مدل)

برای یک مدل یا پیکرهٔ کوچک: آویختنِ الگوی شتر از چند نقطهٔ مختلف و رسم خط‌های تراز (خط‌ قائم از نقطهٔ آویزان) — تقاطع این خط‌ها محل مرکز جرم است. (روش کلاسیک برای اشکال دوبعدی/صفحه‌ای؛ برای حیوان واقعی عملیاتی نیست مگر مدل.)

---

۳) نکات مهم و عملی

بار، خوراک، بارداری و هامپ تأثیر بزرگی روی مکان COM دارند. مثلاً هامپ پر از چربی مرکز جرم را کمی به جلو/بالا می‌برد.

حالت بدن (خم شدن گردن، جمع شدن پاها) مرکز جرم را تغییر می‌دهد — در تحلیل‌های مکانیکی باید حالت مشخص شود (ایستاده آرام، راه‌رفتنی، حامل بار).

برای استفاده در طراحی زین/محل بارگذاری یا مطالعهٔ پایداری، همیشه COM را در حالت «ایستاده طبیعی» و در حالتی که بار رویش قرار می‌گیرد، اندازه‌گیری کن.

---

۴) اگر می‌خواهی من برایت انجام بدهم

می‌توانم یکی از این کارها را انجام دهم (همین حالا در پاسخ):

یک قالبِ سادهٔ محاسبه آماده کنم که با وارد کردن سه عدد — وزن کل ، سهم وزنی جلو (یا وزن‌های هر پا) و فاصلهٔ بین محورها — مختصات را محاسبه کند (و خروجی را نشان دهد).

مرکز جرم متوازی‌الأضلاع با شکل و اثبات

در هر متوازی‌الأضلاع یکنواخت، مرکز جرم (Centroid) در محل تقاطع دو قطر قرار دارد. در این شکل زیر، نقطه قرمز همان مرکز جرم است.

A

B

C

D

G

فرمول کلی چندضلعی (polygon centroid)

A = (1/2) Σ (x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i)

x̄ = (1/(6A)) Σ (x_i + x_{i+1})(x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i)

ȳ = (1/(6A)) Σ (y_i + y_{i+1})(x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i)

نتیجه برای متوازی‌الأضلاع

با استفاده از خواص اضلاع موازی و مساوی، روابط بالا ساده می‌شوند و به میانگین مختصات رئوس می‌رسند:

x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) / 4

ȳ = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) / 4

اثبات وکتوری کوتاه

A = (0,0)

B = u

C = u + v

D = v

→ میانگین رئوس = (u + v)/2

→ نقطه وسط قطرها = (u + v)/2

پس مرکز جرم در تقاطع قطرهاست.

مثال عددی

A(0,0), B(4,0), C(6,3), D(2,3)

x̄ = (0+4+6+2)/4 = 3

ȳ = (0+0+3+3)/4 = 1.5

→ مرکز جرم (3 , 1.5)

نکته پایانی

برای هر متوازی‌الأضلاع (حتی با زاویه‌های غیرقائم)، مرکز جرم در محل تقاطع قطرها قرار دارد. این ویژگی مستقل از ابعاد یا زاویه‌هاست، به شرط یکنواخت بودن چگالی.

اثبات مرکز جرم متوازی‌الأضلاع (راهنمای ساده)

در این صفحه سه روش مختلف برای نشان دادن اینکه مرکز جرم یک متوازی‌الأضلاع یکنواخت در تقاطع قطرها قرار دارد توضیح داده شده است:

۱. فرمول کلی مرکز جرم چندضلعی (polygon centroid)

برای یک چندضلعی ساده با رأس‌ها به ترتیب دوری

(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(xₙ,yₙ) داریم:

A = (1/2) Σ_{i=1}^{n} ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

x̄ = (1 / (6A)) Σ_{i=1}^{n} (x_i + x_{i+1}) ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

ȳ = (1 / (6A)) Σ_{i=1}^{n} (y_i + y_{i+1}) ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

(با قاعدهٔ چرخه‌ای: (x_{n+1},y_{n+1}) ≡ (x₁,y₁))

این فرمول‌ها از تبدیل انتگرال‌های سطحی ∬ x dA و ∬ y dA به انتگرال خطی مرزی با استفاده از قضیهٔ گرین به‌دست می‌آیند.

۲. ساده‌سازی برای متوازی‌الأضلاع با اثبات جبری مختصر

برای متوازی‌الأضلاع چهار رأس را به ترتیب دوری در نظر می‌گیریم:

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), D(x₄,y₄).

اگر فرمول چندضلعی را روی این چهار رأس اعمال کنیم و جمع‌ها را باز کنیم، به دلیل موازی و مساوی بودن اضلاع مقابل (ویژگی متوازی‌الأضلاع) ترم‌ها با هم ساده می‌شوند و در نهایت خواهیم داشت:

x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) / 4

ȳ = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) / 4

یعنی centroid برابر میانگین مختصات رئوس است — و این همان نقطهٔ تقاطع قطرهاست.

۳. اثبات وکتوری و پارامتریک (روش ساده و روشن)

یک اثبات بسیار مختصر و گویا با وکتور:

1. یک رأس را در مبدا قرار ده (A = (0,0)).
2. دو بردار پایهٔ متوازی‌الأضلاع را تعریف کن: u = (u_x,u_y) و v = (v_x,v_y).
3. آنگاه رئوس به صورت: A=(0,0), B=u, C=u+v, D=v.
4. میانگین رئوس:

   (A + B + C + D) / 4 = (0 + u + (u+v) + v) / 4 = (2u + 2v) / 4 = (u + v) / 2

5. اما نقطهٔ وسط قطر AC برابر است با (u+v)/2، پس centroid در وسط قطرهاست.

همچنین با پارامتری‌سازی متوازی‌الأضلاع و انجام انتگرال سطحی مستقیم نیز همان نتیجه حاصل میشود:

پارامتری‌سازی: r(s,t) = s*u + t*v , 0 ≤ s,t ≤ 1

x̄ = (1/Area) ∬ x dA = (1/|u×v|) ∫₀¹∫₀¹ (s*u + t*v) |u×v| ds dt

= ∫₀¹∫₀¹ (s*u + t*v) ds dt = (1/2)u + (1/2)v = (u+v)/2

۴. مثال عددی گام‌به‌گام

فرض کنیم رئوس به صورت زیر باشند:

A(0,0)

B(4,0)

C(6,3)

D(2,3)

میانگین رئوس را محاسبه می‌کنیم:

x̄ = (0 + 4 + 6 + 2) / 4 = 12 / 4 = 3

ȳ = (0 + 0 + 3 + 3) / 4 = 6 / 4 = 1.5

→ مرکز جرم: (3 , 1.5)

۵. نکات و جمع‌بندی

• برای هر متوازی‌الأضلاع یکنواخت، centroid در تقاطع قطرها قرار دارد.
• می‌توانید از فرمول چندضلعی برای اثبات عمومی‌تر استفاده کنید؛ برای متوازی‌الأضلاع این فرمول به میانگین رئوس ساده‌شده تبدیل می‌شود.
• روش وکتوری و پارامتریک هر دو ساده و کم‌خطا هستند و برای محاسبهٔ عددی بسیار مناسب‌اند.

اگر می‌خواهی همین صفحه را با فرمت MathJax (رندر فرمول‌های لاتِک) یا نسخهٔ PDF آماده کنم، بگو تا همان را هم بسازم.

اثبات مرکز جرم متوازی‌الأضلاع (راهنمای ساده)

در این صفحه سه روش مختلف برای نشان دادن اینکه مرکز جرم یک متوازی‌الأضلاع یکنواخت در تقاطع قطرها قرار دارد توضیح داده شده است:

۱. فرمول کلی مرکز جرم چندضلعی (polygon centroid)

برای یک چندضلعی ساده با رأس‌ها به ترتیب دوری

(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(xₙ,yₙ) داریم:

A = (1/2) Σ_{i=1}^{n} ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

x̄ = (1 / (6A)) Σ_{i=1}^{n} (x_i + x_{i+1}) ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

ȳ = (1 / (6A)) Σ_{i=1}^{n} (y_i + y_{i+1}) ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

(با قاعدهٔ چرخه‌ای: (x_{n+1},y_{n+1}) ≡ (x₁,y₁))

این فرمول‌ها از تبدیل انتگرال‌های سطحی

∬ x dA و ∬ y dA

به انتگرال خطی مرزی با استفاده از قضیهٔ گرین به‌دست می‌آیند.

۲. ساده‌سازی برای متوازی‌الأضلاع با اثبات جبری مختصر

برای متوازی‌الأضلاع چهار رأس را به ترتیب دوری در نظر می‌گیریم:

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), D(x₄,y₄).

اگر فرمول چندضلعی را روی این چهار رأس اعمال کنیم و جمع‌ها را باز کنیم، به دلیل موازی و مساوی بودن اضلاع مقابل (ویژگی متوازی‌الأضلاع) ترم‌ها با هم ساده می‌شوند و در نهایت خواهیم داشت:

x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) / 4

ȳ = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) / 4

یعنی centroid برابر میانگین مختصات رئوس است — و این همان نقطهٔ تقاطع قطرهاست.

۳. اثبات وکتوری و پارامتریک (روش ساده و روشن)

یک اثبات بسیار مختصر و گویا با وکتور:

1. یک رأس را در مبدا قرار ده (A = (0,0)).
2. دو بردار پایهٔ متوازی‌الأضلاع را تعریف کن: u = (u_x,u_y) و v = (v_x,v_y).
3. آنگاه رئوس به صورت: A=(0,0), B=u, C=u+v, D=v.
4. میانگین رئوس:

   (A + B + C + D) / 4 = (0 + u + (u+v) + v) / 4 = (2u + 2v) / 4 = (u + v) / 2

5. اما نقطهٔ وسط قطر AC برابر است با (u+v)/2، پس centroid در وسط قطرهاست.

همچنین با پارامتری‌سازی متوازی‌الأضلاع و انجام انتگرال سطحی مستقیم نیز همان نتیجه حاصل میشود:

پارامتری‌سازی: r(s,t) = s*u + t*v , 0 ≤ s,t ≤ 1

x̄ = (1/Area) ∬ x dA = (1/|u×v|) ∫₀¹∫₀¹ (s*u + t*v) |u×v| ds dt

= ∫₀¹∫₀¹ (s*u + t*v) ds dt = (1/2)u + (1/2)v = (u+v)/2

۴. مثال عددی گام‌به‌گام

فرض کنیم رئوس به صورت زیر باشند:

A(0,0)

B(4,0)

C(6,3)

D(2,3)

میانگین رئوس را محاسبه می‌کنیم:

x̄ = (0 + 4 + 6 + 2) / 4 = 12 / 4 = 3

ȳ = (0 + 0 + 3 + 3) / 4 = 6 / 4 = 1.5

→ مرکز جرم: (3 , 1.5)

۵. نکات و جمع‌بندی

• برای هر متوازی‌الأضلاع یکنواخت، centroid در تقاطع قطرها قرار دارد.
• می‌توانید از فرمول چندضلعی برای اثبات عمومی‌تر استفاده کنید؛ برای متوازی‌الأضلاع این فرمول به میانگین رئوس ساده‌شده تبدیل می‌شود.
• روش وکتوری و پارامتریک هر دو ساده و کم‌خطا هستند و برای محاسبهٔ عددی بسیار مناسب‌اند.

اگر می‌خواهی همین صفحه را با فرمت MathJax (رندر فرمول‌های لاتِک) یا نسخهٔ PDF آماده کنم، بگو تا همان را هم بسازم.

مرکز جرم متوازی‌الأضلاع — حالات مختلف

۱. متوازی‌الأضلاع یکنواخت (صفحهٔ کامل)

مرکز جرم در تقاطع قطرها قرار دارد. اگر رئوس \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)\) باشند:

x_cm = (x1 + x2 + x3 + x4) / 4

y_cm = (y1 + y2 + y3 + y4) / 4

مثال عددی

A(0,0), B(4,0), C(6,3), D(2,3)

x_cm = (0+4+6+2)/4 = 3

y_cm = (0+0+3+3)/4 = 1.5

→ مرکز جرم = (3 , 1.5)

۲. تقسیم به دو مثلث

متوازی‌الأضلاع را با یک قطر به دو مثلث برابر تقسیم کنید؛ میانگین مراکز جرم دو مثلث برابر مرکز متوازی‌الأضلاع است (قدرت محاسبهٔ عددی با مثلث‌ها).

۳. قاب (لبه‌ها فقط جرم دارند)

برای قاب میانگین وزنی مراکز اضلاع بر حسب طول:

x_cm = Σ(L_i * x_i) / Σ L_i

y_cm = Σ(L_i * y_i) / Σ L_i

که L_i طول هر ضلع و (x_i,y_i) مرکز آن ضلع است.

۴. متوازی‌الأضلاع با سوراخ

اگر از شکل بزرگ یک شکل کوچک (سوراخ) برداشته شود:

r_cm = (A_big * r_big - A_hole * r_hole) / (A_big - A_hole)

۵. نکات کوتاه

• برای متوازی‌الأضلاع یکنواخت همیشه مرکز جرم روی تقاطع قطرهاست — این یک خاصیت هندسی ساده و مفید است.
• برای قاب یا توزیعِ جرم در اضلاع، باید از میانگین وزنی طول‌ها استفاده کرد.
• برای چندحفره یا ترکیب‌های پیچیده، هر بخش را با علامت مناسب (مثبت/منفی) وارد کنید و جمع وزنی انجام دهید.

مرکز جرم ذوزنقه با سوراخ (حالت‌های مختلف)

قاعدهٔ کلی

اگر ذوزنقهٔ بیرونی مساحت A₀ و مرکز r₀ و ذوزنقهٔ داخلی (سوراخ) مساحت A₁ و مرکز r₁ داشته باشد، آنگاه:

r_cm = ( A₀·r₀ - A₁·r₁ ) / ( A₀ - A₁ )

روابط مورد نیاز برای هر ذوزنقه

مساحت: A = h*(b1 + b2) / 2

y_cm (نسبت به قاعدهٔ بزرگ) : y = h*(b1 + 2*b2) / (3*(b1 + b2))

(اگر شکل متقارن باشد x_cm = b1 / 2)

مثال عددی

y_cm_total = (36*1.777777 - 8*1.833333) / (36 - 8) ≈ 1.76190

x_cm_total = 6 (به‌دلیل تقارن افقی)

→ مرکز جرم کل ≈ (6.00 , 1.7619)

نکات اضافی

• برای چند سوراخ: هر کدام را با علامت منفی وارد کنید و جمع وزنی انجام دهید.
• اگر سوراخ جابه‌جا شده در راستای x یا y، مؤلفه‌ها را جدا حساب کنید.
• در صورت نیاز می‌تونم همین مثال رو با شکل (تصویر SVG) رسم و نقطۀ مرکز جرم را نشان دهم تا بصری هم ببینی — می‌خوای تصویرش رو هم بسازم؟

مرکز جرم ذوزنقهٔ توخالی (قاب یا پوسته‌ای)

در این حالت جرم فقط روی اضلاع ذوزنقه پخش شده و بخش داخلی خالی است. برای یافتن مرکز جرم از رابطهٔ زیر استفاده می‌شود:

x_cm = Σ(Lᵢ·xᵢ) / ΣLᵢ

y_cm = Σ(Lᵢ·yᵢ) / ΣLᵢ

مثال عددی (ذوزنقه متساوی‌الساقین)

b₁ = 12 , b₂ = 6 , h = 4

رأس‌ها: A(0,0) , B(12,0) , C(9,4) , D(3,4)

طول‌ها:

L_AB = 12 , L_CD = 6 , L_AD = L_BC = 5

مرکز هر ضلع:

M_AB(6,0)

M_CD(6,4)

M_AD(1.5,2)

M_BC(10.5,2)

x_cm = (12×6 + 6×6 + 5×1.5 + 5×10.5) / (12+6+5+5)

= 168 / 28 = 6

y_cm = (12×0 + 6×4 + 5×2 + 5×2) / 28

= 44 / 28 = 1.57

→ مرکز جرم قاب: (x_cm , y_cm) = (6 , 1.57)

✅ نتیجه: مرکز جرم قاب ذوزنقه روی محور تقارن (x=6) و در ارتفاع تقریبی ۱٫۶ cm از قاعده قرار دارد.

مرکز جرم ذوزنقهٔ معکوس (بریده‌شده)

ذوزنقه‌ای داریم با قاعده بزرگ‌تر b₁ در پایین، قاعده کوچک‌تر b₂ در بالا و ارتفاع h. چون b₂ < b₁ است، شکل «ذوزنقه معکوس» یا «بریده‌شده» نامیده می‌شود.

۱. فرمول کلی

فاصله مرکز جرم از قاعده بزرگ‌تر:

y_cm = h*(b₁ + 2*b₂) / (3*(b₁ + b₂))

۲. حالت متقارن (ذوزنقه متساوی‌الساقین)

x_cm = b₁ / 2

y_cm = h*(b₁ + 2*b₂) / (3*(b₁ + b₂))

۳. حالت قائم‌الزاویه

x_cm = (b₁² + 2*b₁*b₂ + 3*b₂²) / [3*(b₁ + b₂)]

y_cm = h*(b₁ + 2*b₂) / [3*(b₁ + b₂)]

۴. مثال عددی

b₁ = 12 , b₂ = 4 , h = 6

y_cm = 6*(12 + 8) / (3*(12 + 4)) = 120 / 48 = 2.5

x_cm = b₁/2 = 6 (برای حالت متقارن)

مرکز جرم: (x_cm , y_cm) = (6 , 2.5)

✅ نتیجه: در ذوزنقه معکوس نیز مرکز جرم پایین‌تر از وسط ارتفاع قرار دارد و کمی به سمت قاعده بزرگ‌تر متمایل است.

مرکز جرم ذوزنقه در حالات مختلف

۱. ذوزنقه عمومی (فرمول کلی)

برای ذوزنقه‌ای با قاعده‌های b₁ (بزرگ‌تر)، b₂ (کوچک‌تر) و ارتفاع h:

y_cm = h*(b₁ + 2*b₂) / (3*(b₁ + b₂))

۲. ذوزنقه متساوی‌الساقین

به دلیل تقارن:

x_cm = b₁ / 2

y_cm = h*(b₁ + 2*b₂) / (3*(b₁ + b₂))

۳. ذوزنقه قائم‌الزاویه

اگر ضلع عمود در سمت چپ باشد:

x_cm = (b₁² + 2*b₁*b₂ + 3*b₂²) / [3*(b₁ + b₂)]

y_cm = h*(b₁ + 2*b₂) / [3*(b₁ + b₂)]

۴. مثال عددی

b₁ = 10 , b₂ = 4 , h = 6

→ حالت متساوی‌الساقین:

x_cm = 5

y_cm = 6*(10 + 8)/(3*14) = 2.57 cm

→ حالت قائم‌الزاویه:

x_cm = (100 + 80 + 48)/(42) = 5.62 cm

y_cm = 2.57 cm

✅ نتیجه: مرکز جرم ذوزنقه متساوی‌الساقین در محور تقارن قرار دارد، و در ذوزنقه قائم‌الزاویه، کمی به سمت قاعده عمود نزدیک‌تر است.

مرکز جرم مستطیل با دو سوراخ دایره‌ای

۱) قاعدهٔ کلی

اگر صفحهٔ اصلی مساحت A₀ و مراکز سوراخ‌ها Aᵢ باشند (چگالی یکنواخت)، آنگاه:

r_cm = ( A₀·r₀ - Σ (Aᵢ·rᵢ) ) / ( A₀ - Σ Aᵢ )

۲) مثال عددی

محاسبهٔ مرکز جرم کل (تفکیکی برای هر مؤلفه):

x_cm = (A₀·x₀ - A₁·x₁ - A₂·x₂) / (A₀ - A₁ - A₂)

y_cm = (A₀·y₀ - A₁·y₁ - A₂·y₂) / (A₀ - A₁ - A₂)

جایگذاری اعداد:

A₀ = 200

A₁ ≈ 12.5664 (r1 = 2)

A₂ ≈ 28.2743 (r2 = 3)

x_cm ≈ (200·10 - 12.5664·6 - 28.2743·14) / (200 - 12.5664 - 28.2743)

≈ 9.605 cm

y_cm ≈ (200·5 - 12.5664·5 - 28.2743·7) / (200 - 12.5664 - 28.2743)

≈ 4.645 cm

نتیجه: مرکز جرم کلی ≈ (9.605 , 4.645) cm.

۳) نکات و تعمیم

• برای هر تعداد سوراخ یا افزودنی کافیست همهٔ مساحت‌ها را با علامت مناسب (مثبت برای اضافه، منفی برای سوراخ) در فرمول جای‌گذاری کنید.
• اگر چگالی در بخش‌های مختلف متفاوت باشد، به‌جای مساحت از جرم (m = σ·A) استفاده کنید.
• می‌توان قبل از محاسبه محور مختصات را طوری قرار داد که محاسبات ساده‌تر شوند (مثلاً مرکز مستطیل در مبدا).

مرکز جرم صفحه با سوراخ

وقتی از یک صفحهٔ همگن بخشی جدا می‌شود (مثل سوراخ)، می‌توان آن بخش را به‌صورت جرم منفی در نظر گرفت.

فرمول کلی:

r_cm = ( m₁r₁ - m₂r₂ ) / ( m₁ - m₂ )

مثال عددی:

صفحه مربعی با ضلع L=10 cm و سوراخ دایره‌ای با شعاع r=2 cm در فاصله 3 cm از مرکز:

A₁ = L² = 100

A₂ = πr² = 12.57

x₁ = 0

x₂ = 3

x_cm = (100*0 - 12.57*3) / (100 - 12.57)

x_cm = -0.43 cm

✅ نتیجه: مرکز جرم صفحه ۰٫۴۳ سانتی‌متر به سمت مخالف سوراخ منتقل می‌شود.

مرکز جرم صفحه همگن

برای یک صفحه نازک و یکنواخت با چگالی سطحی ثابت، مرکز جرم از روابط زیر به‌دست می‌آید:

x_cm = (1/A) ∬ x dA

y_cm = (1/A) ∬ y dA

مثال ۱: مستطیل همگن

x_cm = b/2

y_cm = h/2

مثال ۲: مثلث قائم‌الزاویه

اگر رأس‌ها در (0,0), (b,0), (0,h) باشند:

x_cm = b/3

y_cm = h/3

مثال ۳: نیم‌دایره نازک

y_cm = 4R / (3π)

مثال ۴: ذوزنقه

با قاعده‌های b₁ (بزرگ‌تر) و b₂ (کوچک‌تر) و ارتفاع h:

y_cm = h*(b₁ + 2*b₂) / (3*(b₁ + b₂))

✅ نکته: اگر صفحه از چند ناحیه تشکیل شده باشد (مثلاً مستطیل + سوراخ دایره‌ای)، مرکز جرم کل از ترکیب جرم‌های ناحیه‌ها با استفاده از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

R_cm = Σ(m_i * r_i) / Σ(m_i)

عالی 🌟

پس من یک نسخهٔ کامل و جامع برای مرکز جرم همهٔ اشکال پرکاربرد آماده می‌کنم، شامل:

میله (مورب و خمیده)

مثلث

مستطیل

ذوزنقه (با فرمول اصلاح‌شده)

دایره و دایره با سوراخ

نیم‌کره

مخروط

ترکیبی از چند جسم

همهٔ مثال‌ها و فرمول‌ها عددی و آمادهٔ استفاده در بلاگفا هستند.

---

راهنمای جامع مرکز جرم اشکال پرکاربرد

۱. میله نازک و همگن

میلهٔ مورب بین دو نقطه:

x_cm = (x1 + x2)/2

y_cm = (y1 + y2)/2

میلهٔ خمیده (کمان دایره):

r_cm = (2*R*sin(θ/2)) / θ

مثال: R=1m, θ=π/2 → r_cm ≈ 0.9 m

۲. صفحه مثلثی همگن

x_cm = (x1 + x2 + x3)/3

y_cm = (y1 + y2 + y3)/3

مثال: A(0,0), B(6,0), C(0,9) → (x_cm, y_cm) = (2, 3)

۳. صفحه ذوزنقه‌ای همگن

y_cm = h*(b1 + 2*b2)/(3*(b1+b2))

مثال: b1=10, b2=4, h=6 → y_cm ≈ 2.57 cm

۴. مستطیل همگن

x_cm = b/2

y_cm = h/2

۵. دایره همگن

مرکز جرم = مرکز دایره

دایره با سوراخ:

مرکز جرم = جمع مرکز جرم‌ها با جرم منفی برای حفره

مثال:

دایره: R=5m, M=100 → مرکز (0,0)

حفره: r=2m در x=3 → m=-64

x_cm = (100*0 + (-64)*3)/(100-64) ≈ -5.33

۶. نیم‌کره توپر همگن

x_cm = 0, y_cm = 0, z_cm = 3R/8

۷. مخروط توپر همگن

z_cm = 3h/4 (نسبت به رأس)

z_cm = h/4 (نسبت به قاعده)

۸. ترکیبی از چند جسم

R_cm = Σ(m_i * r_i) / Σ(m_i)

حفره = جرم منفی

مثال ۱: مستطیل + مثلث → (x_cm, y_cm) = (3, 2.82)

مثال ۲: دایره با سوراخ → x_cm ≈ -5.33

---

مرکز جرم ذوزنقه همگن

فرض کنید یک ذوزنقه همگن با قاعده بزرگ b₁، قاعده کوچک b₂ و ارتفاع h داریم. محور y از قاعده بزرگ به سمت قاعده کوچک مثبت در نظر گرفته شده است.

۱. فرمول مرکز جرم

فاصله مرکز جرم از قاعده بزرگ‌تر:

y_cm = h * (b₁ + 2*b₂) / (3 * (b₁ + b₂))

۲. مثال عددی

اگر b₁ = 10 cm، b₂ = 4 cm و h = 6 cm:

y_cm = 6 * (10 + 2*4) / (3 * (10 + 4))

= 6 * 18 / 42

≈ 2.57 cm

✅ نتیجه: مرکز جرم ذوزنقه در فاصله تقریباً ۲٫۵۷ سانتی‌متر از قاعده بزرگ‌تر قرار دارد.

راهنمایی جامع مرکز جرم اشکال پرکاربرد

۱. میله نازک و همگن

میلهٔ مورب بین دو نقطه:

x_cm = (x1+x2)/2 , y_cm = (y1+y2)/2

میلهٔ خمیده

(کمان دایره):

r_cm = (2R sin(θ/2)) / θ

مثال:

R=1m , θ=π/2 → r_cm ≈ 0.9 m

۲. صفحه مثلثی همگن

x_cm = (x1+x2+x3)/3 y_cm = (y1+y2+y3)/3

مثال:

A(0,0), B(6,0), C(0,9) → (x_cm,y_cm) = (2,3)

۳. صفحه ذوزنقه‌ای همگن

y_cm = h(2b1 + b2) / [3(b1+b2)]

مثال:

b1=10, b2=4, h=6 → y_cm ≈ 3.43

۴. مستطیل همگن

x_cm = b/2 , y_cm = h/2

۵. دایره همگن

مرکز جرم = مرکز دایره دایره با سوراخ: مرکز جرم = جمع مرکز جرم‌ها با جرم منفی برای حفره

۶. نیم‌کره توپر همگن

x_cm=0 , y_cm=0 , z_cm = 3R/8

۷. مخروط توپر همگن

z_cm = 3h/4 (نسبت به رأس) , z_cm = h/4 (نسبت به قاعده)

۸. ترکیبی از چند جسم

R_cm = Σ(m_i * r_i) / Σ(m_i) حفره = جرم منفی مثال: مستطیل + مثلث → (3,2.82) مثال: دایره با سوراخ → x_cm ≈ -5.33

مرکز جرم ترکیبی چند جسم

اگر چند جسم همگن داشته باشیم، مرکز جرم کل سیستم:

R_cm = (Σ m_i * r_i) / (Σ m_i)

نکته: اگر شکلی حفره یا سوراخ دارد، جرم آن را منفی در نظر می‌گیریم.

مثال ۱: مستطیل + مثلث روی هم

مستطیل: b=6, h=4 → مرکز جرم (3,2), m1=24

مثلث روی مستطیل: b=6, h=3 → مرکز جرم (3,5), m2=9

x_cm = (24*3 + 9*3)/(24+9) = 3

y_cm = (24*2 + 9*5)/(24+9) ≈ 2.82

→ مرکز جرم کل شکل: (3, 2.82)

مثال ۲: دایره با سوراخ

دایره: R=5, M=100 → مرکز جرم (0,0)

حفره: r=2, در x=3 → جرم = -64, مرکز = (3,0)

x_cm = (100*0 + (-64)*3) / (100 - 64) = -5.33

→ مرکز جرم کل به سمت چپ منتقل شده است

مرکز جرم صفحه مثلثی و ذوزنقه‌ای

۱. مثلث همگن

اگر مختصات سه رأس مثلث A(x₁,y₁)، B(x₂,y₂) و C(x₃,y₃) باشد:

x_cm = (x₁ + x₂ + x₃) / 3

y_cm = (y₁ + y₂ + y₃) / 3

ویژگی: مرکز جرم در محل تقاطع سه میانه قرار دارد.

مثال:

A(0,0), B(6,0), C(0,9)

x_cm = (0 + 6 + 0)/3 = 2

y_cm = (0 + 0 + 9)/3 = 3

→ (x_cm , y_cm) = (2 , 3)

۲. ذوزنقه همگن

برای ذوزنقه‌ای با قاعده‌های موازی b₁ (بزرگ‌تر) و b₂ (کوچک‌تر) و ارتفاع h، فاصلهٔ مرکز جرم از قاعدهٔ بزرگ‌تر:

y_cm = [ h ( 2b₁ + b₂ ) ] / [ 3 ( b₁ + b₂ ) ]

مثال:

b₁ = 10 cm , b₂ = 4 cm , h = 6 cm

y_cm = 6(2×10 + 4) / [3(10 + 4)] = 144 / 42 = 3.43 cm

✅ نتیجه: مرکز جرم در فاصلهٔ حدود ۳٫۴۳ cm از قاعدهٔ بزرگ‌تر قرار دارد.

مرکز جرم میله مورب یا خمیده

۱. میلهٔ مورب (خط راست)

برای میلهٔ همگن بین دو نقطهٔ A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂):

x_cm = (x₁ + x₂) / 2

y_cm = (y₁ + y₂) / 2

اگر در فضا سه‌بعدی باشد:

(x_cm , y_cm , z_cm) =

( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 , (z₁+z₂)/2 )

۲. میلهٔ خمیده (کمان دایره‌ای)

میله بخشی از محیط دایره با شعاع R و زاویه θ (بر حسب رادیان) است.

فرمول فاصلهٔ مرکز جرم از مرکز دایره:

r_cm = (2R sin(θ/2)) / θ

مثال عددی

اگر R = 1 m و θ = π/2:

r_cm = (2×1×sin(π/4)) / (π/2)

r_cm = (2×0.707) / 1.57 ≈ 0.9 m

✅ نتیجه: مرکز جرم کمان دایره در فاصلهٔ 0.9R از مرکز دایره روی محور تقارن کمان قرار دارد.

مرکز جرم مخروط توپر همگن

مخروطی راست و یکنواخت با ارتفاع h و شعاع قاعده R. مبدا را روی رأس (قله) قرار می‌دهیم و محور z را به سمت قاعده مثبت در نظر می‌گیریم.

1. شعاع مقطع در ارتفاع z

r(z) = (R/h) · z

2. حجم المان دیسک

dV = π [r(z)]² dz = π (R²/h²) z² dz

3. حجم کل

V = ∫₀ʰ dV = (1/3) π R² h

4. مختصهٔ z مرکز جرم

z_cm = (1/V) ∫₀ʰ z dV

= (1/V) ∫₀ʰ z · π(R²/h²) z² dz

= (πR² / h² V) · (h⁴ / 4)

= 3h / 4

بنابراین: مرکز جرم نسبت به رأس در ارتفاع 3h/4 قرار دارد. معادل آن نسبت به قاعده فاصلهٔ h/4 است.

مثال عددی

اگر h = 12 cm، فاصله از قاعده = 12 /4 = 3 cm.