ریاضیات

امواج کوانتومی سه‌بعدی (3D Quantum Waves)

امواج کوانتومی سه‌بعدی توابع موجی هستند که به سه مختصات فضایی وابسته‌اند: x, y, z یا r, θ, φ.

مربع قدرمطلق تابع موج، |Ψ|²، احتمال حضور ذره در فضای سه‌بعدی را نشان می‌دهد.

۱. معادلهٔ شرودینگر سه‌بعدی (زمان-وابسته)

i ℏ ∂Ψ(𝐫, t)/∂t = [ - ℏ²/(2 m) ∇² + V(𝐫) ] Ψ(𝐫, t)

که 𝐫 = (x, y, z) و V(𝐫) پتانسیل سه‌بعدی است.

۲. مثال: ذره در جعبه سه‌بعدی (3D Infinite Cubic Well)

ذره‌ای در مکعبی با طول‌های Lx, Ly, Lz محدود است و

Ψ = 0 روی دیواره‌ها:

تابع موج:

Ψnx, ny, nz(x, y, z) = √(8 / (LxLyLz)) × sin(nx π x / Lx) × sin(ny π y / Ly) × sin(nz π z / Lz)

انرژی گسسته:

Enx, ny, nz = (π² ℏ² / 2 m) × ( nx² / Lx² + ny² / Ly² + nz² / Lz² ), nx, ny, nz = 1,2,3,...

۳. مثال دیگر: الکترون در اتم هیدروژن

تابع موج سه‌بعدی کروی

: Ψnℓm(r, θ, φ) = Rnℓ(r) × Yℓm(θ, φ)

شکل اوربیتال‌های s, p, d, f از توزیع احتمال |Ψ|² به دست می‌آید.

۴. ویژگی‌ها

• گره‌ها و شکم‌ها در فضای سه‌بعدی شکل می‌گیرند.
• انرژی ذره کوانتیده و گسسته است.
• پایهٔ تحلیل اتم‌ها، مولکول‌ها و ذرات در جعبه‌های سه‌بعدی است.
• ترکیب حالت‌ها → ابرموضعیت سه‌بعدی و تداخل کوانتومی.

امواج کوانتومی سه‌بعدی رفتار ذرات را در فضای سه‌بعدی توصیف می‌کنند و الگوهای پیچیده‌ای از گره و شکم ایجاد می‌کنند که اساس نظریه اتمی و شیمی کوانتومی است.

امواج کوانتومی دوبعدی (2D Quantum Waves)

امواج کوانتومی دوبعدی به توابع موجی گفته می‌شود که به دو مختصات فضایی وابسته هستند، مانند Ψ(x, y, t). مربع قدرمطلق این تابع، |Ψ(x, y, t)|²، احتمال حضور ذره در نقطه (x, y) را نشان می‌دهد.

۱. معادلهٔ شرودینگر دوبعدی (زمان-وابسته)

i ℏ ∂Ψ(x, y, t)/∂t = [ - ℏ²/(2m) ( ∂²/∂x² + ∂²/∂y² ) + V(x, y) ] Ψ(x, y, t)

اگر پتانسیل ثابت یا محدود باشد، می‌توان تابع موج را به صورت جداسازی متغیرها نوشت:

Ψ(x, y, t) = X(x) Y(y) T(t)

۲. مثال: ذره در جعبه دوبعدی (2D Infinite Square Well)

فرض کنید ذره‌ای در یک مستطیل محدود است: 0 < x < Lx و 0 < y < Ly با شرایط مرزی Ψ = 0 روی دیواره‌ها.

تابع موج:

Ψnx, ny(x, y) = (2/√(LxLy)) × sin(nx π x / Lx) × sin(ny π y / Ly)

انرژی گسسته:

Enx, ny = (π² ℏ² / 2 m) ( nx² / Lx² + ny² / Ly² ), nx, ny = 1,2,3,...

۳. ویژگی‌ها

• گره‌ها و شکم‌ها روی سطح دوبعدی شکل می‌گیرند.
• انرژی ذره کوانتیده و گسسته است.
• این مدل پایهٔ ذرات در صفحه‌های نیمه‌هادی و نانو ساختارهای دوبعدی است.
• ترکیب حالت‌ها → ابرموضعیت دوبعدی و تداخل کوانتومی.

این مثال نشان می‌دهد که چگونه امواج کوانتومی دوبعدی رفتار ذره را روی یک صفحه محدود توصیف می‌کنند و الگوهای گره و شکم ایجاد می‌کنند.

انواع امواج کوانتومی

در مکانیک کوانتومی، امواج کوانتومی به تابع موج ذره اشاره دارند. بسته به نوع ذره، ابعاد و محیط، این امواج شکل‌ها و رفتارهای متفاوتی دارند.

۱. براساس بعد و فضا

• یک‌بعدی (1D): موج فقط در یک راستا حرکت می‌کند.

  مثال: الکترون در جعبه یک‌بعدی

  ψ(x, t) = A sin(k x - ω t)

• دو‌بعدی (2D): موج در یک صفحه حرکت می‌کند.

  مثال: الکترون در صفحه دو بعدی (مانند گرافن)

  ψ(x, y, t) = A sin(kx x + ky y - ω t)

• سه‌بعدی (3D): موج در تمام جهات منتشر می‌شود.

  مثال: الکترون در اتم هیدروژن

  ψ(r, θ, φ) = R(r) Yℓm(θ, φ)

۲. براساس نوع ذره

• ذرات ماده (Matter Waves): مانند الکترون، پروتون، نوترون

  طول موج د بروگلی: λ = h / p

• فوتون‌ها و ذرات بدون جرم: موج کوانتومی نور با معادلات ماکسول ترکیب می‌شود.
• امواج بوزونی (Bosons): اسپین صحیح (0, 1,…)، مثل فوتون و گلوئون

  می‌توانند روی یک حالت تکراری قرار گیرند → چگالش بوز–اینشتین

• امواج فرمیونی (Fermions): اسپین نیم‌صحیح (1/2, 3/2,…)، مثل الکترون و پروتون

  از اصل طرد پائولی تبعیت می‌کنند.

۳. براساس شرایط محیطی

• موج ایستا (Standing Wave): ذره در محیط محدود، مانند جعبه پتانسیل.

  الگو: گره و شکم مشخص

• موج آزاد (Traveling Wave): ذره در فضا آزاد حرکت می‌کند.

  ψ(x, t) = A ei(kx - ω t)

• ابرموضعیت (Superposition): ترکیب چند موج با انرژی‌ها یا جهت‌های مختلف.

  مثال: الکترون در ابرموضعیت بین دو حالت انرژی یا مکان

۴. نکات مهم

• تابع موج همیشه احتمال حضور ذره را توصیف می‌کند.
• شکل و نوع موج کوانتومی رفتار ذره را تعیین می‌کند.
• امواج کوانتومی می‌توانند با یکدیگر تداخل و برهم‌کنش داشته باشند.

امواج کوانتومی پایهٔ تمام پدیده‌های مکانیک کوانتومی هستند و اساس رفتار ذرات بنیادی مانند الکترون‌ها، فوتون‌ها و پروتون‌ها را توضیح می‌دهند.

امواج کوانتومی

در مکانیک کوانتومی، هر ذره (مانند الکترون، پروتون یا فوتون) را می‌توان با تابع موج Ψ(r, t) توصیف کرد. مقدار |Ψ(r, t)|² احتمال یافتن ذره در نقطه r در زمان t را نشان می‌دهد.

۱. معادلهٔ شرودینگر (زمان-وابسته)

i ℏ ∂Ψ(r, t)/∂t = [ - ℏ²/(2m) ∇² + V(r) ] Ψ(r, t)

• i : واحد موهومی
• ℏ = h / 2π : ثابت پلانک
• ∇² : لاپلاسین → تغییرات فضایی تابع موج
• V(r) : انرژی پتانسیل

۲. حالت ایستا (مستقل از زمان)

اگر پتانسیل ثابت باشد، می‌توان تابع موج را به شکل زیر نوشت:

Ψ(r, t) = ψ(r) e-i E t / ℏ

که منجر به معادلهٔ شرودینگر مستقل از زمان می‌شود:

[ - ℏ²/(2m) ∇² + V(r) ] ψ(r) = E ψ(r)

۳. مثال‌های معروف

• ذره در جعبه (Infinite Potential Well):

  ψn(x) = √(2/L) sin(n π x / L),

En = n² π² ℏ² / (2 m L²), n = 1,2,3,...

• الکترون در هیدروژن:

  تابع موج سه‌بعدی: ψnℓm(r, θ, φ) که الگوهای اوربیتال‌ها را توصیف می‌کند.

۴. نکات مهم

• امواج کوانتومی، موج احتمال هستند، نه موج فشار یا نور.
• اصل عدم قطعیت هایزنبرگ محدودیت مکان و تکانه ذره را مشخص می‌کند.
• ترکیب توابع موج → ابرموضعیت‌ها (Superposition) و تداخل کوانتومی.
• تابع موج اطلاعات کامل احتمالی ذره را در اختیار می‌گذارد.

امواج کوانتومی پایهٔ تمام پدیده‌های مکانیک کوانتومی هستند و اساس رفتار الکترون‌ها، فوتون‌ها و دیگر ذرات بنیادی را توضیح می‌دهند.

مثال: موج صوتی از منبع نقطه‌ای (مختصات کروی)

فرض کنید یک منبع صوتی کوچک در هوا یا آب قرار دارد که صدا را در همه جهات پخش می‌کند. این حالت در مختصات کروی (r, θ, φ) تحلیل می‌شود، زیرا موج دارای تقارن کروی است.

۱. معادلهٔ موج در مختصات کروی

(1/r²) ∂/∂r (r² ∂p/∂r) + (1/(r² sinθ)) ∂/∂θ (sinθ ∂p/∂θ) + (1/(r² sin²θ)) ∂²p/∂φ² = (1/c²) ∂²p/∂t²

اگر موج فقط به فاصله r وابسته باشد (تقارن کروی کامل)، وابستگی به θ و φ حذف می‌شود:

(1/r²) ∂/∂r (r² ∂p/∂r) = (1/c²) ∂²p/∂t²

۲. حل موج کروی

راه‌حل ساده برای موجی که از مرکز در همه جهت‌ها پخش می‌شود:

p(r, t) = (A / r) × sin(kr - ωt)

• A : دامنه موج در فاصله ۱ متری از مرکز
• k = 2π/λ : عدد موج
• ω = 2πf : فرکانس زاویه‌ای
• r : فاصله از منبع

۳. ویژگی‌های فیزیکی

• شدت موج با 1/r² کاهش می‌یابد، چون انرژی در سطح کروی پخش می‌شود.
• موج در همه جهت‌ها یکسان (ایزوتروپیک) است.
• موج بازتابی از موانع کروی می‌تواند با موج اصلی تداخل کند و الگوهای پیچیده بسازد.
• این مدل در تحلیل صدای انفجارها، امواج زیرآبی، و منابع نقطه‌ای صدا کاربرد دارد.

۴. خلاصهٔ ریاضی

p(r, t) = (A / r) sin(kr - ωt) و I ∝ 1/r²

این مثال نشان می‌دهد چگونه انتشار موج صوتی از یک منبع نقطه‌ای در فضا تحلیل و پیش‌بینی می‌شود.

در یک لولهٔ استوانه‌ای بلند مانند لولهٔ ارگ یا فلوت، امواج صوتی به‌صورت محوری و شعاعی منتشر می‌شوند. برای تحلیل این امواج از مختصات استوانه‌ای (r, φ, z) استفاده می‌شود.

۱. معادلهٔ موج در مختصات استوانه‌ای

(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) + (1/r²) ∂²p/∂φ² + ∂²p/∂z² = (1/c²) ∂²p/∂t²

چون موج در لوله معمولاً تقارن محوری دارد، وابستگی به φ حذف می‌شود:

(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) + ∂²p/∂z² = (1/c²) ∂²p/∂t²

۲. جدایی متغیرها

فرض می‌کنیم فشار به‌صورت حاصل‌ضرب چند تابع باشد:

p(r, z, t) = R(r) Z(z) T(t)

با جایگذاری در معادله، سه معادله جدا به‌دست می‌آید:

• زمانی: d²T/dt² + ω²T = 0
• محوری: d²Z/dz² + kz²Z = 0
• شعاعی: (1/r) d/dr (r dR/dr) + kr²R = 0

معادله شعاعی، معادله بسل (Bessel) است و راه‌حل آن به صورت تابع بسل نوع اول است:

R(r) = J₀(krr)

۳. شکل کلی موج در لوله

p(r, z, t) = A J₀(krr) × sin(kzz - ωt)

• A : دامنه موج
• J₀(krr) : تابع بسل برای تغییرات شعاعی
• kz : عدد موج در راستای محور لوله
• ω : فرکانس زاویه‌ای

۴. شرایط مرزی

در دیواره لوله (r = a)، سرعت شعاعی صفر است، یعنی:

∂p/∂r = 0

این شرط مقدارهای مجاز kr را تعیین می‌کند (مقادیر خاص تابع بسل).

۵. نتیجه فیزیکی

• در مرکز لوله، فشار بیشینه است و در نزدیکی دیواره کاهش می‌یابد.
• در راستای محور، موج ایستاده با گره‌ها و شکم‌های متناوب تشکیل می‌شود.
• این پدیده اساس تولید صوت در سازهای بادی مانند فلوت، سوت و لوله‌های ارگ است.

این مثال یکی از مهم‌ترین کاربردهای دستگاه مختصات استوانه‌ای در آکوستیک است و نشان می‌دهد چگونه تابع بسل رفتار موج را در راستای شعاعی توصیف می‌کند.

مثال: موج صوتی دوبعدی روی سطح طبل

وقتی با چوب به وسط یک طبل ضربه می‌زنیم، موج‌های فشاری در تمام جهات صفحهٔ طبل منتشر می‌شوند. چون طبل سطحی دوبعدی دارد، صدای آن را می‌توان با معادله موج دوبعدی توضیح داد.

۱. معادلهٔ موج دوبعدی در دستگاه قطبی

(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) + (1/r²) ∂²p/∂θ² = (1/c²) ∂²p/∂t²

چون موج از مرکز به صورت دایره‌ای پخش می‌شود، وابستگی به زاویه (θ) حذف می‌شود و معادله ساده‌تر می‌گردد:

(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) = (1/c²) ∂²p/∂t²

۲. شکل حل موج

راه‌حل سادهٔ این معادله برای موج دایره‌ای روی سطح طبل به صورت زیر است:

p(r, t) = (A / √r) × sin(k r - ω t)

• A : دامنه موج (شدت ضربه)
• k = 2π/λ : عدد موج
• ω = 2πf : فرکانس زاویه‌ای
• r : فاصله از مرکز طبل

۳. ویژگی‌های فیزیکی موج روی طبل

• در مرکز طبل، دامنهٔ صدا بیشترین مقدار را دارد.
• با دور شدن از مرکز، شدت صدا با 1/√r کاهش می‌یابد.
• موج پس از برخورد به لبهٔ طبل بازتاب می‌شود و با موج اصلی تداخل می‌کند.
• این تداخل باعث تشکیل الگوهای ایستا (گره و شکم) روی سطح می‌شود.

۴. نتیجهٔ فیزیکی

در نتیجه، صدای طبل ترکیبی از موج‌های مستقیم و بازتابی است که در سطح دوبعدی حرکت می‌کنند. الگوهای نوسانی به شکل حلقه‌های دایره‌ای روی سطح پدید می‌آیند و باعث ایجاد صدایی غنی و طنین‌دار می‌شوند.

این مثال یکی از ساده‌ترین مدل‌ها برای درک رفتار امواج صوتی دوبعدی و پدیده‌های آکوستیکی در سطوح است.

معادلهٔ موج صوتی دوبعدی

در امواج صوتی دوبعدی، صدا در یک صفحه (مثلاً روی پردهٔ طبل یا سطح آب) منتشر می‌شود. در این حالت، تغییرات فشار صوتی در دو راستا (x و y) در نظر گرفته می‌شود.

۱. معادلهٔ موج دوبعدی

∂²p/∂x² + ∂²p/∂y² = (1/c²) ∂²p/∂t²

• p(x, y, t): فشار صوتی در نقطه (x, y) و زمان t
• c: سرعت صوت در محیط

۲. شکل موج دوبعدی

p(x, y, t) = A sin(kₓx + kyy - ωt)

• A : دامنه موج
• kₓ, ky : مؤلفه‌های عدد موج در راستاهای x و y
• ω : فرکانس زاویه‌ای

۳. معادله در مختصات قطبی (دایره‌ای)

(1/r) ∂/∂r (r ∂p/∂r) + (1/r²) ∂²p/∂θ² = (1/c²) ∂²p/∂t²

اگر موج فقط به فاصله r وابسته باشد (موج دایره‌ای):

p(r, t) = (A / √r) sin(kr - ωt)

شدت صدا با فاصله به‌صورت

۱/√r

کاهش می‌یابد.

۴. مثال‌های واقعی از امواج دوبعدی

• پردهٔ طبل یا دف → انتشار موج در دو جهت و تشکیل گره‌ها و شکم‌ها
• سطح آب → دایره‌های متناوب فشار از نقطهٔ ضربه
• انتشار صدا روی سطح زمین یا دیوار صاف

۵. نکات مهم

• شدت موج دوبعدی با فاصله کمتر کاهش می‌یابد نسبت به موج سه‌بعدی.
• در سطح‌های بسته (مثل طبل) الگوهای نرمال و تداخل تشکیل می‌شود.
• برای حل دقیق‌تر، از توابع بسل (Bessel) و روش‌های عددی استفاده می‌شود.

معادلهٔ موج دوبعدی پایهٔ تحلیل آکوستیک سطحی و بررسی الگوهای صدا در پرده‌ها و صفحات نازک است.

تداخل امواج الکترومغناطیسی — زرد و آبی

وقتی دو موج نوری با طول‌موج‌های متفاوت (مثلاً آبی و زرد) با هم تلاقی کنند، نتیجهٔ برهم‌نهی آن‌ها هم در سطح میدان الکتریکی است و هم در ادراک رنگی ما. در این مطلب ساده توضیح می‌دهیم چه اتفاقی می‌افتد و چرا چشم انسان نتیجهٔ ترکیب رنگی را می‌بیند نه یک الگوی تداخلی ثابت.

۱ — مشخصات تقریبی

• آبی : طول‌موج تقریباً λ₁ ≈ 450 nm (فرکانس بزرگ‌تر)
• زرد : طول‌موج تقریباً λ₂ ≈ 580 nm (فرکانس کوچک‌تر)

۲ — نمایش ریاضی موج‌ها

E₁ = E₀ cos(k₁ x - ω₁ t)

E₂ = E₀ cos(k₂ x - ω₂ t)

جمع جبری دو موج (با محاسبهٔ جمع کسینوسی) را می‌توان نوشت:

Eکل = E₁ + E₂ = 2 E₀ cos( (Δk x - Δω t)/2 ) · cos( (k₁+k₂)/2 x - (ω₁+ω₂)/2 t )

در این فرمول: Δk = k₁ - k₂ و Δω = ω₁ - ω₂. جملهٔ اول یک نوسان آرامِ ضریب دامنه (envelope) می‌دهد و جملهٔ دوم نوسان سریعِ حامل را نشان می‌دهد.

۳ — چه چیزی چشم می‌بیند؟

• چون ω₁ و ω₂ بسیار بزرگ و متفاوتند، الگوی نوسان سریع توسط چشم دیده نمی‌شود — چشم توان تفکیک زمانی این فرکانس‌ها را ندارد.
• نتیجهٔ دیداری ترکیب طیفی است: ترکیب آبی و زرد بسته به شدت نسبی ممکن است سفید، سبز روشن، یا زرد-آبی مخلوط به نظر بیاید.
• اگر دو موج تقریباً هم‌فرکانس و همدوس باشند (مثلاً دو لیزر) → نوارهای تداخلی (روشن/تاریک) قابل مشاهده خواهند بود. اما برای نور‌های رنگیِ با فرکانس‌های خیلی متفاوت، نوار تداخلی پایدار و واضح معمولاً دیده نمی‌شود؛ در عوض تغییر طیفی رخ می‌دهد.

۴ — مثال بصری (نمادین)

ترکیب دیداری آبی + زرد (نمادین)

نمادین: موج‌ها و جمع آن‌ها (نمایشی)

۵ — نکات مهم و کاربردی

• تداخلِ پایدار و قابل مشاهده نیازمند همدوسی است؛ برای نورِ سفید یا دو رنگ خیلی متفاوت معمولاً همدوسی طولانی‌مدت وجود ندارد.
• در پدیده‌هایی مثل رنگ‌های فیلم نازک یا پخش نور توسط ذرات ریز، تداخل‌های طیفی باعث رنگین‌کمانی می‌شوند.
• در آزمایشگاه اگر از منابع همدوس (لیزر) با فیلتر رنگی استفاده کنید، می‌توانید الگوهای تداخلی رنگی و پوش‌موج (beats) را مشاهده کنید.

تداخل موج الکترومغناطیسی

تداخل موج الکترومغناطیسی زمانی رخ می‌دهد که دو یا چند موج با یک فرکانس و طول موج مشابه در یک نقطه حضور داشته باشند و با هم برهم‌نهی کنند. این برهم‌نهی باعث ایجاد نقاط تقویت و تضعیف میدان می‌شود.

۱. معادله موج پایه:

∇² E - (1/c²) ∂²E/∂t² = 0

∇² B - (1/c²) ∂²B/∂t² = 0

• E, B : میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی
• c : سرعت نور در خلا

۲. برهم‌نهی دو موج:

E₁ = E₀ cos(k z - ω t)

E₂ = E₀ cos(k z - ω t + φ)

Eکل = E₁ + E₂

• φ : اختلاف فاز دو موج
• k : عدد موج
• ω : فرکانس زاویه‌ای

۳. شدت موج کل:

I ∝ |Eکل|² = 2 E₀² (1 + cos φ)

• φ = 0 → تقویت کامل (همدوس)
• φ = π → تضعیف کامل (موج مخالف)

۴. نکات مهم:

• تداخل نیازمند هم‌فرکانسی و همدوسی نسبی است.
• اختلاف مسیر و فاز باعث ایجاد الگوی روشن و تاریک می‌شود.
• تداخل در نور، رادیو، تلویزیون و موج‌های راداری کاربرد دارد.
• برای چند موج بیشتر → جمع جبری چند موج و الگوی پیچیده ایجاد می‌شود.

معادله موج صوتی در یک نقطه اقیانوسی

در اقیانوس، صدا از منابع مختلف مانند کشتی‌ها، زیردریایی‌ها یا حیوانات دریایی منتشر می‌شود و با بازتاب از سطح آب و کف اقیانوس، پژواک و نوسانات فشار در نقاط مختلف ایجاد می‌کند.

۱. معادله موج پایه:

∇² p(r, t) - (1/c²) ∂²p(r, t)/∂t² = S(r, t)

• p(r, t) : فشار صوتی در نقطه r و زمان t
• S(r, t) : منبع صوتی (کشتی، زیردریایی، حیوانات دریایی)
• c : سرعت صوت در آب (~1500 m/s)
• r : مختصات سه‌بعدی در اقیانوس

۲. شرایط مرزی سطح و کف:

p = 0 یا ∂p/∂n = 0

سطح آب و کف اقیانوس موج را بازتاب می‌کنند و باعث ایجاد پژواک محلی می‌شوند.

۳. موج کل در یک نقطه:

pکل(r₀, t) = pمستقیم(r₀, t) + Σ pبازتاب,i(r₀, t)

این جمع جبری باعث نوسانات فشار و تغییر شدت صدا در نقاط مختلف می‌شود.

۴. نکات مهم:

• سرعت صوت در آب بیشتر از هوا (~1500 m/s) است.
• بازتاب از سطح و کف → پژواک و تغییر شدت در نقاط نزدیک.
• منبع متحرک → اثر Doppler بر فرکانس شنیده شده.
• کاهش شدت صدا با فاصله تقریباً ∼1/r برای منبع نقطه‌ای.
• تحلیل دقیق → حل معادله موج با شرایط مرزی و پراکندگی محیط سه‌بعدی.

معادله موج صدای اتوبوس در جاده

صدای اتوبوس شامل موج‌های ناشی از موتور، اگزوز و حرکت چرخ‌ها است. این امواج در محیط باز و با برخورد به زمین و موانع منتشر می‌شوند و شامل اثر Doppler هنگام حرکت اتوبوس می‌شوند.

۱. معادله موج پایه:

∇² p(r, t) - (1/c²) ∂²p(r, t)/∂t² = S(r, t)

• p(r, t) : فشار صوتی در نقطه r و زمان t
• S(r, t) : منبع صوتی (موتور، اگزوز، چرخ‌ها)
• c : سرعت صوت (~343 m/s)
• r : موقعیت در کنار جاده

۲. اثر دوپلر (Doppler):

اگر اتوبوس با سرعت v_s حرکت کند، فرکانس شنیده شده f' توسط ناظر ثابت:

f' = f × (c / (c - v_s)) (اتوبوس به سمت ناظر)

f' = f × (c / (c + v_s)) (اتوبوس از ناظر دور می‌شود)

• f : فرکانس اصلی صدای موتور یا اگزوز
• v_s : سرعت اتوبوس
• c : سرعت صوت

۳. کاهش شدت صدا با فاصله:

p(r, t) ∼ 1/r × f(t - r/c)

r فاصله از اتوبوس و f(t - r/c) شکل موج متحرک است.

۴. اثر محیط و جاده:

• زمین و موانع → بازتاب و پراش → پژواک
• باد و دما → تغییر سرعت و مسیر انتشار صوت
• ترکیب موج مستقیم، بازتاب و پراش → موج پیچیده در کنار جاده

۵. نکات مهم:

• اتوبوس به عنوان منبع متحرک → اثر Doppler و تغییر فرکانس شنیده شده
• چند منبع همزمان → برهم‌نهی موج
• شدت صدا با فاصله کاهش می‌یابد ولی بازتاب‌ها و پژواک‌ها تغییر ایجاد می‌کنند
• مدل دقیق → حل معادله موج با شرایط مرزی زمین و موانع

معادله موج صوتی در یک غار

در غار، صدا از منبع منتشر می‌شود و با دیواره‌ها برخورد کرده و بازتاب می‌کند. موج صوتی شامل موج مستقیم و بازتابی است و باعث ایجاد پژواک و طنین می‌شود.

معادله موج پایه:

∇² p(r, t) - (1/c²) ∂²p(r, t)/∂t² = 0

• p(r, t) : فشار صوتی در نقطه r و زمان t
• c : سرعت صوت در هوا (~343 m/s)
• r : مختصات سه‌بعدی در داخل غار

شرایط مرزی دیواره‌ها:

∂p/∂n = 0

دیوارهای سخت غار موج را بازتاب می‌دهند و تقریباً انرژی صدا را جذب نمی‌کنند.

موج کل در غار:

pکل(r, t) = pمستقیم(r, t) + Σ pبازتاب,i(r, t)

این جمع جبری باعث پژواک و نقاط گره و شکم فشار در غار می‌شود.

نکات مهم:

• در غار، صدا با فاصله کمتر کاهش می‌یابد نسبت به فضای باز، به دلیل بازتاب‌های متعدد.
• پژواک طولانی و پیچیده به دلیل مسیرهای متنوع بازتاب ایجاد می‌شود.
• این مدل برای طراحی سیستم‌های صوتی در غارها یا تحلیل آکوستیک محیط بسته کاربرد دارد.

مقایسه معادلات دیفرانسیل و انتگرال در امواج رادیو و مقاومت

در سیستم‌های رادیو و تلویزیون، امواج از فرستنده به گیرنده منتقل می‌شوند. برای تحلیل این امواج می‌توان از معادلات دیفرانسیل و معادلات انتگرال استفاده کرد.

۱. معادلات دیفرانسیل

در فرستنده‌ها، تغییرات میدان الکتریکی و مغناطیسی توسط معادلات ماکسول توصیف می‌شود:

∇²E - μ₀ε₀ ∂²E/∂t² = 0

∇²B - μ₀ε₀ ∂²B/∂t² = 0

در گیرنده‌ها، جریان یا ولتاژ مدار LC تحت تأثیر موج ورودی به شکل زیر تغییر می‌کند:

L d²i/dt² + R di/dt + i/C = Vin(t)

۲. معادلات انتگرال

برای محاسبه میدان کل در نقاط مختلف، به خصوص در شرایط پیچیده مانند پراش و موانع، از معادلات انتگرال استفاده می‌شود:

E(r) = (1/4πε₀) ∫ (ρ(r') (r-r') / |r-r'|³) d³r'

B(r) = (μ₀/4π) ∫ (J(r') × (r-r')) / |r-r'|³ d³r'

۳. مقایسه ساده

۴. نکته عملی

• فرستنده → بیشتر از معادلات دیفرانسیل برای تولید موج استفاده می‌کند.
• گیرنده → ترکیبی از دیفرانسیل (مدار) و انتگرال (میدان دریافت‌شده) استفاده می‌کند.
• محیط انتشار → اغلب با معادلات انتگرال برای تحلیل پراش و انعکاس مدل می‌شود.

معادله موج صدای اذان از بلندگو

صدای اذان که از بلندگو پخش می‌شود، به صورت موج صوتی در هوا حرکت می‌کند. می‌توان آن را به صورت موج کروی یا جهت‌دار مدل کرد.

موج ناشی از بلندگو:

p(r, t) = (A / |r - r₀|) × sin(k |r - r₀| - ω t + φ

• A : دامنه صوت بلندگو
• r₀ : موقعیت بلندگو
• r : موقعیت نقطه مشاهده
• k = ω / c : عدد موج
• ω : فرکانس صوت
• c : سرعت صوت در هوا (~343 متر بر ثانیه)
• φ : فاز اولیه

معادله موج در هوا:

∇² p(r, t) - (1/c²) ∂²p(r, t)/∂t² = 0

نکات مهم:

• شدت صدا با فاصله کاهش می‌یابد: تقریباً ∼1/r
• بلندگوی جهت‌دار → تمرکز صدا به یک منطقه مشخص
• پژواک و پراش صدا توسط ساختمان‌ها و موانع ایجاد می‌شود
• در فضای باز و بدون مانع → موج تقریباً کروی و شکل اصلی خود را حفظ می‌کند

این معادلات پایهٔ تحلیل انتشار صدای اذان از بلندگو در محیط باز و شهری هستند و کمک می‌کنند تا شدت و نحوه رسیدن صدا به نقاط مختلف را مدل‌سازی کنیم.

معادله موج صدای جمعیت و تظاهرات

در تظاهرات و جنبش‌ها، صدا از افراد مختلف منتشر می‌شود و امواج آن‌ها با هم برهم‌نهی می‌کنند تا موج جمعی در فضا ایجاد شود.

موج ناشی از یک فرد:

pi(r, t) = (Ai/|r - ri|) × sin(ki |r - ri| - ωi t + φi)

• Ai : دامنه صدای فرد i
• ri : موقعیت فرد i
• ki = ωi/c : عدد موج
• c : سرعت صوت در هوا (~343 متر بر ثانیه)
• φi : فاز صدا

موج کل جمعیت:

pکل(r, t) = Σi=1N pi(r, t)

که N تعداد افراد حاضر در تظاهرات است.

نکات مهم:

• اگر افراد فرکانس و فاز مشابه داشته باشند → موج جمعی قوی و همدوس ایجاد می‌شود.
• اگر فرکانس‌ها متفاوت باشند → موج کل پیچیده و ایجاد لرزش یا همهمه می‌کند.
• شدت صدا با فاصله کاهش می‌یابد و موانع مانند ساختمان‌ها باعث پراش و پژواک می‌شوند.
• این مدل پایهٔ تحلیل انتشار صدای جمعیت در فضای باز و محیط شهری است.

معادله موج دو صدا در یک امتداد

اگر دو موج صوتی در یک راستا حرکت کنند، می‌توانیم از اصل برهم‌نهی خطی استفاده کنیم. هر موج به صورت زیر نوشته می‌شود:

p₁(x,t) = A₁ sin(k₁ x - ω₁ t + φ₁)

p₂(x,t) = A₂ sin(k₂ x - ω₂ t + φ₂)

موج کل برابر است با جمع دو موج:

pکل(x,t) = p₁(x,t) + p₂(x,t)

حالت‌های خاص:

• اگر دو موج هم‌فرکانس باشند (k₁ = k₂, ω₁ = ω₂): موج ایستاده ایجاد می‌شود:

  pکل(x,t) = 2A cos(kx) sin(ωt)

• اگر دو موج با فرکانس متفاوت باشند: برهم‌نهی پیچیده و پدیده لِنینگ صدا (Beats) ایجاد می‌شود.

نکات مهم:

• شدت موج کل در هر نقطه و زمان، جمع جبری فشار دو موج است.
• با تغییر فاز یا دامنه موج‌ها، الگوی موج کل تغییر می‌کند.

این معادلات پایهٔ تحلیل صدا در سیستم‌های تک بعدی و در آزمایش‌های موج ایستاده یا برهم‌نهی دو موج هستند.

موج صوتی از پشت کوه

وقتی منبع صدا در پشت کوه قرار دارد، موج صوتی با موانعی روبرو می‌شود. کوه جلوی مسیر مستقیم موج را می‌گیرد و باعث ایجاد سایه صوتی، بازتاب و پراش می‌شود.

∇²p(r,t) - (1/c²) ∂²p(r,t)/∂t² = 0

در حضور کوه، شرط مرزی روی سطح کوه داریم:

p(r,t) = 0 روی سطح کوه

حل موج شامل سه بخش است:

• pمستقیم : موجی که بدون مانع حرکت می‌کند
• pبازتاب : موج منعکس شده از سطح کوه
• pپراش : موجی که از کنار کوه خم می‌شود و به جلوی کوه می‌رسد

نکات ساده:

• پشت کوه: شدت صدا کم است (سایه صوتی)
• کناره کوه: موج پراشیده می‌شود و صدا ضعیف و دیرتر می‌رسد
• جلوی کوه: ترکیبی از موج پراشیده و بازتابی شنیده می‌شود

این معادله و توضیحات، پایهٔ مدل‌سازی انتشار صدا در مناطق کوهستانی و بررسی اثر موانع بر شدت و مسیر موج است.

معادلهٔ موج صوتی از قله کوه

وقتی صدا از یک قلهٔ کوه پخش می‌شود، موج به صورت کروی در همه جهات حرکت می‌کند. معادلهٔ موج صوتی در این حالت به شکل زیر است:

∂²p(r,t)/∂r² + (2/r) ∂p(r,t)/∂r - (1/c²) ∂²p(r,t)/∂t² = 0

• p(r, t) : فشار صوتی نسبت به فشار محیط
• r : فاصله از قله کوه
• c : سرعت صوت در هوا (≈ 343 متر بر ثانیه)

حل تقریبی موج کروی

موج به سمت دور شدن از قله و به سمت داخل حرکت می‌کند. حل تقریبی به صورت زیر است:

p(r,t) = (1/r) f(r - ct) + (1/r) g(r + ct)

که:

• f(r - ct) : موج منتشر شده به سمت خارج
• g(r + ct) : موج بازگشتی یا پژواک
• ضریب

1/r

نشان می‌دهد که صدا با فاصله کمتر می‌شود.

این معادله پایهٔ مدل‌سازی انتشار صدا از کوه‌ها و تأثیر محیط بر شدت صوت است.

معادلهٔ موج صوتی

موج صوتی حرکت تغییرات فشار در یک محیط الاستیک مانند هوا است. معادلهٔ موج فشار به صورت زیر نوشته می‌شود:

∇²p(r, t) - (1/c²) ∂²p(r, t)/∂t² = 0

• p(r, t) : فشار صوتی نسبت به فشار محیط
• c : سرعت صوت در محیط (مثلاً هوا ≈ 343 متر بر ثانیه)
• ∇² : لاپلاسیان

= ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²

نسخهٔ یک بعدی

اگر موج فقط در راستای x حرکت کند، معادله ساده می‌شود:

∂²p(x,t)/∂x² - (1/c²) ∂²p(x,t)/∂t² = 0

حل عمومی موج در یک بعد:

p(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct)

که f و g توابع دلخواه هستند و نشان‌دهندهٔ موج‌های حرکت‌کننده به سمت راست و چپ می‌باشند.

این معادله اساس همهٔ امواج صوتی در هوا، آب و دیگر محیط‌های الاستیک است.

معادله موج نور بنفش

نور بنفش در فضای همگن توسط معادله موج زیر توصیف می‌شود:

∇²E - μ ε ∂²E/∂t² = 0

که در آن E میدان الکتریکی، μ نفوذپذیری مغناطیسی و ε ظرفیت الکتریکی محیط است. طول موج نور بنفش حدود

λ ≈ 380-450 nm است. سرعت نور در محیط:

c = 1/√(μ ε).

بازتاب و شکست نور

هنگامی که نور بنفش از محیطی وارد محیط دیگر می‌شود، دو پدیده رخ می‌دهد:

• بازتاب: قسمتی از نور به محیط اولیه برمی‌گردد. قانون بازتاب: θ_r = θ_i
• شکست: قسمتی از نور وارد محیط دوم می‌شود و زاویه آن تغییر می‌کند. قانون اسنل: n1 sinθi = n2 sinθt

موج ورودی، بازتابی و شکسته

موج ورودی بنفش به صورت موج صفحه‌ای:

E_i = E0 e^{i(k1·r - ωt)}

موج بازتابی و موج شکسته:

E_r = R E0 e^{i(kr·r - ωt)}

E_t = T E0 e^{i(k2·r - ωt)}

ضریب بازتاب و انتقال از شرایط مرزی میدان‌ها بدست می‌آید:

R_⊥ = (n1 cosθi - n2 cosθt)/(n1 cosθi + n2 cosθt)

R_∥ = (n2 cosθi - n1 cosθt)/(n2 cosθi + n1 cosθt)

T_⊥ = 2 n1 cosθi / (n1 cosθi + n2 cosθt)

T_∥ = 2 n1 cosθi / (n2 cosθi + n1 cosθt)

با استفاده از این روابط، می‌توان بازتاب و شکست نور بنفش را محاسبه و تحلیل کرد.

معادله موج نور سبز

نور در فضای همگن توسط معادله موج زیر توصیف می‌شود:

∇²E - μ ε ∂²E/∂t² = 0

که در آن E میدان الکتریکی، μ نفوذپذیری مغناطیسی و ε ظرفیت الکتریکی محیط است. سرعت نور در محیط برابر است با c = 1/√(μ ε).

بازتاب و شکست نور

هنگامی که نور از محیطی وارد محیط دیگر می‌شود، دو پدیده رخ می‌دهد:

• بازتاب: قسمتی از نور به محیط اولیه برمی‌گردد. قانون بازتاب: θ_r = θ_i
• شکست: قسمتی از نور وارد محیط دوم می‌شود و زاویه آن تغییر می‌کند. قانون اسنل: n1 sinθi = n2 sinθt

موج ورودی، بازتابی و شکسته

موج ورودی را می‌توان به صورت موج صفحه‌ای نوشت:

E_i = E0 e^{i(k1·r - ωt)}

موج بازتابی و موج شکسته به ترتیب:

E_r = R E0 e^{i(kr·r - ωt)}

E_t = T E0 e^{i(k2·r - ωt)}

که R و T ضریب بازتاب و انتقال هستند و از شرایط مرزی میدان‌ها بدست می‌آیند:

R_⊥ = (n1 cosθi - n2 cosθt)/(n1 cosθi + n2 cosθt)

R_∥ = (n2 cosθi - n1 cosθt)/(n2 cosθi + n1 cosθt)

T_⊥ = 2 n1 cosθi / (n1 cosθi + n2 cosθt)

T_∥ = 2 n1 cosθi / (n2 cosθi + n1 cosθt)

با استفاده از این روابط، می‌توان بازتاب و شکست نور سبز را در مرز دو محیط محاسبه کرد.

هم‌موجی نور قرمز، سبز و آبی

هم‌موجی یعنی چند موج اختلاف فاز ثابتی داشته باشند و به صورت منظم با هم نوسان کنند. این ویژگی باعث می‌شود بتوانند الگوهای تداخلی پایدار ایجاد کنند.

🔹 امواج نوری مورد بررسی

⚡ معادله کلی سه موج هم‌فاز:

y_total(x, t) = A [ sin((2π / (7×10⁻⁷))x − 2π(4.3×10¹⁴)t) + sin((2π / (5.5×10⁻⁷))x − 2π(5.45×10¹⁴)t) + sin((2π / (4.7×10⁻⁷))x − 2π(6.38×10¹⁴)t) ]

اگر این سه موج از منبعی لیزری و هم‌فاز تولید شوند، موج ترکیبی‌شان می‌تواند نور سفید یا رنگ‌های دیگر ایجاد کند.
اما در نور معمولی (چراغ یا خورشید) چون اختلاف فاز دائماً تغییر می‌کند، هم‌موجی وجود ندارد.

معادله موج برای نور قرمز، سبز و آبی

تمام امواج نوری از معادله کلی زیر پیروی می‌کنند:

y(x, t) = A · sin(kx − ωt)

که در آن:

• A: دامنه موج
• k = 2π / λ: عدد موج
• ω = 2π f: بسامد زاویه‌ای
• c = λ f: سرعت نور (۳×۱۰⁸ m/s)

🔴 نور قرمز:

y_red(x, t) = A sin((2π / (7×10⁻⁷))x − 2π(4.3×10¹⁴)t)

🟢 نور سبز:

y_green(x, t) = A sin((2π / (5.5×10⁻⁷))x − 2π(5.45×10¹⁴)t)

🔵 نور آبی:

y_blue(x, t) = A sin((2π / (4.7×10⁻⁷))x - 2π(6.38×10¹⁴)t)

جدول مقایسه‌ای

هر سه موج شکل مشابهی دارند، تنها مقدار λ و f متفاوت است.

نور قرمز انرژی کمتر و نور آبی انرژی بیشتری دارد.

معادله موج برای نور قرمز و بنفش

معادله کلی موج سینوسی به صورت زیر است:

y(x, t) = A · sin(k x − ω t)

که در آن:

• A : دامنه
• k = 2π / λ : عدد موج
• ω = 2π f : بسامد زاویه‌ای
• c = λ f : سرعت موج (برای نور در خلأ c ≈ 3×108 m/s)

مشخصات تقریبی

معادلات موجِ نمونه

موج قرمز (نمونه):

y_red(x, t) = A · sin( (2π / (7×10⁻⁷)) · x − 2π · (4.3×10¹⁴) · t )

موج بنفش (نمونه):

y_violet(x, t) = A · sin( (2π / (4×10⁻⁷)) · x − 2π · (7.5×10¹⁴) · t )

نکته: در عمل مقادیر λ و f بستگی به مرزهای طیف مرئی دارند و مقادیر بالا تقریب‌هایی رایج‌اند. هر دو موج از همین فرم کلی پیروی می‌کنند؛ تنها λ و f متفاوت‌اند — قرمز طول موج بلندتر و فرکانس کمتر دارد، بنفش طول موج کوتاه‌تر و فرکانس بیشتر.

🌊 تفاوت معادلات امواج طولی و عرضی

امواج طولی و عرضی دو نوع اصلی از امواج هستند که تفاوت آن‌ها در جهت نوسان ذرات نسبت به جهت انتشار موج است. این تفاوت در فیزیک، رفتار و معادلات ریاضی آن‌ها تأثیر می‌گذارد.

۱. تعریف و مقایسه کلی

۲. معادلات موج

الف) موج طولی:

∂²ψ/∂x² = (1/v_L²) ∂²ψ/∂t²

ب) موج عرضی:

∂²y/∂x² = (1/v_T²) ∂²y/∂t²

۳. تفاوت در انتقال انرژی

• در موج طولی، انرژی از طریق فشرده‌سازی و انبساط منتقل می‌شود.
• در موج عرضی، انرژی از طریق نوسان بالا و پایین منتقل می‌شود.

در حالی که موج طولی فشرده می‌کند و آزاد می‌سازد، موج عرضی می‌لرزد و بالا می‌رود — دو زبان متفاوت برای انتقال انرژی در طبیعت.

🔊 معادلات موج طولی (Longitudinal Waves)

در موج طولی، جهت نوسان ذرات محیط با جهت انتشار موج هم‌راستا است. در این نوع موج، نواحی تراکم و انبساط در امتداد مسیر انتشار شکل می‌گیرند. نمونه‌هایی از آن شامل امواج صوتی در هوا، امواج فشاری در جامدات و امواج P در زمین‌لرزه‌ها است.

۱. معادله موج طولی در یک بعد

∂²ψ/∂x² = (1/v²) ∂²ψ/∂t²

در این معادله ψ بیانگر جابجایی یا تغییر فشار است و v سرعت انتشار موج در محیط می‌باشد. حل عمومی آن چنین است:

ψ(x,t) = f(x − vt) + g(x + vt)

۲. معادله موج طولی در دستگاه استوانه‌ای (r, θ, z)

برای محیطی که تقارن استوانه‌ای دارد، معادله موج طولی به صورت زیر نوشته می‌شود:

(1/r) ∂/∂r (r ∂ψ/∂r) +

(1/r²) ∂²ψ/∂θ² +

∂²ψ/∂z² =

(1/v²) ∂²ψ/∂t²

و اگر موج تنها در راستای شعاعی گسترش یابد (وابسته به r و t):

∂²ψ/∂r² + (1/r) ∂ψ/∂r = (1/v²) ∂²ψ/∂t²

۳. موج طولی صوتی

در امواج صوتی، تابع ψ معمولاً فشار p است و معادله موج به شکل زیر بیان می‌شود:

∂²p/∂x² = (1/c²) ∂²p/∂t²

که در آن c سرعت صوت در محیط است (در هوا تقریباً 343 m/s).

از ارتعاش ذرات در هوا تا امواج فشاری در زمین، معادلات موج طولی زبان نظم و تراکم در جهان فیزیک‌اند.

🔊 معادلات موج طولی (Longitudinal Waves)

در موج طولی، جهت نوسان ذرات محیط با جهت انتشار موج هم‌راستا است. این نوع موج شامل امواج صوتی در هوا، امواج فشاری در جامدات و امواج P در زمین‌لرزه‌ها است.

۱. معادله موج طولی در یک بعد

∂²ψ/∂x² = (1/v²) ∂²ψ/∂t²

حل عمومی:

ψ(x,t) = f(x − vt) + g(x + vt)

۲. در دستگاه استوانه‌ای (r, θ, z)

(1/r) ∂/∂r (r ∂ψ/∂r) +

(1/r²) ∂²ψ/∂θ² +

∂²ψ/∂z² =

(1/v²) ∂²ψ/∂t²

برای موج شعاعی ساده (فقط وابسته به r و t):

∂²ψ/∂r² + (1/r) ∂ψ/∂r = (1/v²) ∂²ψ/∂t²

۳. موج طولی صوتی

∂²p/∂x² = (1/c²) ∂²p/∂t²

از صدا در هوا تا امواج فشاری در زمین — معادلات موج طولی زبان فشردگی و انبساط جهان‌اند.

⚛️ معادلهٔ دیراک (Dirac Equation)

معادلهٔ دیراک، یکی از بنیادی‌ترین معادلات فیزیک کوانتومی نسبیتی است که حرکت ذراتی مانند الکترون را با در نظر گرفتن اسپین و اثرات نسبیتی توصیف می‌کند.

۱. شکل کلی معادله

(iħγ^μ ∂_μ − mc)ψ = 0

در این معادله، ψ تابع موج اسپینوری، γ^μ ماتریس‌های گاما، m جرم ذره و c سرعت نور است.

۲. شکل زمان‌ـ‌وابسته

iħ ∂ψ/∂t = (−iħc α·∇ + βmc²)ψ

۳. نکات کلیدی

• ترکیب نظریه کوانتومی و نسبیت خاص
• پیش‌بینی پادذره‌ها (مانند پوزیترون)
• توضیح اسپین و گشتاور مغناطیسی الکترون

معادله‌ای که فیزیک کوانتومی را نسبیتی کرد و وجود پادماده را آشکار ساخت.

💥 اشعه ایکس (X-ray)

اشعه ایکس نوعی تابش الکترومغناطیسی پرانرژی است که طول موج آن کوتاه و انرژی آن بالا است. این پرتوها قادر به عبور از بافت‌های نرم هستند و توسط مواد متراکم‌تر جذب می‌شوند.

۱. تولید اشعه ایکس

• لوله اشعه ایکس: الکترون‌ها با سرعت زیاد به آند برخورد کرده و فوتون‌های پرانرژی تولید می‌کنند.
• شتاب‌دهنده‌ها و منابع سنکرترونی نیز می‌توانند اشعه ایکس تولید کنند.

۲. کاربردها

• پزشکی: رادیوگرافی، سی‌تی اسکن، پرتودرمانی
• صنعت: بررسی داخلی قطعات و تست غیرمخرب
• علمی و تحقیقاتی: بلورشناسی، فیزیک ماده چگال

۳. ویژگی‌ها

• طول موج کوتاه → نفوذ بالا
• پر انرژی → ایجاد یونیزاسیون
• جذب متفاوت در بافت‌ها → تصویربرداری ممکن

اشعه ایکس، پرتو مرئی نامرئی اما بسیار کاربردی، از پزشکی تا صنعت و تحقیق.