ادامه تنوع محدود

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 2:6

کلیات و برنامه های افزودنی [ ویرایش ]

توابع وزنی BV [ ویرایش ]

می توان مفهوم فوق از تنوع کلی را به گونه ای کلی تعمیم داد که تغییرات مختلف وزن متفاوتی داشته باشند. دقیق تر ، اجازه دهید $\ scriptstyle \ varphi: [0،+\ infty] \ longrightarrow [0،+\ infty)$ هرگونه عملکرد افزایشی باشد به گونه ای که $\ scriptstyle \ varphi (0) = \ varphi (0+) = \ lim _ {{x \ rightarrow 0 _ {+}}} \ varphi (x) = 0$ ( عملکرد وزن ) و اجازه دهید $\ scriptstyle f: [0، T] \ longrightarrow X$ یک تابع از فاصله باشد $[0 ، T]$ ⊂ℝ در نظر گرفتن مقادیر در یک فضای بردار نرمال $ایکس$ به سپس $\ scriptstyle {\ boldsymbol \ varphi}$ -تغییر از $f$ بر فراز $[0 ، T]$ به عنوان ... تعریف شده است

${\ displaystyle \ mathop {\ varphi {\ text {-}} \ operatorname {Var}} _ {[0، T]} (f): = \ sup \ sum _ {j = 0}^{k} \ varphi \ چپ (| f (t_ {j+1})-f (t_ {j}) | _ {X} \ راست) ،}$

جایی که طبق معمول ، سوپریموم در تمام پارتیشن های محدود بازه گرفته می شود $[0 ، T]$ ، یعنی تمام مجموعه های محدود از اعداد حقیقی $t_ {i}$ به طوری که

${\ displaystyle 0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {k} = T.}$

مفهوم اصلی تنوع در بالا مورد خاص مورد خاص است $\ scriptstyle \ varphi$ -تغییری که تابع وزن برای آن تابع هویت است : بنابراین یک تابع انتگرالی است $f$ گفته می شود که یک تابع وزنی BV (وزن است $\ scriptstyle \ varphi$ ) اگر و فقط اگر آن است $\ scriptstyle \ varphi$ -تغییر محدود است

${\ displaystyle f \ in BV _ {\ varphi} ([0، T]؛ X) \ iff \ mathop {\ varphi {\ text {-}} \ operatorname {Var}} _ {[0، T]} (f ) <+\ infty}$

فضا $\ scriptstyle BV _ {\ varphi} ([0، T]؛ X)$ یک فضای بردار توپولوژیکی با توجه به هنجار است

${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV _ {\ varphi}}: = \ | f \ | _ {\ infty}+\ mathop {\ varphi {\ text {-}} \ operatorname {Var}} _ {[ 0 ، T]} (f) ،}$

جایی که $\ scriptstyle \ | f \ | _ {{\ infty}}$ هنجار معمول برتر را نشان می دهد $f$ به توابع وزنی BV توسط Władysław Orlicz و Julian Musielak در مقاله Musielak & Orlicz 1959 معرفی و مورد مطالعه قرار گرفت : Laurence Chisholm Young قبلاً مورد مطالعه قرار گرفت $\ scriptstyle \ varphi (x) = x^{p}$ جایی که $پ$ یک عدد صحیح مثبت است

**توابع SBV [ ویرایش ]**

توابع SBV به عنوان مثال توابع خاص از محدود تنوع های معرفی شدند لوئیجی آمبروسیو و انیو د جورجیو در مقاله ( آمبروسیو و د Giorgi 1988 )، برخورد با ناپیوستگی رایگان مشکلات variational : با توجه به زیر مجموعه باز $\ امگا$ از $\ mathbb {R} ^{n}$ ، فضا $SBV (\ امگا)$ یک زیرفضا خطی مناسب از است $BV (\ امگا)$ ، زیرا گرادیان ضعیف هر تابع متعلق به آن دقیقاً از مجموع یک تشکیل شده است $n$ - پشتیبانی ابعادی و $n-1$ - بعدی پشتیبانی اندازه گیری و هیچ شرایط متوسط بعدی ، همانطور که در تعریف زیر دیده می شود.

تعریف . با توجه به یک تابع ادغام پذیر محلی $تو$ ، سپس $\ scriptstyle u \ in {S \! BV} (\ Omega)$ اگر و تنها اگر

1. دو تابع برل وجود دارد $f$ و $گرم$ از دامنه $\ امگا$ و کدومن $\ mathbb {R} ^{n}$ به طوری که

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ vert f \ vert \، dH^{n}+\ int _ {\ Omega} \ vert g \ vert \، dH^{n-1} <+\ infty.}$

2. برای همه توابع بردار متغیر پیوسته $\ scriptstyle \ phi$ از پشتیبانی جمع و جور موجود در $\ امگا$ ، یعنی برای همه $\ scriptstyle \ phi \ in C_ {c}^{1} (\ امگا، {\ mathbb {R}}^{n})$ فرمول زیر درست است:

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} u \ operatorname {div} \ phi \، dH^{n} = \ int _ {\ Omega} \ langle \ phi، f \ rangle \، dH^{n}+\ int _ {\ Omega} \ langle \ phi، g \ rangle \، dH^{n-1}.}$

جایی که $H^{\ alpha}$ هست $\ آلفا$ - بعدی اندازه گیری هاسدورف .

جزئیات مربوط به خواص توابع SBV را می توان در آثاری که در بخش کتابشناسی ذکر شده است ، یافت: به ویژه مقاله ( دی گیورگی 1992 ) حاوی یک کتابشناسی مفید است .

دنباله های bv [ ویرایش ]

دانفورد و شوارتز (1958 ، فصل چهارم) به عنوان نمونه های خاصی از فضاهای باناخ ، فضاهای دنباله های تغییرات محدود را علاوه بر فضاهای توابع تغییرات محدود ، در نظر می گیرند. تنوع کل یک دنباله x = ( x i ) از اعداد واقعی یا مختلط با این تعریف می شود

$تلویزیون (x) = \ sum _ {{i = 1}}^{\ infty} | x _ {{i+1}}-x_ {i} |.$

فضای همه دنباله های تنوع کلی محدود با bv نشان داده می شود . هنجار در bv توسط نشان داده شده است

${\ displaystyle \ | x \ | _ {bv} = | x_ {1} |+\ نام اپراتور {TV} (x) = | x_ {1} |+\ sum _ {i = 1}^{\ infty} | x_ {i+1} -x_ {i} |.}}$

با این هنجار ، فضای bv یک فضای باناخ است که نسبت به آن یکسان است $\ ell _ {1}$ به

تنوع کلی به خودی خود یک هنجار در زیرفضای خاصی از bv تعریف می کند که با bv 0 مشخص می شود و شامل توالی x = ( x i ) است که

$\ lim _ {{n \ to \ infty}} x_ {n} = 0.$

هنجار در bv 0 نشان داده شده است

$\ | x \ | _ {{bv_ {0}}} = TV (x) = \ sum _ {{i = 1}}^{\ infty} | x _ {{i+1}}-x_ {i} | به$

با توجه به این هنجار bv 0 نیز به فضای باناخ تبدیل می شود ، که ایزومورفیک و ایزومتریک است $\ ell _ {1}$ (اگرچه به روش طبیعی نیست).

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی