گروه هموتوپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 12:26

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، گروه های هموتوپی در توپولوژی جبری برای طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی استفاده می شود . اولین و ساده ترین گروه هموتوپی گروه بنیادی است که اطلاعات مربوط به حلقه ها در یک فضا را ثبت می کند . از نظر بصری ، گروه های هموتوپی اطلاعات مربوط به شکل یا حفره های اصلی یک فضای توپولوژیکی را ثبت می کنند.

برای تعریف گروه هموتوپی n ، نقشه های حفظ کننده نقطه از یک کره ابعادی n (با نقطه مبنا ) به یک فضای معین (با نقطه پایه) در کلاسهای معادل ، به نام کلاسهای هموتوپی ، جمع آوری می شوند . اگر یکی بتواند پیوسته به دیگری تغییر شکل دهد ، دو نگاشت یکنواخت هستند . این کلاسهای هموتوپی گروهی را تشکیل می دهند که گروه n -th homotopy نامیده می شود ، ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) ،}$ از فضای داده شده X با نقطه پایه. فضاهای توپولوژیکی با گروه های هموتوپی متفاوت هرگز معادل ( هومومورفیک ) نیستند ، اما فضاهای توپولوژیکی که هومومورفیک نیستند می توانند گروه های هموتوپی یکسانی داشته باشند.

مفهوم هموتوپی مسیرها توسط کامیل جردن مطرح شد . [1]

فهرست

مقدمه [ ویرایش ]

در ریاضیات مدرن معمول است که یک دسته را با ارتباط دادن به هر شی از این دسته ، شیئی ساده تر که هنوز اطلاعات کافی در مورد موضوع مورد نظر را حفظ می کند ، مطالعه کنید. گروه های هموتوپی راهی برای ارتباط گروه ها با فضاهای توپولوژیکی هستند.

یک توروس

یک کره

این ارتباط بین توپولوژی و گروه ها به ریاضیدانان اجازه می دهد تا بینش هایی را از نظریه گروه تا توپولوژی به کار گیرند . برای مثال ، اگر دو جسم توپولوژیکی دارای گروه های هموتوپی متفاوت باشند ، نمی توانند ساختار توپولوژیکی یکسانی داشته باشند - واقعیتی که اثبات آن تنها با استفاده از وسایل توپولوژیکی دشوار است. به عنوان مثال ، توروس با کره متفاوت است : torus دارای "سوراخ" است. کره ندارد با این حال ، از آنجا که پیوستگی (مفهوم اساسی توپولوژی) فقط با ساختار محلی سروکار دارد ، تعریف رسمی تفاوت آشکار جهانی دشوار است. گروههای هموتوپی ، اطلاعات مربوط به ساختار جهانی را حمل می کنند.

در مورد مثال: اولین گروه هموتوپی از گاو نر $تی$ است

${\ displaystyle \ pi _ {1} (T) = \ mathbb {Z} ^{2} ،}$ زیرا پوشش جهانی توروس صفحه اقلیدسی است ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2} ،}$ نقشه برداری بر روی توروس ${\ displaystyle T \ cong \ mathbb {R} ^{2}/\ mathbb {Z} ^{2}.}$ در اینجا ضریب در طبقه فضاهای توپولوژیکی قرار می گیرد ، نه گروه یا حلقه. از سوی دیگر ، حوزه $S^{2}$ ارضا می کند:

${\ displaystyle \ pi _ {1} \ left (S^{2} \ right) = 0،}$ زیرا هر حلقه را می توان به یک نقشه ثابت منقبض کرد ( برای این و نمونه های پیچیده تری از گروه های هموتوپی به گروه های هموتوپی کره نگاه کنید).

از این رو ، گوزن هومومورفیک این کره نیست.

تعریف [ ویرایش ]

در N -sphere $S^{n}$ ما یک نقطه پایه را انتخاب نمایید . برای یک فضای X با نقطه پایه b ، ما تعریف می کنیم $\ pi_n (X)$ مجموعه کلاسهای هموتوپی نقشه ها باشد

${\ displaystyle f: S^{n} \ to X}$ که نقطه پایه a را به نقطه پایه b نشان می دهد . به طور خاص ، کلاس های معادل سازی توسط هموتوپی هایی که بر اساس پایه کره ثابت هستند ، ارائه می شود. معادل ، تعریف کنید $\ pi_n (X)$ گروه کلاسهای هموتوپی نقشه ها باشد ${\ displaystyle g: [0،1]^{n} \ تا X}$ از N -cube به X است که گرفتن مرز از N -cube به ب .

ترکیب در گروه بنیادی

برای $n \ geq 1 ،$ کلاسهای هموتوپی یک گروه تشکیل می دهند . برای تعریف عملکرد گروه ، به یاد بیاورید که در گروه اصلی ، محصول ${\ displaystyle f \ ast g}$ از دو حلقه ${\ displaystyle f، g: [0،1] \ به X}$ با تنظیم تعیین می شود

${\ displaystyle f*g = {\ begin {case} f (2t) & t \ in \ left [0، {\ tfrac {1} {2}} \ right] \\ g (2t-1) & t \ in \ چپ [{\ tfrac {1} {2}} ، 1 \ راست] \ پایان {موارد}}}$

ایده ترکیب در گروه بنیادین این است که مسیر اول و دوم را پی در پی طی کنید ، یا معادل آن ، دو حوزه خود را در کنار هم قرار دهید. مفهوم ترکیب مورد نظر برای گروه هموتوپی n یکسان است ، با این تفاوت که اکنون حوزه هایی که به هم می چسبانیم مکعب هستند و باید آنها را در امتداد یک صورت بچسبانیم. بنابراین ما مجموع نقشه ها را تعریف می کنیم ${\ displaystyle f، g: [0،1]^{n} \ تا X}$ با فرمول

${\ displaystyle (f+g) (t_ {1} ، t_ {2} ، \ ldots، t_ {n}) = {\ شروع {case} f (2t_ {1} ، t_ {2} ، \ ldots ، t_ {n}) & t_ {1} \ in \ left [0، {\ tfrac {1} {2}} \ right] \\ g (2t_ {1} -1، t_ {2}، \ ldots، t_ {n }) & t_ {1} \ in \ left [{\ tfrac {1} {2}} ، 1 \ right] \ end {case}}}$

برای تعریف مربوطه از نظر حوزه ها ، مجموع را تعریف کنید $f + g$ از نقشه ها ${\ displaystyle f، g: S^{n} \ to X}$ بودن $\ سای$ با h تشکیل شده است ، جایی که $\ سای$ نقشه از $S^{n}$ به مجموع گوه دو n -کره که خط استوا را فرو می ریزد و h نقشه از مجموع گوه دو n -کره تا X است که در کره اول f و در دوم آن g است .

اگر ${\ displaystyle n \ geq 2 ،}$ سپس $\ pi _ {n}$ است آبلی . [2] علاوه بر این ، مشابه گروه اصلی ، برای یک فضای متصل به مسیر هر دو انتخاب نقطه پایه باعث ایجاد ایزومورفیک می شود ${\ displaystyle \ pi _ {n}.}$ [3]

این وسوسه کننده است که سعی کنیم با حذف نقاط پایه ، تعریف گروه های هموتوپی را ساده کنیم ، اما این معمولاً برای فضاهایی که به سادگی متصل نیستند ، حتی برای فضاهای متصل به مسیر ، کار نمی کند. مجموعه کلاسهای هموتوپی نقشه ها از یک کره به یک فضای متصل به مسیر ، گروه هموتوپی نیست ، بلکه اساساً مجموعه مدارهای گروه اساسی در گروه هموتوپی است و به طور کلی ساختار گروه طبیعی ندارد.

راهی برای برون رفت از این مشکلات با تعریف گروپوئیدهای هموتوپی بالاتر از فضاهای فیلتر شده و n -مکعب فضاها پیدا شده است. اینها به ترتیب به گروههای هموتوپی نسبی و به گروههای هموتوپی n -adic مربوط می شوند. سپس قضیه هموتوپی ون کامپن بالاتر را قادر می سازد تا اطلاعات جدیدی در مورد گروه های هموتوپی و حتی انواع هموتوپی بدست آورد. برای پیشینه و منابع بیشتر ، به "نظریه گروه های بعدی بعدی" و منابع زیر مراجعه کنید.

دنباله طولانی طولانی یک فیبراسیون [ ویرایش ]

اجازه دهید ${\ displaystyle p: E \ to B}$ می تواند یک فیبراسیون Serre با فیبر را حفظ کند ${\ displaystyle F ،}$ یعنی یک نقشه دارای ویژگی بلند کردن هموتوپی نسبت به مجتمع های CW . فرض کنید که B متصل به مسیر است. سپس یک دنباله دقیق طولانی از گروه های هموتوپی وجود دارد

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (F) \ to \ pi _ {n} (E) \ to \ pi _ {n} (B) \ to \ pi _ {n-1} (F ) \ to \ cdots \ to \ pi _ {0} (E) \ to 0.}$

در اینجا نقشه های مربوط به $\ pi _ {0}$ همومورفیسم گروهی نیستند زیرا $\ pi _ {0}$ گروه نیستند ، اما دقیقاً به این معنا هستند که تصویر برابر با هسته است .

مثال: فیبراسیون Hopf . بگذارید B مساوی شود $S^{2}$ و E برابر است ${\ displaystyle S^{3}.}$ اجازه دهید ص شود هاف fibration ، که دارای فیبر $S^{1}.$ از دنباله دقیق طولانی

${\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (S^{1}) \ to \ pi _ {n} (S^{3}) \ به \ pi _ {n} (S^{2}) \ به \ pi _ {n-1} (S^{1}) \ به \ cdots}$ و این واقعیت که ${\ displaystyle \ pi _ {n} \ left (S^{1} \ right) = 0}$ برای ${\ displaystyle n \ geq 2 ،}$ ما آن را پیدا می کنیم ${\ displaystyle \ pi _ {n} \ left (S^{3} \ right) = \ pi _ {n} \ left (S^{2} \ right)}$ برای $n \ geq 3.$ به خصوص، ${\ displaystyle \ pi _ {3} (S^{2}) = \ pi _ {3} (S^{3}) = \ mathbb {Z}.}$

در مورد فضای پوشش ، هنگامی که فیبر گسسته است ، آن را داریم ${\ displaystyle \ pi _ {n} (E)}$ ایزومورفیک است به ${\ displaystyle \ pi _ {n} (B)}$ برای $n> 1 ،$ که ${\ displaystyle \ pi _ {n} (E)}$ تعبیه injectively به ${\ displaystyle \ pi _ {n} (B)}$ برای همه مثبت ${\ displaystyle n ،}$ و این که زیر گروه از $\ pi _ {1} (B)$ که مربوط به تعبیه است ${\ displaystyle \ pi _ {1} (E)}$ است cosets در پوشا و یکبهیک با عناصر از فیبر.

هنگامی که لرزش فیبر نگاشت است ، یا به صورت دوتایی ، کوفیبره مخروط نگاشت است ، سپس توالی دقیق (یا دوتایی دقیق) حاصل شده توسط توالی Puppe داده می شود .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی