نظریه هموتوپی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، نظریه هموتوپی مطالعه سیستماتیک موقعیت هایی است که در آن نقشه ها با هموتوپی بین آنها آمده است. این موضوع به عنوان موضوعی در توپولوژی جبری شروع شد ، اما امروزه به عنوان یک رشته مستقل مورد مطالعه قرار می گیرد. علاوه بر توپولوژی جبری ، این نظریه در زمینه های دیگر ریاضیات مانند هندسه جبری (به عنوان مثال ، نظریه هموتوپی A¹ ) و نظریه دسته (به ویژه مطالعه دسته های بالاتر ) نیز مورد استفاده قرار گرفته است.

فهرست

مفاهیم [ ویرایش ]

فضاها و نقشه ها [ ویرایش ]

در نظریه هموتوپی و توپولوژی جبری ، کلمه "فضا" نشان دهنده یک فضای توپولوژیکی است . به منظور جلوگیری از آسیب شناسی ، به ندرت با فضاهای دلخواه کار می شود. در عوض ، نیاز به فضاهایی است که محدودیت های بیشتری را برآورده سازد ، مانند ایجاد فشرده ، هاسدورف یا مجموعه CW .

در همان روشی که در بالا ذکر شد ، " نقشه " یک تابع مداوم است ، احتمالاً با برخی محدودیت های اضافی.

غالباً فرد با یک فضای برجسته کار می کند - یعنی فضایی با یک "نقطه متمایز" ، که به آن نقطه پایه می گویند. سپس نقشه اشاره شده نقشه ای است که نقاط پایه را حفظ می کند. یعنی نقطه پایه دامنه را به دامنه کدوم ارسال می کند. در مقابل ، یک نقشه رایگان نقشه ای است که نیازی به حفظ نقاط پایه ندارد.

هموتوپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هموتوپی

بگذارید فاصله واحد را نشان دهم . خانواده ای از نقشه ها فهرست بندی شده توسط I ، ${\ displaystyle h_ {t}: X \ به Y}$ homotopy از نامیده می شود $h_ {0}$ به $h_ {1}$ اگر ${\ displaystyle h: I \ times X \ to Y، (t، x) \ mapsto h_ {t} (x)}$ یک نقشه است (به عنوان مثال ، باید یک تابع پیوسته باشد ). وقتی X ، Y فضاهای نوک تیز هستند ، $h_ {t}$ برای حفظ نقاط پایه مورد نیاز است. هموتوپی را می توان یک رابطه معادل نشان داد . با توجه به یک فاصله نقطه ای X و یک عدد صحیح $n \ geq 1$ ، اجازه دهید ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X) = [S^{n}، X] _ {*}}$ کلاسهای هموتوپی نقشه های مبنا باشد ${\ displaystyle S^{n} \ to X}$ از یک (اشاره) n -کره $S^{n}$ به X . همانطور که معلوم می شود ، $\ pi_n (X)$ گروه هستند ؛ به خصوص، $\ pi _ {1} (X)$ است به نام گروه اساسی از X .

اگر یکی برای کار با یک فضای به جای یک فضای اشاره کرد ترجیح میدهد، است که مفهوم یک وجود دارد groupoid اساسی (و انواع بالاتر): تعریف، groupoid اساسی یک فضای X است دسته که در آن اشیاء نقاط هستند X و morphisms مسیر هستند.

تراکم و فیبراسیون [ ویرایش ]

نقشه $f: A \ به X$ اگر (1) نقشه داده شود ، cofibration نامیده می شود ${\ displaystyle h_ {0}: X \ to Z}$ و (2) هموتوپی ${\ displaystyle g_ {t}: A \ to Z}$ ، هموتوپی وجود دارد ${\ displaystyle h_ {t}: X \ به Z}$ که گسترش می یابد $h_ {0}$ و از این قبیل ${\ displaystyle h_ {t} \ circ f = g_ {t}}$ به تا حدی ضعیف ، آنالوگ نمودار تعیین کننده یک ماژول تزریقی در جبر انتزاعی است . اساسی ترین مثال یک جفت CW است $(X ، A)$ ؛ از آنجا که بسیاری فقط با مجتمع های CW کار می کنند ، مفهوم cofibration اغلب ضمنی است.

fibration است که، یک نقشه: در مفهوم Serre ساخته مفهوم دوگانه cofibration است ${\ displaystyle p: X \ به B}$ اگر (1) نقشه داده شود ، یک فیبراسیون است ${\ displaystyle Z \ to X}$ و (2) هموتوپی ${\ displaystyle g_ {t}: Z \ به B}$ ، هموتوپی وجود دارد ${\ displaystyle h_ {t}: Z \ to X}$ به طوری که $h_ {0}$ یکی داده شده است و $p \ circ h_ {t} = g_ {t}$ به یک مثال اساسی یک نقشه پوششی است (در واقع ، یک فیبراسیون تعمیم یک نقشه پوششی است). اگر $ه$ یک اصل G -bundle ، این است که، یک فضای با رایگان و متعدی (توپولوژیکی) اقدام گروه یک ( توپولوژیکی گروه)، سپس بر روی نقشه طرح ریزی $p: E \ به X$ نمونه ای از فیبراسیون است.

طبقه بندی فضاها و عملیات هموتوپی [ ویرایش ]

با توجه به گروه های توپولوژیکی G از فضای طبقه بندی برای اصلی G -bundles ( "" تا به هم ارزی) یک فضا است $BG$ به طوری که برای هر فضای X ،

${\ displaystyle [X، BG] =}$ {بسته اصلی G در بسته X ${\ displaystyle، \، \، [f] \ mapsto f^{*} EG}$

جایی که

سمت چپ مجموعه ای از کلاسهای هموتوپی نقشه است ${\ displaystyle X \ به BG}$ ،
~ به ایزومورفیسم بسته ها اشاره می کند و
= با کشیدن عقب بسته نرم افزاری مشخص می شود $به عنوان مثال$ بر $BG$ (به نام بسته نرم افزاری جهانی) در امتداد نقشه ${\ displaystyle X \ به BG}$ به

قضیه نمایندگی براون وجود فضاهای طبقه بندی را تضمین می کند.

طیف و کوهولوژی عمومی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: طیف (توپولوژی جبری) و کوهومولوژی عمومی

این ایده که یک فضای طبقه بندی کننده دسته های اصلی را طبقه بندی می کند ، می تواند بیشتر پیش رود. برای مثال ، می توان کلاس های کوهومولوژی را طبقه بندی کرد: با توجه به گروه abelian A (مانند $\ mathbb {Z}$ ) ،

${\ displaystyle [X، K (A، n)] = \ نام اپراتور {H} ^{n} (X؛ A)}$

جایی که $K (A ، n)$ است فضای Eilenberg را-MacLane . معادله فوق منجر به تصور یک نظریه هم شناسی عمومی می شود. به عنوان مثال ، یک عامل متغیر از طبقه فضاها تا گروه گروه آبلی که بدیهیات کلی نظریه کوهومولوژی معمولی را برآورده می کند. همانطور که معلوم است، چنین عمل کننده ممکن است representable به با یک فاصله اما همیشه می توانید توسط یک دنباله از فضاهای (اشاره) با ساختار نقشه طیف نامیده می شود نشان داده شود. به عبارت دیگر ، ارائه نظریه همگانی عمومی به معنای ارائه طیف است.