ریاضیات

تناقض بری است خود ارجاع تناقض ناشی از یک عبارت مانند "کوچکترین عدد صحیح مثبت نیست تعریف در کمتر از شصت حروف" (یک عبارت با حروف پنجاه و هفت).

برتراند راسل ، اولین به بحث در مورد تناقض در چاپ، آن را منسوب به GG بری (1867-1928)، [1] یک تازه وارد کتابدار در آکسفورد را کتابخانه بودلیان . راسل بری را "تنها فردی در آکسفورد که منطق ریاضی را درک می کرد" نامید. [2]

فهرست

• 1بررسی اجمالی
• 2وضوح
• 3آنالوگ های رسمی
• 4رابطه با پیچیدگی Kolmogorov
• 5همچنین ببینید
• 6یادداشت
• 7منابع
• 8لینک های خارجی

نمای کلی [ ویرایش ]

عبارت را در نظر بگیرید:

"کوچکترین عدد صحیح مثبت با کمتر از شصت حرف قابل تعریف نیست."

از آنجا که در حروف الفبای انگلیسی فقط بیست و شش حرف وجود دارد ، بی نهایت تعداد زیادی عبارت زیر شصت حرف وجود دارد ، و از این رو بی نهایت اعداد صحیح مثبت که با عبارات زیر شصت حرف تعریف می شوند. از آنجا که بی نهایت تعداد صحیح مثبت وجود دارد ، این بدان معناست که اعداد صحیح مثبت وجود دارد که نمی توان آنها را با عبارات زیر شصت حرف تعریف کرد. اگر اعداد صحیح مثبت وجود داشته باشد که ویژگی خاصی را برآورده می کند ، کوچکترین عدد صحیح مثبت وجود دارد که آن ویژگی را برآورده می کند. بنابراین ، کوچکترین عدد صحیح مثبت وجود دارد که ویژگی "با کمتر از شصت حرف قابل تعریف نیست" را برآورده می کند. این عددی است که عبارت بالا به آن اشاره دارد. اما عبارت بالا حروف تنها پنجاه و هفت است طولانی، به همین دلیل آن است تعریف در کمتر از شصت نامه ها، و استنمی کوچکترین عدد صحیح مثبت را در کمتر از شصت نامه تعریف نیست، و نه توسط این عبارت تعریف شده است. این یک تناقض است: باید یک عدد صحیح با این عبارت تعریف شود ، اما از آنجا که این عبارت با خود متناقض است (هر عددی که آن را زیر شصت حرف تعریف کند) ، نمی توان عددی صحیح را با آن تعریف کرد.

شاید قیاس مفید دیگر پارادوکس بری عبارت "احساس وصف ناپذیر" باشد. [3] اگر احساس واقعاً وصف ناپذیر باشد ، هیچ توصیفی از احساس درست نخواهد بود. اما اگر کلمه "وصف ناپذیر" چیزی را در مورد احساس بیان می کند ، ممکن است آن را توصیف در نظر بگیریم: این با خود متناقض است.

Gregory J. Chaitin ریاضیدان و دانشمند کامپیوتر در The Unknowable (1999) این نظر را می افزاید: "خب ، تاریخدان ریاضی مکزیکی آلخاندرو گارسیدیگو برای یافتن آن نامه [نامه بری که راسل اظهارات خود را از آن نوشته است] زحمت کشیده است ، و این درست است متن بری در واقع در مورد اولین دستورالعمل صحبت می کند که نمی توان در تعداد محدود کلمات نام برد. طبق نظریه کانتور ، چنین نظمی باید وجود داشته باشد ، اما ما فقط آن را در تعداد محدود کلمات نامگذاری کرده ایم ، که تناقض است. "

وضوح [ ویرایش ]

پارادوکس بری به عنوان فرمول بالا به دلیل ابهام سیستماتیک در کلمه "قابل تعریف" بوجود می آید . در فرمول بندی های دیگر پارادوکس بری ، مانند آن که می گوید: "... در کمتر نامی ..." اصطلاح "نامی" نیز واژه ای است که دارای این ابهام سیستماتیک است. شرایطی از این دست باعث مغالطه های دور باطل می شود . سایر اصطلاحات با این نوع ابهام عبارتند از: رضایت بخش ، درست ، غلط ، عملکرد ، ویژگی ، کلاس ، رابطه ، اصلی و ترتیبی. [4] حل یکی از این پارادوکسها به این معنی است که دقیقاً مشخص کرده است که استفاده از زبان ما در کجا اشتباه بوده و محدودیت هایی در استفاده از زبان ایجاد می کنیم که ممکن است از آنها اجتناب کند.

این خانواده پارادوکس ها را می توان با ترکیب قشربندی معنا در زبان حل کرد. اصطلاحات با ابهام سیستماتیک ممکن است با زیرنویس هایی نوشته شوند که نشان می دهد یک سطح از معنا در تفسیر آنها از اولویت بیشتری نسبت به دیگری برخوردار است. تحت این طرح "عدد قابل نامگذاری 0 در کمتر از یازده کلمه" ممکن است 1 در کمتر از یازده کلمه نامگذاری شود . [5]

آنالوگ های رسمی [ ویرایش ]

با استفاده از برنامه ها یا اثبات طول محدود ، می توان آنالوگ عبارت بری را به زبان ریاضی رسمی ساخت ، همانطور که توسط گرگوری چیتین انجام شده است . اگرچه آنالوگ رسمی منجر به تناقض منطقی نمی شود ، اما نتایج غیرممکن خاصی را اثبات می کند.

جورج بولوس (1989) بر اساس نسخه رسمی پارادوکس بری بنا کرد تا قضیه ناتمامی گودل را به روشی جدید و بسیار ساده تر ثابت کند. ایده اصلی اثبات او این است که گزاره ای که x و n دارد اگر x = n برای یک عدد طبیعی n را بتوان برای n تعریف کرد و مجموعه {( n ، k ): n دارای تعریفی است که is k نمادهای long} را می توان نشان داد (با استفاده از اعداد گودل ). سپس گزاره " ماولین عددی است که با کمتر از k نماد قابل تعریف نیست "می تواند رسمی شود و به معنایی که گفته شد یک تعریف باشد.

رابطه با پیچیدگی کولموگروف [ ویرایش ]

مقاله اصلی: پیچیدگی کولموگروف

به طور کلی نمی توان حداقل تعداد نمادهای مورد نیاز برای توصیف یک رشته (با توجه به مکانیسم توصیف خاص) را به طور ابهام تعریف کرد. در این زمینه ، اصطلاحات رشته و عدد ممکن است به جای یکدیگر استفاده شوند ، زیرا یک عدد در واقع رشته ای از نمادها است ، به عنوان مثال یک کلمه انگلیسی (مانند کلمه "یازده" که در پارادوکس استفاده می شود) در حالی که ، از طرف دیگر ، ممکن است اشاره به هر کلمه ای با عدد ، به عنوان مثال با تعداد موقعیت آن در فرهنگ لغت معین یا رمزگذاری مناسب. برخی از رشته های طولانی را می توان دقیقاً با استفاده از نمادهای کمتر از نمادهای مورد نیاز برای نمایش کامل آنها توصیف کرد ، همانطور که اغلب با فشرده سازی داده ها به دست می آیدبه سپس پیچیدگی یک رشته معین به عنوان حداقل طول مورد نیاز برای توصیف به منظور (بدون ابهام) ارجاع کامل به آن رشته تعریف می شود.

پیچیدگی کولموگروف با استفاده از زبانهای رسمی یا ماشینهای تورینگ تعریف می شود که از ابهاماتی در مورد رشته ای که از توضیحات داده شده ناشی می شود جلوگیری می کند. می توان ثابت کرد که پیچیدگی کولموگروف قابل محاسبه نیست. اثبات تناقض نشان می دهد که اگر می توان پیچیدگی کولموگروف را محاسبه کرد ، همچنین می توان به طور سیستماتیک پارادوکس هایی شبیه به این یکی را ایجاد کرد ، یعنی توصیف هایی کوتاهتر از آنچه پیچیدگی رشته توصیف می کند. به این معنا که تعریف عدد بری متناقض است زیرا در واقع محاسبه چند کلمه برای تعریف یک عدد امکان پذیر نیست و می دانیم که چنین محاسبه ای به دلیل تناقض امکان پذیر نیست.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

• پارادوکس Bhartrhari ، مقاله ای در سال 1981 در مورد بحث Bhartṛhari در قرن پنجم در مورد پارادوکس خود ارجاعی ، از جمله این واقعیت که بیان چیزی که نامش ناپذیر است آن را نامی می کند
• بیور شلوغ
• قضیه ناتمامی Chaitin
• عدد قابل تعریف
• پارادوکس هیلبرت -برنایز
• پارادوکس اعداد جالب
• پارادوکس ریچارد

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Berry_paradox