هموتوپی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۰ | 12:7

دو مسیر خط کشی نشان داده شده در بالا نسبت به نقاط پایانی آنها هموتوپی هستند. انیمیشن نشان دهنده یک هموتوپی احتمالی است.

در توپولوژی ، شاخه ای از ریاضیات ، دو توابع پیوسته از یک فضای توپولوژیک به دیگری به نام homotopic (از یونانی ὁμός homós "همان، مشابه" و τόπος TOPOS "مکان") اگر یکی می تواند "به طور مداوم تغییر شکل" را در دیگر، از جمله تغییر شکل که هموتوپی بین دو تابع نامیده می شود . یکی از استفاده های قابل توجه از هموتوپی تعریف است گروه های homotopy و گروه های cohomotopy ، مهم ویژگیهای در توپولوژی جبری . [1]

در عمل ، استفاده از هموتوپي با فضاهاي خاص مشكلات فني دارد. توپولوژیست های جبری با فضاهای فشرده ، مجتمع های CW یا طیف ها کار می کنند .

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

هموتوپی بین دو درونه گیریها از چنبره به R 3 : به عنوان "سطح یک شیرینی بی شیرینی" و "سطح یک فنجان قهوه". این نیز نمونه ای از ایزوتوپی است .

به طور رسمی ، هموتوپی بین دو تابع پیوسته f و g از یک مکان توپولوژیکی X به یک مکان توپولوژیکی Y به عنوان یک تابع پیوسته تعریف شده است. ${\ displaystyle H: X \ بار [0،1] \ به Y}$ از حاصلضرب فضای X با فاصله واحد [0 ، 1] تا Y به گونه ای که $H (x ، 0) = f (x)$ و $H (x ، 1) = g (x)$ برای همه $x \ در X$ به

اگر ما از دوم فکر می کنم پارامتر از H به عنوان زمان و سپس H را توصیف تغییر شکل مداوم از F به گرم : در زمان 0 ما باید تابع F و در زمان 1 ما باید تابع گرم . ما همچنین می توانیم پارامتر دوم را یک "کنترل کننده لغزنده" در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد با حرکت اسلایدر از 0 به 1 و برعکس ، از f به g انتقال هموار داشته باشیم .

یک نماد جایگزین این است که بگوییم همتاپی بین دو تابع پیوسته $f ، g: X \ به Y$ خانواده ای از عملکردهای پیوسته است ${\ displaystyle h_ {t}: X \ به Y}$ برای $t \ در [0،1]$ به طوری که ${\ displaystyle h_ {0} = f}$ و ${\ displaystyle h_ {1} = g}$ ، و نقشه ${\ displaystyle (x، t) \ mapsto h_ {t} (x)}$ پیوسته از ${\ displaystyle X \ times [0،1]}$ به $Y$ به دو نسخه با تنظیم همزمان می شوند ${\ displaystyle h_ {t} (x) = H (x، t)}$ به نیاز به هر نقشه کافی نیست $h_t (x)$ پیوسته بودن [2]

انیمیشن است که در سمت راست لوپ یک مثال از یک هموتوپی بین دو فراهم می کند درونه گیریها ، F و G ، از چنبره به R 3 . X است چنبره، Y است R 3 ، F برخی تابع پیوسته از چنبره است R 3 که طول می کشد چنبره به سطح از یک شیرینی بی شیرینی به شکل تعبیه شده است که با شروع می شود انیمیشن؛ g برخی از عملکردهای پیوسته است که توروس را به شکل سطح لیوان قهوه-قهوه تعبیه می کند. انیمیشن تصویر h t ( x ) را به عنوان تابعی از پارامتر نشان می دهدt ، جایی که t با گذشت زمان از 0 تا 1 در هر چرخه حلقه متحرک تغییر می کند. مکث می کند ، سپس تصویر را نشان می دهد که t از 1 تا 0 تغییر می کند ، مکث می کند و این چرخه را تکرار می کند.

خواص [ ویرایش ]

گفته می شود که توابع پیوسته f و g هموتوپی هستند اگر و فقط اگر هموتوپی H وجود داشته باشد که f را به g نشان می دهد. همجنس بودن رابطه ای برابر با مجموعه ای از همه توابع پیوسته از X تا Y است . این رابطه هموتوپی با ترکیب عملکرد به این معنا سازگار است : اگر f 1 ، g 1 : X → Y هموتوپیک باشد و f 2 ، g 2 : Y → Zهموتوپیک هستند ، سپس ترکیبات آنها f 2 ∘ f 1 و g 2 ∘ g 1 : X → Z نیز هموتوپیک هستند.

مثالها [ ویرایش ]

اگر ${\ displaystyle f، g: \ mathbb {R} \ به \ mathbb {R} ^{2}}$ داده می شوند توسط ${\ displaystyle f (x): = (x ، x^{3})}$ و ${\ displaystyle g (x) = (x، e^{x})}$ ، سپس نقشه ${\ displaystyle H: \ mathbb {R} \ times [0،1] \ به \ mathbb {R} ^{2}}$ داده شده توسط ${\ displaystyle H (x، t) = (x، (1-t) x^{3}+te^{x})}$ یک homotopy بین آنها است.
به طور کلی تر ، اگر ${\ displaystyle C \ subseteq \ mathbb {R} ^{n}}$ یک محدب زیر مجموعه ای از فضای اقلیدسی و ${\ displaystyle f، g: [0،1] \ به C}$ هستند مسیر با نقاط پایانی همان، و سپس یک وجود دارد هموتوپی خطی [3] (یا خط مستقیم هموتوپی ) داده شده توسط

${\ displaystyle {\ شروع {تراز} H: [0،1] و \ بار [0،1] \ longrightarrow C \\ (s، t) \ longmapsto (1 & -t) f (s)+tg (s) . \ پایان {تراز}}}$

اجازه دهید ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {B^{n}}: B^{n} \ به B^{n}}$ شود تابع هویت در واحد N - دیسک ، یعنی مجموعه ${\ displaystyle B ^{n}: = \ {x \ in \ mathbb {R} ^{n}: \ | x \ | \ leq 1 \}}$ به اجازه دهید ${\ displaystyle c _ {\ vec {0}}: B^{n} \ به B^{n}}$ شود تابع ثابت ${\ displaystyle c _ {\ vec {0}} (x): = {\ vec {0}}}$ که هر نقطه ای را به مبدأ ارسال می کند . سپس موارد زیر یک هموتوپی بین آنها است:

${\ displaystyle {\ شروع {تراز} H: B^{n} & \ times [0،1] \ longrightarrow B^{n} \\ (x، t) & \ longmapsto (1-t) x. \ پایان {هم راستا}}}$

معادل سازی هموتوپی [ ویرایش ]

با توجه به دو فضای توپولوژیکی X و Y ، هم ارز همنوع بین X و Y یک جفت نقشه پیوسته f : X → Y و g : Y → X است ، به گونه ای که g ∘ f با نقشه هویت id x و f ∘ g همسان است . یکسان با شناسه Y است . اگر چنین جفتی وجود داشته باشد ، گفته می شود که X و Y معادل هموتوپی یا از یک نوع هموتوپی هستندبه از نظر بصری ، دو فاصله X و Y معادل هموتوپی هستند اگر بتوان آنها را با خم شدن ، کوچک شدن و گسترش عملیات به یکدیگر تبدیل کرد. فضاهایی را که هموتوپیک معادل یک نقطه هستند ، منقبض می نامند .

هم ارزی هموتوپی در مقابل هومومورفیسم [ ویرایش ]

همسانریختی یک مورد خاص از یک هم ارزی هموتوپی، است که در آن گرم ∘ F برابر به نقشه هویت شناسه X (نه تنها homotopic به آن)، و ج ∘ گرم به شناسه برابر است Y . [4] : 0:53:00 بنابراین ، اگر X و Y هومومورف باشند ، معادل هموتوپی هستند ، اما عکس آن صادق نیست. چند نمونه:

یک دیسک جامد معادل یک نقطه واحد است ، زیرا می توانید دیسک را در امتداد خطوط شعاعی به طور مداوم به یک نقطه تغییر شکل دهید. با این حال ، آنها هومومورف نیستند ، زیرا بین آنها هیچ گونه اعتراضی وجود ندارد (از آنجا که یکی مجموعه ای نامتناهی است ، در حالی که دیگری محدود است).
نوار موبیوس و (بسته) نوار untwisted هموتوپی هم معادل هستند، شما می توانید از هر دو نوار به طور مداوم به یک دایره تغییر شکل. اما آنها هومومورف نیستند.

مثالها [ ویرایش ]

اولین مثال از هم ارزی هموتوپی است $\ mathbb {R} ^{n}$ با یک نقطه ، مشخص شده است ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ simeq \ {0 \}}$ به قسمتی که باید بررسی شود وجود هموتوپی است ${\ displaystyle H: I \ times \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$ بین ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {\ mathbb {R} ^{n}}}$ و $p_ {0}$ ، فرافکنی از $\ mathbb {R} ^{n}$ بر مبدا این را می توان چنین توصیف کرد ${\ displaystyle H (t، \ cdot) = t \ cdot p_ {0}+(1-t) \ cdot \ operatorname {id} _ {\ mathbb {R} ^{n}}}$ به
بین آنها هم ارزایی هموتوپی وجود دارد $S^{1}$ ( 1-کره ) و ${\ mathbb {R}}^{2}-\ {0 \}$ به
به طور کلی، ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}-\ {0 \} \ simeq S ^{n-1}}$ به
هر بسته نرم افزاری فیبر $\ pi: E \ به B$ با الیاف $F_ {b}$ هموتوپی معادل یک نقطه دارای فضاهای کل و پایه معادل هموتوپی است. این دو مثال قبلی را از آن زمان تعمیم می دهد ${\ displaystyle \ pi: \ mathbb {R} ^{n}-\ {0 \} \ به S ^{n-1}}$ یک بسته فیبر با فیبر است ${\ mathbb {R}} _ {{> 0}}$ به
هر بسته نرم افزاری بردار یک بسته نرم افزاری فیبر است که دارای هموتوپی فیبر معادل یک نقطه است.
برای هرچی $0 \ leq k <n$ ، ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}-\ mathbb {R} ^{k} \ simeq S ^{nk-1}}$ با نوشتن $\ mathbb {R} ^{n}$ مانند ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{k} \ times \ mathbb {R} ^{nk}}$ و استفاده از معادلات هموتوپی بالا.
اگر یک مجتمع فرعی باشد $آ$ از مجتمع CW $ایکس$ منقبض است ، سپس فضای ضریب $X/A$ هموتوپی معادل است $ایکس$ به [5]
جمع تغییر شکل ارزی هموتوپی است.

Null-homotopy [ ویرایش ]

گفته می شود که یک تابع f خالی-هموتوپیک است اگر با عملکرد ثابت هموتوپیک باشد. ( بعضاً هموتوپی از f به یک تابع ثابت را null-homotopy می نامند .) به عنوان مثال ، نقشه f از دایره واحد S 1 به هر فضای X دقیقاً زمانی که بتوان آن را به صورت نقشه از دیسک واحد D 2 به X که با موافق F در مرز.

از این تعاریف برمی آید که یک فضای X در صورتی منقبض است که و تنها در صورتی که نقشه هویت از X به خود-که همیشه معادل هموتوپی است-خالی-هموتوپیک باشد.

عدم تغییر [ ویرایش ]

هم ارزي هموتوپي مهم است زيرا در توپولوژي جبري بسياري از مفاهيم هموتوپي ثابت هستند ، يعني به رابطه هم ارزي هموتوپي احترام مي گذارند. به عنوان مثال ، اگر X و Y فضاهای معادل هموتوپی باشند ، پس:

X است مسیر متصل اگر و تنها اگر Y است.
X به سادگی متصل می شود اگر و فقط اگر Y باشد.
(به مفرد) همسانی و های cohomology گروه از X و Y هستند ریخت .
اگر X و Y متصل به مسیر باشند ، گروههای اصلی X و Y ایزومورف هستند و گروههای هموتوپی بالاتر نیز همینطور . (بدون فرض اتصال مسیر ، π 1 ( X ، x 0 ) ایزومورف به π 1 ( Y ، f ( x 0 )) است که f : X → Y معادل هموتوپی و x 0 ∈ X است .)

یک مثال از تغییر ناپذیری جبری فضاهای توپولوژیکی که هموتوپی نیست ، از فشرده سازی همولوژی پشتیبانی می کند (که به طور خلاصه ، همولوژی فشردگی است و فشردگی هموتوپی ثابت نیست).

انواع [ ویرایش ]

هموتوپی نسبی [ ویرایش ]

برای تعریف گروه بنیادی ، فرد به مفهوم هموتوپی نسبت به یک زیرفضا نیاز دارد . اینها هموتوپی هایی هستند که عناصر زیرفضا را ثابت نگه می دارند. به طور رسمی: اگر F و G نقشه های مداوم از هستند X به Y و K است زیر مجموعه از X ، پس ما می گویند که F و G نسبی homotopic به K اگر وجود داشته باشد هموتوپی وجود دارد H : X × [0، 1] → Y بین f و g به گونه ای که H (k ، t ) = f ( k ) = g ( k ) برای همه k ∈ K و t ∈ [0 ، 1]. همچنین، اگر گرم است جمع از X به K و F روی نقشه هویت است، این است که به عنوان قوی شناخته شده جمع تغییر شکل از X به K . وقتی K یک نقطه است ، از اصطلاح هموتوپی نوک تیز استفاده می شود.

ایزوتوپی [ ویرایش ]

unknot است معادل نیست گره سه پره از آنجا که یکی را نمی توان به دیگری از طریق یک مسیر پیوسته از homeomorphisms از فضای محیط تغییر شکل. بنابراین آنها ایزوتوپی محیط نیستند.

در مورد دو تابع به طور مستمر پرداخت F و G از فضا توپولوژیکی X به فضای توپولوژیک Y هستند درونه گیریها ، می توان پرسید که آیا می توان آنها را از طریق درونه گیریها، متصل می شود. این امر مفهوم ایزوتوپی را ایجاد می کند ، که یک هموتوپی است ، H ، در نماد مورد استفاده قبلی ، به طوری که برای هر t ثابت ، H ( x ، t ) جاسازی می کند. [6]

مفهوم مرتبط اما متفاوت مفهوم ایزوتوپی محیط است .

نیاز به ایزوتوپی بودن دو جاسازی نیاز قوی تری نسبت به هموتوپی بودن آنها است. به عنوان مثال، نقشه از بازه -1، 1] به اعداد حقیقی تعریف شده توسط F ( X ) = - X است نه ایزوتوپی به هویت گرم ( X ) = X . هرگونه همنوازی از f تا هویت باید نقاط پایانی را مبادله کند ، این بدان معناست که آنها باید از یکدیگر "عبور" کنند. علاوه بر این ، f جهت فاصله را تغییر داده است و g تغییر نکرده است ، که تحت یک ایزوتوپی غیرممکن است. با این حال ، نقشه ها هموتوپی هستند. یک هموتوپی از f تا هویت استH : [−1 ، 1] × [0 ، 1] → [−1 ، 1] توسط H ( x ، y ) = 2 yx - x داده شده است .

با استفاده از ترفند اسکندر ، دو هومومورفیسم (که موارد خاصی از جاسازی هستند) از توپ واحد که بر روی مرز توافق دارند ، ایزوتوپی نشان داده می شود . به همین دلیل ، نقشه دیسک واحد در R 2 با f ( x ، y ) = ( -x ، -y ) ایزوتوپی برای چرخش 180 درجه در اطراف مبدا است ، بنابراین نقشه هویت و f ایزوتوپی هستند زیرا می توانند با چرخش به هم متصل شوند.

در توپولوژی هندسی - به عنوان مثال در نظریه گره - ایده ایزوتوپی برای ایجاد روابط هم ارزی استفاده می شود. به عنوان مثال ، چه زمانی باید دو گره را یکسان در نظر گرفت؟ ما دو گره، K 1 و K 2 ، در سه بعدی فضا. گره تعبیه یک فضای یک بعدی ، "حلقه رشته" (یا دایره) است ، در این فضا ، و این تعبیه باعث ایجاد یک هومومورفیسم بین دایره و تصویر آن در فضای جاسازی می شود. ایده شهودی پشت مفهوم معادل سازی گره این است که می توان از طریق یک مسیر جاسازی ، یک جاسازی را به دیگری تغییر شکل داد : یک عملکرد پیوسته که از t شروع می شود = 0 دادن K 1 تعبیه، پایان دادن به در تی = 1 دادن K 2 تعبیه، با تمام مقادیر متوسط مربوط به درونه گیریها. این با تعریف ایزوتوپی مطابقت دارد. Isotopy برای محیط ، مورد مطالعه در این زمینه، یک Isotopy برای از فضای بزرگ تر، در پرتو عمل خود را در submanifold تعبیه شده در نظر گرفته است. گره K 1 و K 2 هستند معادل در نظر گرفته زمانی که Isotopy برای محیط حرکت می کند که وجود دارد K 1 به K 2 . این تعریف مناسب در دسته توپولوژیکی است.

زبان مشابه برای مفهوم معادل در زمینه هایی استفاده می شود که در آنها مفهوم قوی تری از معادل سازی وجود دارد. به عنوان مثال ، مسیری بین دو جاسازی صاف ، ایزوتوپی صاف است .

هموتوپی شبیه به زمان [ ویرایش ]

در یک منیفولد لورنتزی ، منحنی های خاصی به صورت زمان دار مشخص می شوند (نشان دهنده چیزی است که فقط در جلو ، نه در عقب ، در هر زمان محلی پیش می رود). یک هموتوپی زمانی بین دو منحنی زمانی یک هموتوپی است به گونه ای که در طول تبدیل مداوم از یک منحنی به منحنی دیگر منحنی زمان دار باقی می ماند. هیچ منحنی بسته زمانی (CTC) در منیفولد Lorentzian به طور هم زمان تا اندازه ای یکسان نیست (یعنی هموتوپیک زمانی خالی). بنابراین گفته می شود که چنین منیفولد با منحنی های زمانی متصل می شود. منیفولدی مانند 3 کره را می توان به سادگی (با هر نوع منحنی) به هم متصل کرد ، و در عین حال می تواند باشدقسمت زمان اتصال ضرب . [7]

خواص [ ویرایش ]

ویژگی های بلند کردن و توسعه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ویژگی بلند کردن هموتوپی

اگر هموتوپی H : X × [0،1] → Y و یک جلد p : Y → Y داشته باشیم و نقشه ای به ما داده شود h 0 : X → Y به گونه ای که H 0 = p ○ h 0 ( h 0 نامیده می شود آسانسور از ساعت 0 )، سپس ما می توانیم تمام بلند H به یک نقشه H : X × [0، 1] → Y به طوری که ص ○ H = Hبه ویژگی لیفتینگ هموتوپی برای مشخص کردن لرزش ها استفاده می شود .

یکی دیگر از ویژگیهای مفید که شامل هموتوپی است ، ویژگی توسعه هموتوپی است که مشخص کننده گسترش یک هموتوپی بین دو تابع از زیرمجموعه برخی از مجموعه ها به خود مجموعه است. هنگام برخورد با فیبرها مفید است .

گروه ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه هموتوپی

از آنجا که رابطه دو تابع است ${\ displaystyle f، g \ colon X \ to Y}$ یکنواخت بودن نسبت به یک زیرفضا یک رابطه هم ارزی است ، ما می توانیم به کلاسهای هم ارزی نقشه ها بین X و Y ثابت نگاه کنیم . اگر درست کنیم ${\ displaystyle X = [0،1]^{n}}$ ، فاصله واحد [0 ، 1] n بار با خودش عبور می کند و ما مرز آن را می گیریم ${\ displaystyle \ partial ([0،1]^{n})}$ بعنوان یک زیرفضا ، سپس کلاسهای معادل یک گروه را تشکیل می دهند که مشخص شده است ${\ displaystyle \ pi _ {n} (Y ، y_ {0})}$ ، جایی که $y_ {0}$ در تصویر زیرفضا قرار دارد ${\ displaystyle \ partial ([0،1]^{n})}$ به

ما می توانیم عمل یک کلاس معادل سازی را در کلاس دیگر تعریف کنیم و بنابراین یک گروه بدست می آوریم. این گروه ها گروه های هموتوپی نامیده می شوند . در مورد $n = 1$ ، آن را گروه بنیادی نیز می نامند .

دسته هموتوپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: دسته هموتوپی

ایده هموتوپی را می توان به یک دسته رسمی از نظریه دسته تبدیل کرد . دسته هموتوپی دسته که اشیاء فضاهای توپولوژیک، و که morphisms کلاسهای همارزی homotopy از نقشه های مداوم هستند می باشد. دو فضای توپولوژیکی X و Y در این دسته اگر و تنها در صورتی که معادل هموتوپی باشند ، ایزومورف هستند. سپس یک عامل در طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی هموتوپی ثابت است اگر بتوان آن را به عنوان یک عامل در طبقه هموتوپی بیان کرد.

به عنوان مثال ، گروه های همولوگ یک هموتوپی فانکشنال هستند : این بدان معناست که اگر f و g از X تا Y هموتوپیک باشند ، همومورفیسم های گروهی که توسط f و g در سطح گروه های همولوژی ایجاد می شوند یکسان هستند: H n ( f ) = H n ( g ): H n ( X ) → H n ( Y ) برای همه n . به همین ترتیب ، اگر X و Y علاوه بر این مسیر متصل باشند، و هموتوپی بین f و g مشخص است ، سپس همومورفیسم های گروهی که توسط f و g در سطح گروه های هموتوپی ایجاد می شوند نیز یکسان هستند: π n ( f ) = π n ( g ): π n ( X ) → π n ( Y )

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

بر اساس مفهوم هموتوپی ، روشهای محاسبه برای معادلات جبری و دیفرانسیل توسعه داده شده است. روشهای معادلات جبری شامل روش ادامه هموتوپی [8] و روش تداوم (به ادامه عددی مراجعه کنید ) است. روشهای معادلات دیفرانسیل شامل روش تجزیه و تحلیل هموتوپی است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

هم ارزی فیبر-هموتوپی (نسخه نسبی معادل هموتوپی)
هومیوتوپی
نظریه نوع هموتوپی
گروه کلاس نقشه برداری
حدس پوانکره
هموتوپی منظم

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

هموتوپی

فهرست

تعریف رسمی [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

معادل سازی هموتوپی [ ویرایش ]

هم ارزی هموتوپی در مقابل هومومورفیسم [ ویرایش ]

مثالها [ ویرایش ]

Null-homotopy [ ویرایش ]

عدم تغییر [ ویرایش ]

انواع [ ویرایش ]

هموتوپی نسبی [ ویرایش ]

ایزوتوپی [ ویرایش ]

هموتوپی شبیه به زمان [ ویرایش ]

خواص [ ویرایش ]

ویژگی های بلند کردن و توسعه [ ویرایش ]

گروه ها [ ویرایش ]

دسته هموتوپی [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین