معادله انتگرال

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم دی ۱۳۹۹ | 17:30

در ریاضیات ، معادلات انتگرال معادلاتی هستند که در آنها یک تابع ناشناخته تحت علامت انتگرال ظاهر می شود .

بین معادلات دیفرانسیل و انتگرال ارتباط تنگاتنگی وجود دارد و برخی از مشکلات ممکن است به هر صورت صورت گیرد. به عنوان مثال ، عملکرد گرین ، نظریه فردهلم و معادلات ماکسول را ببینید .

فهرست

نمای کلی [ ویرایش ]

ابتدایی ترین نوع معادله انتگرال ، معادله فردهلم از نوع اول نامیده می شود ،

$f (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (x، t) \، \ varphi (t) \، dt.$

علامت گذاری به شرح Arfken است . در اینجا φ یک تابع ناشناخته است ، f یک تابع شناخته شده است و K یک تابع شناخته شده دیگر از دو متغیر است که غالباً تابع هسته نامیده می شود . توجه داشته باشید که محدودیت های ادغام ثابت هستند: این همان چیزی است که یک معادله فردهلم را مشخص می کند.

اگر تابع ناشناخته هم در داخل و هم در خارج از انتگرال رخ دهد ، معادله به عنوان یک معادله فردهلم از نوع دوم شناخته می شود ،

$\ varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {b} K (x، t) \، \ varphi (t) \، dt.$

پارامتر λ یک عامل ناشناخته است ، که همان نقش مقدار ویژه را در جبر خطی بازی می کند .

اگر یک حد از ادغام متغیر باشد ، به این معادله معادله Volterra گفته می شود . موارد زیر را به ترتیب معادلات ولترا از نوع اول و دوم می نامند ،

$f (x) = \ int _ {a} ^ {x} K (x، t) \، \ varphi (t) \، dt$

$\ varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x، t) \، \ varphi (t) \، dt.$

در همه موارد بالا ، اگر تابع شناخته شده f به طور یکسان صفر باشد ، معادله را یک معادله انتگرال همگن می نامند . اگر f غیر صفر باشد ، آن را یک معادله انتگرال ناهمگن می نامند .

راه حل عددی [ ویرایش ]

شایان ذکر است که معادلات انتگرال اغلب راه حل تحلیلی ندارند و باید به صورت عددی حل شوند. نمونه ای از این ارزیابی معادله انتگرال میدان الکتریکی (EFIE) یا معادله انتگرال میدان مغناطیسی (MFIE) بر روی یک شی arbit خودسرانه در یک مسئله پراکندگی الکترومغناطیسی است.

یک روش برای حل عددی مستلزم گسسته سازی متغیرها و جایگزینی انتگرال با یک قانون کوادره است

$\ sum _ {{j = 1}} ^ {n} w_ {j} K \ چپ (s_ {i} ، t_ {j} \ راست) u (t_ {j}) = f (s_ {i}) ، \ qquad i = 0،1 ، \ cdots ، n.$

سپس یک سیستم با n معادله و n متغیر داریم. با حل آن مقدار n متغیر را بدست می آوریم

$تو (t_ {0}) ، تو (t_ {1}) ، \ cdots ، تو (t_ {n}).$

طبقه بندی [ ویرایش ]

معادلات انتگرال بر اساس سه تقسیم متفاوت تقسیم می شوند و هشت نوع مختلف ایجاد می کنند:

محدودیت های ادغام

هر دو ثابت: معادله فردهلم
یک متغیر: معادله ولترا

قرار دادن عملکرد ناشناخته

فقط داخل انتگرال: نوع اول
هم در داخل و هم در خارج انتگرال: نوع دوم

ماهیت عملکرد شناخته شده f

به طور یکسان صفر: همگن
به طور یکسان صفر نیست: ناهمگن است

معادلات انتگرال در بسیاری از کاربردها مهم هستند. مشکلاتی که در آنها معادلات انتگرال وجود دارد شامل انتقال تابشی و نوسان یک رشته ، غشا، یا محور است. مشکلات نوسان نیز ممکن است به عنوان معادلات دیفرانسیل حل شود .

هر دو معادله فردهلم و ولترا به دلیل رفتار خطی φ ( x ) تحت یکپارچه ، معادلات انتگرالی خطی هستند . یک معادله انتگرال غیرخطی Volterra شکل کلی دارد:

$\ varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int _ {a} ^ {x} K (x، t) \ ، F (x ، t ، \ varphi (t)) \ ، dt ،$

که در آن F یک تابع شناخته شده است.

معادلات انتگرال وینر – هاپ [ ویرایش ]

مقاله اصلی: روش Wiener – Hopf

$y (t) = \ lambda x (t) + \ int _ {0} ^ {{\ infty}} k (ts) x (s) ds ، \ qquad 0 \ leq t <\ infty.$

در اصل ، چنین معادلاتی در ارتباط با مشکلات انتقال تابشی مورد مطالعه قرار گرفت و اخیراً ، آنها به حل معادلات انتگرال مرزی برای مسایل مسطح مربوط می شوند که در آن مرز فقط به صورت جزئی صاف است.

راه حل سری قدرت برای معادلات انتگرال [ ویرایش ]

در بسیاری از موارد، اگر هسته معادله انتگرال به فرم K ( XT ) و تبدیل ملین از K ( تی ) وجود دارد، ما می توانیم راه حل معادله انتگرال پیدا

$g (s) = s \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} dtK (st) f (t)$

در قالب یک سری قدرت

${\ displaystyle f (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {M (n + 1)}} t ^ {n}}$

جایی که

$g (s) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a _ {{n}} s ^ {{- n}}، \ qquad M (n + 1) = \ int _ { {0}} ^ {{\ infty}} dtK (t) t ^ {{n}}$

تبدیل Z از تابع g ( ها ) هستند و M ( n + 1) تبدیل ملین هسته است.

همچنین نگاه کنید به: سری Liouville – Neumann

معادلات انتگرال به عنوان تعمیم معادلات ارزش ویژه [ ویرایش ]

برخی معادلات انتگرال خطی همگن را می توان به عنوان حد پیوستار معادلات ارزش ویژه در نظر گرفت . با استفاده از نماد گذاری شاخص ، می توان معادله ارزش ویژه را به صورت زیر نوشت

$\ sum _ {j} M _ {{i، j}} v_ {j} = \ lambda v_ {i}$

که در آن M = [ M i، j ] یک ماتریس است ، v یکی از بردارهای ویژه آن است و λ مقدار ویژه مربوط به آن است.

گرفتن حد پیوستار ، یعنی جایگزینی شاخص های گسسته i و j با متغیرهای پیوسته x و y ، بازدهی دارد

$\ int K (x ، y) \ varphi (y) {\ mathrm {d}} y = \ lambda \ varphi (x) ،$

جایی که مجموع بیش از j با یک انتگرال بیش از y جایگزین شده و ماتریس M و بردار v با هسته K ( x ، y ) و عملکرد ویژه φ ( y ) جایگزین شده اند . (محدودیت های انتگرال ، به طور مشابه با محدودیت های جمع بیش از j ثابت است .) این یک معادله همگن خطی فردهولم از نوع دوم را می دهد.

به طور کلی ، K ( x ، y ) می تواند یک توزیع باشد ، نه یک عملکرد به معنای دقیق آن. اگر توزیع K فقط در نقطه x = y پشتیبانی داشته باشد ، معادله انتگرال به یک معادله عملکرد ویژه دیفرانسیل کاهش می یابد .

به طور کلی ، معادله انتگرال ولترا و فردهلم می تواند از یک معادله دیفرانسیل منفرد ناشی شود ، بسته به نوع شرایطی که در مرز حوزه حل آن اعمال می شود.

اطلاعات بیشتر: نظریه فردهلم

برنامه ها [ ویرایش ]

علم اکچوئری (تئوری خراب [1] )
الکترومغناطیسی محاسباتی
- روش عنصر مرزی
مشکلات معکوس
- معادله مارچنکو ( تبدیل پراکندگی معکوس )
قیمت گذاری گزینه ها تحت جهش انتشار [2]
انتقال تابشی
خاصیت الاستیسیته

همچنین به [ ویرایش ] مراجعه کنید

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_equation

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی