8-هارمونیک های کروی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ | 15:1

تجزیه و تحلیل طیف [ ویرایش ]

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر در این بخش به بهبود این مقاله کمک کنید. اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژوئیه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

طیف قدرت در پردازش سیگنال [ ویرایش ]

توان کل یک تابع f در ادبیات پردازش سیگنال به عنوان انتگرال تابع مجذور تقسیم بر مساحت دامنه آن تعریف می شود . با استفاده از ویژگی‌های متعامد توابع هارمونیک کروی حقیقی واحد-قدرت، به راحتی می‌توان تأیید کرد که توان کل یک تابع تعریف شده بر روی واحد کره به ضرایب طیفی آن با تعمیم قضیه پارسوال مرتبط است (در اینجا، قضیه بیان می‌شود. برای هارمونیک های نیمه نرمال شده اشمیت، این رابطه برای هارمونیک های متعامد کمی متفاوت است:

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0} ^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$

جایی که

$S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m }|^{2}$

به عنوان طیف توان زاویه ای (برای هارمونیک های نیمه نرمال اشمیت) تعریف می شود. به روشی مشابه، می توان قدرت متقاطع دو تابع را به صورت تعریف کرد

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _ {\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$

جایی که

اس()2+1∑=-∗

$S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ ell m}^{\ast }$

به عنوان طیف توان متقابل تعریف می شود. اگر توابع f و g میانگین صفر داشته باشند (یعنی ضرایب طیفی f 00 و g 00 صفر هستند)، آنگاه Sff(ℓ) و S fg ( ) مشارکت در واریانس تابع و کوواریانس برای درجه را نشان می دهند . به ترتیب. معمول است که طیف توان (متقابل) به خوبی با یک قانون توان به شکل تقریب می شود.

$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$

وقتی β = 0 ، طیف "سفید" است زیرا هر درجه دارای قدرت برابر است. وقتی β < 0 ، طیف را "قرمز" می نامند زیرا در درجات پایین با طول موج های بلند توان بیشتری نسبت به درجات بالاتر وجود دارد. در نهایت، زمانی که β > 0 ، طیف "آبی" نامیده می شود. شرط ترتیب رشد Sff(ℓ) به ترتیب تمایز پذیری f در بخش بعدی مربوط می شود.

ویژگی های تمایز [ ویرایش ]

همچنین می توان خواص تمایز پذیری تابع اصلی f را بر حسب مجانبی Sff(ℓ) درک کرد . به طور خاص، اگر Sff(ℓ) سریعتر از هر تابع منطقی به عنوان → ∞ کاهش یابد ، آنگاه f بی نهایت قابل تفکیک است . علاوه بر این، اگر Sff(ℓ) به صورت تصاعدی کاهش یابد، آنگاه f در واقع تحلیلی حقیقی روی کره است .

تکنیک کلی استفاده از تئوری فضاهای سوبولف است . اظهارات مربوط به رشد Sff(ℓ) به تمایز پذیری مشابه نتایج مشابه در رشد ضرایب سری فوریه است . به طور خاص، اگر

$\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$

سپس f در فضای سوبولف H s ( S 2 ) است . به طور خاص، قضیه تعبیه سوبولف نشان می دهد که f بی نهایت قابل تمایز است به شرطی که

$S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$

برای همه s .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی