هارمونیک های استوانه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ | 12:0

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، هارمونیک های استوانه ای مجموعه ای از توابع مستقل خطی هستند که راه حل های معادله دیفرانسیل لاپلاس هستند . $\nabla ^{2}V=0$ ، در مختصات استوانه ای ρ (مختصات شعاعی)، φ (زاویه قطبی) و z ( ارتفاع) بیان می شود. هر تابع V n ( k ) حاصل ضرب سه جمله است که هر کدام به تنهایی به یک مختصات بستگی دارد. عبارت وابسته به ρ توسط توابع بسل (که گاهی به آنها هارمونیک استوانه ای نیز گفته می شود) داده می شود.

تعریف [ ویرایش ]

هر تابع $V_{n}(k)$ این مبنا از حاصل ضرب سه تابع تشکیل شده است:

$V_{n}(k;\rho،\varphi،z)=P_{n}(k،\rho)\Phi _{n}(\varphi)Z(k،z)\،$

جایی که $(\rho,\varphi,z)$ مختصات استوانه‌ای و ثابت‌های n و k هستند که اعضای مجموعه را متمایز می‌کنند. در نتیجه اصل برهم نهی اعمال شده در معادله لاپلاس، راه حل های بسیار کلی برای معادله لاپلاس را می توان با ترکیب خطی این توابع به دست آورد.

از آنجایی که تمام سطوح دارای ρ، φ و z ثابت هستند مخروطی هستند، معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای قابل تفکیک است. با استفاده از تکنیک جداسازی متغیرها ، یک جواب جدا شده برای معادله لاپلاس را می توان به صورت زیر بیان کرد:

$V=P(\rho)\,\Phi (\varphi)\,Z(z)$

و معادله لاپلاس، تقسیم بر V ، نوشته شده است:

${\frac {{\ddot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {{\dot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,{\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}+{\frac {{\ddot {Z}}}{Z}}= 0$

قسمت Z معادله به تنهایی تابعی از z است و بنابراین باید برابر با یک ثابت باشد:

${\frac {{\ddot {Z}}}{Z}}=k^{2}$

که در آن k به طور کلی یک عدد مختلط است . برای یک k خاص ، تابع Z(z) دو راه حل مستقل خطی دارد. اگر k حقیقی باشد عبارتند از:

$Z(k,z)=\cosh(kz)\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sinh(kz)\,$

یا با رفتار آنها در بی نهایت:

$Z(k,z)=e^{{kz}}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e^{{- kz}}\,$

اگر k موهومی باشد:

$Z(k,z)=\cos(|k|z)\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sin(| k|z)\,$

یا:

$Z(k,z)=e^{{i|k|z}}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e ^{{-i|k|z}}\,$

مشاهده می شود که توابع Z(k,z) هسته های تبدیل فوریه یا تبدیل لاپلاس تابع Z(z) هستند و بنابراین k ممکن است یک متغیر گسسته برای شرایط مرزی تناوبی باشد یا ممکن است یک متغیر پیوسته باشد. برای شرایط مرزی غیر تناوبی

جایگزین کردن $k^2$ برای ${\ddot {Z}}/Z$ ، معادله لاپلاس اکنون می تواند نوشته شود:

${\frac {{\ddot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {{\dot {P}}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}+k^{2}=0$

ضرب در $\rho ^{2}$ ، اکنون می توانیم توابع P و Φ را از هم جدا کنیم و یک ثابت دیگر ( n ) معرفی کنیم تا به دست آوریم:

${\frac {{\ddot {\Phi }}}{\Phi }}=-n^{2}$

$\rho ^{2}{\frac {{\ddot {P}}}{P}}+\rho {\frac {{\dot {P}}}{P}}+k^{2}\rho ^ {2}=n^{2}$

از آنجا که $\varphi$ تناوبی است، ممکن است n را یک عدد صحیح غیر منفی در نظر بگیریم و بر این اساس، $\Phi (\varphi)$ ثابت ها مشترک هستند. راه حل های حقیقی برای $\Phi (\varphi)$ هستند

$\Phi _{n}=\cos(n\varphi )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\sin(n\ ورفی )$

یا به طور معادل:

$\Phi _{n}=e^{{in\varphi }}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,e^{ {-in\varphi }}$

معادله دیفرانسیل برای $\rho$ شکلی از معادله بسل است.

اگر k صفر باشد، اما n نباشد، جواب ها عبارتند از:

$P_{n}(0,\rho )=\rho ^{n}\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,\rho ^{{-n}}\,$

اگر k و n هر دو صفر باشند، جواب ها عبارتند از:

$P_{0}(0,\rho )=\ln \rho \,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\,1\,$

اگر k یک عدد حقیقی باشد می‌توانیم جواب حقیقی را به صورت زیر بنویسیم:

$P_{n}(k,\rho )=J_{n}(k\rho )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\,\ ,Y_{n}(k\rho )\,$

جایی که $J_{n}(z)$ و $Y_{n}(z)$ توابع معمولی بسل هستند .

اگر k یک عدد فرضی باشد، ممکن است یک جواب حقیقی را به صورت زیر بنویسیم:

$P_{n}(k,\rho )=I_{n}(|k|\rho )\,\,\,\,\,\,{\mathrm {or}}\,\,\,\,\ ,\,K_{n}(|k|\rho )\,$

جایی که $I_{n}(z)$ و $K_{n}(z)$ )توابع بسل اصلاح شده اند .

هارمونیک‌های استوانه‌ای برای (k,n) اکنون حاصل ضرب این جواب‌ها هستند و جواب کلی معادله لاپلاس با ترکیب خطی این جواب‌ها به دست می‌آید:

$V(\rho,\varphi,z)=\sum _{n}\int d\left|k\right|\,\,A_{n}(k)P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,$

جایی که $A_{n}(k)$ با توجه به مختصات استوانه ای ثابت هستند و حدود جمع و انتگرالبا شرایط مرزی مسئله تعیین می شود. توجه داشته باشید که انتگرال ممکن است با یک جمع برای شرایط مرزی مناسب جایگزین شود. متعامد بودن $J_n(x)$ اغلب هنگام یافتن راه حلی برای یک مشکل خاص بسیار مفید است. این $\Phi _{n}(\varphi)$ و $Z(k,z)$ توابع اساساً بسط های فوریه یا لاپلاس هستند و مجموعه ای از توابع متعامد را تشکیل می دهند. چه زمانی $P_{n}(k\rho)$ ساده است $J_{n}(k\rho)$ ، متعامد بود $J_n$ ، همراه با روابط متعامد از $\Phi _{n}(\varphi)$ و $Z(k,z)$ اجازه دهید ثابت ها تعیین شوند. [1]

اگر(ایکس)ک $(x)_k$ دنباله ای از صفرهای مثبت است $J_n$ سپس:

$\int _{0}^{1}J_{n}(x_{k}\rho )J_{n}(x_{k}'\rho )\rho \,d\rho ={\frac {1}{ 2}}J_{{n+1}}(x_{k})^{2}\delta _{{kk'}}$ [2]

در حل مسائل، تا زمانی که مقادیر پتانسیل و مشتق آن در سراسر مرزی که فاقد منبع است مطابقت داشته باشند، فضا را می توان به هر تعداد قطعه تقسیم کرد.

مثال: منبع نقطه ای داخل یک لوله استوانه ای رسانا [ ویرایش ]

به عنوان مثال، مشکل تعیین پتانسیل یک منبع واحد واقع در آن را در نظر بگیرید $(\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})$ داخل یک لوله استوانه ای رسانا (به عنوان مثال یک قوطی حلبی خالی) که از بالا و پایین توسط صفحات محدود شده است. $z=-L$ و $z=L$ و در طرفین توسط استولنه $\rho =a$ . [3] (در واحدهای MKS، فرض خواهیم کرد1 $q/4\pi \epsilon _{0}=1$ ). از آنجایی که پتانسیل توسط صفحات روی محور z محدود می شود ، تابع Z(k,z) را می توان تناوبی در نظر گرفت. از آنجایی که پتانسیل باید در مبدا صفر باشد، مقدار را می گیریم $P_{n}(k\rho)$ تابع بسل معمولی باشد $J_{n}(k\rho)$ ، و باید طوری انتخاب شود که یکی از صفرهای آن روی استوانه مرزی قرار گیرد. برای نقطه اندازه گیری زیر نقطه منبع در محور z ، پتانسیل به صورت زیر خواهد بود:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{{nr}}(L+z))\,\,\, \,\,z\leq z_{0}$

جایی که $k_{{nr}}a$ r-امین صفر است $J_{n}(z)$ و از روابط متعامد برای هر یک از توابع:

$A_{{nr}}={\frac {4(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{{nr}} L-z_{0})}{\sinh 2k_{{nr}}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr}}\rho _{0})}{k_{ {nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}\,$

بالاتر از منبع:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{{nr}}(Lz))\,\,\,\, \,z\geq z_{0}$

$A_{{nr}}={\frac {4(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{{nr}} L+z_{0})}{\sinh 2k_{{nr}}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr}}\rho _{0})}{k_{ {nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}.\,$

واضح است که وقتی $\rho =a$ یا $|z|=L$ ، تابع فوق صفر است. همچنین می توان به راحتی نشان داد که این دو تابع از نظر مقدار و مقدار اولین مشتقات خود در مطابقت دارند $z=z_{0}$ .

منبع نقطه ای داخل استولنه [ ویرایش ]

حذف انتهای صفحه (یعنی با نزدیک شدن L به بی نهایت حد را در نظر بگیرید) میدان منبع نقطه ای را در داخل یک استوانه رسانا می دهد:

$V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{r=0}}^{\infty }\,A_{{nr}}J_ {n}(k_{{nr}}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{{-k_{{nr}}|z-z_{0}|}}$

$A_{{nr}}={\frac {2(2-\delta _{{n0}})}{a^{2}}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{{nr }}\rho _{0})}{k_{{nr}}[J_{{n+1}}(k_{{nr}}a)]^{2}}}.\,$

منبع نقطه در فضای باز [ ویرایش ]

با نزدیک شدن شعاع استوانه ( a ) به بینهایت، مجموع صفرهای J n (z) تبدیل به یک انتگرال می شود و میدان یک منبع نقطه ای در فضای بینهایت داریم:

$V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{R}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }d \ چپ|k\راست|\,A_{n}(k)J_{n}(k\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k|z-z_ {0}|}$

$A_{n}(k)=(2-\delta _{{n0}})J_{n}(k\rho _{0})\،$

و R فاصله منبع نقطه تا نقطه اندازه گیری است:

$R={\sqrt {(z-z_{0})^{2}+\rho ^{2}+\rho _{0}^{2}-2\rho \rho _{0}\cos(\ varphi -\varphi _{0})}}.\,$

منبع نقطه در فضای باز در مبدا [ ویرایش ]

در نهایت، وقتی منبع نقطه ای در مبدا باشد، $\rho _{0}=z_{0}=0$

$V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}}=\int _{0}^{\infty } J_{0}(k\rho )e^{{-k|z|}}\,dk.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ اسمایث 1968 ، ص. 185.
↑ Guillopé 2010 .
^ پیکربندی و متغیرها مانند Smythe 1968

منابع [ ویرایش ]

اسمیت، ویلیام آر (1968). الکتریسیته ساکن و دینامیک (ویرایش سوم). مک گراو هیل .
گیلوپه، لوران (2010). "Espaces de Hilbert et fonctions spéciales" (PDF) (به زبان فرانسوی).

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_harmonics

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

هارمونیک های استوانه ای

تعریف [ ویرایش ]

مثال: منبع نقطه ای داخل یک لوله استوانه ای رسانا [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_harmonics

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین

ریاضیات

آموزش ریاضی

هارمونیک های استوانه ای

​

​

تعریف [ ویرایش ]

مثال: منبع نقطه ای داخل یک لوله استوانه ای رسانا [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

​https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_harmonics

​

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_harmonics