قضیه استوکس

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سیزدهم دی ۱۴۰۰ | 15:28

قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید $\سیگما$ یک سطح صاف گرا در R 3 با مرز $\ جزئی \سیگما$ . اگر یک فیلد برداری $\mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ تعریف شده است و دارای مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته در یک ناحیه حاوی $\سیگما$ ، سپس

$\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .$ به طور واضح تر، برابری این را می گوید

${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z }}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\ جزئی y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}P\,\mathrm { d} x+Q\,\mathrm {d} y+R\,\mathrm {d} z{\Bigr )}.\end{تراز شده}}$

چالش اصلی در بیان دقیق قضیه استوکس در تعریف مفهوم مرز است. برای مثال، سطوحی مانند دانه‌های برف کوخ ، به‌خوبی شناخته شده‌اند که مرز ادغام‌پذیر ریمان را نشان نمی‌دهند، و مفهوم اندازه‌گیری سطح در نظریه Lebesgue را نمی‌توان برای سطح غیر لیپسشیتز تعریف کرد . یکی از تکنیک‌های (پیشرفته) این است که به یک فرمول ضعیف و سپس به کارگیری ماشین تئوری اندازه‌گیری هندسی بپردازیم . برای آن رویکرد فرمول coarea را ببینید . در این مقاله، ما به جای یک تعریف ابتدایی تر، بر اساس این واقعیت است که یک مرز را می توان برای زیر مجموعه های کامل بعدی از تشخیص استفاده R 2 .

فرض کنید γ : [ a , b ] → R 2 یک منحنی صفحه جردن صاف تکه ای باشد . منحنی جردن قضیه نشان می دهد که γ تقسیم R 2 به دو جزء، یک جمع و جور و دیگر این است که غیر فشرده. اجازه دهید D نشان دهنده قسمت فشرده باشد. سپس D با γ محدود می شود . در حال حاضر کافی است برای انتقال این مفهوم مرز در امتداد نقشه مداوم به سطح ما در R 3 . گفت: اما ما در حال حاضر چنین نقشه یک دارند پارامتری از Σ .

فرض کنید ψ : D → R 3 صاف است، با Σ = ψ ( D ) . اگر Γ است منحنی فضای تعریف شده توسط Γ ( تی ) = ψ ( γ ( تی )) ، [تبصره 1] پس از آن ما پاسخ Γ مرز Σ ، نوشته شده ∂Σ .

با نماد بالا، اگر F یک میدان برداری صاف در R 3 باشد ، [7] [8]

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {S} .$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی