ریاضیات

5.8
مثال در مختصات قطبی

با هدف الحاق بینش فیزیکی به جواب های مختصات قطبی به معادله لاپلاس، دو نوع مثال جالب توجه است. ابتدا مسائل کلاسیک خاصی هستند که راه حل های ساده ای دارند. دوم، نمونه‌هایی هستند که به رویکرد مودال قابل اجرا نیاز دارند که برآوردن شرایط مرزی دلخواه را ممکن می‌سازد.

استوانه هم پتانسیل در میدان الکتریکی کاربردی یکنواخت در نظر گرفته شده در مثال اول در دسته اول قرار دارد. در حالی که یک نمونه مهم به منبع مطالعات موردی ما اضافه شده است، این مثال همچنین دارای ارزش عملی است زیرا امکان تخمین‌هایی را در سیستم‌های مهندسی پیچیده می‌دهد، شاید میزان تمرکز یک میدان کاربردی روی یک شی استوانه‌ای شکل باشد.

شکل 5.8.1 مرزهای طبیعی در مختصات قطبی ناحیه V را در بر می گیرد .

در کلی ترین مسئله در دسته دوم، پتانسیل های دلخواه بر روی مرزهای مختصات قطبی که یک ناحیه V را در بر می گیرند، اعمال می شوند ، همانطور که در شکل 5.8.1 نشان داده شده است. پتانسیل برهم نهی چهار راه حل است که هر کدام محدودیت پتانسیل را در یکی از مرزها برآورده می کند در حالی که در سه راه دیگر صفر است. در مختصات دکارتی، رویکرد مورد استفاده برای یافتن یکی از این چهار راه‌حل، رویکرد مودال Sec. 5.5، مستقیماً برای سه مورد دیگر اعمال می شود. یعنی در نوشتن جواب ها می توان نقش های x و y را با هم عوض کرد. از سوی دیگر، در مختصات قطبی مجموعه راه حل های مورد نیاز برای نشان دادن پتانسیل تحمیل شده بر روی مرزها در r = a یا r = b با محدودیت های پتانسیل در مرزهای = 0 یا = o متفاوت است . مثال‌های 5.8.2 و 5.8.3 دو نوع راه‌حل مورد نیاز برای تعیین فیلدها را در کلی‌ترین حالت نشان می‌دهند. در مورد دوم، پتانسیل در مجموعه ای از توابع متعامد که سینوس یا کسینوس نیستند، گسترش می یابد. این فرصتی را به وجود می‌آورد که از ویژگی متعامد بودن راه‌حل‌های محصول معادله لاپلاس که در بسیاری از سیستم‌های مختصات دیگر غالب است، قدردانی کنیم.

راه حل های ساده

مثالی که اکنون در نظر گرفته می شود اولین مورد از یک سری مطالعات موردی "سیلندری" است که بر روی همان راه حل های m = 1 ساخته شده است . در فصل بعد، سیلندر به یک دی الکتریک قطبی تبدیل می شود. در فصل 7، رسانایی محدودی خواهد داشت و مبنایی را برای تعیین اینکه یک رسانا باید چقدر "بی نقص" باشد تا مدل هم پتانسیل مورد استفاده در اینجا را توجیه کند، فراهم می کند. در فصل. 8-10، میدان مغناطیسی خواهد بود و استوانه ابتدا کاملاً رسانا، سپس قابل مغناطیسی شدن، و در نهایت پوسته ای با رسانایی محدود خواهد بود. به دلیل سادگی راه‌حل‌های دوقطبی مورد استفاده در این سری از مثال‌ها، در هر مورد می‌توان بر روی فیزیک تمرکز کرد بدون اینکه حواس‌تان به جزئیات ریاضی پرت شود.

مثال 5.8.1. سیلندر هم پتانسیل در یک میدان الکتریکی یکنواخت

یک میدان الکتریکی یکنواخت E a در جهتی عمود بر محور استوانه ای (کاملاً) رسانا اعمال می شود. بنابراین، سطح رسانا، که در r = R است ، یک هم پتانسیل است. هدف تعیین توزیع میدان است که با حضور سیلندر اصلاح شده است.

از آنجا که شرایط مرزی بر روی یک سطح استوانه ای مدور بیان می شود، استفاده از مختصات قطبی طبیعی است. برانگیختگی میدان از «بی‌نهایت» می‌آید، جایی که میدان یکنواخت، با قدر E a و جهت x شناخته می‌شود. از آنجا که راه حل ما باید به این میدان یکنواخت دور از استوانه نزدیک شود، مهم است که در ابتدا تشخیص دهیم که پتانسیل آن، که در مختصات دکارتی -E a x است .

به این باید پتانسیل تولید شده توسط بارهای القا شده بر روی سطح هادی را اضافه کرد تا سطح یک پتانسیل برابر حفظ شود. از آنجا که راه حل ها باید در کل محدوده 0 < < 2 نگه داشته شوند ، فقط مقادیر صحیح ثابت جداسازی m مجاز هستند، یعنی فقط راه حل هایی که در ادواری هستند . اگر بخواهیم تابعی را به (1) اضافه کنیم که پتانسیل را در r = R صفر می کند ، باید مقدار داده شده توسط (1) را در هر نقطه از سطح استوانه لغو کند. دو راه حل در جدول 5.7.1 وجود دارد که وابستگی cos مشابه (1) دارند. ما وابستگی 1/r را انتخاب می‌کنیم زیرا به صورت r به صفر می‌رسد و از این رو پتانسیل را در بی‌نهایتی که قبلاً با (1) داده شده، مختل نمی‌کند. با یک ضریب دلخواه A ، راه حل است

از آنجا که = 0 در r = R ، ارزیابی این عبارت نشان می دهد که شرط مرزی در هر زاویه ارضا می شود اگر

و پتانسیل بنابراین است

معادلات داده شده توسط این عبارت در شکل 5.8.2 نشان داده شده است. توجه داشته باشید که صفحه x = 0 با حذف یک ثابت افزایشی در (1) دارای پتانسیل صفر در نظر گرفته شده است. خطوط میدان نشان داده شده در این شکل از گرفتن گرادیان (4) پیروی می کنند.

شکل 5.8.2 هم پتانسیل ها و خطوط میدان برای هدایت کامل سیلندر در میدان الکتریکی اولیه یکنواخت.

خطوط میدان تمایل به تمرکز روی سطح دارند که در آن = 0 و = . در این مکان ها، فیلد حداکثر و دو برابر فیلد اعمال شده است. اکنون که مسئله مقدار مرزی حل شده است، بار سطحی هادی استوانه ای از شرایط پرش گاوس، (5.3.2) و این واقعیت که هیچ میدانی در داخل استوانه وجود ندارد، ناشی می شود.

در گذشته نگر، شرایط مرزی در سطح استوانه ای دایره ای با افزودن به پتانسیل یکنواخت یک دوقطبی خط جهت دار x برآورده شده است . لحظه آن برای ایجاد میدانی است که میدان مماسی بر روی سطح ناشی از میدان تحمیلی را خنثی کند.

حالت های آزیموتال

مثال قبل موقعیتی را در نظر گرفت که در آن معادله لاپلاس در کل محدوده 0 < < 2 رعایت می شود . دو مثال بعدی نشان می‌دهد که چگونه راه‌حل‌های مختصات قطبی با شرایط ملاقات در مرزهای مختصات قطبی که مکان‌های دلخواه دارند مطابق شکل 5.8.1 سازگار می‌شوند.

مثال 5.8.2. تجزیه و تحلیل مودال در : زمینه های داخل و اطراف گوشه ها

پیکربندی نشان داده شده در شکل 5.8.3، که در آن پتانسیل روی دیواره های ناحیه V در r = b و در = 0 و = o صفر است ، اما v روی یک الکترود منحنی در r = a است ، مختصات قطبی است. مشابه آن چیزی که در بخش دوم در نظر گرفته شده است. 5.5. چه راه حل هایی از جدول 5.7.1 مناسب است؟ ناحیه ای که معادله لاپلاس باید در آن رعایت شود، دایره کاملی را اشغال نمی کند، و از این رو هیچ الزامی وجود ندارد که پتانسیل تابع تک مقداری باشد . ثابت جداسازی m می تواند مقادیر غیر صحیح را در نظر بگیرد.

شکل 5.8.3 منطقه مورد نظر با مرزهای پتانسیل صفر در = 0، = o ، و r = b و الکترود در r = a دارای پتانسیل v است .

ما سعی خواهیم کرد تا با استفاده از راه حل های جداگانه جدول 5.7.1، شرایط مرزی را در سه مرز با پتانسیل صفر برآورده کنیم. از آنجایی که پتانسیل در 0 = صفر است ، شرایط کسینوس و ln(r) حذف می شوند. شرط اینکه پتانسیل نیز در = o صفر باشد ، توابع و ln(r) را حذف می کند . علاوه بر این، این واقعیت که توابع سینوسی باقیمانده باید صفر باشند در = o به ما می گوید که m o = n . راه حل های ستون آخر مناسب نیستند زیرا بیش از یک بار به عنوان تابعی از صفر از صفر عبور نمی کنند . بنابراین، ما به دو راه حل در ستون دوم هدایت می شویم که متناسب با گناه هستند (n / o ) .

در نوشتن این جواب‌ها، r به b نرمال شده‌اند ، زیرا پس از آن با بررسی مشخص می‌شود که چگونه ضرایب A n و B n برای ایجاد پتانسیل صفر در r = b، An = -B n مرتبط هستند .

هر جمله در این سری نامتناهی شرایط سه مرزی را که به پتانسیل صفر محدود شده اند برآورده می کند. اکنون همه اصطلاحات برای برآورده کردن شرایط در مرز "آخرین" استفاده می شوند، جایی که r = a . در آنجا باید پتانسیلی را نشان دهیم که به طور ناگهانی از صفر به v در = 0 می پرد ، در همان v تا = o باقی می ماند و سپس ناگهان از v به صفر می پرد. تعیین ضرایب در (8) که باعث می شود مجموعه ای از توابع سینوسی این شرط مرزی را برآورده کنند مانند (5.5.4) در آنالوگ دکارتی در نظر گرفته شده در Sec. 5.5. پارامتر n (x/a) از Sec. 5.5 اکنون باید با n ( / o ) شناسایی شود . با پتانسیل داده شده توسط (8) که در r = a ارزیابی می شود ، ضرایب باید مانند (5.5.17) و (5.5.18) باشد. بنابراین، برای برآورده کردن "آخرین" شرط مرزی، (8) به توزیع پتانسیل مورد نظر تبدیل می شود.

توزیع پتانسیل و شدت میدان حاصل از این نتیجه بسیار شبیه به ناحیه مقطع مستطیلی است که در شکل 5.5.3 نشان داده شده است. شکل 5.8.3 را ببینید.

در حدی که b 0 است ، پتانسیل داده شده توسط (9) تبدیل می شود

و پیکربندی های نشان داده شده در شکل 5.8.4 را شرح می دهد. اگرچه ناحیه گوه‌ای شکل «تحریف» معقولی از آنالوگ دکارتی آن است، میدان در ناحیه‌ای با گوشه بیرونی ( / o < 1) نیز با (10) نشان داده می‌شود. تا زمانی که عبارت اصلی دارای توان / o > 1 باشد ، عبارت اصلی در گرادیان [با توان ( / o ) - 1 ] در مبدا به صفر نزدیک می شود. این بدان معنی است که میدان در یک گوه با o < در راس خود به صفر نزدیک می شود. با این حال، اگر / o < 1 ، که برای < o < 2 درست است همانطور که در شکل 5.8.4b نشان داده شده است، عبارت اصلی در گرادیان دارای توان ( / o ) - 1 < 0 است ، و از این رو میدان به بی نهایت نزدیک می شود. به عنوان r 0 . نتیجه می گیریم که میدان در همسایگی یک لبه تیز بی نهایت است. این مشاهده درسی برای طراحی اشکال رسانا به منظور جلوگیری از خرابی الکتریکی می آموزد. از لبه های تیز خودداری کنید!

شکل 5.8.4 ناحیه پای شکل با مرزهای پتانسیل صفر در = 0 و = o و الکترود دارای پتانسیل v در r = a . (الف) با زاویه کمتر از 180 درجه، میدان‌ها از ناحیه نزدیک به مبدأ محافظت می‌شوند. (ب) با زاویه بیشتر از 180 درجه، میدان ها تمایل به تمرکز در مبدا دارند.

حالت های شعاعی

حالت‌های نشان‌داده‌شده تا کنون وابستگی‌های سینوسی دارند، و از این رو برهم‌نهی آنها شکل یک سری فوریه را به خود گرفته است. برای برآورده ساختن شرایط مرزی تحمیل شده بر روی صفحات ثابت، مجدداً لازم است که مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها برای معادله لاپلاس داشته باشیم. اینها نشان می‌دهند که چگونه می‌توان از راه‌حل‌های محصول معادله لاپلاس برای ارائه حالت‌های متعامد که سری فوریه نیستند استفاده کرد.

برای برآوردن شرایط مرزی پتانسیل صفر در r = b و r = a ، لازم است که تابع حداقل دو بار از صفر عبور کند. این روشن می کند که راه حل ها باید از آخرین ستون جدول 5.7.1 انتخاب شوند. توابعی که با توابع سینوس و کسینوس متناسب هستند می توانند به همان اندازه با تابع سینوس جابجا شده در فاز (ترکیب خطی از سینوس و کسینوس) متناسب باشند. این تغییر فاز به گونه‌ای تنظیم می‌شود که تابع صفر شود که در آن r = b ، به طوری که وابستگی شعاعی به صورت بیان می‌شود.

و با تنظیم تابع در r = a صفر شود

که در آن n یک عدد صحیح است.

راه‌حل‌هایی که اکنون تعریف شده‌اند را می‌توان روی هم قرار داد تا یک سری مشابه با سری فوریه تشکیل دهد.

برای a/b = 2 ، سه عبارت اول این سری در شکل 5.8.5 نشان داده شده است. آنها شباهت هایی به سینوسی ها دارند اما هندسه قطبی را با داشتن قله ها و گذرگاه های صفر که به سمت مقادیر کم r منحرف شده اند منعکس می کنند .

شکل 5.8.5 توزیع شعاعی سه حالت اول که توسط (13) برای a/b = 2 ارائه شده است . حالت n = 3 وابستگی شعاعی برای پتانسیل نشان داده شده در شکل 5.7.6 است.

با یک تابع وزنی g(r) = r -1 ، این حالت ها متعامد هستند به این معنا که

می توان از معادله دیفرانسیل تعریف کننده R(r) , (5.7.5) و شرایط مرزی نشان داد که اگر ادغام بیش از حاصل ضرب حالت های مختلف باشد، ادغام صفر می شود. اثبات مشابه با آنچه در مختصات دکارتی در Sec ارائه شده است. 5.5.

اکنون مثالی را در نظر بگیرید که در آن از این حالت ها برای برآوردن یک شرط مرزی خاص استفاده می شود.

مثال 5.8.3. تحلیل مودال در r

ناحیه مورد نظر مانند مثال قبلی است. با این حال، همانطور که در شکل 5.8.6 نشان داده شده است، شرایط مرزی پتانسیل صفر در r = a و r = b و در = 0 هستند . مرز "آخرین" اکنون در = o است ، جایی که یک الکترود متصل به منبع ولتاژ پتانسیل یکنواخت v را تحمیل می کند .

شکل 5.8.6 منطقه با مرزهای پتانسیل صفر در r = a، r = b و = 0 . الکترود در = o دارای پتانسیل v است .

شرایط مرزی شعاعی با استفاده از توابع شرح داده شده توسط (13) برای وابستگی شعاعی برآورده می شود. از آنجا که پتانسیل صفر است که در آن = 0 است، استفاده از سینوس هذلولی برای نشان دادن وابستگی راحت است. بنابراین، از راه حل های ستون آخر جدول 5.7.1، ترکیب خطی دوم و چهارم را می گیریم.

استفاده از رویکردی مشابه با آن برای ارزیابی ضرایب فوریه در Sec. 5.5، اکنون از (15) در مرز "آخرین" استفاده می کنیم، که در آن = o و = v ، هر دو طرف را در حالت Rm تعریف شده با (13) و در ضریب وزنی 1/r ضرب می کنیم و در دهانه شعاعی ادغام می کنیم. منطقه

از میان سری نامتناهی سمت راست، شرط متعامد، (14)، تنها عبارت m را انتخاب می کند . بنابراین، معادله را می توان برای A m و m n حل کرد . با جایگزینی u = m ln(r/b)/ln(a/b) ، انتگرال ها را می توان به صورت بسته انجام داد.

تصویری از توزیع های پتانسیل و شدت میدان نشان داده شده توسط (15) و گرادیان منفی آن با "خم کردن" ناحیه مستطیلی نشان داده شده در شکل 5.5.3 به ناحیه منحنی شکل 5.8.6 به تصویر کشیده شده است. نقش y اکنون توسط .

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.8.html