تاریخچه [ ویرایش ]

ژوزف فوریه آنچه را که اکنون قضیه انتگرال فوریه نامیده می شود در رساله Théorie analytique de la chaleur به این شکل ارائه کرد: [8]

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{ -\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha)\ ,}

که مساوی است با معرفی تابع δ به شکل: [9]

\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha)\ .

بعدها، آگوستین کوشی این قضیه را با استفاده از نمایی بیان کرد: [10] [11]

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty } ^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha)\,d\alpha \right)\,dp.}

کوشی خاطرنشان کرد که در برخی شرایط ترتیب ادغام در این نتیجه قابل توجه است (در مقابل قضیه فوبینی ). [12] [13]

همانطور که با استفاده از تئوری توزیع‌ها توجیه می‌شود ، می‌توان معادله کوشی را دوباره مرتب کرد تا شبیه فرمول اولیه فوریه باشد و تابع δ را به صورت

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2 \pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\ راست)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned} }}

که در آن تابع δ به صورت بیان می شود

{\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\, dp\ .}

تفسیر دقیق شکل نمایی و محدودیت‌های مختلف تابع f که برای کاربرد آن ضروری است، طی چندین قرن گسترش یافته است. مشکلات یک تفسیر کلاسیک به شرح زیر توضیح داده شده است: [14]

بزرگترین اشکال تبدیل فوریه کلاسیک یک کلاس نسبتاً باریک از توابع (اصلی) است که می توان آن را به طور موثر محاسبه کرد. یعنی لازم است که این توابع با سرعت کافی به صفر (در همسایگی بینهایت) کاهش یابند تا از وجود انتگرال فوریه اطمینان حاصل شود. برای مثال، تبدیل فوریه توابع ساده ای مانند چند جمله ای به معنای کلاسیک وجود ندارد. گسترش تبدیل فوریه کلاسیک به توزیع ها به طور قابل توجهی کلاس توابع قابل تبدیل را افزایش داد و این بسیاری از موانع را از بین برد.

پیشرفت‌های بیشتر شامل تعمیم انتگرال فوریه، «شروع با نظریه راه‌گشای L 2 پلانچرل (1910)، ادامه با آثار وینر و بوشنر (حدود 1930) و با ادغام در نظریه توزیع‌های ال. شوارتز (1945) بود. "، [15] و منجر به توسعه رسمی تابع دلتای دیراک می شود.

یک فرمول بینهایت کوچک برای یک تابع دلتای تکانه واحد بی نهایت بلند (نسخه بی نهایت کوچک توزیع کوشی ) به صراحت در متنی از آگوستین لوئی کوشی در سال 1827 ظاهر می شود . [16] سیمئون دنیس پواسون این موضوع را در ارتباط با مطالعه انتشار موج در نظر گرفت، همانطور که گوستاو کیرشهوف تا حدودی بعد. کرشهف و Hermann von Helmholtz همچنین تکانه واحد را به عنوان حدی از گاوسیان معرفی کردند ، که همچنین با مفهوم لرد کلوین از منبع گرمای نقطه ای مطابقت دارد. در پایان قرن نوزدهم، الیور هیوساید از سری رسمی فوریه استفاده کردبرای دستکاری تکانه واحد [17] تابع دلتا دیراک به عنوان چنین توسط پل دیراک در مقاله 1927 تفسیر فیزیکی دینامیک کوانتومی [18] معرفی شد و در کتاب درسی خود به نام اصول مکانیک کوانتومی استفاده شد. [3] او آن را تابع دلتا نامید زیرا از آن به عنوان آنالوگ پیوسته دلتای مجزای کرونکر استفاده کرد.

تعاریف [ ویرایش ]

دلتای دیراک را می‌توان به‌عنوان تابعی روی خط واقعی در نظر گرفت که در همه جا صفر است، به جز در مبدا، جایی که بی‌نهایت است.

\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}

و همچنین برای ارضای هویت مقید است

\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.[19]

این صرفا یک توصیف اکتشافی است. دلتای دیراک یک تابع به معنای سنتی نیست زیرا هیچ تابعی که روی اعداد واقعی تعریف شده است این ویژگی ها را ندارد. [20] تابع دلتای دیراک را می توان به طور دقیق یا به عنوان یک توزیع یا به عنوان یک اندازه تعریف کرد.

به عنوان یک معیار [ ویرایش ]

یکی از راه‌های درک دقیق مفهوم تابع دلتای دیراک، تعریف اندازه‌ای به نام اندازه‌گیری دیراک است که زیرمجموعه A از خط واقعی R را به عنوان آرگومان می‌پذیرد و δ ( A ) = 1 را اگر 0 ∈ A ، و δ ( A ) = 0 در غیر این صورت. [21] اگر تابع دلتا به‌عنوان مدل‌سازی یک جرم نقطه ایده‌آل در 0 تصور شود، δ ( A ) جرم موجود در مجموعه A را نشان می‌دهد . سپس می توان انتگرال را در برابر δ تعریف کردبه عنوان انتگرال یک تابع در برابر این توزیع جرم. بطور رسمی، انتگرال لبگ  دستگاه تحلیلی لازم را فراهم می کند. انتگرال لبگ با توجه به اندازه گیری δ را برآورده می کند

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0)

برای همه توابع فشرده پیوسته پشتیبانی شده f . اندازه δ با توجه به معیار Lebesgue مطلقاً پیوسته نیست - در واقع، این یک اندازه گیری مفرد است . در نتیجه، اندازه دلتا هیچ مشتق رادون-نیکودیم (با توجه به اندازه گیری Lebesgue) ندارد - هیچ تابع واقعی برای آن خاصیت

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0)

دارای. [22] در نتیجه، نماد دوم سوء استفاده راحت از نماد است ، و نه یک انتگرال استاندارد ( ریمان یا لبگ ).

به عنوان یک اندازه گیری احتمال در R ، اندازه دلتا با تابع توزیع تجمعی آن مشخص می شود که تابع گام واحد است . [23]

H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}

این بدان معنی است که H ( x ) انتگرال تابع نشانگر تجمعی 1 است (−∞، x ] با توجه به اندازه δ ؛ به معنای واقعی،

{\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (- \infty,x],}

دومی معیار این فاصله است. به طور رسمی تر، δ ((-∞، x ]) بنابراین به طور خاص ادغام تابع دلتا در برابر یک تابع پیوسته را می توان به درستی به عنوان یک انتگرال ریمان-استیلتس درک کرد : [24]

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).

تمام گشتاورهای بالاتر δ صفر هستند. به طور خاص، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور هر دو برابر با یک هستند.

به عنوان توزیع [ ویرایش ]

در تئوری توزیع‌ها ، یک تابع تعمیم‌یافته به خودی خود یک تابع در نظر گرفته نمی‌شود، بلکه فقط در مورد نحوه تأثیرگذاری آن بر سایر توابع در صورت «ادغام» شدن در برابر آنها در نظر گرفته می‌شود. [25] مطابق با این فلسفه، برای تعریف صحیح تابع دلتا، کافی است بگوییم «انتگرال» تابع دلتا در برابر یک تابع آزمایشی به اندازه کافی «خوب»  φ است. توابع تست نیز به عنوان توابع برآمدگی شناخته می شوند . اگر تابع دلتا از قبل به عنوان یک اندازه گیری درک شده باشد، انتگرال Lebesgue یک تابع آزمایشی در برابر آن اندازه گیری انتگرال لازم را ارائه می دهد.

یک فضای معمولی از توابع آزمایشی شامل تمام توابع صاف روی R با پشتیبانی فشرده است که به تعداد مورد نیاز مشتقات دارد. به عنوان یک توزیع، دلتای دیراک یک تابع خطی در فضای توابع آزمایشی است و با [26] تعریف می شود.

{\displaystyle \delta [\varphi ]=\varphi (0)}

 

 

 

 

( 1 )

برای هر تابع تست\varphi.

برای اینکه δ یک توزیع مناسب باشد، باید در یک توپولوژی مناسب در فضای توابع آزمایشی پیوسته باشد. به طور کلی، برای یک تابع خطی S در فضای توابع آزمایشی برای تعریف توزیع، لازم و کافی است که برای هر عدد صحیح مثبت N یک عدد صحیح M N و یک CN ثابت وجود داشته باشد به طوری که برای هر تابع آزمایشی φ ، یکی دارای نابرابری است [27]

{\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\ چپ|\varphi ^{(k)}(x)\right|.}

با توزیع δ ، یکی چنین نابرابری (با C N = 1) با M N = 0 برای همه N دارد. بنابراین δ توزیعی از مرتبه صفر است. علاوه بر این، توزیعی با پشتیبانی فشرده است ( پشتیبانی {0} است).

توزیع دلتا را نیز می توان به چندین روش معادل تعریف کرد. به عنوان مثال، مشتق توزیعی تابع گام هویساید است . این بدان معناست که برای هر تابع آزمون φ ، یک تابع دارد

\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx.

بطور شهودی، اگر ادغام توسط قطعات مجاز بود، انتگرال دوم باید به

\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x) \,dx,

و در واقع، شکلی از ادغام توسط قطعات برای انتگرال استیاتجس مجاز است، و در آن صورت، فرد دارای

-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH( ایکس).

در زمینه تئوری اندازه گیری، معیار دیراک با ادغام باعث توزیع می شود. برعکس، معادله ( 1 ) یک انتگرال دانیل را بر روی فضای تمام توابع پیوسته فشردگی پشتیبانی شده φ تعریف می‌کند که با قضیه نمایش ریز ، می‌توان آن را به عنوان انتگرال لبگ از φ در مورد مقداری رادون نمایش داد.

به طور کلی، هنگامی که از اصطلاح " تابع دلتا دیراک " استفاده می شود، به معنای توزیع است تا اندازه گیری، اندازه گیری دیراک در میان چندین اصطلاح برای مفهوم متناظر در نظریه اندازه گیری است. برخی منابع ممکن است از عبارت توزیع دلتای دیراک استفاده کنند .

کلیات [ ویرایش ]

تابع دلتا را می توان در فضای اقلیدسی n بعدی R n به عنوان اندازه ای تعریف کرد که

\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0})

برای هر تابع پیوسته فشرده پشتیبانی شده f . به عنوان یک معیار، تابع دلتای n بعدی، اندازه گیری حاصل ضرب توابع دلتای 1 بعدی در هر متغیر به طور جداگانه است. بنابراین، به طور رسمی، با x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) یک [1] دارد.

{\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}

 

 

 

 

( 2 )

تابع دلتا را نیز می توان به معنای توزیع دقیقاً در حالت یک بعدی تعریف کرد. [28] با این حال، علی‌رغم استفاده گسترده در زمینه‌های مهندسی، ( 2 ) باید با دقت دستکاری شود، زیرا محصول توزیع‌ها را فقط می‌توان در شرایط کاملاً محدود تعریف کرد. [29] [30]

مفهوم اندازه گیری دیراک در هر مجموعه ای منطقی است. [31] بنابراین، اگر X یک مجموعه باشد، x 0 ∈ X یک نقطه مشخص شده است، و Σ هر جبر سیگما از زیر مجموعه های X است، آنگاه اندازه گیری در مجموعه های A ∈ Σ توسط

\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{موارد}}

اندازه دلتا یا واحد جرم متمرکز در x 0 است.

یکی دیگر از تعمیم های رایج تابع دلتا به یک منیفولد متمایزپذیر است که بیشتر خصوصیات آن به عنوان یک توزیع نیز به دلیل ساختار متمایزپذیر قابل استفاده است . تابع دلتا در یک منیفولد M با مرکز نقطه x 0 ∈ M به صورت توزیع زیر تعریف می شود:

\delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})

 

 

 

 

( 3 )

برای همه توابع با ارزش واقعی صاف و فشرده φ در M . [32] یک مورد خاص رایج این ساختار آن است که در آن M یک مجموعه باز در فضای اقلیدسی R n است.

در یک فضای فشرده محلی هاوسدورف X ، اندازه دلتای دیراک متمرکز در نقطه x ، اندازه گیری رادون مرتبط با انتگرال دانیل ( 3 ) در توابع پیوسته فشرده پشتیبانی شده φ است. [33] در این سطح از کلیت، حساب دیفرانسیل و انتگرال دیگر ممکن نیست، با این حال انواع تکنیک های تجزیه و تحلیل انتزاعی در دسترس است. به عنوان مثال، نقشه برداریx_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}تعبیه مداوم X در فضای اندازه گیری های محدود رادون روی X است که مجهز به توپولوژی مبهم آن است . علاوه بر این، بدنه محدب تصویر X در زیر این تعبیه در فضای اندازه گیری احتمال روی X متراکم است . [34]