نمونه های کار شده قضیه واگرایی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه سیزدهم دی ۱۴۰۰ | 14:54

مثال 1

برای تأیید نوع مسطح قضیه واگرایی برای یک منطقه $آر$ :

$R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},$

و فیلد برداری:

$\mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j}.$

مرز $آر$ دایره واحد است، $سی$ ، که می توان آن را به صورت پارامتری نشان داد:

$x=\cos(s)،\quad y=\sin(s)$

به طوری که $0\leq s\leq 2\pi$ جایی که $س$ واحد طول قوس از نقطه است $s=0$ به نقطه $پ$ بر $سی$ . سپس یک معادله برداری از $سی$ است

$C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j}.$

در یک نقطه $پ$ بر $سی$ :

$P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf { j}$

از این رو،

${\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2 \sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j})\, \mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\ mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{تراز شده }}$

زیرا $M=2y$ ، می توانیم ارزیابی کنیم ${\frac {\partial M}{\partial x}}=0$ ، و به دلیل

$N=5x$ ، ${\frac {\partial N}{\partial y}}=0$ .

بدین ترتیب

$\iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M} {\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.$

مثال 2 [ ویرایش ]

فرض کنید می‌خواستیم شار فیلد برداری زیر را که توسط تعریف شده است، ارزیابی کنیم $\mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}$ محدود به نابرابری های زیر:

$\left\{0\leq x\leq 3\right\}\left\{-2\leq y\leq 2\right\}\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\ }$

با قضیه واگرایی،

$\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.$

اکنون باید واگرایی را تعیین کنیم ${\textbf {F}}$ . اگر $\mathbf {F}$ یک میدان برداری سه بعدی است، سپس واگرایی از ${\textbf {F}}$ از رابطه زیر بدست می آید ${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y }}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$ .

بنابراین، ما می توانیم انتگرال شار زیر را تنظیم کنیم

$من =$ $\اینت$ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,$

به شرح زیر است:

${\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left( {\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d } V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V\end{تراز شده}}$

اکنون که انتگرال را تنظیم کرده ایم، می توانیم آن را ارزیابی کنیم.

${\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\ ,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\ pi +3)\end{تراز شده}}$

کلیات [ ویرایش ]

ابعاد چندگانه [ ویرایش ]

می توان از قضیه کلی استوکس برای معادل سازی انتگرال حجمی n بعدی واگرایی یک میدان برداری F بر روی یک ناحیه U با انتگرال سطح بعدی ( n -1) F بر روی مرز U استفاده کرد :

} $\underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \ Oint _{\ U جزئی}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S$

این معادله به عنوان قضیه واگرایی نیز شناخته می شود.

وقتی n = 2 باشد ، این معادل قضیه گرین است .

هنگامی که n = 1 , به ادغام توسط قطعات کاهش می یابد .

فیلدهای تانسور [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: میدان تانسور

نوشتن قضیه با نماد انیشتین :

$\iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S$

suggestively، به جای میدان برداری F با اختلاف طبقه N میدان تانسوری T ، این می تواند به کلی: [15]

$\iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}} }\mathrm {d} V=$ $\اینت$ $\scriptstyle S$ $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.$

که در هر طرف، انقباض تانسور حداقل برای یک شاخص رخ می دهد. این شکل از قضیه هنوز به صورت 3 بعدی است، هر شاخص مقادیر 1، 2 و 3 را می گیرد. می توان آن را بیشتر به ابعاد بالاتر (یا پایین تر) تعمیم داد (به عنوان مثال به فضازمان 4 بعدی در نسبیت عام [16] ).

همچنین ببینید [ ویرایش ]

قضیه کلوین-استوکس

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی