میدان های برداری در مختصات استوانه ای و کروی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه نهم دی ۱۴۰۰ | 7:7

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مختصات کروی ( R ، θ ، φ ) به طور معمول در استفاده فیزیک : فاصله شعاعی R ، زاویه قطبی θ ( تتا )، و زاویه سمتی φ ( فی ). نماد ρ ( rho ) اغلب به جای r استفاده می شود .

توجه: این صفحه از نمادهای فیزیک رایج برای مختصات کروی استفاده می کند که در آن $تتا$ زاویه بین محور z و بردار شعاع است که مبدا را به نقطه مورد نظر متصل می کند، در حالی که $\phi$ زاویه بین طرح بردار شعاع بر روی صفحه xy و محور x است. تعاریف متعدد دیگری نیز در حال استفاده است، بنابراین باید در مقایسه منابع مختلف دقت کرد. [1]

فهرست

سیستم مختصات استوانه ای [ ویرایش ]

فیلدهای برداری [ ویرایش ]

بردارها در مختصات استوانه ای با ( ρ , φ , z ) تعریف می شوند که در آن

ρ طول بردار پیش بینی شده بر روی صفحه xy است ،
φ زاویه بین طرح بردار بر روی صفحه xy (یعنی ρ ) و محور x مثبت (0 ≤ φ < 2 π ) است.
z مختصات z منظم است .

( ρ , φ , z ) در مختصات دکارتی توسط:

${\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\ \operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,$

یا برعکس توسط:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix }}.$

هرمیدان برداری را می توان بر حسب بردارهای واحد به صورت زیر نوشت:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}$

بردارهای واحد استوانه ای با بردارهای واحد دکارتی به صورت زیر مرتبط هستند:

${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$

نکته: ماتریس یک ماتریس متعامد است، یعنی معکوس آن به سادگی جابجایی آن است .

مشتق زمانی یک میدان برداری [ ویرایش ]

برای اینکه بفهمیم میدان برداری A در زمان چگونه تغییر می کند، باید مشتقات زمانی را محاسبه کرد. برای این منظور از نماد نیوتن برای مشتق زمان ( ${\dot {{\mathbf {A}}}}$ ). در مختصات دکارتی این به سادگی است:

${\dot {{\mathbf {A}}}}={\dot {A}}_{x}{\hat {{\mathbf {x}}}}+{\dot {A}}_{y} {\hat {{\mathbf {y}}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {{\mathbf {z}}}}$

با این حال، در مختصات استوانه ای این می شود:

${\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\ کلاه {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\ boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}} }$

مشتقات زمانی بردارهای واحد مورد نیاز است. آنها توسط:

${\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{ \dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf { z} }}}&=0\end{تراز شده}}$

بنابراین مشتق زمانی ساده می شود:

${\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi } }\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}$

مشتق بار دوم از یک میدان برداری [ ویرایش ]

مشتق بار دوم در فیزیک مورد توجه است ، زیرا در معادلات حرکت برای سیستم های مکانیکی کلاسیک یافت می شود. دومین مشتق زمانی یک میدان برداری در مختصات استوانه ای به صورت زیر بدست می آید:

$\mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol { \hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z }$

برای درک این عبارت، A جایگزین P می شود ، جایی که P بردار است ( ρ ، θ ، z ).

این به این معنی است که $\mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}}$ .

پس از تعویض، نتیجه داده می شود:

${\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2 }\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right )+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}$

در مکانیک به اصطلاحات این عبارت می گویند:

${\begin{aligned}{\ddot {\rho }}\mathbf {\hat {\rho }} &={\mbox{central outward acceleration}}\\-\rho {\dot {\phi } }^{2}\mathbf {\hat {\rho }} &={\mbox{شتاب مرکزی}}\\\rho {\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}& ={\mbox{شتاب زاویه‌ای}}\\2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{اثر کوریولیس}} \\{\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} &={\mbox{z-acceleration}}\end{تراز شده}}$

همچنین ببینید: نیروی مرکزگرا ، شتاب زاویه ای ، و اثر کوریولیس

سیستم مختصات کروی [ ویرایش ]

فیلدهای برداری [ ویرایش ]

بردارها در مختصات کروی با ( r ، θ ، φ )، که در آن تعریف می شوند

r طول بردار است،
θ زاویه بین محور Z مثبت و بردار مورد نظر (0 ≤ θ ≤ π ) است، و
φ زاویه بین طرح بردار بر روی صفحه xy و محور X مثبت است (0≤ φ < 2 π ).

( r , θ , φ ) در مختصات دکارتی توسط:

${\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{ 2}}}\\\arccos(z/r)\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi،$

یا برعکس توسط:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \ \r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

هرمیدان برداری را می توان بر حسب بردارهای واحد به صورت زیر نوشت:

$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi } }}$

بردارهای واحد کروی به وسیله بردارهای واحد دکارتی مرتبط هستند:

${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end {bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat { y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$

نکته: ماتریس یک ماتریس متعامد است، یعنی معکوس آن به سادگی ترانهاده آن است .

بنابراین، بردارهای واحد دکارتی با بردارهای واحد کروی مرتبط هستند:

${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin {bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}$

مشتق زمانی یک میدان برداری [ ویرایش ]

برای اینکه بفهمیم میدان برداری A در زمان چگونه تغییر می کند، باید مشتقات زمانی را محاسبه کرد. در مختصات دکارتی این به سادگی است:

${\mathbf {{\dot A}}}={\dot A}_{x}{\mathbf {{\hat x}}}+{\dot A}_{y}{\mathbf {{\hat y }}}+{\dot A}_{z}{\mathbf {{\hat z}}}$

با این حال، در مختصات کروی این می شود:

$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat { r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }} }}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}$

مشتقات زمانی بردارهای واحد مورد نیاز است. آنها توسط:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }} {\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat { \theta }}}\end{تراز شده}}$

بنابراین مشتق زمانی می شود:

$\mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left ({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right )$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_fields_in_cylindrical_and_spherical_coordinates

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی