چند جمله‌ای لژاندر

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه سیزدهم مرداد ۱۴۰۱ | 1:9

چند جمله‌ای لژاندر ( پس از آدرین-ماری لژاندر )، که توابع کروی ناحیه‌ای نیز نامیده می‌شوند، چند جمله‌ای خاص هستند که روی بازه $[-1،1]$ قرار دارند.یک سیستم متعامد از توابع را تشکیل می دهند. آنها راه حل های خاص معادله دیفرانسیل لژاندر هستند . چند جمله ای های لژاندر نقش مهمی در فیزیک نظری به ویژه در الکترودینامیک و مکانیک کوانتومی و همچنین در زمینه فناوری فیلتر با فیلترهای لژاندر دارند.

فهرست

معادله دیفرانسیل و چند جمله ای [ ویرایش | ویرایش منبع ]

معادله دیفرانسیل لژاندر [ ویرایش | ویرایش منبع ]

معادله دیفرانسیل لژاندر

$\left(1-x^{2}\right)\,y''(x)-2x\,y'(x)+n(n+1)\,y(x)=0$

همچنین می توان به صورت یک معادله دیفرانسیل خطی معمولی مرتبه دوم در فرم نوشت

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left(1-x^{2}\right)\,y'(x)\right]+n (n+1)\,y(x)=0$

برای $x \ در [-1,1]$ و $n \ در \N_0$ در حال نمایندگی

این یک مورد خاص از معادله دیفرانسیل Sturm-Liouville است

$-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left((1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm { d} x}}\right)=n(n+1)y.$

جواب کلی این معادله دیفرانسیل است

$y(x)=A\,P_{n}(x)+B\,Q_{n}(x)$

با دو تابع مستقل خطی $P_n(x)$ و $Q_n(x)$ . یکی چند جمله ای های لژاندر را می نامد $P_n(x)$ از این رو همچنین به عنوان توابع لژاندر از نوع 1 و $Q_n(x)$ به عنوان توابع لژاندر از نوع دوم، زیرا اینها دیگر چند جمله ای نیستند.

علاوه بر این، یک معادله دیفرانسیل لژاندر تعمیم یافته وجود دارد که راه حل های آن چند جمله ای های لژاندر مرتبط نامیده می شوند .

اولین چند جمله ای ها [ ویرایش | ویرایش منبع ]

شش چند جمله ای اول لژاندر

اولین چند جمله ای های لژاندر عبارتند از:

$P_0(x) = 1\,$

$P_1(x) = x\,$

$P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)$

$P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)$

$P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

$P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

$P_6(x) = \frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$

که $n$ چند جمله ای -te Legendre

$P_n(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k \frac{(2n - 2k)! \ }{(nk)! \ (n-2k)! \k! \ 2^n} x^{n-2k}$

با براکت گاوس

$\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor = \begin{cases} \frac{n}{2} & n \ \text{ even}\\ \frac{n-1}{2} & n \ \متن{فرد} \پایان{موارد}$

که $n$ -te Legendre چند جمله ای دارای درجه $n$ است و تمام شده است ${\mathbb Q}[x]$ ، یعنی یعنی ضرایب عقلانی دارد. اشکال مختلفی برای نمایش چند جمله ای های لژاندر وجود دارد.

ساخت چند جمله ای های متعامد [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای یک فاصله زمانی $I = [a,b]$ و یک تابع وزن بر روی آن داده شده است $w(x)$ یک نتیجه است $(P_n)$ از چند جمله ای های واقعی $P_n\in\R[X]$ متعامد در صورتی که شرط عمودی را برآورده کنند

$\int \limits _{a}^{b}w(x)\,P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,\mathrm {d} x=0$

برای همه $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ با $m\neq n$ برآورده می کند.

برای فاصله $I = [-1,1]$ همراه با ساده ترین توابع وزن $w(x)=1$ چنین چندجمله‌ای متعامد را می‌توان با استفاده از روش متعامدسازی گرام اشمیت با شروع از تک جمله‌ها محاسبه کرد. $(x^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ به صورت تکراری تولید شود. چند جمله ای های لژاندر هنگام انجام کارهای اضافی به دست می آیند $P_n(1) = 1$ مورد نیاز است.

خواص [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فرمول رودریگز [ ویرایش | ویرایش منبع ]

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d } x^{n}}}{\bigg (}(x^{2}-1)^{n}{\bigg )}$

فرمول رودریگز را می توان با فرمول فا دی برونو ارزیابی کرد و دوباره شکل صریح آن را به دست آورد. $n$ -ام چند جمله ای لژاندر.

نمایش انتگرالی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای همه $x \in \mathbb{C} \setminus \{+1, -1\}$ قابل اجرا است

$P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}} \cos \varphi \right)^{n}\,\mathrm {d} \varphi$

فرمول های بازگشتی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فرمول های بازگشتی زیر برای چند جمله ای های لژاندر اعمال می شود:

${\begin{تراز شده}(n+1)P_{{n+1}}(x)&=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{{n-1}}(x)\, \,\,\,\,\quad \quad (n=1,2,\ldots ;P_{0}=1;P_{1}=x)\\(x^{2}-1){\frac {{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}x}}P_{n}(x)&=nxP_{n}(x)-nP_{{n-1}}(x)\end {هم راستا}}$

اولین فرمول بازگشتی را می توان با استفاده از جایگزینی نوشت $n'=n+1$ به روش زیر که معمولاً یافت می شود:

$nP_{{n}}(x)=(2n-1)xP_{{n-1}}(x)-(n-1)P_{{n-2}}(x)\,\,\,\ ,\,\qquad (n=2,3,\ldots ;P_{0}=1;P_{1}=x)$

با اعمال قانون اشتقاق برای عبارات از نوع $y = x^n$ با $y'=nx^{n-1} = nx^{-1}y$ ، به ترتیب. $y^{(m)} = (n-m+1)x^{-1}y^{(m-1)}$ نمایش بازگشتی زیر از چند جمله‌ای‌های لژاندر نتیجه می‌گیرد که مشتقات این چند جمله‌ای را نیز در نظر می‌گیرد:

$(nm)P_{{n}}^{{(m)}}(x)=(2n-1)xP_{{n-1}}^{{(m)}}(x)-(n-1 +m)P_{{n-2}}^{{(m)}}(x)\,\,\,\,\,\qquad (n>1;\,\,m=0\ldots n- 1)$

شرایط اولیه هستند $P_{m}^{{(m)}}(x)={\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}$ و.

در $m=0$ فرمول داده شده در بالا با شرایط اولیه آن دوباره نتیجه می دهد.

سیستم کامل متعامد [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فضای هیلبرت را در نظر بگیرید $V:= L^2([-1,1]؛ \R)$ مربع قابل انتگرال گیری در $[-1،1]$ توابع با ارزش واقعی مجهز به ضرب اسکالر تعریف شده است

$\langle f,g\rangle =\int _{{-1}}^{1}f(x)g(x){\mathrm{d}}x$ .

خانواده $(P_n)_n$ چند جمله ای لژاندر تشکیل می شود $(V، \langle\cdot،\cdot\rangle)$ یک سیستم متعامد کامل، بنابراین آنها یک مورد خاص از چند جمله ای متعامد هستند . اگر اینها نرمال شوند، یک سیستم کامل متعارف $V$ را تشکیل می دهند.

اعمال می شود

$\int \limits _{{-1}}^{{1}}P_{n}(x)P_{m}(x)\,{\mathrm{d}}x={\frac {2}{2n } +1}}\delta _{{nm}}$ ،

به موجب آن $\delta_{nm}$ به نام دلتای کرونکر کامل بودن به این معنی است که هر تابع $f\in v$ در از $\langle\cdot,\cdot\rangle$ توپولوژی هنجار تولید شده را می توان با توجه به چند جمله ای های لژاندر "توسعه" کرد:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n \, P_n(x)$

با ضرایب انبساط

$c_{n}={\frac {2\,n+1}{2}}\,\int \limits _{{-1}}^{1}f(x)\,P_{n}(x) \,{\text{d}}x.$

در ادبیات فیزیکی یا فنی، کامل بودن اغلب به عنوان یک معادله توزیع به صورت زیر نوشته می شود :

$\sum_{n=0}^\infty \frac{2\,n+1}{2} \, P_n(x') \, P_n(x) = \delta(x'-x)$ ،

به موجب آن $\دلتا$ توزیع دلتای دیراک است . چنین معادله توزیعی همیشه باید به گونه ای خوانده شود که هر دو طرف این معادله را بتوان برای توابع آزمایشی اعمال کرد. اعمال سمت راست برای چنین تابع آزمایشی $x\mapsto f(x)$ در، بنابراین شما دریافت کنید $f(x')$ . برای استفاده از سمت چپ باید طبق تعریف با $f(x)$ ضرب و سپس دوباره $ایکس$ ادغام کردن اما پس از آن دقیقا فرمول بسط بالا (با $ایکس'$ بجای $ایکس$ ). بنابراین متعامد بودن و کامل بودن را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت:

متعامد بودن: $\langle P_n، P_m \رنگ = 0$ برای $m\neq n$ .
کامل بودن: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{2}\langle f,P_n\rangle \, P_n(x)$ برای همه $f\in L^2 ([-1,1]; \R)$ (به معنای $L^{2}$ -همگرایی).

ریشه ها [ ویرایش | ویرایش منبع ]

$P_n(x)$ در فاصله $I = [-1,1]$ دارد دقیقا $n$ صفرهای ساده آنها در مورد منشاء متقارن هستند، زیرا چند جمله ای های لژاندر یا زوج هستند یا فرد. بین دو صفر مجاور از $P_n(x)$ دقیقا یک صفر از $P_{n-1}(x)$ . در چه نسبتی صفر از $P_{n-1}(x)$ فاصله بین دو صفر از $P_n(x)$ تقسیم می کند، یا بالعکس به جز قسمت بیرونی $P_n(x)$ ، بسیار متغیر است.

تعیین ریشه‌های چندجمله‌ای لژاندر یک کار متداول در ریاضیات عددی است ، زیرا آنها نقش اصلی را در مربع‌سازی گاوس-لژاندر یا بسط توابع «دلخواه» بر حسب چندجمله‌ای ذکر شده در «سیستم کامل متعامد» بازی می‌کنند. جداول زیادی برای این کار وجود دارد، اما استفاده از آنها اغلب با ناراحتی همراه است، زیرا تعداد زیادی جداول با دقت مناسب باید برای یک واکنش انعطاف پذیر در دسترس باشد. هنگام جستجوی صفرها، آگاهی از فاصله زمانی تنها ارزش محدودی در انتخاب یک شروع تکرار دارد، به خصوص که دانش صفرهای چند جمله ای دیگر نیز مورد نیاز است. یکی با افزایش $n$ تقریب دقیق تر $ک$ -صفر $x_{k}$ از جانب $P_n(x)$ داده شده توسط: [1] [2]

$x_{k}\approx \cos \left(\pi \,{\frac {4k-1}{4n+2}}\right),\quad k=1,\ldots ,n.$

مثلا $P_{10}(x)$ بنابراین همه صفرها حداقل تا دو رقم اعشار با خطاهای بین تخمین زده می شوند $0.00102$ و $0.00016$ ، در حالی که کوچکترین فاصله صفر از $P_{9}(x)$ فقط $0{،}13$ است. در $P_{20}(x)$ در حال حاضر سه رقم اعشار امن هستند، با خطاهای بین $0.00028$ و $0.00002$ ، در حالی که بهترین تودرتو از طریق $P_{19}(x)$ فقط $0.032$ است. حداکثر خطای تخمین برای $P_{200}(x)$ تنهاست $0.0000031$ برای دو پنجم صفر از خارج، مقدار دقیق آنها با $0.99722851428\dots$ آغاز می شود.

با چنین مقدار اولیه و دو "فرمول بازگشتی" اول ، هم مقدار تابع و هم مشتق آن را می توان در یک محاسبه تعیین کرد. با استفاده از روش نیوتن ، همه به جز دو صفر بیرونی را می توان با همگرایی بیشتر از درجه دوم یافت، زیرا صفرها در مجاورت نقاط عطف قرار دارند. دو صفر بیرونی "فقط" به صورت درجه دوم همگرا می شوند، i. اچ. فاصله اولیه تا صفر $0.00102$ در ابتدا تقریباً پس از یک تکرار کاهش می یابد $0.00102^{2}$ ، سپس بالا $0.00102^{4}.0.00102^{8}$ و $0.00102^{{16}}$ .

تخمین داده شده بخشی از یک الگوریتم بسیار کوتاه است که تمام ریشه های یک چند جمله ای لژاندر و همچنین وزن های مناسب برای ربع گاوس-لژاندر را ارائه می دهد.

خصوصیات عمومی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای هر $n\in \mathbb {N}$ و هر کدام $x \ در [-1,1]$ قابل اجرا است:

${\begin{aligned}&P_{n}(1)=1\\&P_{n}(-x)=(-1)^{n}\,P_{n}(x)\\&P_{ 2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}}\\ &P_{2n+1}(0)=0\\&P'_{n}(0)=nP_{n-1}(0)\end{تراز شده}}$

تابع تولید [ ویرایش | ویرایش منبع ]

برای همه $x\in \mathbb {R}$ ، $z \in \mathbb{C}$ ، $|z| < 1$ قابل اجرا است

$(1 - 2xz + z^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n\ .$

سری پاور در سمت راست دارای برای $-1 ≤ x ≤ +1$ شعاع همگرایی 1.

کارکرد $z \mapsto (1 - 2xz + z^2)^{-1/2}$ بنابراین به عنوان تابعی از چندجمله ای های لژاندر استفاده می شود $P_{n}$ تعیین شده است.

اصطلاحی که اغلب در فیزیک وجود دارد $1/|\vec{x}-\vec{x}\,'|$ (به عنوان مثال در پتانسیل های گرانش نیوتنی یا الکترواستاتیک ، انبساط چند قطبی ) بنابراین می توان به یک سری توان برای $\tfrac{|\vec{x}\,'|}{|\vec{x}|}=\tfrac{r\,'}{r}<1$ :

${\begin{aligned}{\frac {1}{|{\vec {x}}-{\vec {x}}\,'|}}&={\frac {1}{\sqrt { {\vec {x}}\,^{2}-2{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\,'+{\vec {x}}\,'^{2}} }}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr\,'\cos \alpha +r\,'^{2}}}}={\frac {1}{r{\ sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \alpha +({\frac {r'}{r}})^{2}}}}}\\&={\frac { 1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r\,'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \ آلفا )\end{تراز شده}}$

توابع لژاندر نوع دوم [ ویرایش | ویرایش منبع ]

پنج تابع اول لژاندر از نوع دوم

فرمول های بازگشتی چند جمله ای های لژاندر برای توابع لژاندر نوع دوم نیز اعمال می شود، به طوری که می توان آنها را به طور تکراری با مشخص کردن مورد اول تعیین کرد:

$Q_{0}(x)={\frac {1}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=\operatorname {artanh}(x )$

$Q_{1}(x)={\frac {x}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-1=x\operatorname {artanh }(x)-1$

$Q_{2}(x)={\frac {3\,x^{2}-1}{4}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\راست )-{\frac {3\,x}{2}}={\frac 32}\left(\left(x^{2}-{\frac 13}\right)\operatorname {artanh}(x)- x\راست)$

$Q_3(x) = \frac{5\,x^3 - 3\,x}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \راست) - \frac{5 \,x^2}{2} + \frac{2}{3}$

در اینجا، شاخه اصلی باید برای لگاریتم استفاده شود ، که تکینگی ها را حذف می کند $x=\pm 1$ و در امتداد برش های شاخه [3] در صفحه مختلط $(-\infty,-1)$ و $(1،\infty)$

حوزه های کاربردی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

از جمله چند جمله ای لژاندر برای شبیه سازی کره های کروی، به عنوان مثال برای تعیین زاویه تیلور در مخروط تیلور ، که اساس هندسه در الکتروریسی است، استفاده می شود.

پیوندهای وب [ ویرایش | ویرایش منبع ]

Eric W. Weiststein : Legendre Polynomial . در: MathWorld (انگلیسی).
JB Calvert: Legendre Polynomials . (انگلیسی)

منبع

https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom#Legendresche_Differentialgleichung

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی