7-هارمونیک های کروی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه دوازدهم دی ۱۴۰۲ | 14:52

[ویژگی های تقارن [ ویرایش

هارمونیک های کروی دارای خواص عمیق و پیامدی تحت عملیات وارونگی فضایی (پاریتی) و چرخش هستند.

برابری [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: برابری (فیزیک)

هارمونیک های کروی برابری مشخصی دارند. یعنی از نظر وارونگی در مورد مبدا یا زوج هستند یا فرد. وارونگی توسط عملگر نشان داده می شود $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ . سپس، همانطور که از بسیاری جهات می توان دید (شاید به سادگی از تابع تولید هرگلوتز)، با $\mathbf {r}$ بردار واحد بودن

$Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r}).$

از نظر زوایای کروی، برابری یک نقطه را با مختصات تبدیل می کند $\{\theta,\varphi \}$ به $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ . بیانیه برابری هارمونیک های کروی پس از آن است

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{ \ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$

(این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: چند جمله ای های لژاندر + m را به دست می دهند و از تابع نمایی m داریم ، با هم برای هارمونیک های کروی برابری .)

برابری برای هارمونیک های کروی حقیقی و برای هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر همچنان برقرار است: اعمال بازتاب نقطه ای به هارمونیک کروی درجه علامت را با ضریب تغییر می دهد .

چرخش ها [ ویرایش ]

چرخش یک تابع کروی حقیقی با m = 0 و = 3 . ضرایب برابر با ماتریس های ویگنر D نیستند، زیرا توابع حقیقی نشان داده شده اند، اما می توان با تجزیه مجدد توابع مختلط به دست آورد.

یک چرخش را در نظر بگیریدآر $\mathcal R$ در مورد مبدایی که بردار واحد را ارسال می کند $\mathbf {r}$ به" ${\mathbf r}'$ . تحت این عملیات، هارمونیک کروی درجه $\ خوب$ و سفارش دهید $متر$ تبدیل به یک ترکیب خطی از هارمونیک های کروی با همان درجه می شود. به این معنا که،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^ {m'}({\mathbf {r} })،$

جایی که $A_{mm'}$ یک ماتریس از نظم است $(2\ell +1)$ که به چرخش بستگی داردآر $\mathcal R$ . با این حال، این روش استاندارد بیان این ویژگی نیست. به روش استانداردی که شخص می نویسد،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell [D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} })،$

جایی که $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ مزدوج مختلط یک عنصر از ماتریس D ویگنر است . به ویژه زمانی که" ${\mathbf r}'$ هست یک $\phi _{0}$ با چرخش آزیموت ما اتحاد را بدست می آوریم،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0 }}.$

رفتار چرخشی هارمونیک‌های کروی شاید ویژگی اصلی آنها از دیدگاه نظریه گروه باشد. این $Y_{\ell }^{m}$ مدرک تحصیلی $\ خوب$ یک مجموعه پایه از توابع برای نمایش غیرقابل تقلیل گروه SO(3) بعد ارائه می کند $(2\ell +1)$ . بسیاری از حقایق در مورد هارمونیک های کروی (مانند قضیه جمع) که به سختی با استفاده از روش های تحلیل اثبات می شوند، با استفاده از روش های تقارن، اثبات های ساده تر و اهمیت عمیق تری به دست می آورند.

بسط هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی لاپلاس: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. سی2(اس2) $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ . در کره واحداس2 $S^{2}$ ، هر تابع قابل انتگرال مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ بنابراین می توان به عنوان یک ترکیب خطی از این موارد گسترش داد:

$f(\theta,\varphi)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m} \,Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi).$

این بسط به معنای همگرایی میانگین مربع است - همگرایی در L 2 کره - که به این معناست که

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$

ضرایب انبساط مشابه ضرایب فوریه هستند و با ضرب معادله فوق در مزدوج مختلط یک هارمونیک کروی، انتگرال در زاویه جامد Ω، و استفاده از روابط متعامد فوق به دست می آیند. این به شدت توسط نظریه فضایی پایه هیلبرت توجیه می شود. در مورد هارمونیک های متعارف، این به دست می دهد:

$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d \Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{ \ell }^{m*}(\theta،\varphi).$

اگر ضرایب به اندازه کافی سریع در کاهش یابد - برای مثال، به صورت نمایی - آنگاه سری نیز به طور یکنواخت به f همگرا می شود .

یک تابع قابل انتگرال مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ همچنین می تواند از نظر هارمونیک های حقیقی گسترش یابد: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ در بالا به عنوان جمع

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_ {\ell m}(\theta،\varphi).$

همگرایی این سری دوباره در همان معنا وجود دارد، یعنی هارمونیک های کروی حقیقی: $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ . مزایای بسط از نظر توابع هارمونیک حقیقی $Y_{\ell m}$ این است که برای توابع حقیقی است: $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ ضرایب انبساط $f_{\ell m}$ تضمین شده است که حقیقی هستند، در حالی که ضرایب آنها $f_{\ell }^{m}$ در گسترش آنها از نظر $Y_{\ell}^m$ (با در نظر گرفتن آنها به عنوان توابع: $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ ) آن خاصیت را ندارند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی