ادامه نظریه اشتورم-لیوویل

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم تیر ۱۳۹۹ | 22:28

کاربرد معادلات دیفرانسیل جزئی [ ویرایش ]

حالتهای عادی [ ویرایش ]

برخی از معادلات دیفرانسیل جزئی با کمک تئوری SL قابل حل هستند. فرض کنید ما به حالت های ارتعاشی یک غشای نازک ، که در یک قاب مستطیل شکل برگزار می شود ، 0 ≤ x ≤ L 1 ، 0 ≤ y ≤ L 2 علاقه مند هستیم . معادله حرکت برای جابجایی غشای عمودی ، W ( x ، y ، t ) توسط معادله موج داده شده است :

$\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} W} {\ جزئی y ^ {2}}} = { \ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ جزئی ^ {2} W} {\ جزئی t ^ {2}}}.$

روش جداسازی متغیرها پیشنهاد می کند که ابتدا به دنبال راه حلهای فرم ساده W = X ( x ) × Y ( y ) × T ( t ) باشید . برای چنین عملکردی W معادله دیفرانسیل جزئی تبدیل می شودX ″/ایکس + Y "/Y = 1/ج 2 T ″/تی. از آنجا که سه اصطلاح این معادله توابع x ، y ، t به طور جداگانه است ، آنها باید ثابت باشند. به عنوان مثال ، اصطلاح اول X X = λX را برای λ ثابت ثابت می دهد . شرایط مرزی ("در یک قاب مستطیل شکل") در صورت x = 0 ، L 1 یا y = 0 ، L 2 W = 0 می باشد و ساده ترین مشکلات ویژه مقادیر ویژه SL را مانند مثال ، و ارائه "راه حل های حالت عادی" تعریف می کند. برای W با وابستگی زمانی هارمونیک ،

$W _ {n mn}} (x، y، t) = A _ {n mn}} \ sin \ left ({\ frac \ m \ pi x {L_ {1}}} \ Right) \ sin \ left ( \ frac {n \ pi y {{L_ {2}} right \ Right) \ cos \ left (\ omega _ {{mn}} t \ Right)$

جایی که m و n عدد صحیح غیر صفر هستند ، A mn ثابتهای دلخواه هستند ، و

$\ omega _ {n mn}} ^ {2} = c ^ {2} \ left ({\ frac {m ^ {2} \ pi ^ {2}} {L_ {1} ^ {2}}} + { \ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L_ {2} ^ {2}}} \ درست).$

توابع W mn مبنایی را برای فضای هیلبرت راه حل (تعمیم یافته) معادله موج ایجاد می کند. این است که، یک راه حل دلخواه W را می توان به یک جمع از این حالت، که در فرکانس های فردی خود ارتعاش تجزیه ω MN . این نمایندگی ممکن است به مبلغ بی نهایت همگرا نیاز داشته باشد .

معادله خطی مرتبه دوم [ ویرایش ]

برای مرتبه دوم خطی در یک بعد مکانی و مرتبه اول در زمان فرم:

$\ displaystyle f (x) \ frac {\ جزئی ^ {2} u} {\ جزئی x ^ {2}}} + g (x) \ frac {\ جزئی جزئی} {\ جزئی x}} + h (x) تو = {\ frac {\ جزئی تو u {\ جزئی t}} + k (t) تو ،$

${\ displaystyle u (a، t) = u (b، t) = 0، \ qquad u (x، 0) = s (x).}$

ما با جدا کردن متغیرها ، فرض می کنیم

${\ displaystyle u (x، t) = X (x) T (t).$

سپس معادله دیفرانسیل جزئی جزئی فوق ما ممکن است به شرح زیر باشد:

$\ frac {{\ hat L}} X (x) {X (x)}} = {\ frac {{\ hat hat M}} T (t)} {T (t)}$

جایی که

$\ displaystyle \ hat {L}} = f (x) \ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + g (x) {\ frac \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} + h (x)، \ qquad {\ hat hat M}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} k + k (t).$

از آنجا که با تعریف ، L̂ و X ( x ) مستقل از زمان t و M̂ و T ( t ) از موقعیت x مستقل هستند ، بنابراین هر دو طرف معادله فوق باید برابر با یک ثابت باشند:

$\ displaystyle \ hat {L}} X (x) = \ lambda X (x)، \ qquad X (a) = X (b) = 0، \ qquad {\ hat {M}} T (t) = \ lambda T (t).$

اولین بار از این معادلات باید به عنوان یک مشکل استورم-لیوویل از نظر تابع ویژه حل شود X N ( X ) و مقادیر ویژه λ N . دومین این معادلات پس از مشخص شدن ارزشهای ویژه می توانند به صورت تحلیلی حل شوند.

$\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} T_ {n} (t) = {\ bigl (} \ lambda _ {n} -k (t) {\ bigr) } T_ {n} (t)$

${\ displaystyle T_ {n} (t) = a_ {n} \ exp \ left (\ lambda _ {n} t- \ int _ {0} ^ {t} k (\ tau) \، \ mathrm {d \ tau \ درست)$

${\ displaystyle u (x، t) = \ sum _ {n} a_ {n} X_ {n} (x) \ exp \ left (\ lambda _ {n} t- \ int _ {0} ^ {t k (\ tau) \، \ mathrm {d} \ tau \ Right)$

$\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {{\ bigl \ langle} X_ {n} (x)، s (x) \ bigr \ rangle}} {big bigl \ langle} X_ {n} (x ) ، X_ {n} (x) \ bigr \ rangle}}}}$

جایی که

$\ displaystyle \ bigl \ langle} y (x)، z (x) \ bigr \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} y (x) z (x) w (x) \، \ mathrm {d} x،$

${\ displaystyle w (x) = {\ frac {\ exp \ left (\ int {\ frac {g (x)} {f (x)} \، \ mathrm {d} x \ Right)} {f ( ایکس)}}.}$

نمایندگی راه حل ها و محاسبه عددی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل Sturm-Liouville ( 1 ) با شرایط مرزی ممکن است به روش تحلیلی حل شود ، که می تواند دقیق باشد یا یک تقریب را فراهم کند ، با استفاده از روش Rayleigh-Ritz یا با استفاده از روش ماتریس واریانس گرک و همکاران. [1] [2] [3]

از نظر عادی ، روشهای متنوعی نیز موجود است. در موارد دشوار ، ممکن است لازم باشد محاسبات میانی را تا چند صد رقم اعشار از دقت انجام دهید تا مقادیر ویژه ای را به درستی به چند مکان اعشاری بدست آورید.

روش های تیراندازی [4] [5] این روش را ادامه دهید با حدس زدن یک مقدار از λ ، حل مشکل مقدار اولیه تعریف شده توسط شرایط مرزی در یک نقطه پایانی، می گویند، ، فاصله [ ، ب ] ، مقایسه ارزش این راه حل طول می کشد در انتهای دیگر b با شرط مرزی مورد نظر دیگر ، و در آخر افزایش یا کاهش λ در صورت لزوم برای اصلاح مقدار اصلی. این استراتژی برای یافتن مقادیر ویژه مقدماتی کاربردی نیست. [ نیاز به توضیح ]
روش اختلاف محدود .
روش سری قدرت پارامتر طیفی (SPPS) [6] از تعمیم واقعیت زیر در مورد معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم استفاده می کند: اگر y راه حل باشد که در هیچ نقطه ای از [ a ، b ] از بین نرود ، تابع

$y (x) \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {p (t) y (t) ^ {2}}}$

راه حل همان معادله است و از نظر خطی مستقل از y است . علاوه بر این ، تمام راه حل ها ترکیبی خطی از این دو راه حل هستند. در الگوریتم SPPS ، باید با یک مقدار دلخواه λ شروع شود*
0(اغلب λ*
0= 0 ؛ لازم نیست یک مقادیر ویژه باشد) و هر راه حل y 0 از ( 1 ) با λ = λ*
0که در [ a ، b ] ناپدید نمی شود . (بحث در زیر راه های یافتن مناسب y 0 و λ*
0.) دو توالی از توابع X ( n ) ( t ) ، X̃ ( n ) ( t ) روی [ a ، b ] که به آن انتگرال های تکراری گفته می شوند ، به صورت بازگشتی به صورت زیر تعریف می شوند. ابتدا وقتی که n = 0 است ، آنها گرفته می شوند که به طور یکسان برابر 1 در [ a ، b ] هستند . برای به دست آوردن توابع بعدی آنها به صورت متناوب ضرب می شوند1/پی2
0و وای2
$\ displaystyle (5) \ qquad \ qquad X ^ {(n) (t) = {\ آغاز {موارد} \ displaystyle - \ int _ {a} ^ {x} X ^ {(n-1)} ( t) p (t) ^ {- 1} y_ {0} (t) ^ {- 2} \، \ mathrm {d} t & n {\ text {عجیب}} ، \\ [6pt] \ displaystyle \ quad \ int _ {a} ^ {x} X ^ {(n-1)} (t) y_ {0} (t) ^ {2} w (t) \، \ mathrm {d} t & n {\ متن {حتی} \ end {موارد}}}$

$\ displaystyle (6) \ qquad \ qquad {\ tilde {X}} ^ {(n) (t) = {\ آغاز {موارد} \ displaystyle \ quad \ int _ {a} ^ {x} {\ tilde {X}} ^ {(n-1)} (t) y_ {0} (t) ^ {2} w (t) \، \ mathrm {d} t & n {\ text {عجیب}} ، \\ [6pt ] \ displaystyle - \ int _ {a} ^ {x} {\ tilde {X}} ^ {(n-1) (t) p (t) ^ {- 1} y_ {0} (t) ^ -2} \، \ mathrm {d} t & n text \ text {حتی.}} \ end {موارد}}$

انتگرال های تکرار شده در حال حاضر به عنوان ضرایب در دو سری قدرت زیر در λ استفاده می شوند :

$\ displaystyle u_ {0} = y_ {0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} ^ {*} \ Right) ^ {k} {\ tilde {X}} ^ {(2k)}،$

$u_ {1} = y_ {0} \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} ^ {*} \ Right) ^ {k} X ^ {(2k + 1)}.$

سپس برای هر λ (واقعی یا پیچیده) ، u 0 و u 1 راه حل های مستقل خطی از معادله مربوطه ( 1 ) هستند . (توابع p ( x ) و q ( x ) از طریق تأثیرگذاری بر انتخاب y 0 در این ساخت و ساز شرکت می کنند .)

یکی دیگر ضرایب c 0 و c 1 را انتخاب می کند به طوری که ترکیب y = c 0 u 0 + c 1 u 1 اولین شرط مرزی را برآورده می کند ( 2 ) . این کار ساده است زیرا X ( n ) ( a ) = 0 و X̃ ( n ) ( a ) = 0 برای n > 0 انجام می شود . مقادیر X ( n ) ( b )و X̃ ( n ) ( b ) مقادیر u 0 ( b ) و u 1 ( b ) و مشتقات u ′ 0 ( b ) و u ′ 0 ( b ) را ارائه می دهد ، بنابراین شرط مرز دوم ( 3 ) تبدیل می شود. معادله در یک سری قدرت در λ . برای کارهای عددی ممکن است این سری به تعداد محدودی از اصطلاحات کوتاه شود و یک چند جمله ای قابل محاسبه در λ تولید شود که ریشه های تقریبی مقادیر خاص اوضاع به دنبال هستند.

هنگامی که λ = λ 0 ، این به ساخت اصلی که در بالا توضیح داده شده است برای یک راه حل بصورت خطی مستقل از یک داده خاص کاهش می یابد. بازنمودها (' 5 ' ) و (' 6 ' ) در تئوري اشتورم-ليول نيز کاربردهاي نظري دارند. [6]

ساخت یک راه حل غیرقابل استفاده [ ویرایش ]

روش SPPS می توانید، به خودی خود، مورد استفاده قرار گیرد برای پیدا کردن یک راه حل شروع Y 0 . معادله ( py ′) Consider = μqy را در نظر بگیرید ؛ یعنی ، q ، w و λ به ترتیب در ( 0 ) با 0 ، - q و μ جایگزین می شوند. سپس عملکرد ثابت 1 یک محلول غیرقابل انعطاف است که مربوط به مقادیر ویژه μ 0 = 0 است . در حالی که هیچ تضمینی وجود ندارد که تو 0 یا تو 1 نمی خواهد ناپدید می شوند، تابع پیچیده Y 0 = U0 + iu 1 هرگز از بین نمی رود زیرا دو راه حل مستقل از یک معادله SL معمولی نمی توانند همزمان به عنوان نتیجه قضیه جدایی Sturm از بین بروند . این ترفندبرای مقدار λ 0 = 0 راه حل y 0 از ( 1 ) را ارائه می دهد. در عمل اگر ( 1 ) ضرایب واقعی داشته باشد ، راه حل های مبتنی بر y 0 دارای بخش های تخیلی بسیار کوچکی هستند که باید دور ریخت.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2%80%93Liouville_theory

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی