ادامه نظریه اشتورم-لیوویل

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و پنجم تیر ۱۳۹۹ | 22:20

معادلات استورم-لیوویل به عنوان اپراتورهای دیفرانسیل خود متعهد [ ویرایش ]

نقشه برداری توسط:

${\ displaystyle Lu = - {\ frac {1} {w (x)}} سمت چپ ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [p (x) \، \ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} \ Right] + q (x) u \ Right)$

می توان به عنوان یک عملگر خطی L نقشه برداری از یک تابع u به یک عملکرد دیگر Lu را مشاهده کرد ، و می توان آن را در زمینه تحلیل عملکردی مورد مطالعه قرار داد . در واقع می توان معادله ( 1 ) را به صورت زیر نوشت

${\ displaystyle Lu = \ lambda u.}$

این دقیقاً مسئله مقدماتی است؛ این است که، یکی به دنبال مقادیر ویژه لامبدا 1 ، λ 2 ، λ 3 ، ... و بردارهای ویژه متناظر تو 1 ، تو 2 ، تو 3 ، ... از L اپراتور. تنظیم مناسب این مشکل فضای هیلبرت است $\ displaystyle L ^ {2} ([a، b]، w (x) \، dx)$ با محصول مقیاس پذیر

$\ displaystyle \ langle f، g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} {\ overline {f (x)} g (x) w (x) \، \ mathrm {d} x.}$

در این فضا L بر روی توابع به اندازه کافی صاف تعریف شده است که شرایط مرزی عادی فوق را برآورده می کند. علاوه بر این ، L یک اپراتور خودمحور است:

$\ displaystyle \ langle Lf، g \ rangle = \ langle f، Lg \ rangle.}$

این امر می تواند بطور رسمی با استفاده از قطعات دوبار ادغام شود ، در حالی که شرایط مرزی به واسطه شرایط مرزی از بین می رود. پس از آن نتیجه می گیرد که مقادیر ویژه یک اپراتور Sturm-Liouville واقعی هستند و عملکردهای بنیادی L مربوط به مقادیر خاص ویژه متعامد متعامد هستند. با این حال ، این اپراتور بدون محدودیت است و از این رو وجود یک پایه متعارف ارتودنسی معمولی مشهود نیست. برای غلبه بر این مشکل ، باید به حلال نگاه کرد

$\ displaystyle \ سمت چپ (Lz \ راست) ^ {- 1} ، \ qquad z \ in \ mathbb {C} ،$

جایی که z به عنوان عدد واقعی انتخاب می شود که مقدمه ای خاص نیست. سپس ، محاسبه مقادیر حل شده برای حل معادله غیر همگن ، که می تواند با استفاده از فرمول تغییر پارامترها انجام شود . این نشان می دهد که حلال یک اپراتور انتگرال با هسته متقارن مداوم است (عملکرد سبز مسئله). به عنوان یک نتیجه از قضیه Arzelà-آسکولی ، این انتگرال جمع و جور و وجود یک توالی از مقادیر ویژه است α N که همگرا به 0 و تابع ویژه که به صورت به صورت orthonormal زیر از قضیه طیفی برای اپراتورهای جمع و جور . در آخر ، توجه داشته باشید که

$\ displaystyle \ left (Lz \ Right) ^ {- 1} u = \ alpha u، \ qquad Lu = \ left (z + \ alpha ^ {- 1} \ Right) u،$

معادل هستند ، بنابراین ممکن است بگیریم $\ displaystyle \ lambda = z + \ alfa ^ {- 1}$ با همان عملکردهای ویژه

اگر فاصله بی حد و مرز باشد ، یا اگر ضرایب در نقاط مرزی دارای مفرد باشند ، فرد L را مفرد می خواند . در این حالت ، طیف دیگر به تنهایی از مقادیر ویژه ای تشکیل نمی شود و می تواند یک جزء مداوم را شامل شود. هنوز یک گسترش عملکرد عملکردی مرتبط است (شبیه سری فوریه در مقابل تبدیل فوریه). این امر در مکانیک کوانتومی حائز اهمیت است ، زیرا معادله یک بعدی بعدی مستقل شرودینگر یک مورد خاص از معادله SL است.

کاربرد در مشکلات ارزش مرزی ناهمگن مرتبه دوم [ ویرایش ]

یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن کلی را در نظر بگیرید

${\ displaystyle P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) y = f$

برای توابع داده شده ${\ نمایشگر P (x) ، Q (x) ، R (x) ، f (x)$ . مانند گذشته ، این می تواند به شکل SL کاهش یابد ${\ displaystyle Ly = f$ : نوشتن یک اپراتور SL به عنوان:

$\ displaystyle Lu = {\ frac {p} {w (x)}} u '' + {\ frac {p '} {w (x)} u' + {\ frac {q} {w (x) } تو ،}$

یکی سیستم را حل می کند:

$\ displaystyle p = Pw، \ quad p '= Qw، \ quad q = Rw.$

برای حل دو معادله اول کافی است ، که این مقدار به حل ( Pw ) Q = Qw یا

$\ displaystyle w '= {\ frac {Q-P'} {P}} w: = \ alpha w.$

راه حل این است:

${\ displaystyle w = \ exp \ left (\ int \ alpha \، \ mathrm {d} x \ right)، \ quad p = P \ exp \ left (\ int \ alpha \، \ mathrm {d} x \ Right ) ، \ quad q = R \ exp \ left (\ int \ alpha \، \ mathrm {d} x \ Right).$

با توجه به این تحول ، یکی برای حل کردن باقی مانده است:

${\ displaystyle Ly = f}$

به طور کلی ، اگر شرایط اولیه در برخی از نقاط مشخص شده باشد ، به عنوان مثال y ( a ) = 0 و y ′ ( a ) = 0 ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با استفاده از روشهای معمولی قابل حل است و قضیه Picard-Lindelöf تضمین می کند که دیفرانسیل معادله در همسایگی نقطه ای که شرایط اولیه مشخص شده است ، یک راه حل منحصر به فرد دارد.

اما اگر به جای مشخص کردن مقادیر اولیه در یک نقطه واحد ، می خواهیم مقادیر را در دو نقطه مختلف (به اصطلاح مقادیر مرزی) ، به عنوان مثال y ( a ) = 0 و y ( b ) = 1 مشخص کنید ، مشکل به وجود می آید. خیلی سخت تر توجه كنید كه با افزودن یك تابع قابل تشخیص متفاوت مناسب به y ، كه مقادیر آن در a و b شرایط مرزی مورد نظر را برآورده می كند ، و با تزریق درون معادله دیفرانسیل پیشنهادی ، می توان بدون از دست دادن کلی فرض كرد كه شرایط مرزی از فرم y ( a ) = 0 وy ( b ) = 0 .

در اینجا، نظریه اشتورم-لیوویل می آید در بازی: در واقع، یک کلاس بزرگ از توابع F می تواند در شرایط از یک سری از eigenfunctions orthonormal گسترش U من از اپراتور لیوویل با مقادیر ویژه مربوط لامبدا من :

$\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} u_ {i} (x)، \ quad \ alpha _ {i} \ in {\ mathbb {R}}.}$

سپس یک راه حل برای معادله پیشنهادی بدیهی است:

$\ displaystyle y = \ sum _ {i} {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ lambda _ {i}}} u_ {i}.$

این راه حل فقط در بازه a < x < b معتبر خواهد بود و ممکن است در مرزها شکست بخورد.

مثال: سری فوریه [ ویرایش ]

مشکل استورم-لیوویل را در نظر بگیرید:

$\ displaystyle (4) \ qquad \ qquad Lu = - {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = \ lambda u}$

زیرا ناشناخته ها λ و u ( x ) هستند . برای شرایط مرزی ، به عنوان مثال:

$u (0) = u (\ pi) = 0.$

مشاهده کنید که اگر k عدد صحیح باشد ، تابع

$\ displaystyle u_ {k} (x) = \ sin kx}$

یک راه حل با مقادیر ویژه λ = k 2 است . ما می دانیم که راه حل های یک مشکل SL پایه ای متعامد را تشکیل می دهد و از سری فوریه می دانیم که این مجموعه از عملکردهای سینوسی یک مبنای متعامد است. از آنجا که پایه های متعامد همیشه حداکثر هستند (با تعریف) نتیجه می گیریم که مشکل SL در این مورد مجرای بردار دیگری ندارد.

با توجه به موارد قبلی ، اجازه دهید اکنون مشکل ناهمگن را حل کنیم

${\ displaystyle Ly = x ، \ qquad x \ in (0 ، \ pi)$

با همان شرایط مرزی $\ displaystyle y (0) = y (\ pi) = 0$ . در این حالت ، ما باید f ( x ) = x را به عنوان یک سری فوریه گسترش دهیم. خواننده ممکن است را بررسی کنید، یا با یکپارچه سازی ∫ الکترونیکی ikx X د X و یا با مراجعه به جدول تبدیل فوریه، که ما در نتیجه بدست آوردن

$\ displaystyle Ly = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} -2 {\ frac {\ left (-1 \ Right) ^ {k}} {k}} \ sin kx.$

این سری خاص فوریه به دلیل خواص همگرایی ضعیف ، مشکل ساز است. پیشینی مشخص نیست که آیا این سری به صورت نقطه همگرا است یا خیر. از آنجا که از تجزیه و تحلیل فوریه، از ضرایب فوریه هستند " مربع summable "، به همگرا سری فوریه در L 2 است که همه ما برای این نظریه خاص برای عملکرد. برای خواننده علاقه مند ذکر می کنیم که در این حالت ممکن است به نتیجه ای اعتماد کنیم که می گوید سری فوریه در هر نقطه از تفاوت پذیری همگرا می شود و در نقاط پرش (عملکرد x ، که به عنوان یک عملکرد دوره ای در نظر گرفته می شود ، دارای پرش در π ) همگرا می شود. به طور متوسط از حد چپ و راست (به همگرایی سری فوریه مراجعه کنید ).

بنابراین ، با استفاده از فرمول ( 4 ) ، راه حل را بدست می آوریم:

$\ displaystyle y = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 2 {\ frac {(-1) ^ {k}} {k ^ {3}}} \ sin kx = {\ tfrac {1 6}} (x ^ {3} - \ pi ^ {2} x).$

در این حالت ، ما می توانیم با استفاده از ضد تمایز پاسخ را پیدا کنیم ، اما این در بیشتر موارد زمانی که معادله دیفرانسیل در بسیاری از متغیرها باشد ، دیگر مفید نیست.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2%80%93Liouville_theory

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی