فرمول بندی های جایگزین مکانیک کلاسیک [ ویرایش ]

یک فرمول نزدیک به مکانیک کلاسیک، مکانیک همیلتونی است . همیلتونی توسط

{\displaystyle H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i} }}-L\,}

و می توان با انجام تبدیل لژاندر روی لاگرانژ به دست آورد، که متغیرهای جدیدی را به صورت متعارف به متغیرهای اصلی معرفی می کند. برای مثال، با توجه به مجموعه‌ای از مختصات تعمیم‌یافته، متغیرهایی که بطور متعارف مزدوج می‌شوند ، لحظه‌های تعمیم‌یافته هستند. این تعداد متغیرها را دو برابر می کند، اما معادلات دیفرانسیل را مرتبه اول می کند. همیلتونی کمیتی به ویژه در مکانیک کوانتومی است که در همه جا حاضر است (به همیلتون (مکانیک کوانتومی) مراجعه کنید ).

مکانیک روتی یک فرمول ترکیبی از مکانیک لاگرانژی و همیلتونی است که اغلب در عمل استفاده نمی شود، اما یک فرمول کارآمد برای مختصات چرخه ای است.

فرمول بندی فضای تکانه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فضای موقعیت و تکانه § مکانیک لاگرانژی

معادلات اویلر-لاگرانژ را می‌توان بر حسب لحظه‌های تعمیم‌یافته و نه مختصات تعمیم‌یافته، فرمول‌بندی کرد. انجام تبدیل لژاندر بر روی مختصات تعمیم یافته لاگرانژی L ( q , d q /d t , t ) گشتاور تعمیم یافته لاگرانژی L '( p , d p /d t , t را به دست می آورد.) بر حسب لاگرانژ اصلی، و همچنین معادلات EL بر حسب لحظه ای تعمیم یافته. هر دو لاگرانژی حاوی اطلاعات یکسانی هستند و می توان از هر یک برای حل حرکت سیستم استفاده کرد. در عمل مختصات تعمیم یافته برای استفاده و تفسیر راحت تر از لحظه ای تعمیم یافته است.

مشتقات بالاتر مختصات تعمیم یافته [ ویرایش ]

هیچ دلیل ریاضی برای محدود کردن مشتقات مختصات تعمیم یافته فقط به مرتبه اول وجود ندارد. می توان معادلات EL اصلاح شده را برای یک لاگرانژی حاوی مشتقات مرتبه بالاتر استخراج کرد، برای جزئیات به معادله اویلر-لاگرانژ مراجعه کنید. با این حال، از دیدگاه فیزیکی، مانعی برای گنجاندن مشتقات زمانی بالاتر از مرتبه اول وجود دارد، که با ساختن فرمالیسم متعارف استروگرادسکی برای لاگرانژی‌های مشتق بالاتر غیرمنحط، به Ostrogradsky_instability دلالت دارد .

اپتیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپتیک همیلتونی

مکانیک لاگرانژی را می توان با اعمال اصول تغییر بر پرتوهای نور در یک محیط، در اپتیک هندسی به کار برد، و حل معادلات EL معادلات مسیرهایی را که پرتوهای نور دنبال می کنند به دست می دهد.

فرمول نسبیتی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مکانیک لاگرانژی نسبیتی

مکانیک لاگرانژی را می توان در نسبیت خاص و نسبیت عام فرموله کرد . برخی از ویژگی‌های مکانیک لاگرانژی در نظریه‌های نسبیتی حفظ شده‌اند، اما مشکلات به سرعت در جنبه‌های دیگر ظاهر می‌شوند. به طور خاص، معادلات EL همان شکل را دارند، و ارتباط بین مختصات چرخه‌ای و لحظه‌ای حفظ‌شده همچنان اعمال می‌شود، اما لاگرانژ باید اصلاح شود و صرفاً جنبشی منهای انرژی پتانسیل یک ذره نیست. همچنین، رسیدگی به سیستم‌های چندذره‌ای به صورت آشکارا کوواریانت ساده نیست ، اگر یک چارچوب مرجع خاص مشخص شود ممکن است.

مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی ، عمل و فاز مکانیکی کوانتومی از طریق ثابت پلانک به هم مرتبط هستند و اصل عمل ساکن را می‌توان بر حسب تداخل سازنده توابع موج درک کرد .

در سال 1948، فاینمن فرمول انتگرال مسیر را کشف کرد که اصل کمترین عمل را به مکانیک کوانتومی برای الکترون‌ها و فوتون‌ها گسترش می‌داد . در این فرمول، ذرات هر مسیر ممکن را بین حالت اولیه و نهایی طی می کنند. احتمال یک حالت نهایی خاص با جمع کردن تمام مسیرهای ممکن منتهی به آن به دست می آید. در رژیم کلاسیک، فرمول انتگرال مسیر به وضوح اصل همیلتون و اصل فرما را در اپتیک بازتولید می کند .

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی، مختصات تعمیم یافته مجموعه گسسته ای از متغیرها را تشکیل می دهند که پیکربندی یک سیستم را تعریف می کنند. در نظریه میدان کلاسیک ، سیستم فیزیکی مجموعه‌ای از ذرات مجزا نیست، بلکه یک میدان پیوسته ϕ ( r , t ) است که بر روی یک منطقه از فضای سه‌بعدی تعریف شده است. مرتبط با میدان چگالی لاگرانژی است

{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {r} ,t)

بر حسب میدان و مشتقات مکانی و زمانی آن در یک مکان r و زمان t تعریف شده است . مشابه با مورد ذره، برای کاربردهای غیر نسبیتی، چگالی لاگرانژی چگالی انرژی جنبشی میدان است، منهای چگالی انرژی پتانسیل آن (این به طور کلی درست نیست، و چگالی لاگرانژی باید "مهندسی معکوس" شود). سپس لاگرانژ انتگرال حجمی چگالی لاگرانژی در فضای سه بعدی است

{\displaystyle L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }

که در آن d 3 r یک عنصر حجم دیفرانسیل سه بعدی است . لاگرانژ تابعی از زمان است زیرا چگالی لاگرانژی وابستگی ضمنی فضایی از طریق میدان‌ها دارد، و ممکن است وابستگی فضایی صریح داشته باشد، اما اینها در انتگرال حذف می‌شوند و تنها زمان به عنوان متغیر لاگرانژ باقی می‌ماند.

قضیه نوتر [ ویرایش ]

اصل کنش، و فرمالیسم لاگرانژی، با قضیه نوتر ، که کمیت‌های فیزیکی حفظ‌شده را به تقارن‌های پیوسته یک سیستم فیزیکی متصل می‌کند، گره خورده است.

اگر لاگرانژ تحت یک تقارن ثابت باشد، معادلات حرکتی حاصل نیز تحت آن تقارن تغییرناپذیر هستند. این مشخصه برای نشان دادن سازگاری نظریه ها با نسبیت خاص یا نسبیت عام بسیار مفید است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

  • پورتال نجوم
  • مختصات متعارف
  • لم اساسی حساب تغییرات
  • مشتق تابعی
  • مختصات تعمیم یافته
  • مکانیک هامیلتونی
  • اپتیک هامیلتونی
  • مسئله معکوس برای مکانیک لاگرانژی ، موضوع کلی یافتن لاگرانژی برای یک سیستم با توجه به معادلات حرکت.
  • مشخصات لاگرانژی و اولری میدان جریان
  • نقطه لاگرانژی
  • سیستم لاگرانژی
  • مکانیک غیرخودکار
  • مشکل فلات
  • مشکل سه تنه محدود

منبع

​https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics