معادله امواج الکترومغناطیسی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یازدهم آبان ۱۴۰۲ | 16:2

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله برای تأیید نیاز به نقل قول های اضافی دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. یافتن منابع: "معادله امواج الکترومغناطیسی" - اخبار · روزنامه ها · کتاب ها · محقق · JSTOR
( فوریه 2022 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

معادله موج الکترومغناطیسی یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم است که انتشار امواج الکترومغناطیسی را در یک محیط یا در خلاء توصیف می کند . این یک شکل سه بعدی از معادله موج است . شکل همگن معادله که بر حسب میدان الکتریکی E یا میدان مغناطیسی B نوشته شده است ، به شکل زیر است:

${\begin{aligned}\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2} }}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2 }}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{تراز شده}}$

جایی که

$v_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$

سرعت نور (یعنی سرعت فاز ) در محیطی با نفوذپذیری μ و گذردهی ε است و ∇ 2 عملگر لاپلاس است . در خلاء، v ph = c 0 =299 792 458 m/s ، یک ثابت فیزیکی اساسی. [1] معادله امواج الکترومغناطیسی از معادلات ماکسول مشتق شده است . در بیشتر ادبیات قدیمی تر، B را چگالی شار مغناطیسی یا القای مغناطیسی می نامند. معادلات زیر

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{تراز شده}}$ فرض کنید که هر موج الکترومغناطیسی باید یک موج عرضی باشد ، جایی که میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B هر دو عمود بر جهت انتشار موج هستند.

منشا معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

کارت پستال از ماکسول به پیتر تایت .

جیمز کلرک ماکسول در مقاله خود با عنوان نظریه دینامیکی میدان الکترومغناطیسی در سال 1865 از اصلاح قانون مداری آمپر که در بخش سوم مقاله خود در سال 1861 درباره خطوط فیزیکی نیرو ساخته بود استفاده کرد . ماکسول در بخش ششم مقاله خود در سال 1864 با عنوان نظریه الکترومغناطیسی نور ، جریان جابجایی را با برخی از معادلات دیگر الکترومغناطیس ترکیب کرد و معادله موجی با سرعتی برابر با سرعت نور به دست آورد. او اظهار نظر کرد:

به نظر می رسد توافق نتایج نشان می دهد که نور و مغناطیس از یک ماده هستند و نور یک اختلال الکترومغناطیسی است که طبق قوانین الکترومغناطیسی در میدان منتشر می شود. [3]

اشتقاق معادله امواج الکترومغناطیسی توسط ماکسول در آموزش فیزیک مدرن با روشی بسیار کمتر دست و پاگیر که شامل ترکیب نسخه اصلاح شده قانون مداری آمپر با قانون القایی فارادی است، جایگزین شده است .

برای به دست آوردن معادله موج الکترومغناطیسی در خلاء با استفاده از روش مدرن، با شکل مدرن «هویساید» معادلات ماکسول شروع می کنیم . در فضای خالی و بدون شارژ، این معادلات عبارتند از:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\t جزئی}}\\\end{تراز شده}}$

اینها معادلات کلی ماکسول هستند که در مورد شارژ و جریان هر دو روی صفر تنظیم شده اند. با در نظر گرفتن کرل معادلات کرل به دست می آید:

${\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _ {0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \راست) &=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\ varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{تراز شده}}$

می توانیم از اتحاد برداری استفاده کنیم

$\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf { V}$

که در آن V هر تابع برداری از فضا است. و

$\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)$

که در آن ∇ V یک دوتایی است که وقتی توسط عملگر واگرایی ∇ ⋅ عمل می کند یک بردار به دست می دهد. از آنجا که

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{تراز شده}}$

سپس اولین عبارت سمت راست در اتحاد ناپدید می شود و معادلات موج را به دست می آوریم:

${\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2} }}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2} \mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{تراز شده}}$

جایی که

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/ s}}$

سرعت نور در فضای آزاد است.

شکل کوواریانت معادله موج همگن [ ویرایش ]

اتساع زمان در حرکت عرضی. شرط ثابت بودن سرعت نور در هر قاب مرجع اینرسی منجر به نظریه نسبیت خاص می شود .

این معادلات نسبیتی را می توان به شکل متناقض به صورت نوشتاری نوشت

$\Box A^{\mu }=0$

که در آن چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است

$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

با شرایط گیج لورنز :

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$

و کجا

$\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

عملگر دی المبرت است .

معادله موج همگن در فضازمان منحنی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادلات ماکسول در فضازمان منحنی

معادله موج الکترومغناطیسی به دو صورت اصلاح می‌شود، مشتق با مشتق کوواریانت جایگزین می‌شود و عبارت جدیدی که بستگی به انحنا دارد ظاهر می‌شود.

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0$

${R^{\alpha }}_{\beta }$ تانسور انحنای ریچی است و نقطه ویرگول نشان دهنده تمایز کوواریانت است.

تعمیم شرط گیج لورنز در فضازمان منحنی فرض می شود:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0.$

معادله امواج الکترومغناطیسی ناهمگن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله امواج الکترومغناطیسی ناهمگن

بار محلی و چگالی جریان متغیر با زمان می تواند به عنوان منبع امواج الکترومغناطیسی در خلاء عمل کند. معادلات ماکسول را می توان به صورت معادله موج با منابع نوشت. افزودن منابع به معادلات موج، معادلات دیفرانسیل جزئی را ناهمگن می کند.

راه حل های معادله موج الکترومغناطیسی همگن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله موج

راه حل کلی معادله موج الکترومغناطیسی برهم نهی خطی امواج شکل است

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r},t)&=g(\phi (\mathbf {r},t))=g(\omega t-\mathbf {k } \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{تراز شده}}$

برای تقریباً هر تابع خوش رفتار g آرگومان بی بعد φ ، که در آن ω فرکانس زاویه ای (بر حسب رادیان در ثانیه) است ، و k = ( kx ، ky ، kz ) بردار موج است ( به رادیان در هر متر).

اگرچه تابع g می تواند و اغلب یک موج سینوسی تک رنگ است ، لازم نیست که سینوسی یا حتی دوره ای باشد. در عمل، g نمی تواند تناوب بی نهایت داشته باشد، زیرا هر موج الکترومغناطیسی واقعی همیشه باید وسعت محدودی در زمان و مکان داشته باشد. در نتیجه، و بر اساس تئوری تجزیه فوریه ، یک موج واقعی باید از برهم نهی مجموعه ای بی نهایت از فرکانس های سینوسی تشکیل شده باشد.

علاوه بر این، برای یک راه حل معتبر، بردار موج و فرکانس زاویه ای مستقل نیستند. آنها باید به رابطه پراکندگی پایبند باشند :

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

که k عدد موج و λ طول موج است . متغیر c را تنها زمانی می توان در این معادله استفاده کرد که موج الکترومغناطیسی در خلاء باشد.

تک رنگ، حالت ثابت سینوسی [ ویرایش ]

ساده‌ترین مجموعه‌ای از راه‌حل‌های معادله موج از فرض شکل‌های موج سینوسی با یک فرکانس منفرد به شکل قابل تفکیک حاصل می‌شود:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}$

جایی که

واحد موهومی
ω = 2 π f فرکانس زاویه ای بر حسب رادیان در ثانیه است.
f فرکانس بر حسب هرتز و
$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ فرمول اویلر است .

راه حل های موج صفحه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: راه حل های موج صفحه سینوسی معادله موج الکترومغناطیسی

صفحه ای را در نظر بگیرید که با یک بردار عمود واحد تعریف شده است

$\mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.$

سپس راه حل های موج سفر مسطح معادلات موج هستند

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} } \\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{تراز شده}}$

که در آن r = ( x , y , z ) بردار موقعیت (بر حسب متر) است.

این راه حل ها امواج مسطحی را نشان می دهند که در جهت بردار نرمال n حرکت می کنند . اگر جهت z را جهت n و جهت x را جهت E تعریف کنیم ، با قانون فارادی میدان مغناطیسی در جهت y قرار دارد و با رابطه با میدان الکتریکی مرتبط است.

$c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.$

چون واگرایی میدان های الکتریکی و مغناطیسی صفر است، هیچ میدانی در جهت انتشار وجود ندارد.

این راه حل، راه حل قطبی شده خطی معادلات موج است. همچنین محلول های قطبی شده دایره ای وجود دارد که در آنها میدان ها حول بردار معمولی می چرخند.

تجزیه طیفی [ ویرایش ]

به دلیل خطی بودن معادلات ماکسول در خلاء، راه حل ها را می توان به برهم نهی سینوسی تجزیه کرد . این مبنای روش تبدیل فوریه برای حل معادلات دیفرانسیل است. حل سینوسی معادله موج الکترومغناطیسی شکل می گیرد

${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r},t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{تراز شده}}$

جایی که

t زمان (بر حسب ثانیه)،
ω فرکانس زاویه ای (به رادیان در ثانیه) است .
k = ( k x ، k y ، k z ) بردار موج است(به رادیان بر متر)، و
$\phi _{0}$ زاویه فاز (به رادیان) است .

بردار موج با فرکانس زاویه ای مرتبط است

$k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }$

که k عدد موج و λ طول موج است .

طیف الکترومغناطیسی نمودار بزرگی (یا انرژی) میدان به عنوان تابعی از طول موج است.

گسترش چند قطبی [ ویرایش ]

با فرض تغییر میدان های تک رنگ در زمان به عنوان $e^{-i\omega t}$ ، اگر از معادلات ماکسول برای حذف B استفاده شود ، معادله موج الکترومغناطیسی به معادله هلمهولتز برای E کاهش می یابد :

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E}،$

با k = ω / c همانطور که در بالا داده شد. از طرف دیگر، می توان E را به نفع B حذف کرد تا به دست آید:

$(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B}.$

یک میدان الکترومغناطیسی عمومی با فرکانس ω را می توان به صورت مجموع جواب های این دو معادله نوشت. جواب های سه بعدی معادله هلمهولتز را می توان به صورت بسط در هارمونیک های کروی با ضرایب متناسب با توابع کروی بسل بیان کرد . با این حال، اعمال این بسط برای هر جزء برداری از E یا B ، راه‌حل‌هایی به دست می‌دهد که به طور کلی بدون واگرایی نیستند ( ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 )، و بنابراین نیاز به محدودیت‌های اضافی در ضرایب دارند.

انبساط چندقطبی با انبساط نه E یا B ، بلکه r ⋅ E یا r ⋅ B به هارمونیک های کروی، این مشکل را دور می زند. این بسط ها هنوز معادلات هلمهولتز اصلی را برای E و B حل می کنند زیرا برای یک میدان بدون واگرایی F , ∇ 2 ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ 2 F ) . عبارات حاصل برای یک میدان الکترومغناطیسی عمومی عبارتند از:

${\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{ E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M) }\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}( l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\راست ]\,,\end{تراز شده}}$

جایی که $\mathbf{E}_{l,m}^{(E)}$ و $\mathbf{B}_{l,m}^{(E)}$ میدان های چند قطبی الکتریکی مرتبه (l, m) و $\mathbf{E}_{l,m}^{(M)}$ و $\mathbf{B}_{l,m}^{(M)}$ میدان های مغناطیسی چند قطبی متناظر هستند و یک E ( l ، m ) و یک M ( l ، m ) ضرایب انبساط هستند. فیلدهای چندقطبی توسط

${\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m }^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{( 1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _ {l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l, m}^{(M)}\,,\end{تراز شده}}$

که در آن h l (1،2) ( x ) توابع کروی هانکل هستند ، El ( 1،2) و Bl (1،2) با شرایط مرزی تعیین می شوند، و

$\mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l, m}$

هارمونیک های کروی برداری نرمال شده اند به طوری که

$\int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'} \delta _{m,m'}.$

انبساط چندقطبی میدان الکترومغناطیسی در تعدادی از مسائل مربوط به تقارن کروی کاربرد پیدا می‌کند، برای مثال الگوهای تشعشعات آنتن ، یا واپاشی گامای هسته‌ای . در این کاربردها، شخص اغلب به قدرت تابش شده در میدان دور علاقه مند است . در این مناطق، میدان های E و B به صورت مجانبی نزدیک می شوند

${\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i) ^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \ بار \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{تراز شده}}$

سپس توزیع زاویه‌ای توان تابش شده با میانگین زمانی به وسیله داده می‌شود

${\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+ 1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf { \Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

تئوری و آزمایش [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

بیوگرافی [ ویرایش ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_wave_equation

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

معادله امواج الکترومغناطیسی

منشا معادله امواج الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

شکل کوواریانت معادله موج همگن [ ویرایش ]

معادله موج همگن در فضازمان منحنی [ ویرایش ]

معادله امواج الکترومغناطیسی ناهمگن [ ویرایش ]

راه حل های معادله موج الکترومغناطیسی همگن [ ویرایش ]

تک رنگ، حالت ثابت سینوسی [ ویرایش ]

راه حل های موج صفحه [ ویرایش ]

تجزیه طیفی [ ویرایش ]

گسترش چند قطبی [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

تئوری و آزمایش [ ویرایش ]

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

بیوگرافی [ ویرایش ]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین