2-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ | 3:46

چرخش های اویلر [ ویرایش ]

چرخش های اویلر زمین ذاتی (سبز)، تقدم (آبی) و nutation (قرمز)

ایده پشت چرخش های اویلر این است که چرخش کامل سیستم مختصات را به سه چرخش تشکیل دهنده ساده تر، به نام های تقدم ، نوتاسیون ، و چرخش ذاتی تقسیم کنیم، که هر یک از آنها افزایشی بر یکی از زوایای اویلر است . توجه داشته باشید که ماتریس بیرونی نشان دهنده چرخش حول یکی از محورهای قاب مرجع است و ماتریس داخلی نشان دهنده چرخش حول یکی از محورهای قاب متحرک است. ماتریس میانی نشان دهنده چرخش حول یک محور میانی به نام خط گره ها است .

با این حال، تعریف زوایای اویلر منحصر به فرد نیست و در ادبیات از قراردادهای مختلفی استفاده شده است. این قراردادها به محورهایی که چرخش‌ها حول آن انجام می‌شوند و ترتیب آنها بستگی دارد (زیرا چرخش‌ها جابه‌جایی نیستند ).

قراردادی که استفاده می‌شود معمولاً با مشخص کردن محورهایی که چرخش‌های متوالی در اطراف آنها انجام می‌شود (قبل از ترکیب) نشان داده می‌شود و به آنها با شاخص (1، 2، 3) یا حرف (X، Y، Z) اشاره می‌شود . جوامع مهندسی و رباتیک معمولاً از زوایای اویلر 3-1-3 استفاده می کنند. توجه داشته باشید که پس از نوشتن چرخش های مستقل، آنها دیگر حول محور خود نمی چرخند. خارجی‌ترین ماتریس، دو ماتریس دیگر را می‌چرخاند و ماتریس چرخش دوم را روی خط گره‌ها می‌گذارد، و سومین ماتریس را در یک قاب همراه با بدنه می‌گذارد. 3 × 3 × 3 = 27 ترکیب ممکن از سه چرخش اصلی وجود دارد اما فقط 3 × 2 × 2 = 12از آنها می توان برای نمایش چرخش های سه بعدی دلخواه به عنوان زوایای اویلر استفاده کرد. این 12 ترکیب از چرخش های متوالی حول یک محور (مانند XXY) جلوگیری می کنند که درجات آزادی قابل نمایش را کاهش می دهد.

بنابراین، زوایای اویلر هرگز بر حسب قاب خارجی، یا بر حسب قاب بدنه چرخاننده متحرک بیان نمی‌شوند، بلکه در یک مخلوط بیان می‌شوند. قراردادهای دیگر (به عنوان مثال، ماتریس چرخش یا کواترنیون ها ) برای جلوگیری از این مشکل استفاده می شود.

در هوانوردی ، جهت گیری هواپیما معمولاً به صورت زوایای ذاتی Tait-Bryan در پیروی از قرارداد z - y "-x " بیان می شود که به آنها عنوان ، ارتفاع ، و کرانه (یا مترادف، انحراف ، زمین و رول ) گفته می شود.

کواترنیون ها [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: کواترنیون ها و چرخش فضایی

کواترنیون ها که یک فضای برداری چهار بعدی را تشکیل می دهند ، به دلیل چندین مزیت نسبت به سایر نمایش های ذکر شده در این مقاله، در نمایش چرخش ها بسیار مفید بوده اند.

یک نمایش چهارگانه چرخش به عنوان یک وجهه نوشته می شود (کواترنیون عادی شده):

${\hat {\mathbf {q} }}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}= {\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}$

تعریف فوق، کواترنیون را به عنوان یک آرایه به دنبال قراردادی که در (Wertz 1980) و (Markley 2003) استفاده شده است، ذخیره می کند. یک تعریف جایگزین، که برای مثال در (کوتسیاس 1999) و (اشمیت 2001) استفاده شده است، اصطلاح "اسکالر" را به عنوان اولین عنصر کواترنیونی تعریف می کند، با سایر عناصر یک موقعیت به پایین جابجا شده است.

از نظر محور اویلر

${\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}$

و زاویه θ مولفه های این نسخه به صورت زیر بیان می شوند:

${\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac { \theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{ 2}}\end{تراز شده}}$

بازرسی نشان می دهد که پارامترسازی کواترنیون از محدودیت زیر تبعیت می کند:

$q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1$

آخرین عبارت (در تعریف ما) اغلب اصطلاح اسکالر نامیده می شود، که منشأ آن در ربعات است، زمانی که به عنوان بسط ریاضی اعداد مختلط درک شود، که به صورت نوشته می شود.

$a+bi+cj+dk\qquad {\text{with }}a,b,c,d\in \mathbb {R}$

و جایی که { i , j , k } اعداد ابر مختلط رضایت بخش هستند

${\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=& -kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{آرایه}}$

ضرب کواترنیونی که برای مشخص کردن چرخش مرکب استفاده می‌شود ، به همان روش ضرب اعداد مختلط انجام می‌شود ، با این تفاوت که ترتیب عناصر باید در نظر گرفته شود، زیرا ضرب جابه‌جایی نیست. در نمادگذاری ماتریسی می توانیم ضرب کواترنیونی را به صورت بنویسیم

${\tilde {\mathbf {q}}}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}& -q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\; \,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_ {i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\ \{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix }\;\;\،{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\،{\tilde {q}}_{j}& \;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}} _{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\،{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}& \;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_ {k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix} }$

بنابراین ترکیب دو چرخش متوالی کواترنیون به اندازه استفاده از ماتریس چرخش ساده است. همانطور که دو ماتریس چرخش متوالی، A 1 و A 2 به دنبال آن ترکیب می شوند

$\mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}،$

ما می‌توانیم این را با پارامترهای کواترنیون به روشی مختصر نشان دهیم:

$\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}$

کواترنیون ها به دلیل ویژگی های زیر یک پارامترسازی بسیار محبوب هستند:

فشرده تر از نمایش ماتریس و کمتر مستعد خطاهای گرد کردن است
عناصر کواترنیون به طور پیوسته در کره واحد در ℝ 4 تغییر می کنند ، (که با S 3 مشخص می شود ) با تغییر جهت، اجتناب از پرش های ناپیوسته (ذاتی پارامترهای سه بعدی)
بیان ماتریس چرخش بر حسب پارامترهای کواترنیونی شامل هیچ توابع مثلثاتی نیست.
ترکیب دو چرخش مجزا که به صورت کواترنیون نمایش داده می شوند با استفاده از یک محصول کواترنیونی ساده است

مانند ماتریس‌های چرخش، کواترنیون‌ها گاهی اوقات باید به دلیل خطاهای گرد کردن مجدداً عادی شوند تا اطمینان حاصل شود که با چرخش‌های معتبر مطابقت دارند. با این حال، هزینه محاسباتی عادی سازی مجدد یک کواترنیون بسیار کمتر از عادی سازی یک ماتریس 3×3 است.

کواترنیون ها همچنین ویژگی اسپینوریال چرخش ها را در سه بعد به تصویر می کشند. برای یک جسم سه‌بعدی که توسط رشته‌ها یا باندهای شل به محیط اطراف (ثابت) متصل می‌شود، می‌توان رشته‌ها یا باندها را پس از دو چرخش کامل حول یک محور ثابت از حالت بازشده اولیه باز کرد . از نظر جبری، چهارتایی که چنین چرخشی را توصیف می کند، از یک عددی +1 (در ابتدا)، از طریق مقادیر (اسکالر + شبه بردار) به اسکالر -1 (در یک دور کامل)، از طریق مقادیر (اسکالار + شبه بردار) به مقادیر اسکالر +1 (در) تغییر می کند. دو دور کامل). این چرخه هر 2 نوبت تکرار می شود. پس از 2 n چرخش (عدد صحیح n > 0 )، بدون هیچ گونه تلاش میانی برای باز کردن گره، می توان تا حدی رشته ها/باندها را به 2( n) باز کرد.− 1) حالت چرخش با هر کاربرد از همان رویه مورد استفاده در باز کردن گره از 2 دور به 0 دور. اعمال همان رویه n بار، یک شیء درهم 2 n را به حالت باز شده یا 0 چرخش می برد. فرآیند باز کردن گره‌ها نیز هرگونه پیچش ناشی از چرخش را در مورد خود رشته‌ها/باندها حذف می‌کند. برای نشان دادن این حقایق می توان از مدل های مکانیکی سه بعدی ساده استفاده کرد.

وکتور رودریگز [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: فرمول چرخش رودریگز

بردار رودریگز (گاهی اوقات بردار گیبس نامیده می شود ، با مختصاتی به نام پارامترهای رودریگز ) [3] [4] را می توان بر حسب محور و زاویه چرخش به صورت زیر بیان کرد:

$\mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}$

این نمایش یک آنالوگ با ابعاد بالاتر از طرح گنومونیک است که ربع‌های واحد را از یک کره 3 بر روی ابرصفحه بردار خالص 3 بعدی نگاشت می‌کند.

این یک ناپیوستگی در 180 درجه ( رادیان π ) دارد: همانطور که هر بردار چرخشی r به زاویه ای از رادیان π تمایل دارد ، مماس آن به بی نهایت میل می کند.

یک چرخش g به دنبال چرخش f در نمایش رودریگز شکل ترکیب چرخشی ساده دارد.

$(\mathbf {g} ,\mathbf {f} )={\frac {\mathbf {g} +\mathbf {f} -\mathbf {f} \times \mathbf {g} }{1-\ mathbf {g} \cdot \mathbf {f} }}\,.$

امروزه، ساده ترین راه برای اثبات این فرمول در نمایش دوگانه (وفادار) است ، که در آن g = n̂ tan a و غیره.

ویژگی‌های ترکیبی مشتق ماتریس پائولی که ذکر شد نیز با مشتق کواترنیونی معادل زیر یکسان است. یک کواترنیون مرتبط با چرخش فضایی R به صورت زیر بسازید،

$S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .$

سپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A است ، با محور چرخش و زاویه که توسط حاصل ضرب ربع‌ها تعریف می‌شود.

$A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B= \cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B}،$

به این معنا که

$C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta } {2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\ آلفا {2}}\mathbf {A} \right).$

این محصول کواترنیون را گسترش دهید

$\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2 }}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \ mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\ alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2} }\mathbf {B} \times \mathbf {A} \راست).$

دو طرف این معادله را بر هویت حاصل از معادله قبلی تقسیم کنید،

$\cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac { \beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,$

و ارزیابی کنید

$\tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf { A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.$

این فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای چرخش دو جزء تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [3] سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند.

پارامترهای رودریگز اصلاح شده (MRPs) را می توان بر حسب محور و زاویه اویلر بیان کرد.

$\mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.$

اجزای آن را می توان بر حسب اجزای یک کواترنیون واحد بیان کرد که نشان دهنده همان چرخش است.

$p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.$

بردار Rodrigues اصلاح شده یک ربع واحد نقشه برداری طرح ریزی استریوگرافی از یک کره 3 بر روی ابرصفحه بردار خالص 3 بعدی است. طرح ریزی کواترنیون مخالف -q منجر به یک بردار رودریگز اصلاح شده متفاوت می شودپس $\mathbf {p} ^{s}$ نسبت به طرح کواترنیون اصلی q . با مقایسه مولفه ها به آن می رسیم

$p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y ,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.$

قابل ذکر است، اگر یکی از این بردارها در داخل واحد 3 کره قرار داشته باشد، دیگری در خارج خواهد بود.

پارامترهای Cayley–Klein [ ویرایش ]

به تعریف در Wolfram Mathworld مراجعه کنید .

آنالوگ های با ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: چرخش در فضای 4 بعدی اقلیدسی

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی