لاگرانژی [ ویرایش ]

مکانیک لاگرانژی به جای نیرو، از انرژی های موجود در سیستم استفاده می کند. کمیت مرکزی مکانیک لاگرانژی لاگرانژی است ، تابعی که دینامیک کل سیستم را خلاصه می کند. به طور کلی، لاگرانژ دارای واحدهای انرژی است، اما هیچ بیان واحدی برای همه سیستم‌های فیزیکی ندارد. هر تابعی که معادلات صحیح حرکت را در توافق با قوانین فیزیکی ایجاد کند، می تواند به عنوان لاگرانژی در نظر گرفته شود. با این وجود می توان عبارات کلی برای کلاس های بزرگی از برنامه ها ساخت. لاگرانژی غیر نسبیتی برای سیستمی از ذرات در غیاب میدان مغناطیسی توسط [4] به دست می آید.

{\displaystyle L=TV}

جایی که

{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}}انرژی جنبشی کل سیستم، برابر با مجموع Σ انرژی جنبشی ذرات است، [5] و V انرژی پتانسیل سیستم است .

انرژی جنبشی انرژی حرکت سیستم است و v k 2 = v k · v k قدر مجذور سرعت است که معادل حاصل ضرب نقطه ای سرعت با خودش است. انرژی جنبشی تنها تابعی از سرعت v k است ، نه موقعیت r k و نه زمان t ، بنابراین T = T ( v 1 ، v 2 ، ...).

انرژی پتانسیل سیستم انرژی برهمکنش بین ذرات را منعکس می‌کند، یعنی اینکه هر ذره در اثر بقیه و سایر تأثیرات خارجی چقدر انرژی خواهد داشت. برای نیروهای محافظه کار (مثلاً گرانش نیوتنی )، تابعی از بردارهای موقعیت ذرات است، بنابراین V = V ( r 1 ، r 2 ، ...). برای آن دسته از نیروهای غیر محافظه کار که می توانند از یک پتانسیل مناسب استخراج شوند (مثلاً پتانسیل الکترومغناطیسی ) ، سرعت ها نیز ظاهر می شوند، V = V ( r1 , r2 ) ., ..., v 1 , v 2 , ...). اگر مقداری میدان خارجی یا نیروی محرکه خارجی با زمان تغییر کند، پتانسیل با زمان تغییر خواهد کرد، بنابراین به طور کلی V = V ( r 1 ، r 2 ، ...، v 1 ، v 2 ، ...، t ) .

شکل بالا از L در مکانیک لاگرانژی نسبیتی یا در حضور میدان مغناطیسی هنگام استفاده از عبارت معمولی برای انرژی پتانسیل برقرار نیست و باید با تابعی مطابق با نسبیت خاص یا عام جایگزین شود. همچنین برای نیروهای اتلاف کننده باید تابع دیگری در کنار L معرفی شود .

یک یا چند ذره ممکن است هر کدام تحت یک یا چند محدودیت هولونومی باشند . چنین محدودیتی با معادله ای به شکل f ( r , t ) = 0 توصیف می شود. اگر تعداد قیود در سیستم C باشد ، آنگاه هر محدودیت دارای یک معادله است، f 1 ( r , t ) = 0، f 2 ( r , t ) = 0, ..., f C ( r , t ) = 0 که هر کدام می تواند برای هر یک از ذرات اعمال شود. اگر ذره k تابع قید i باشد ، پسf i ( r k , t ) = 0. در هر لحظه از زمان، مختصات یک ذره محدود به هم مرتبط هستند و مستقل نیستند. معادلات محدودیت مسیرهای مجاز را تعیین می کنند که ذرات می توانند در امتداد آنها حرکت کنند، اما نه اینکه کجا هستند یا با چه سرعتی در هر لحظه حرکت می کنند. محدودیت‌های غیرهولونومیک به سرعت ذرات، شتاب‌ها یا مشتقات بالاتر موقعیت بستگی دارند. مکانیک لاگرانژی را فقط می‌توان برای سیستم‌هایی اعمال کرد که محدودیت‌های آنها، در صورت وجود، همه هولونومی هستند . سه نمونه از محدودیت‌های غیرهولونومیک عبارتند از: [6]هنگامی که معادلات محدودیت غیر قابل انتگرال هستند، زمانی که محدودیت ها دارای نابرابری هستند، یا با نیروهای غیر محافظه کار پیچیده مانند اصطکاک. محدودیت‌های غیرهولونومیک نیاز به درمان خاصی دارند و ممکن است مجبور باشیم به مکانیک نیوتنی برگردیم یا از روش‌های دیگر استفاده کنیم.

اگر T یا V یا هر دو به‌دلیل محدودیت‌های متغیر با زمان یا تأثیرات خارجی به طور صریح به زمان وابسته باشند، L لاگرانژی ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ... t ) صراحتاً وابسته به زمان است . اگر نه پتانسیل و نه انرژی جنبشی به زمان بستگی ندارد، آنگاه L لاگرانژی ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ...) به صراحت از زمان مستقل است.. در هر صورت، لاگرانژی همیشه از طریق مختصات تعمیم یافته وابستگی زمانی ضمنی خواهد داشت.

با این تعاریف، معادلات لاگرانژ از نوع اول [7] است .

معادلات لاگرانژ (نوع اول)

{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\ جزئی L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{ i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0}

جایی که k = 1، 2، ...، N ذرات را برچسب گذاری می کند، یک ضریب لاگرانژ λ i برای هر معادله محدودیت f i وجود دارد ، و

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac { \partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)\,,\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial } {\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)}

هر کدام مختصر برای بردار مشتقات جزئی ∂/∂ با توجه به متغیرهای نشان داده شده هستند (نه مشتق با توجه به کل بردار). [nb 1] هر overdot مختصر یک مشتق زمانی است . این روش تعداد معادلات را در مقایسه با قوانین نیوتن از 3 N به 3 N + C افزایش می دهد، زیرا 3 N معادله دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده در مختصات و ضرب کننده های موقعیت به اضافه C وجود دارد.معادلات محدودیت با این حال، هنگامی که در کنار مختصات موقعیت ذرات حل شود، ضرب کننده ها می توانند اطلاعاتی در مورد نیروهای محدودیت به دست آورند. لازم نیست مختصات با حل معادلات قید حذف شوند.

در لاگرانژی، مختصات موقعیت و مولفه‌های سرعت همگی متغیرهای مستقل هستند و مشتقات لاگرانژی با توجه به آنها به طور جداگانه طبق قوانین تمایز معمول (مثلاً مشتق جزئی L با توجه به مولفه سرعت z ذره گرفته می‌شوند. 2، تعریف شده توسط،{\displaystyle v_{z,2}=dz_{2}/dt}، فقط است{\displaystyle \partial L/\partial v_{z,2}}; برای ارتباط دادن مولفه سرعت به مختصات مربوطه z 2 نیازی به استفاده از قوانین زنجیره نامناسب یا مشتقات کل نیست .

در هر معادله محدودیت، یک مختصات زائد است زیرا از مختصات دیگر تعیین می شود. بنابراین تعداد مختصات مستقل n = 3 N - C است . ما می‌توانیم هر بردار موقعیت را به یک مجموعه مشترک از n مختصات تعمیم‌یافته تبدیل کنیم ، که به راحتی به صورت n -tuple q = ( q 1 , q 2 , ... q n ) نوشته می‌شود، با بیان هر بردار موقعیت، و از این رو مختصات موقعیت، به عنوان توابع مختصات تعمیم یافته و زمان،

{\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)=(x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k }(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t)\,.}

بردار q نقطه ای در فضای پیکربندی سیستم است. مشتقات زمانی مختصات تعمیم یافته را سرعت های تعمیم یافته می نامند و برای هر ذره تبدیل بردار سرعت آن، مشتق کل موقعیت آن نسبت به زمان است.

{\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\,,\quad \mathbf {v} _{ k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j }+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\,.}

با توجه به این v k ، انرژی جنبشی در مختصات تعمیم یافته به سرعت های تعمیم یافته، مختصات تعمیم یافته و زمان بستگی دارد اگر بردارهای موقعیت به دلیل محدودیت های متغیر زمان به طور صریح به زمان وابسته باشند، بنابراین {\displaystyle T=T(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)}.

با این تعاریف، معادلات اویلر-لاگرانژ ، یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم [8] [9]

معادلات لاگرانژ (نوع دوم)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\ q_j} جزئی

نتایج ریاضی حاصل از حساب تغییرات هستند که می توانند در مکانیک نیز استفاده شوند. جایگزینی در L لاگرانژی ( q , d q /d t , t ) معادلات حرکت سیستم را به دست می دهد. تعداد معادلات در مقایسه با مکانیک نیوتنی کاهش یافته است، از 3 N به n = 3 N - C معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده در مختصات تعمیم یافته است. این معادلات به هیچ وجه شامل نیروهای محدودیت نمی شود، فقط باید نیروهای غیرمحدود را در نظر گرفت.

اگرچه معادلات حرکت مشتقات جزئی را شامل می شود ، اما نتایج مشتقات جزئی هنوز معادلات دیفرانسیل معمولی در مختصات موقعیت ذرات هستند. مشتق کل زمان که d/d t نشان داده می شود اغلب شامل تمایز ضمنی است . هر دو معادله در لاگرانژی خطی هستند، اما به طور کلی معادلات جفت شده غیرخطی در مختصات خواهند بود.

از مکانیک نیوتنی تا لاگرانژی [ ویرایش ]

قوانین نیوتن [ ویرایش ]

اسحاق نیوتن (1642-1727)

برای سادگی، قوانین نیوتن را می توان برای یک ذره بدون از دست دادن کلیت زیاد نشان داد (برای سیستمی از ذرات N ، همه این معادلات برای هر ذره در سیستم اعمال می شود). معادله حرکت برای یک ذره با جرم m قانون دوم نیوتن در سال 1687 در نماد برداری مدرن است .

{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,,}

که در آن a شتاب و F نیروی حاصل بر آن است. در سه بعد فضایی، این یک سیستم از سه معادله دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده برای حل است، زیرا سه جزء در این معادله برداری وجود دارد. راه حل بردار موقعیت r ذره در زمان t است ، مشروط به شرایط اولیه r و v زمانی که t = 0 باشد.

استفاده از قوانین نیوتن در مختصات دکارتی آسان است، اما مختصات دکارتی همیشه راحت نیستند و برای سایر سیستم های مختصات، معادلات حرکت می تواند پیچیده شود. در مجموعه ای از مختصات منحنی ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )، قانون در نماد شاخص تانسور "شکل لاگرانژی" است [10] [11]

{\displaystyle F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^ {a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}} {\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\ جزئی {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right)\,,\quad {\dot {\xi } }^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}}\,,}

که در آن F a امین مولفه متضاد نیروی حاصل بر ذره است ، Γ a bc نمادهای کریستوفل از نوع دوم هستند .

{\displaystyle T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}}

انرژی جنبشی ذره است و g bc مولفه های کوواریانس تانسور متریک سیستم مختصات منحنی است . همه شاخص های a ، b ، c ، هر کدام مقادیر 1، 2، 3 را می گیرند. مختصات منحنی با مختصات تعمیم یافته یکسان نیستند.

شاید اجرای قانون نیوتن به این شکل پیچیده به نظر برسد، اما مزایایی دارد. مولفه های شتاب از نظر نمادهای کریستوفل را می توان با ارزیابی مشتقات انرژی جنبشی به جای آن اجتناب کرد. اگر نیروی حاصل بر ذره وارد نشود، F = 0 ، شتاب نمی گیرد، بلکه با سرعت ثابت در یک خط مستقیم حرکت می کند. از نظر ریاضی، راه حل های معادله دیفرانسیل، ژئودزیک هستندمنحنی‌های طولی بین دو نقطه در فضا (اینها ممکن است در نهایت حداقل باشند، بنابراین کوتاه‌ترین مسیرها هستند، اما این ضروری نیست). در فضای واقعی سه بعدی تخت، ژئودزیک ها به سادگی خطوط مستقیم هستند. بنابراین برای یک ذره آزاد، قانون دوم نیوتن با معادله ژئودزیک منطبق است و بیان می‌کند که ذرات آزاد از ژئودزیک‌ها پیروی می‌کنند، مسیرهایی که می‌تواند در امتداد آن حرکت کند. اگر ذره تحت تأثیر نیروهای F ≠ 0 باشد ، ذره به دلیل نیروهای وارد بر آن شتاب می گیرد و از ژئودزیکی که در صورت آزاد بودن به دنبال خواهد داشت، منحرف می شود. با گسترش مناسب مقادیر داده شده در اینجا در فضای سه بعدی مسطح به فضازمان منحنی 4 بعدی، شکل بالا از قانون نیوتن به نسبیت عام انیشتین نیز منتقل می شود.، در این صورت ذرات آزاد از ژئودزیک ها در فضازمان منحنی پیروی می کنند که دیگر «خطوط مستقیم» به معنای معمولی نیستند. [12]

با این حال، ما هنوز باید کل نیروی حاصله F را که بر ذره وارد می‌شود بدانیم، که به نوبه خود به نیروی غیر محدود N به اضافه نیروی محدودیت حاصل C نیاز دارد .

{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} \,.}

نیروهای محدودیت می توانند پیچیده باشند، زیرا به طور کلی به زمان بستگی دارند. همچنین در صورت وجود قیود، مختصات منحنی مستقل نیستند بلکه با یک یا چند معادله قید مرتبط هستند.

نیروهای محدودیت را می‌توان از معادلات حرکت حذف کرد، بنابراین فقط نیروهای غیرمحدود باقی می‌مانند، یا با گنجاندن معادلات محدودیت در معادلات حرکت.