خواص [ ویرایش ]
همچنین ببینید: نمودارهای SO(3) و کواترنیون ها و چرخش فضایی
زوایای اویلر نموداری را روی تمام SO(3) تشکیل میدهند ، گروه ویژه چرخشهای متعامد در فضای سهبعدی. نمودار صاف است به جز یک تکینگی سبک مختصات قطبی در امتداد β = 0 . برای درمان کامل تر، نمودارهای SO(3) را ببینید .
فضای چرخش ها به طور کلی « هیپرکره چرخش ها » نامیده می شود ، اگرچه این یک نام اشتباه است: گروه Spin(3) نسبت به ابرکره S3 ایزومتریک است ، اما فضای چرخش SO(3) در عوض به تصویر تصویر واقعی ایزومتریک است. فضای RP 3 که یک فضای ضریب 2 برابری ابرکره است. این ابهام 2 به 1 منشأ ریاضی اسپین در فیزیک است .
یک تجزیه سه زاویه مشابه برای SU(2) اعمال می شود ، گروه واحد ویژه چرخش ها در فضای پیچیده 2 بعدی، با این تفاوت که β از 0 تا 2 π است . به این زوایای اویلر نیز می گویند.
اندازه گیری هار برای SO(3) در زوایای اویلر با پارامترسازی زاویه Hopf از SO(3) به دست می آید.
به عنوان مثال، برای ایجاد جهت گیری های تصادفی یکنواخت، اجازه دهید α و γ از 0 تا 2 π یکنواخت باشند ، اجازه دهید z از 1- تا 1 یکنواخت باشند، و اجازه دهید β = arccos( z ) یکنواخت باشند .
جبر هندسی [ ویرایش ]
سایر ویژگیهای زوایای اویلر و به طور کلی چرخشها را میتوان از جبر هندسی ، یک انتزاع سطح بالاتر، که در آن ربعها یک خرده جبر زوج هستند، یافت . ابزار اصلی در جبر هندسی روتور است![{\displaystyle \mathbf {R} =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccaf9643d65a54a5bd1b4d962d07f605c9c67648)
ابعاد بالاتر [ ویرایش ]
امکان تعریف پارامترهای مشابه زوایای اویلر در ابعاد بالاتر از سه وجود دارد. [6] [ منبع غیر قابل اعتماد؟ ] در چهار بعد به بالا، مفهوم «چرخش حول محور» معنا را از دست می دهد و در عوض به «چرخش در صفحه» تبدیل می شود. تعداد زوایای اویلر مورد نیاز برای نشان دادن گروه SO( n ) n ( n -1)/2 است ، که برابر با تعداد صفحات حاوی دو محور مختصات مجزا در فضای اقلیدسی n بعدی است.
در SO(4) یک ماتریس چرخش با دو کواترنیون واحد تعریف میشود و بنابراین دارای شش درجه آزادی است، سه درجه از هر کواترنیون.
برنامه های کاربردی [ ویرایش ]
وسایل نقلیه و قاب های متحرک [ ویرایش ]
مقاله اصلی: بدنه سفت و سخت
همچنین ببینید: قراردادهای محور
مزیت اصلی آنها نسبت به سایر توضیحات جهت گیری این است که آنها به طور مستقیم از یک گیمبال نصب شده در یک وسیله نقلیه قابل اندازه گیری هستند. از آنجایی که ژیروسکوپ ها محور چرخش خود را ثابت نگه می دارند، زوایای اندازه گیری شده در یک قاب ژیروسکوپی معادل زوایای اندازه گیری شده در قاب آزمایشگاهی است. بنابراین، ژیروسکوپ برای دانستن جهت واقعی فضاپیماهای متحرک استفاده می شود و زوایای اویلر به طور مستقیم قابل اندازه گیری هستند. زاویه چرخش ذاتی را نمی توان از یک گیمبال خواند، بنابراین باید بیش از یک گیمبال در یک فضاپیما وجود داشته باشد. به طور معمول حداقل سه مورد برای افزونگی وجود دارد. همچنین یک رابطه با مشکل شناخته شده قفل گیمبال در مهندسی مکانیک وجود دارد . [7]
هنگام مطالعه اجسام صلب به طور کلی، مختصات فضای سیستم xyz و بدنه سیستم XYZ مختصات نامیده می شود . مختصات فضایی غیر متحرک تلقی می شوند، در حالی که مختصات بدن در جسم متحرک تعبیه شده اند. محاسبات شامل شتاب ، شتاب زاویه ای ، سرعت زاویه ای ، تکانه زاویه ای و انرژی جنبشیمعمولاً در مختصات بدنه سادهتر هستند، زیرا در این صورت تانسور ممان اینرسی در زمان تغییر نمیکند. اگر تانسور ممان اینرسی جسم صلب را نیز مورب قرار دهیم (با نه جزء که شش جزء مستقل هستند)، آنگاه مجموعهای از مختصات (به نام محورهای اصلی) داریم که در آن تانسور ممان اینرسی فقط سه جزء دارد.
سرعت زاویه ای یک جسم صلب با استفاده از زوایای اویلر در قاب متحرک شکل ساده ای به خود می گیرد. همچنین معادلات جسم صلب اویلر ساده تر هستند زیرا تانسور اینرسی در آن قاب ثابت است.
بافت کریستالوگرافی [ ویرایش ]
شکل های قطبی که بافت کریستالوگرافی گاما-TiAl را در یک آلیاژ آلفا2-گاما نشان می دهد، همانطور که توسط پرتوهای ایکس با انرژی بالا اندازه گیری می شود. [8]
در علم مواد، بافت کریستالوگرافی (یا جهت ترجیحی) را می توان با استفاده از زوایای اویلر توصیف کرد. در تجزیه و تحلیل بافت، زوایای اویلر یک تصویر ریاضی از جهتگیری کریستالیتهای منفرد در یک ماده پلیکریستالی را ارائه میدهد که امکان توصیف کمی مواد ماکروسکوپی را فراهم میکند. [9] رایج ترین تعریف زاویه ها به دلیل Bunge است و مطابق با قرارداد ZXZ است . مهم است که توجه داشته باشید، با این حال، این برنامه به طور کلی شامل تبدیل محور کمیت های تانسور، به عنوان مثال چرخش غیر فعال است. بنابراین ماتریسی که با زوایای بانج اویلر مطابقت دارد، جابجایی آن چیزی است که در جدول بالا نشان داده شده است. [10]
دیگران [ ویرایش ]
ربات صنعتی که در یک ریخته گری کار می کند
زوایای اویلر، معمولاً در کنوانسیون Tait-Bryan، همچنین در رباتیک برای صحبت در مورد درجات آزادی مچ استفاده می شود . آنها همچنین در کنترل پایداری الکترونیکی به روشی مشابه استفاده می شوند.
سیستم های کنترل آتش اسلحه به اصلاح زوایای سفارش اسلحه (باربری و ارتفاع) برای جبران کج شدن عرشه (پیچ و غلت) نیاز دارند. در سیستمهای سنتی، یک ژیروسکوپ تثبیتکننده با محور چرخش عمودی، شیب عرشه را تصحیح میکند و مناظر نوری و آنتن رادار را تثبیت میکند. با این حال، لوله های تفنگ در جهتی متفاوت از خط دید به سمت هدف قرار می گیرند تا از جمله عوامل دیگر، حرکت هدف و سقوط پرتابه به دلیل گرانش را پیش بینی کنند. پایههای تفنگ با صفحه عرشه میچرخند، اما به تثبیت نیز نیاز دارند. سفارشات تفنگ شامل زوایای محاسبه شده از داده های ژیروسکوپ عمودی است و این محاسبات شامل زوایای اویلر است.
زوایای اویلر نیز به طور گسترده در مکانیک کوانتومی تکانه زاویه ای استفاده می شود. در مکانیک کوانتومی، توضیحات صریح از نمایش SO(3) برای محاسبات بسیار مهم است و تقریباً تمام کارها با استفاده از زوایای اویلر انجام شده است. در تاریخ اولیه مکانیک کوانتومی، زمانی که فیزیکدانان و شیمیدانان واکنش منفی شدیدی نسبت به روشهای نظری گروهی انتزاعی (به نام Gruppenpest ) داشتند، تکیه بر زوایای اویلر نیز برای کار نظری اساسی ضروری بود.
بسیاری از دستگاههای محاسباتی سیار حاوی شتابسنجهایی هستند که میتوانند زوایای اویلر این دستگاهها را با توجه به جاذبه گرانشی زمین تعیین کنند. اینها در برنامههایی مانند بازیها، شبیهسازی سطح حبابها و کالیدوسکوپها استفاده میشوند . [ نیازمند منبع ]
همچنین ببینید [ ویرایش ]
- طرح ریزی سه بعدی
- بازنمایی محور-زاویه
- تبدیل بین کواترنیون ها و زوایای اویلر
- چرخش های زنجیره ای داونپورت
- قضیه چرخش اویلر
- قفل گیمبال
- کواترنیون
- کواترنیون ها و چرخش فضایی
- فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی
- سیستم مختصات کروی
منبع
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.