1-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ | 3:41

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای پوشش گسترده تر این موضوع، گروه چرخش SO(3) را ببینید .

پیشنهاد شده است که عملگر چرخش سه بعدی در این مقاله ادغام شود . ( بحث ) از ماه مه 2023 پیشنهاد شده است.

در هندسه ، فرمالیسم های مختلفی برای بیان یک چرخش در سه بعد به عنوان یک تبدیل ریاضی وجود دارد . در فیزیک، این مفهوم در مکانیک کلاسیک به کار می رود که در آن سینماتیک چرخشی (یا زاویه ای) علم توصیف کمی یک حرکت چرخشی محض است . جهت گیری یک شی در یک لحظه معین با همان ابزار توصیف می شود، زیرا به عنوان چرخش خیالی از یک مکان مرجع در فضا تعریف می شود، نه یک چرخش واقعی مشاهده شده از یک مکان قبلی در فضا.

طبق قضیه چرخش اویلر، چرخش یک جسم صلب (یا سیستم مختصات سه بعدی با مبدأ ثابت ) با یک چرخش منفرد حول یک محور توصیف می‌شود. چنین چرخشی ممکن است به طور منحصر به فرد با حداقل سه پارامتر واقعی توصیف شود . با این حال، به دلایل مختلف، راه های مختلفی برای نشان دادن آن وجود دارد. بسیاری از این نمایش‌ها بیش از حداقل سه پارامتر لازم را استفاده می‌کنند، اگرچه هر یک از آنها هنوز تنها سه درجه آزادی دارند .

مثالی که در آن از نمایش چرخشی استفاده می شود، در بینایی کامپیوتری است ، جایی که یک ناظر خودکار باید یک هدف را ردیابی کند. جسمی صلب را در نظر بگیرید که سه بردار واحد متعامد روی بدنش ثابت شده است (که نشان دهنده سه محور سیستم مختصات محلی جسم است ). مشکل اساسی این است که جهت گیری این سه بردار واحد را مشخص کنیم و از این رو بدن صلب را با توجه به سیستم مختصات ناظر به عنوان مکان مرجع در فضا در نظر بگیریم.

چرخش و حرکت [ ویرایش ]

مقالات اصلی: حرکت (هندسه) و چرخش (ریاضیات)

فرمالیسم‌های چرخشی بر حرکات مناسب ( حفظ جهت‌گیری ) فضای اقلیدسی با یک نقطه ثابت که چرخش به آن اشاره دارد، متمرکز هستند . اگرچه حرکات فیزیکی با یک نقطه ثابت مورد مهمی هستند (مانند مواردی که در کادر مرکز جرم یا حرکات مفصل توضیح داده شده است )، این رویکرد باعث ایجاد دانش در مورد همه حرکات می شود. هر حرکت مناسب فضای اقلیدسی به چرخش حول مبدا و تبدیل تجزیه می شود . ترتیب ترکیب آنها هر کدام که باشد، مولفه چرخش "خالص" تغییر نمی کند، که منحصراً توسط حرکت کامل تعیین می شود.

همچنین می‌توان چرخش‌های «خالص» را به‌عنوان نقشه‌های خطی در یک فضای برداری مجهز به ساختار اقلیدسی درک کرد، نه به‌عنوان نقشه‌های نقاط یک فضای وابسته متناظر . به عبارت دیگر، فرمالیسم چرخشی فقط بخش چرخشی یک حرکت را که شامل سه درجه آزادی است، در بر می گیرد و بخش انتقالی را که شامل سه درجه دیگر است نادیده می گیرد.

هنگامی که یک چرخش را به صورت اعداد در رایانه نشان می‌دهند، برخی از افراد نمایش چهارتایی یا نمایش محور+زاویه را ترجیح می‌دهند، زیرا از قفل گیمبال که می‌تواند با چرخش‌های اویلر رخ دهد اجتناب می‌کنند. [1]

جایگزین های فرمالیسم [ ویرایش ]

ماتریس چرخش [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ماتریس چرخش

سه گانه بردارهای واحد فوق را پایه نیز می نامند . مشخص کردن مختصات ( مولفه‌های ) بردارهای این پایه در موقعیت فعلی (چرخش) آن، بر حسب محورهای مختصات مرجع (غیر چرخشی)، چرخش را کاملاً توصیف می‌کند. بردارهای سه واحدی، ${\hat {{\mathbf {u}}}}$ ، ${\hat {{\mathbf {v}}}}$ , ${\hat {\mathbf {w} }}$ ، که پایه چرخشی را تشکیل می دهند که هر کدام از 3 مختصات تشکیل شده است که در مجموع 9 پارامتر را به دست می دهند.

این پارامترها را می توان به عنوان عناصر یک ماتریس 3 × 3 A نوشت که ماتریس چرخشی نامیده می شود . به طور معمول، مختصات هر یک از این بردارها در امتداد ستونی از ماتریس مرتب می‌شوند (اما مراقب باشید که تعریف جایگزینی از ماتریس چرخش وجود دارد و به طور گسترده استفاده می‌شود، جایی که مختصات بردارها تعریف شده در بالا با ردیف‌هایی مرتب شده‌اند [2] ) .

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {u} }}_{x}&{\hat {\mathbf {v} }}_{x}&{\hat {\mathbf {w} }}_{x}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{y}&{\hat {\mathbf {v} }}_{y}&{\hat { \mathbf {w} }}_{y}\\{\hat {\mathbf {u} }}_{z}&{\hat {\mathbf {v} }}_{z}&{\hat {\ mathbf {w} }}_{z}\\\end{bmatrix}}$

عناصر ماتریس چرخش همه مستقل نیستند - همانطور که قضیه چرخش اویلر حکم می کند، ماتریس چرخش فقط سه درجه آزادی دارد.

ماتریس چرخش دارای ویژگی های زیر است:

A یک ماتریس واقعی و متعامد است، از این رو هر یک از سطرها یا ستون های آن یک بردار واحد را نشان می دهد .
مقادیر ویژه A هستند _

$\left\{1,e^{\pm i\theta }\right\}=\{1,\ \cos \theta +i\sin \theta ,\ \cos \theta -i\sin \theta \}$ جایی که i واحد فرضی استاندارد با خاصیت i 2 = -1 است
تعیین کننده A +1 است، معادل حاصل ضرب مقادیر ویژه آن .
ردیابی A 1 + 2 cos θ است که معادل مجموع مقادیر ویژه آن است .

زاویه θ که در عبارت مقدار ویژه ظاهر می شود با زاویه نمایش محور اویلر و زاویه مطابقت دارد. بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه 1، محور اویلر همراه است، زیرا محور تنها بردار (غیر صفر) است که با ضرب چپ (چرخش) آن با ماتریس چرخش بدون تغییر باقی می‌ماند.

خواص فوق معادل هستند

${\begin{aligned}|{\hat {\mathbf {u}}}|=|{\hat {\mathbf {v}}}|=|{\hat {\mathbf {w} }}| &=1\\{\hat {\mathbf {u} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}&=0\\{\hat {\mathbf {u} }}\times {\hat {\mathbf {v} }}&={\hat {\mathbf {w} }}\,,\end{تراز شده}}$

که راه دیگری برای بیان آن است $({\hat {\mathbf {u} }},{\hat {\mathbf {v} }},{\hat {\mathbf {w} }})$ یک پایه متعارف سه بعدی را تشکیل می دهند . این عبارات مجموعاً شامل 6 شرط هستند (محصول متقاطع شامل 3 است) و در صورت لزوم، ماتریس چرخش را تنها با 3 درجه آزادی می‌گذارد.

دو چرخش متوالی که با ماتریس های A 1 و A 2 نشان داده شده اند به راحتی به عنوان عناصر یک گروه ترکیب می شوند.

$\mathbf {A} _{\text{total}}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}$ (به ترتیب توجه کنید، زیرا بردار در حال چرخش از سمت راست ضرب می شود).

سهولت چرخاندن بردارها با استفاده از یک ماتریس چرخشی، و همچنین سهولت ترکیب چرخش های متوالی، ماتریس چرخش را به روشی مفید و محبوب برای نمایش چرخش ها تبدیل می کند، حتی اگر مختصرتر از سایر نمایش ها باشد.

محور و زاویه اویلر (بردار چرخش) [ ویرایش ]

تجسم یک چرخش که با محور و زاویه اویلر نشان داده شده است.

مقاله اصلی: بازنمایی محور – زاویه

از قضیه چرخش اویلر می دانیم که هر چرخشی را می توان به صورت یک چرخش منفرد حول یک محور بیان کرد. محور بردار واحدی است (به جز علامت منحصر به فرد) که با چرخش بدون تغییر باقی می ماند. بزرگی زاویه نیز منحصر به فرد است و علامت آن با علامت محور چرخش تعیین می شود.

محور را می توان به عنوان یک بردار واحد سه بعدی نشان داد

${\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}$ و زاویه توسط θ اسکالر .

از آنجایی که محور نرمال شده است، تنها دو درجه آزادی دارد . زاویه سومین درجه آزادی را به این نمایش چرخشی اضافه می کند.

ممکن است کسی بخواهد چرخش را به عنوان یک بردار چرخشی یا بردار اویلر بیان کند، یک بردار سه بعدی غیر عادی که جهت آن محور را مشخص می کند و طول آن θ است .

$\mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.$

بردار چرخش در برخی زمینه ها مفید است، زیرا نشان دهنده یک چرخش سه بعدی با تنها سه مقدار اسکالر (اجزای آن) است که نشان دهنده سه درجه آزادی است. این همچنین برای نمایش های مبتنی بر دنباله های سه زاویه اویلر صادق است (به زیر مراجعه کنید).

اگر زاویه چرخش θ صفر باشد، محور منحصراً تعریف نشده است. ترکیب دو چرخش متوالی که هر کدام با یک محور و زاویه اویلر نشان داده می شوند، ساده نیست و در واقع قانون جمع بردار را برآورده نمی کند، که نشان می دهد چرخش های محدود واقعاً بردار نیستند. بهتر است از ماتریس چرخش یا نماد کواترنیون استفاده کنید، حاصل را محاسبه کنید و سپس به محور و زاویه اویلر تبدیل کنید.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی