اغلب رایج ترین رویکرد برای توصیف حرکت و دینامیک از طریق قوانین نیوتن است، با این حال، رویکرد بسیار اساسی تری به نام مکانیک لاگرانژی وجود دارد . اما مکانیک لاگرانژی دقیقاً چیست؟

به عنوان یک مقدمه کلی، مکانیک لاگرانژی فرمول بندی مکانیک کلاسیک است که بر اساس اصل کنش ساکن است و در آن از انرژی ها برای توصیف حرکت استفاده می شود. سپس معادلات حرکت با معادله اویلر-لاگرانژ به دست می آید که شرط ثابت بودن عمل است.

مکانیک لاگرانژی عملاً بر دو مفهوم اساسی استوار است که هر دو به نوعی تقریباً به همه حوزه‌های فیزیک گسترش می‌یابند.

اولین مورد لاگرانژ نام دارد که نوعی تابع است که وضعیت حرکت یک ذره را از طریق انرژی جنبشی و پتانسیل توصیف می کند .

کمیت مهم دیگر کنش نام دارد که برای تعریف مسیری در فضا و زمان استفاده می شود.

نکته مهم در مورد عمل این است که برای به دست آوردن معادلات حرکتی مناسب، باید ثابت باشد.

این به عنوان اصل عمل ساکن شناخته می شود که یکی از اساسی ترین اصول در تمام فیزیک است.

این هر دو در این مقاله با جزئیات کامل توضیح داده خواهند شد.

نکته سریع : اگر علاقه مند به درک مکانیک لاگرانژی و به طور خاص کاربردهای آن در فیزیک مدرن هستید، به شدت توصیه می کنم کتاب مکانیک لاگرانژی برای غیرفیزیکدان (لینک به صفحه کتاب) را بررسی کنید. این کتاب شما را از یادگیری اصول اولیه تا درک پیشرفته و عمیق مکانیک لاگرانژی – و مهمتر از همه، توانایی به کارگیری آنچه یاد گرفته‌اید در زمینه‌هایی مانند مکانیک، الکترودینامیک، نسبیت و نظریه میدان کوانتومی، می‌برد.

فهرست مطالب

شهود در پس مکانیک لاگرانژی

برای شروع، بیایید سعی کنیم شهود و استدلالی را پشت سر آنچه که در این مقاله به طور مفصل به آن نگاه خواهیم کرد، توسعه دهیم.

به این منظور، ما می‌خواهیم تصورات خود را از اینکه حرکت واقعاً در اساسی‌ترین مفهوم چیست، تجدید نظر کنیم. به طور معمول، ما حرکت را نتیجه نیروهای مختلف می‌دانیم، که عملاً همان قوانین نیوتن است.

با این حال، هیچ چیز خاصی در مورد نیروها وجود ندارد. مسلماً، درک آنها شهودی و ساده است، اما به هر حال، آنها فقط یک مدل ریاضی ممکن برای توصیف حرکت و دینامیک هستند.

اگرچه اساساً حرکت توصیفی در مورد تغییرات است . در مورد آن فکر کنید. اگر یک نیروی خالص بر روی شما وارد شود، موقعیت شما تغییر خواهد کرد و این روشی است که ما سرعت و شتاب را اندازه گیری می کنیم.

در نهایت، دینامیک و حرکت فرآیندهای بهینه سازی هستند . وقتی توپی از تپه پایین می‌رود، ارتفاع (موقعیت) آن به نوعی کاهش می‌یابد، اما سرعت آن با غلتیدن افزایش می‌یابد.

اگر واقعاً شروع به فکر کردن در مورد آن کنید، فقط دو کمیت وجود دارد که برای توصیف کامل حرکت هر جسمی به آن نیاز داریم. موقعیت و سرعت آن در هر نقطه معین .

زمانی که بدانیم یک جسم کجاست و چه جهتی دارد و چقدر سرعت دارد، می توانیم به طور کامل پیش بینی کنیم که در لحظه بعدی کجا خواهد بود.

حال سوال بعدی این است که چگونه می توان این دو کمیت را در یک نظریه مفید ترکیب کرد؟ پاسخ در واقع ساده است. انرژی.

در واقع، انرژی جنبشی و پتانسیل یک جسم تنها چیزی است که باید بدانید تا بتوانید به طور کامل حرکت بعدی آن را پیش بینی کنید (در حال حاضر اصطکاک را در نظر نگیرید).

به عنوان مثال مسیر یک پرتابه (مانند یک توپ پرتاب شده در هوا) را در نظر بگیرید:

این در واقع اساس مکانیک لاگرانژی است. اساساً توصیفی از تغییرات انرژی است. این کار از طریق کمیتی به نام عمل انجام می شود .

مکانیک لاگرانژ اساساً یک فرآیند بهینه‌سازی انرژی جنبشی و بالقوه اجسام و سیستم‌ها است. حرکت آنها را اینگونه پیش بینی می کنیم.

حال، عمل اساساً کمیتی است که مسیر خاصی را که یک شی می‌گیرد، توصیف می‌کند. بنابراین، هر مسیری در فضا و زمان، کنش متفاوتی با خود دارد .

از آنجایی که ما ثابت کردیم که حرکت را می توان با انرژی ها توصیف کرد، من یک تابع L را اختراع می کنم که تابعی از انرژی های جنبشی و بالقوه است (بعداً مشخص خواهیم کرد که این تابع چیست، اما لاگرانژی نامیده می شود ) :

L=L\چپ(T{,}V\راست)

T معمولاً برای نشان دادن انرژی جنبشی استفاده می شود، در حالی که V انرژی پتانسیل است (گاهی اوقات با U نیز نشان داده می شود).

چگونه می توان عمل یک مسیر را به روشی مفید تعریف کرد؟ یک گزینه این است که هر یک از این "توابع انرژی" (لاگرانژ) را در کل مسیر جمع کنیم.

این نیز حس شهودی خواهد داشت. اگر انرژی جنبشی و پتانسیل (یعنی مقدار این تابع لاگرانژی) را در هر نقطه بدانیم ، می‌توانیم کل مسیر را با جمع کردن همه آنها تعیین کنیم .

اکنون، در مکانیک کلاسیک، انرژی یک متغیر پیوسته است، به این معنی که عمل یک مجموع مجزا نیست، بلکه یک انتگرال در طول زمان (زمانی که از نقطه شروع تا نقطه پایان مسیر طول می‌کشد) خواهد بود.

عمل به عنوان یک انتگرال در طول زمان لاگرانژ در هر نقطه از مسیر تعریف می شود :

A=\int_{t_1}^{t_2}L\left(T{,}V\right)dt

بر اساس شواهد زیاد، دیده‌ایم که اشیاء فیزیکی و حتی میدان‌ها، همیشه به گونه‌ای رفتار و حرکت می‌کنند که عمل به حداقل برسد (یا دقیق‌تر، ثابت باشد ).

در زمینه مکانیک لاگرانژی، این بدان معنی است که مسیر حرکت یک جسم همیشه همان مسیری خواهد بود که در آن عمل ثابت است. به این اصل عمل ثابت می گویند .

جالب‌ترین چیز این است که این اصل یکی از اساسی‌ترین اصل‌ها در تمام فیزیک است که همه سیستم‌های مشاهده‌شده از آن تبعیت می‌کنند (حتی خارج از مکانیک کلاسیک!).

بعداً در این مقاله، شهود پشت اصل عمل ثابت را بیشتر توضیح خواهم داد و همچنین آن را به روشی ریاضی تر تعریف خواهم کرد.

نکته مفید در زمینه مکانیک کلاسیک این است که اصل عمل ساکن مسیری را که یک سیستم طی می کند به طور منحصر به فردی تعریف می کند .

در نهایت، مشکل به سادگی به یافتن لاگرانژی سیستم خلاصه می‌شود، که روشی بسیار مفید برای حل مسئله در مکانیک کلاسیک ارائه می‌دهد (من در مقاله‌ام آیا مکانیک لاگرانژی مفید است؟ ) در مورد این موضوع بیشتر صحبت می‌کنم.

حالا یک چیز دیگر؛ در واقع لاگرانژ چیست؟ ما تا الان تعریف نکردیم و دلیلش اینه که لاگرانژی شکل کلی نداره .

اما در مکانیک کلاسیک شکل کاملاً مشخصی دارد، اما در سایر رشته‌های فیزیک ممکن است متفاوت باشد.

در حال حاضر، من فقط می خواهم به شما بگویم که لاگرانژی کلاسیک چیست (ما به زودی بررسی خواهیم کرد که چرا این واقعاً منطقی است).

لاگرانژ برای مکانیک کلاسیک به عنوان تفاوت انرژی جنبشی و پتانسیل یک جسم یا سیستم تعریف می شود :

L = تلویزیون

اکنون، ممکن است بخواهید چیزی شبیه این بپرسید؛ چرا این لاگرانژ است؟ چرا مثلاً اختلاف انرژی ها (TV) است و انرژی کل (T+V) نیست؟

پاسخ این است که، در واقع، هر دوی آنها کار می کنند، اما T+V در فرمولی به نام مکانیک هامیلتونی استفاده می شود (می توانید مقاله مقدماتی من را در اینجا بخوانید و مقایسه مکانیک لاگرانژی و هامیلتونی را در اینجا بخوانید ).

پاسخ بالا ممکن است هنوز توضیح ندهد که چرا تلویزیون دقیقاً کار می کند. این را در ادامه بررسی خواهیم کرد.

لاگرانژی چیست و چرا تلویزیون است؟

قبلاً برخی از منطق شهودی پشت آنچه که مکانیک لاگرانژی واقعاً بر آن استوار است را توضیح دادم. در این بخش، من می‌خواهم کمی دقیق‌تر نگاه کنم که لاگرانژی (L=TV) چیست.

در فیزیک، همیشه یک فرآیند بهینه سازی مشخص در تعیین نحوه حرکت اجسام و سیستم های فیزیکی وجود دارد.

در مکانیک لاگرانژی، کل این فرآیند در نهایت در اصل کنش ثابت رمزگذاری شده است و با L=TV لاگرانژی بیان می‌شود .

اما، ممکن است بپرسید، چرا لاگرانژی T – V، دقیقا؟ مثلاً چرا مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل نیست؟

اول از همه، لاگرانژ انرژی کل یک جسم نیست ، بلکه چیزی کاملاً متفاوت است.

لاگرانژ ارتباط بسیار کمی با کل انرژی دارد، بلکه می توان آن را به عنوان یک حالت حرکت در هر نقطه خاص از زمان در نظر گرفت که با انرژی های جنبشی و پتانسیل توصیف می شود (زیرا آنها اطلاعاتی در مورد سرعت و موقعیت دارند. ).

اکنون، اساساً دو روش معقول وجود دارد که می‌توانید حرکت را با این دو کمیت توصیف کنید. می توانید سعی کنید "وضعیت حرکت" را در هر نقطه با انرژی کل (T+V) یا با تفاوت انرژی ها (TV) توصیف کنید.

با این حال، انرژی بالقوه واقعا چیزی نیست که حرکت را به خودی خود توصیف کند. می توان آن را به اشکال دیگر انرژی (یعنی انرژی جنبشی) تبدیل کرد، اما انرژی پتانسیل خود حرکت را توصیف نمی کند، فقط تغییرات انرژی پتانسیل را توصیف می کند .

به همین دلیل منطقی است که حرکت را با اختلاف انرژی جنبشی و پتانسیل توصیف کنیم، نه با مجموع این دو . به دلیل تفاوت علامت بین آنها، امکان داد و ستد معقول بین انرژی های جنبشی و بالقوه (یعنی آنها می توانند به یکدیگر تبدیل شوند) را می دهد:

این نوع فرآیند دینامیکی حتی در مکانیک نیوتنی ، در F=ma خوب قدیمی نیز اتفاق می‌افتد . اگر قانون دوم نیوتن را به شکل زیر بیان کنیم، شباهت های بین این مکانیک و مکانیک لاگرانژی را می توان به راحتی مشاهده کرد:

همچنین راه دیگری برای تفکر در این مورد وجود دارد و آن از طریق مفهوم حفظ انرژی است .

از آنجایی که انرژی کل (T+V) یک کمیت حفظ شده است، با گذشت زمان تغییر نمی کند . بنابراین، به ویژه در توصیف حرکت مفید نیست (اگرچه می توان آن را به روشی متفاوت انجام داد، مانند آنچه در مکانیک هامیلتونی انجام می شود).

از سوی دیگر، تفاوت در انرژی ها (تلویزیون)، یک کمیت حفظ شده نیست (به این معنی که مقادیر آن می تواند با زمان تغییر کند)، بنابراین ابزار بسیار مفیدتری برای توصیف حرکت می کند .

یک راه جالب برای تجسم این موضوع، ترسیم مقادیر T+V و TV برای آونگ است (T+V انرژی کل است که همیلتون نامیده می‌شود، اما فعلاً مهم نیست):

من می خواهم اعتباری را در جایی که اعتبار وجود دارد، بدهم. من این نمودار را در یک پست Physics Stack Exchange اینجا پیدا کردم .

این روشی زیبا برای تجسم چگونگی رمزگذاری لاگرانژی در واقع اطلاعات زیادی در مورد حرکت یک سیستم (در این مورد، برای یک آونگ) ارائه می‌دهد که آن را بسیار مفیدتر از کل انرژی برای مدل‌سازی دینامیک سیستم‌های فیزیکی می‌کند. .

دلیل دیگر اینکه چرا لاگرانژ تفاوت انرژی جنبشی و پتانسیل است، صرفاً به این دلیل است که نتایج مطلوبی را ارائه می دهد.

در تئوری های پیشرفته تر فیزیک، لاگرانژها به سادگی به عنوان توابعی تلقی می شوند که معادلات حرکت را ایجاد می کنند . بنابراین، یک لاگرانژی بر اساس سودمندی نتایجی که می دهد قضاوت می شود و هیچ چیز دیگری برای آن وجود ندارد.

در مکانیک کلاسیک، این لاگرانژی خاص، L = T – V، دقیقا همان لاگرانژی است که قانون دوم نیوتن، F = ma را ایجاد می کند .

در نهایت، این از نحوه تعریف نیروها بر حسب انرژی‌های بالقوه ناشی می‌شود (علامت منفی در L=TV چیزی است که علامت منفی را در اینجا ایجاد می‌کند، که بعداً در مقاله خواهیم دید):

F=-\frac{dV}{dx}

اگر بخواهیم منصف باشیم، این لاگرانژی تلویزیون فقط در مکانیک کلاسیک کاربرد دارد. به عنوان مثال، در نسبیت خاص، لاگرانژ شکل دیگری به خود می گیرد، که می توانید در اینجا اطلاعات بیشتری درباره آن بخوانید .