ضرب سه گانه

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و چهارم فروردین ۱۴۰۳ | 9:10

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد عملیات سه تایی بردار است. برای کاربردهای دیگر، ضرب سه گانه (ابهام‌زدایی) را ببینید .

"حجم امضا شده" به اینجا هدایت می شود. برای کتاب‌های امضا شده، به Bibliophilia مراجعه کنید .

در هندسه و جبر ، حاصل ضرب سه گانه حاصلضرب سه بردار 3 بعدی ، معمولاً بردارهای اقلیدسی است . نام "ضرب سه گانه" برای دو ضرب مختلف استفاده می شود، حاصل ضرب سه گانه اسکالر با ارزش و در موارد کمتر، حاصلضرب سه گانه برداری با ارزش برداری .

ضرب سه گانه اسکالر [ ویرایش ]

سه بردار که یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنند

حاصل ضرب سه گانه اسکالر ( همچنین به نام ضرب مخلوط ، ضرب جعبه یا حاصل ضرب اسکالر سه گانه ) به عنوان حاصل ضرب نقطه ای یکی از بردارها با ضرب ضربدر دو بردار دیگر تعریف می شود .

تفسیر هندسی

از نظر هندسی، حاصل ضرب سه گانه اسکالر

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$

حجم (نشانه دار) متوازی الاضلاع است که توسط سه بردار داده شده تعریف شده است.

خواص

حاصل ضرب سه گانه اسکالر تحت یک جابجایی دایره ای از سه عملوند آن ( a , b , c ) بدون تغییر است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )$
تعویض موقعیت عملگرها بدون مرتب کردن مجدد عملوندها، ضرب سه گانه را بدون تغییر باقی می گذارد. این از ویژگی قبلی و ویژگی جابجایی حاصلضرب نقطه است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}$
مبادله هر دو از سه عملوند، حاصلضرب سه گانه را نفی می کند . این از خاصیت جابجایی دایره ای و ضد جابجایی ضرب متقاطع به دست می آید:
${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{تراز شده}}$
حاصلضرب سه‌گانه اسکالر را می‌توان به‌عنوان دترمینان ماتریس 3 × 3 که دارای سه بردار یا به‌عنوان ردیف‌ها یا ستون‌هایش است، درک کرد (یک ماتریس همان تدترمینانی دارد که جابه‌جایی آن است ):
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1 }&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{ 1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.$
اگر حاصل ضرب سه گانه اسکالر برابر با صفر باشد، سه بردار a ، b و c همسطح هستند ، زیرا متوازی الاضلاع تعریف شده توسط آنها مسطح است و حجم ندارد.
اگر هر دو بردار در حاصل ضرب سه گانه اسکالر برابر باشند، مقدار آن صفر است:
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf { b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0$
همچنین:
$(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$
حاصل ضرب ساده دو ضرب سه گانه (یا مربع حاصلضرب سه گانه)، ممکن است برحسب حاصلضرب نقطه بسط داده شود: [1]

$((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\ \mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf { d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}$

این در نماد برداری دوباره بیان می کند که حاصل ضرب عوامل دترمینان دو ماتریس 3×3 برابر با دترمینان حاصلضرب ماتریس آنها است. به عنوان یک مورد خاص، مربع یک ضرب سه گانه یک دترمینان گرم است .

نسبت حاصلضرب سه گانه و حاصل ضرب سه هنجار بردار به عنوان سینوس قطبی شناخته می شود :

${\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} } \|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$

که بین ۱- و ۱ متغیر است.

اسکالر یا شبه اسکالر

اگرچه حاصل ضرب سه گانه اسکالر حجم متوازی الاضلاع را می دهد، اما این حجم علامت گذاری شده است، علامت بسته به جهت قاب یا برابری جایگشت بردارها است. این بدان معنی است که اگر جهت گیری معکوس شود، برای مثال با تبدیل برابری ، ضرب نفی می شود ، و بنابراین اگر جهت گیری بتواند تغییر کند، به طور صحیح تر به عنوان یک شبه مقیاس توصیف می شود.

این همچنین به دست بودن ضرب متقاطع مربوط می شود . حاصلضرب متقاطع به عنوان یک شبه بردار تحت تبدیل های برابری تبدیل می شود و بنابراین به درستی به عنوان شبه بردار توصیف می شود. حاصلضرب نقطه ای دو بردار یک عددی است اما حاصلضرب نقطه ای یک بردار کاذب و یک بردار یک شبه مقیاس است، بنابراین حاصلضرب سه گانه اسکالر (بردارها) باید ارزش شبه مقیاسی داشته باشد.

اگر T یک چرخش مناسب است پس

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})$

اما اگر T یک چرخش نامناسب است ، پس

$\mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c}).$

تراکم اسکالر یا اسکالر

به بیان دقیق، یک اسکالر تحت یک تبدیل مختصات به هیچ وجه تغییر نمی کند. (به عنوان مثال، ضریب 2 که برای دو برابر کردن یک بردار استفاده می شود، اگر بردار در مختصات کروی در مقابل مستطیل باشد، تغییر نمی کند.) با این حال، اگر هر بردار توسط یک ماتریس تبدیل شود، حاصل ضرب سه گانه در نهایت در دترمینان ضرب می شود. ماتریس تبدیل، که می تواند برای یک غیر چرخشی کاملاً دلخواه باشد. یعنی ضرب سه گانه به طور صحیح تر به عنوان چگالی اسکالر توصیف می شود .

به عنوان یک ضرب بیرونی

سه بردار که یک متوازی الاضلاع را پوشانده اند، حاصلضرب سه برابری برابر با حجم آن دارند. (اما مراقب باشید جهت فلش های این نمودار نادرست باشد.)

در جبر بیرونی و جبر هندسی حاصلضرب بیرونی دو بردار دو بردار است در حالی که حاصلضرب بیرونی سه بردار یک سه بردار است . یک دوبردار یک عنصر صفحه جهت‌دار و یک سه بردار یک عنصر حجمی جهت‌دار است، همانطور که یک بردار یک عنصر خط جهت‌دار است.

با توجه به بردارهای a ، b و c ، حاصلضرب

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c}$

یک سه بردار با بزرگی برابر با حاصل ضرب سه گانه اسکالر است، یعنی

$|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c})|$ ،

و Hodge دوگانه حاصلضرب سه گانه اسکالر است. از آنجایی که ضرب بیرونی، براکت های ارتباطی است، نیازی نیست، زیرا مهم نیست که کدام یک از a ∧ b یا b ∧ c ابتدا محاسبه می شود، اگرچه ترتیب بردارها در ضرب مهم است. از نظر هندسی سه بردار a ∧ b ∧ c مربوط به متوازی الاضلاع است که توسط a , b و c امتداد یافته است ، با دو بردار a ∧ b , b ∧ c و a ∧ c با وجوه متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع مطابقت دارند .

به عنوان یک تابع سه خطی

حاصل ضرب سه گانه با فرم حجمی فضای 3 اقلیدسی که از طریق حاصلضرب داخلی به بردارها اعمال می شود، یکسان است . همچنین می توان آن را به صورت انقباض بردارها با تانسور رتبه-3 معادل شکل (یا شبه تانسور معادل شبه شکل حجمی) بیان کرد. زیر را ببینید .

ضرب سه گانه برداری

حاصلضرب سه گانه برداری به صورت حاصلضرب متقاطع یک بردار با حاصلضرب دو بردار دیگر تعریف می شود . رابطه زیر برقرار است:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a } \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$ .

این به عنوان توسعه ضرب سه گانه یا فرمول لاگرانژ شناخته می شود ، [2] [3] اگرچه نام دوم برای چندین فرمول دیگر نیز استفاده می شود . سمت راست آن را می توان با استفاده از یادداشت "ACB - ABC" به خاطر آورد، مشروط بر اینکه در نظر داشته باشید که کدام بردارها با هم نقطه چین شده اند. یک مدرک در زیر ارائه شده است . برخی از کتاب های درسی اتحاد را به عنوان $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ به طوری که یک یادگاری آشناتر "BAC - CAB" به دست می آید، مانند "پشت کابین".

از آنجایی که ضرب متقاطع ضد جابجایی است، این فرمول ممکن است (تا جایگشت حروف) نیز به صورت زیر نوشته شود:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-( \mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b}$

از فرمول لاگرانژ چنین استنباط می شود که حاصلضرب سه گانه بردار برآورده می شود:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf { c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}$

که اتحاد ژاکوبی برای ضرب متقاطع است. فرمول مفید دیگری به شرح زیر است:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf { b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )$

این فرمول ها در ساده کردن محاسبات برداری در فیزیک بسیار مفید هستند . یک اتحاد مرتبط با شیب ها و مفید در محاسبات برداری، فرمول لاگرانژ اتحاد متقابل بردار است: [4]

${\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A}$

این را می توان به عنوان یک مورد خاص از عملگر عمومی تر Laplace-de Rham نیز در نظر گرفت $\Delta =d\delta +\delta d$ .

اثبات

را $x$ جزئی از $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ از رابطه زیر بدست می آید:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf { v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\ mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}( \mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\ mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\ mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf { u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u } _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w } )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{تراز شده}}$

به طور مشابه، $y$ و $z$ اجزای $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ توسط:

${\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w } )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v } \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{تراز شده}}$

با ترکیب این سه جزء به دست می آید:

$\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf { u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w}$ [5]

استفاده از جبر هندسی

اگر از جبر هندسی استفاده شود، حاصل ضرب متقاطع b × c بردارها به صورت حاصلضرب بیرونی b ∧ c ، یک دوبردار بیان می شود . دومین ضرب متقاطع را نمی توان به عنوان یک ضرب بیرونی بیان کرد، در غیر این صورت حاصل ضرب سه گانه اسکالر ایجاد می شود. در عوض می توان از انقباض چپ [6] استفاده کرد، بنابراین فرمول تبدیل به [7] می شود.

${\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\ mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{تراز شده}}$

اثبات از خواص انقباض حاصل می شود. [6] نتیجه همان بردار محاسبه شده با استفاده از × ( b × c ) است.

تفاسیر

حساب تانسور

در نماد تانسور ، حاصل ضرب سه گانه با استفاده از نماد لوی-سویتا بیان می شود : [8]

$\mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m }b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},$

با اشاره به $i$ -امین جزء بردار حاصل. این را می توان با انجام یک انقباض بر روی نمادهای لوی-سویتا ساده کرد . $\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^ {m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,$ جایی که $\delta _{j}^{i}$ تابع دلتای کرونکر است ( $\delta _{j}^{i}=0$ چه زمانی $i\neq j$ و $\delta _{j}^{i}=1$ چه زمانی $i=j$ ) و $\delta _{ij}^{\ell m}$ تابع دلتای کرونکر تعمیم یافته است . ما می‌توانیم این اتحاد را با تشخیص این شاخص مشخص کنیم $k$ صرفا خروج خلاصه خواهد شد $i$ و $j$ . در ترم اول تعمیر می کنیم $i=l$ و بنابراین $j=m$ . به همین ترتیب در ترم دوم اصلاح می کنیممن $i=m$ و بنابراین $l=j$ .

بازگشت به ضرب متقاطع سه گانه،

$(\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^ {m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i} c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.$

حساب برداری

انتگرال شار میدان برداری را در نظر بگیریداف $\mathbf {F}$ در سراسر سطح پارامتریک تعریف شده است $S=\mathbf {r} (u,v)$ : ${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$ . بردار واحد نرمال ${\hat {\mathbf {n} }}$ به سطح داده شده توسط ${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v} |}}}$ بنابراین انتگرال ${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$ یک ضرب سه گانه اسکالر است.

این بخش نیاز به گسترش دارد . می توانید با افزودن به آن کمک کنید . ( ژانویه 2014 )

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی