معادلات اویلر-لاگرانژ و اصل همیلتون [ ویرایش ]

همانطور که سیستم تکامل می یابد، q مسیری را از طریق فضای پیکربندی ردیابی می کند (فقط برخی از آنها نشان داده شده است). مسیر طی شده توسط سیستم (قرمز) دارای یک عمل ثابت است (δ S = 0) تحت تغییرات کوچک در پیکربندی سیستم (δ q ). [22]

برای یک نیروی غیر محافظه کار که به سرعت بستگی دارد، ممکن است بتوان تابع انرژی پتانسیل V را پیدا کرد که به موقعیت ها و سرعت ها بستگی دارد. اگر نیروهای تعمیم یافته Q i را بتوان از پتانسیل V به دست آورد که [23] [24]

{\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}} }-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,}

معادل کردن معادلات لاگرانژ و تعریف لاگرانژ به صورت L = T − V معادلات لاگرانژ نوع دوم یا معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ به دست می آید .

{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\ جزئی {\dot {q}}_{j}}}=0\,.}

با این حال، معادلات اویلر-لاگرانژ تنها در صورتی می‌توانند نیروهای غیرمحافظه‌کار را محاسبه کنند که یک پتانسیل مطابق شکل پیدا شود. این ممکن است همیشه برای نیروهای غیر محافظه کار ممکن نباشد، و معادلات لاگرانژ شامل هیچ بالقوه ای نیست، فقط نیروهای تعمیم یافته را شامل می شود. بنابراین آنها از معادلات اویلر-لاگرانژ کلی تر هستند.

معادلات اویلر-لاگرانژ نیز از حساب تغییرات پیروی می کنند . تنوع لاگرانژی است

{\displaystyle \delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac { \جزئی L}{\ جزئی {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right)\,,\quad \delta {\dot {q}} _{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j}) }{\mathrm {d} t}}\,,}

که شکلی شبیه دیفرانسیل کل L دارد ، اما جابجایی های مجازی و مشتقات زمانی آنها جایگزین دیفرانسیل ها می شوند و مطابق با تعریف جابجایی های مجازی، افزایش زمانی وجود ندارد . ادغام توسط قطعات با توجه به زمان می تواند مشتق زمانی δq j را به ∂ L /∂ (d q j / d t ) منتقل کند، در فرآیند مبادله d( δq j )/d t برای δq j ، که به مستقل اجازه می دهد. جابجایی های مجازی که باید از مشتقات لاگرانژ فاکتورسازی شوند،

{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _ {j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm { d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d } }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d } t\,=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j} \right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({ \frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t\,.}

حال، اگر شرط δq j ( t 1 ) = δq j ( t 2 ) = 0 برای همه j برقرار باشد ، عبارت های ادغام نشده صفر هستند. اگر علاوه بر این، کل انتگرال زمانی δL صفر باشد، پس چون δq j مستقل هستند و تنها راه برای صفر شدن یک انتگرال معین این است که انتگرال برابر با صفر باشد، هر یک از ضرایب δq j نیز باید صفر باشد. سپس معادلات حرکت را بدست می آوریم. این را می توان با اصل همیلتون خلاصه کرد :

{\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0\,.}

انتگرال زمانی لاگرانژ کمیت دیگری به نام عمل است که به صورت [25] تعریف می شود.

{\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,,}

که یک عملکردی است ؛ تابع لاگرانژی را برای تمام زمان های بین t 1 و t 2 می گیرد و یک مقدار اسکالر را برمی گرداند. ابعاد آن مانند [ تکانه زاویه ای ]، [انرژی]·[زمان] یا [طول]·[تکانه] است. با این تعریف اصل همیلتون است

{\displaystyle \delta S=0\,.}

بنابراین، به جای فکر کردن در مورد شتاب ذرات در پاسخ به نیروهای اعمال شده، ممکن است به این فکر کنیم که آنها مسیر را با یک عمل ثابت انتخاب می کنند، در حالی که نقاط انتهایی مسیر در فضای پیکربندی در زمان های اولیه و نهایی ثابت هستند. گاهی اوقات از اصل همیلتون به عنوان اصل کم‌ترین عمل یاد می‌شود ، با این حال تابع عمل فقط باید ثابت باشد ، نه لزوماً یک مقدار حداکثر یا حداقل. هر گونه تغییر عملکردی باعث افزایش انتگرال عملکردی عمل می شود.

از نظر تاریخی، ایده یافتن کوتاه‌ترین مسیری که یک ذره می‌تواند بر اساس نیرویی دنبال کند، اولین کاربردهای حساب تغییرات را برای مسائل مکانیکی ایجاد کرد، مانند مسئله براکیستوکرون که توسط ژان برنولی در سال 1696 حل شد ، و همچنین لایب‌نیتس ، دانیل برنولی ، L'Hôpital تقریباً در همان زمان و نیوتن در سال بعد. [26] خود نیوتن در امتداد خطوط حساب متغیر فکر می کرد، اما منتشر نکرد. [26] این ایده ها به نوبه خود منجر به اصول تغییر مکانیک، فرما ، Maupertuis می شود.اویلر ، همیلتون و دیگران.

اگر معادلات محدودیت را بتوان به شکل معینی، ترکیبی خطی از دیفرانسیل های مرتبه اول در مختصات، قرار داد ، اصل همیلتون را می توان برای محدودیت های غیرهولونومیک به کار برد. معادله محدودیت حاصل را می توان به معادله دیفرانسیل مرتبه اول بازآرایی کرد. [27] این در اینجا داده نخواهد شد.