4-زوایای اویلر

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ | 2:23

ماتریس چرخش [ ویرایش ]

هر جهتی را می توان با ترکیب سه چرخش عنصری، با شروع از یک جهت گیری استاندارد شناخته شده، به دست آورد. به طور معادل، هر ماتریس چرخشی R را می توان به عنوان حاصلضرب سه ماتریس چرخش عنصری تجزیه کرد . برای مثال:

$R=X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma)$

یک ماتریس چرخشی است که ممکن است برای نمایش ترکیبی از چرخش‌های بیرونی حول محورهای z , y , x , (به ترتیب) یا ترکیبی از چرخش‌های درونی حول محورهای x - y ′ -z ″ (به آن ترتیب) استفاده شود. با این حال، هم تعریف ماتریس‌های چرخش عنصری X ، Y ، Z و ترتیب ضرب آنها به انتخاب‌هایی که کاربر در مورد تعریف ماتریس‌های چرخش و زوایای اویلر انجام می‌دهد بستگی دارد (به عنوان مثال، ابهامات در تعریف چرخش را ببینید. ماتریس ها). متأسفانه، مجموعه‌های مختلفی از قراردادها توسط کاربران در زمینه‌های مختلف اتخاذ می‌شوند. جدول زیر بر اساس این مجموعه از قراردادها ساخته شده است:

هر ماتریس باید با پیش ضرب بردارهای ستون عمل کند ${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$ ( به ابهامات در تعریف ماتریس های چرخشی مراجعه کنید )
هر ماتریس به معنای نشان دادن یک چرخش فعال است (ماتریس های ترکیبی و ترکیبی قرار است بر روی مختصات بردارهای تعریف شده در چارچوب مرجع ثابت اولیه عمل کنند و در نتیجه مختصات یک بردار چرخشی تعریف شده در همان چارچوب مرجع را ارائه دهند).
هر ماتریس در درجه اول، ترکیبی از چرخش‌های درونی (در حول محورهای قاب مرجع در حال چرخش) و ثانیاً ترکیب سه چرخش بیرونی (که مربوط به ارزیابی سازنده ماتریس R با ضرب سه است) را نشان می‌دهد. ماتریس های واقعاً عنصری، به ترتیب معکوس).
فریم های مرجع راست دست اتخاذ می شوند و از قانون دست راست برای تعیین علامت زوایای α ، β ، γ استفاده می شود .

به منظور سادگی، جدول محصولات ماتریسی زیر از نامگذاری زیر استفاده می کند:

1، 2، 3 نشان دهنده زوایای α ، β و γ هستند ، یعنی زوایای مربوط به چرخش عنصر اول، دوم و سوم.
X , Y , Z ماتریس هایی هستند که چرخش های عنصری حول محورهای x , y , z قاب ثابت را نشان می دهند (مثلاً X 1 نشان دهنده چرخش حول x با زاویه α است ).
s و c نشان دهنده سینوس و کسینوس است (به عنوان مثال، s 1 نشان دهنده سینوس α است ).

زوایای اویلر مناسب	زوایای Tait–Bryan
$X_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}\\c_{1} s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}\\ s_{1}s_{2}&c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3} \end{bmatrix}}$	$X_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-s_{2}&c_{2}s_{3}\\s_{1}s_{3 }+c_{1}c_{3}s_{2}&c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}\\c_{3}s_ {1}s_{2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix} }$
$X_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}\\s_{1}s_{2}&c_ {1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}\\-c_{1} s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$X_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}&s_{2}\\c_{1}s_{3 }+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1}\\s_{1 }s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{ bmatrix}}$
$Y_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}&c_{ 1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}\\s_{2}s_{3}&c_{2}&-c_{3}s_{2}\\-c_{3} s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$Y_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}&c_{3}s_{1}s_{ 2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}\\c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}&-s_{2}\\c_{1}s_ {2}s_{3}-c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}s_{2}+s_{1}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{bmatrix} }$
$Y_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2} &c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}\\c_{3}s_{2}&c_{2}&s_{2}s_{3}\\-c_{1} s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}\end{bmatrix }}$	$Y_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{ 3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}\\s_{2}&c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}\\-c_{2} s_{1}&c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix }}$
$Z_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1} -c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}\\c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{ 3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}\\-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}&c_{2}\end{bmatrix }}$	$Z_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}&s_{ 1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}\\c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3} &c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}\\-s_{2}&c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix}}$
$Z_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_ {3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1 }c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2}\\s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}&c_{2} \end{bmatrix}}$	$Z_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1} &c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{ 2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}\\-c_{2}s_{3}&s_{2}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix }}$

این نتایج جدولی در کتابهای درسی متعددی موجود است. [3] برای هر ستون، ردیف آخر متداول ترین قرارداد استفاده شده را تشکیل می دهد.

برای تغییر فرمول‌های چرخش‌های غیرفعال (یا یافتن چرخش فعال معکوس)، ماتریس‌ها را جابه‌جا کنید (سپس هر ماتریس مختصات اولیه یک بردار ثابت باقی مانده را به مختصات همان بردار اندازه‌گیری شده در سیستم مرجع چرخش تبدیل می‌کند؛ همان محور چرخش، همان زوایا، اما اکنون سیستم مختصات به جای بردار می چرخد).

جدول زیر شامل فرمول های زوایای α ، β و γ از عناصر یک ماتریس چرخش استآر $آر$ . [4]

زوایای اویلر مناسب		زوایای Tait–Bryan
$X_{1}Z_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{21}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{ 11}\راست)\\\گاما &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{12}}}\right)\end{تراز شده}}$	$X_{1}Z_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {12}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{11}}}\right)\end{تراز شده}}$
$X_{1}Y_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{31}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {11}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{13}}}\right)\end{تراز شده}}$	$X_{1}Y_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {13}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{11}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Y_{1}X_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{12}}{R_{32}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_{ 22}\راست)\\\گاما &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{-R_{23}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Y_{1}X_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{R_{33}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {23}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{22}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Y_{1}Z_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_{12}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {22}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{21}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Y_{1}Z_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {21}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{23}}{R_{22}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Z_{1}Y_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{23}}{R_{13}}}\right)\\\beta &=\arctan \left({\ frac {\sqrt {1-R_{33}^{2}}}{R_{33}}}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{-R_ {31}}\right)\end{تراز شده}}$	$Z_{1}Y_{2}X_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{21}}{R_{11}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(-R_ {31}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{32}}{R_{33}}}\right)\end{تراز شده}}$
$Z_{1}X_{2}Z_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {R_{13}}{-R_{23}}}\right)\\\beta &=\arccos \left(R_ {33}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {R_{31}}{R_{32}}}\right)\end{تراز شده}}$	$Z_{1}X_{2}Y_{3}$	${\begin{aligned}\alpha &=\arctan \left({\frac {-R_{12}}{R_{22}}}\right)\\\beta &=\arcsin \left(R_ {32}\right)\\\gamma &=\arctan \left({\frac {-R_{31}}{R_{33}}}\right)\end{تراز شده}}$

خواص

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی