3-زوایای اویلر

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه ششم خرداد ۱۴۰۲ | 1:54

زوایای اویلر مناسب [ ویرایش ]

با فرض یک قاب با بردارهای واحد ( X ، Y ، Z ) که با مختصات آنها مانند نمودار اصلی داده شده است، می توان مشاهده کرد که:

$\cos(\beta )=Z_{3}.$

و از

$\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x،$

برای $0<x<\pi$ ما داریم

$\sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.$

مانند $Z_{2}$ طرح دوگانه یک بردار واحد است،

$\cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) = -Z_2،$

$\cos(\alpha) = -Z_2 / \sqrt{1 - Z_3^2}.$

یک ساخت و ساز مشابه برای وجود دارد $Y_{3}$ ، ابتدا آن را بر روی صفحه تعریف شده توسط محور z و خط گره ها پخش می کند. همانطور که زاویه بین صفحات است $\pi /2-\beta$ و $\cos(\pi /2-\beta )=\sin(\beta)$ ، این منجر به:

$\sin(\beta )\cdot \cos(\gamma)=Y_{3}،$

$\cos(\gamma )=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}،$

و در نهایت با استفاده از تابع کسینوس معکوس

$\alpha =\arccos \left(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right),$

$\beta =\arccos \left(Z_{3}\right)$

$\gamma =\arccos \left(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\راست).$

زوایای Tait–Bryan [ ویرایش ]

پیش بینی های محور x پس از سه چرخش Tait-Bryan. توجه کنید که تتا یک چرخش منفی حول محور y است .

با فرض یک قاب با بردارهای واحد ( X ، Y ، Z ) که با مختصات آنها در این نمودار جدید داده شده است (توجه کنید که زاویه تتا منفی است)، می توان مشاهده کرد که:

$\sin(\theta )=-X_{3}$

مثل قبل،

$\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,$

$-\pi /2<x<\pi /2$ ما داریم

$\cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

به نحوی مشابه قبلی:

$\sin(\psi )=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

$\sin(\phi )=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.$

به دنبال عبارات مشابه با عبارات قبلی هستید:

$\psi =\arcsin \left(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\راست)،$

$\theta =\arcsin(-X_{3})،$

$\phi =\arcsin \left(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\راست).$

آخرین اظهارات [ ویرایش ]

توجه داشته باشید که توابع سینوس و کسینوس معکوس دو مقدار ممکن برای آرگومان به دست می دهند. در این توصیف هندسی، تنها یکی از راه حل ها معتبر است. وقتی زوایای اویلر به‌عنوان دنباله‌ای از چرخش‌ها تعریف می‌شوند، همه راه‌حل‌ها می‌توانند معتبر باشند، اما تنها یکی در داخل محدوده زاویه وجود خواهد داشت. این به این دلیل است که اگر محدوده ها قبلاً تعریف نشده باشند، توالی چرخش ها برای رسیدن به قاب هدف منحصر به فرد نیست. [2]

برای اهداف محاسباتی، نمایش زوایا با استفاده از atan2 ( y , x ) ممکن است مفید باشد . به عنوان مثال، در مورد زوایای اویلر مناسب:

$\alpha = \operatorname{atan2}(Z_1، -Z_2)،$

$\gamma =\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).$

تبدیل به دیگر نمایش های جهت گیری [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی § فرمول های تبدیل بین فرمالیسم ها

زوایای اویلر یکی از راه های نشان دادن جهت ها هستند. موارد دیگری نیز وجود دارد و امکان تغییر به کنوانسیون‌های دیگر وجود دارد. برای توصیف جهت گیری ها در یک فضای اقلیدسی سه بعدی همیشه سه پارامتر مورد نیاز است . آنها را می توان به روش های مختلفی ارائه کرد، زوایای اویلر یکی از آنهاست. نمودارهای SO(3) را برای دیگران ببینید .

پرکاربردترین نمایش جهت‌گیری، ماتریس‌های چرخش ، زاویه محور و کواترنیون‌ها هستند که به‌عنوان پارامترهای اویلر-رودریگز نیز شناخته می‌شوند ، که مکانیسم دیگری برای نمایش چرخش‌های سه‌بعدی ارائه می‌دهند. این معادل توصیف گروه واحد ویژه است.

بیان چرخش ها به صورت سه بعدی به عنوان کواترنیون واحد به جای ماتریس مزایایی دارد:

چرخش های الحاقی از نظر محاسباتی سریعتر و از نظر عددی پایدارتر است.
استخراج زاویه و محور چرخش ساده تر است.
درون یابی ساده تر است. به عنوان مثال slerp را ببینید .
کواترنیون ها مانند زاویه های اویلر از قفل گیمبال رنج نمی برند .

صرف نظر از این، محاسبه ماتریس چرخش اولین قدم برای به دست آوردن دو نمایش دیگر است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی