در حساب بردار ، قضیه واگرایی ، که به عنوان قضیه گاوس یا قضیه اوستروگرادسکی نیز شناخته می‌شود ، [1] قضیه‌ای است که شار یک میدان برداری را از یک سطح بسته به واگرایی میدان در حجم محصور مرتبط می‌کند.

به‌طور دقیق‌تر، قضیه واگرایی بیان می‌کند که انتگرال سطحی یک میدان برداری روی یک سطح بسته، که به آن «شار» در سطح می‌گویند، برابر است با انتگرال حجمی واگرایی در ناحیه داخل سطح. به طور شهودی بیان می‌کند که "مجموع همه منابع میدان در یک منطقه (با سینک‌هایی که به عنوان منابع منفی در نظر گرفته می‌شوند) شار خالص خارج از منطقه را می‌دهد.

قضیه واگرایی یک نتیجه مهم برای ریاضیات فیزیک و مهندسی است ، به ویژه در الکترواستاتیک و دینامیک سیالات . در این زمینه ها معمولا به صورت سه بعدی اعمال می شود. با این حال، به هر تعدادی از ابعاد تعمیم می یابد . در یک بعد، معادل یکپارچه سازی توسط قطعات است . در دو بعد، معادل قضیه گرین است .

توضیح با استفاده از جریان مایع [ ویرایش ]

میدان های برداری اغلب با استفاده از مثال میدان سرعت یک سیال ، مانند گاز یا مایع، نشان داده می شوند. یک مایع متحرک در هر نقطه دارای یک سرعت - یک سرعت و یک جهت - است که می تواند با یک بردار نمایش داده شود ، به طوری که سرعت مایع در هر لحظه یک میدان برداری را تشکیل می دهد. یک سطح بسته فرضی S را در داخل یک جسم مایع در نظر بگیرید که حجمی از مایع را در بر گرفته است. شار مایع از حجم در هر زمان برابر است با سرعت حجمی سیال که از این سطح عبور می کند، یعنی انتگرال سطح سرعت روی سطح.

از آنجایی که مایعات تراکم ناپذیر هستند، مقدار مایع داخل یک حجم بسته ثابت است. اگر هیچ منبع یا سینک در داخل حجم وجود نداشته باشد، شار مایع به خارج از S صفر است. اگر مایع در حال حرکت باشد، ممکن است در برخی از نقاط سطح S به حجم جریان یابد و در نقاط دیگر از حجم خارج شود، اما مقادیری که در هر لحظه به داخل و خارج می‌شوند برابر هستند، بنابراین شار خالص مایع از حجم صفر است

با این حال اگر یک منبع مایع در داخل سطح بسته باشد، مانند لوله ای که از طریق آن مایع وارد می شود، مایع اضافی بر مایع اطراف فشار وارد می کند و باعث ایجاد جریان به بیرون در همه جهات می شود. این باعث یک جریان خالص به بیرون از طریق سطح S می شود . شار به سمت خارج از طریق S برابر است با سرعت حجمی جریان سیال به S از لوله. به طور مشابه اگر یک سینک یا زهکشی در داخل S وجود داشته باشد ، مانند لوله ای که مایع را تخلیه می کند، فشار خارجی مایع باعث ایجاد سرعت در سراسر مایع به سمت داخل به سمت محل تخلیه می شود. سرعت حجم جریان مایع به سمت داخل از طریق سطح S برابر است با سرعت مایع خارج شده توسط سینک.

اگر چندین منبع و سینک مایع در داخل S وجود داشته باشد، شار از طریق سطح را می توان با جمع کردن میزان حجم مایع اضافه شده توسط منابع و کم کردن سرعت تخلیه مایع توسط سینک ها محاسبه کرد. سرعت حجم جریان مایع از طریق یک منبع یا سینک (با علامت منفی جریان از طریق سینک) برابر با واگرایی میدان سرعت در دهانه لوله است، بنابراین واگرایی مایع را در سرتاسر جمع می کنیم. حجم محصور شده توسط S برابر است با سرعت حجمی شار از طریق S. این قضیه واگرایی است. [2]

قضیه واگرایی در هر قانون حفاظتی به کار می رود که بیان می کند که حجم کل تمام سینک ها و منابع، یعنی انتگرال حجمی واگرایی، برابر با جریان خالص در سراسر مرز حجم است. [3]