4-نظریه میدان لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ | 22:31

الکترومغناطیس و معادلات یانگ میلز [ ویرایش ]

با استفاده از اشکال دیفرانسیل ، عمل الکترومغناطیسی S در خلاء روی منیفولد ریمانی (شبه) ${\mathcal {M}}$ را می توان نوشت (با استفاده از واحدهای طبیعی c = ε 0 = 1 ) به صورت

${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \ wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \راست).$

در اینجا، A مخفف پتانسیل الکترومغناطیسی 1-شکل، J شکل 1 فعلی، F قدرت میدان 2-شکل و ستاره نشان دهنده عملگر ستاره Hodge است . این دقیقاً همان لاگرانژی است که در بخش بالا وجود دارد، با این تفاوت که درمان در اینجا بدون مختصات است. گسترش انتگرال به یک مبنا، عبارت طولانی و یکسانی را به دست می دهد. توجه داشته باشید که در مورد فرم‌ها، معیار انتگرال اضافی لازم نیست زیرا فرم‌ها دارای تفاضل مختصات داخلی هستند. تغییر عملکرد منجر به

$\mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J}.$

اینها معادلات ماکسول برای پتانسیل الکترومغناطیسی هستند. با جایگزینی F = d A بلافاصله معادله میدانها به دست می آید.

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$ زیرا F یک شکل دقیق است .

میدان A را می توان به عنوان اتصال افین در یک بسته فیبر U(1) درک کرد . یعنی الکترودینامیک کلاسیک، تمام اثرات و معادلات آن را می توان به طور کامل در قالب یک بسته دایره ای بر روی فضازمان مینکوفسکی درک کرد .

معادلات یانگ -میلز را می توان دقیقاً به همان شکل بالا نوشت، با جایگزینی گروه لی U(1) الکترومغناطیس با یک گروه Lie دلخواه. در مدل استاندارد ، به طور متعارف چنین در نظر گرفته می شود $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ هر چند مورد کلی مورد توجه عموم است. در همه موارد، نیازی به انجام هیچ گونه کوانتیزه ای نیست. اگرچه معادلات یانگ-میلز از نظر تاریخی ریشه در نظریه میدان کوانتومی دارند، معادلات فوق کاملا کلاسیک هستند. [2] [3]

Chern–Simons کاربردی [ ویرایش ]

با توجه به موارد فوق، می توان عمل را در یک بعد کمتر، یعنی در تنظیمات هندسه تماس، در نظر گرفت . این به چرن-سیمون عملکردی می دهد . به صورت نوشته شده است

${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} + {\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \راست).$

نظریه چرن-سیمون عمیقاً در فیزیک مورد بررسی قرار گرفت، به عنوان یک مدل اسباب بازی برای طیف گسترده ای از پدیده های هندسی که می توان انتظار داشت در یک نظریه یکپارچه بزرگ پیدا شود .

گینزبورگ–لاندو لاگرانژی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه گینزبورگ-لاندو

چگالی لاگرانژی برای نظریه گینزبورگ-لاندو، لاگرانژی را برای نظریه میدان اسکالر با لاگرانژی برای عمل یانگ-میلز ترکیب می کند . ممکن است اینگونه نوشته شود: [7]

${\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\ چپ (\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}$ جایی که $\psi$ بخشی از یک بسته بردار با فیبر است $\mathbb {C} ^{n}$ . را $\psi$ مربوط به پارامتر نظم در یک ابررسانا است . به طور معادل، با میدان هیگز مطابقت دارد ، پس از توجه به این که عبارت دوم پتانسیل معروف "کلاه سوبرو" است . میدان $A$ میدان سنج (غیر آبلی)، یعنی میدان یانگ–میلز و $F$ قدرت میدانی آن است. معادلات اویلر -لاگرانژ برای تابع گینزبورگ-لاندو معادلات یانگ-میلز هستند.

$D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi$

$D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle$ جایی که ${\star }$ عملگر ستاره هاج است ، یعنی تانسور کاملاً ضد متقارن. این معادلات ارتباط نزدیکی با معادلات یانگ – میلز – هیگز دارند . لاگرانژی دیگر در نظریه سایبرگ-ویتن یافت می شود .

دیراک لاگرانژیان [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله دیراک

چگالی لاگرانژی برای میدان دیراک است: [8]

${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi$ جایی که $\psi$ یک اسپینور دیراک است ، ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ الحاق دیراک آن است و ${\partial }\!\!\!/$ نماد اسلش فاینمن برای است $\gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }$ . در نظریه کلاسیک نیازی به تمرکز بر اسپینورهای دیراک نیست. اسپینورهای ویل پایه کلی تری را ارائه می دهند. آنها را می توان مستقیماً از جبر کلیفورد فضازمان ساخت . کارهای ساختمانی در هر تعداد ابعاد، [3] و اسپینورهای دیراک به عنوان یک مورد خاص ظاهر می شوند. اسپینورهای ویل این مزیت اضافی را دارند که می‌توانند در یک ویلبین برای متریک در منیفولد ریمانی استفاده شوند . این مفهوم ساختار چرخشی را امکان‌پذیر می‌سازد ، که، به طور کلی، راهی برای فرمول‌بندی اسپینورها به طور مداوم در یک فضازمان منحنی است.

لاگرانژی الکترودینامیک کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: الکترودینامیک کوانتومی

چگالی لاگرانژی برای QED ، لاگرانژی میدان دیراک را با لاگرانژی برای الکترودینامیک به روشی گیج ثابت ترکیب می‌کند. این است:

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2 })\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

جایی که $F^{\mu \nu }$ تانسور الکترومغناطیسی است ، D مشتق کوواریانس سنج است ، و/ ${D}\!\!\!\!/$ نماد فاینمن برای است $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$ با $D_{\sigma }=\جزئی _{\sigma }-ieA_{\sigma }$ جایی که $A_{\sigma }$ چهار پتانسیل الکترومغناطیسی است . اگرچه کلمه "کوانتوم" در بالا آمده است، اما این یک مصنوع تاریخی است. تعریف میدان دیراک به هیچ‌وجه نیاز به کمیت‌سازی ندارد، می‌توان آن را به‌عنوان یک میدان کاملاً کلاسیک از اسپینورهای ضد رفت‌وآمد ویل نوشت که از اصول اولیه جبر کلیفورد ساخته شده است . [3] فرمول کلاسیک کامل گیج ثابت در Bleecker ارائه شده است. [2]

لاگرانژی کرومودینامیکی کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: کرومودینامیک کوانتومی

چگالی لاگرانژی برای کرومودینامیک کوانتومی ، لاگرانژی را برای یک یا چند اسپینور عظیم دیراک با لاگرانژی عمل یانگ-میلز ترکیب می‌کند که دینامیک یک میدان گیج را توصیف می‌کند. لاگرانژی ترکیبی گیج ثابت است. ممکن است اینگونه نوشته شود: [9]

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\ !\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \ بیش از 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{ \alpha }{}^{\mu \nu }$

که در آن D مشتق کوواریانت سنج QCD است ، n = 1، 2، ...6 انواع کوارک را می شمارد ، و $G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!$ تانسور قدرت میدان گلوئون است . همانطور که در مورد الکترودینامیک بالا، ظاهر کلمه "کوانتوم" در بالا فقط توسعه تاریخی آن را تایید می کند. لاگرانژی و تغییر ناپذیری گیج آن را می توان به شیوه ای کاملا کلاسیک فرموله کرد و با آن رفتار کرد. [2] [3]

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی