2-جبر فضا-زمان

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۳ | 9:4

تبدیلات

[ ویرایش ]

برای چرخاندن یک بردار $v$ در جبر هندسی از فرمول زیر استفاده می شود: [ 15 ] : 50-51

$v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}$ ،

که $\theta$ زاویه چرخش است، و $\بتا$ دوبردار نرمال شده است که صفحه چرخش را نشان می دهد به طوری که $\beta {\tilde {\beta }}=1$ .

برای یک بردار فضایی داده شده، $\بتا ^{2}=-1$ ، بنابراین فرمول اویلر اعمال می شود، [ 2 ] : 401 که چرخش را می دهد

$v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right) \right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta {2}}\right)\right)$ .

برای یک بردار زمانی معین، $\بتا ^{2}=1$ بنابراین یک "چرخش در طول زمان" از معادله مشابه برای اعداد مختلط تقسیم می شود :

$v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right) \right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta {2}}\right)\right)$ .

با تفسیر این معادله، این چرخش ها در امتداد جهت زمان صرفاً چرخش های هذلولی هستند . اینها معادل افزایش لورنتس در نسبیت خاص هستند.

هر دوی این تبدیل ها به تبدیل های لورنتس معروف هستند و مجموعه ترکیبی همه آنها گروه لورنتس است . برای تبدیل یک شی در STA از هر مبنایی (مرتبط با یک چارچوب مرجع) به دیگری، یک یا چند مورد از این تبدیل ها باید استفاده شود. [ 1 ] : 47-62

هر عنصر فضا-زمان ${\textstyle A}$ با ضرب با شبه مقیاس تبدیل می شود تا عنصر دوگانه آن را تشکیل دهد ${\textstyle AI}$ . [ 12 ] : 114 چرخش دوگانه عنصر فضا-زمان را تبدیل می کند ${\textstyle A}$ به عنصرا ${\textstyle A^{\prime }}$ از طریق زاویه ${\textstyle \phi }$ با شبه اسکالر ${\textstyle I}$ است: [ 1 ] : 13

$A^{\prime }=e^{I\phi }A$

چرخش دوگانه فقط برای جبر کلیفورد غیر مفرد اتفاق می‌افتد ، غیر منفرد به معنای جبر کلیفورد حاوی شبه مقیاس‌ها با مربع غیرصفر. [ 1 ] : 13

گرید انولوشن (درون چرخشی اصلی، وارونگی) هر بردار r را تبدیل می کند ${\textstyle A_{r}}$ به r∗ ${\textstyle A_{r}^{\ast }}$ : [ 1 ] : 13 [ 16 ]

$A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}$

تبدیل برگشتی با تجزیه هر عنصر فضا-زمان به عنوان مجموع حاصل از بردارها و سپس معکوس کردن ترتیب هر ضرب اتفاق می افتد. [ 1 ] : 13 [ 17 ] برای چند برداری ${\textstyle A}$ از حاصل ضرب بردارها، ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ بازگشت است ${\textstyle A^{\dagger }}$ :

$A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2 }a_{1}$

ترکیب کلیفورد از یک عنصر فضا-زمان ${\textstyle A}$ ترکیبی از تبدیل‌های برگشتی و چرخشی درجه، که به عنوان نشان داده شده است ${\textstyle {\tilde {A}}}$ : [ 18 ]

${\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }$

دگرگونی درجه، برگشت و تبدیل‌های صرف کلیفورد انحلال هستند . [ 19 ]

الکترومغناطیس کلاسیک

[ ویرایش ]

دوبردار فارادی

[ ویرایش ]

در STA، میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی را می توان در یک میدان دو بردار واحد، که به نام دو بردار فارادی، معادل تانسور فارادی شناخته می شود، متحد کرد . [ 2 ] : 230 به این صورت تعریف می شود:

$F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},$

که $E$ و $B$ میدان های الکتریکی و مغناطیسی معمولی هستند و $I$ شبه STA است. [ 2 ] : 230 متناوباً، در حال گسترش $F$ از نظر اجزاء $F$ تعریف شده است که

$F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{ 2}\گاما _{2}\گاما _{0}+E^{3}\گاما _{3}\گاما _{0}-cB^{1}\گاما _{2}\گاما _{3}-cB^{2}\گاما _{3}\گاما _{1}-cB^{3}\گاما _{1}\گاما _{2}.$

جداE→ ${\vec {E}}$ و ${\vec {B}}$ میدانها از آن بازیابی می شوند $F$ با استفاده از

${\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{تراز شده}}$

این $\gamma _{0}$ اصطلاح یک چارچوب مرجع معین را نشان می‌دهد، و به این ترتیب، استفاده از چارچوب‌های مرجع مختلف، منجر به میدان‌های نسبی ظاهراً متفاوتی می‌شود، دقیقاً مانند نسبیت خاص استاندارد. [ 2 ] : 233

از آنجایی که دوبردار فارادی یک نامتغیر نسبیتی است، اطلاعات بیشتری را می‌توان در مربع آن یافت، که دو کمیت جدید لورنتز نامتغیر، یکی اسکالر و یک شبه مقیاس را به دست می‌دهد:

$F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.$

بخش اسکالر مربوط به چگالی لاگرانژ برای میدان الکترومغناطیسی است، و بخش شبه اسکالر یک تغییر ناپذیر لورنتس است که کمتر دیده می شود. [ 2 ] : 234

معادله ماکسول

[ ویرایش ]

STA معادلات ماکسول را به شکل ساده‌تر به عنوان یک معادله فرموله می‌کند، [ 20 ] : 230 به جای 4 معادله حساب برداری . [ 21 ] : 2-3 مشابه دو بردار میدان فوق، چگالی بار الکتریکی و چگالی جریان را می توان در یک بردار فضازمان واحد، معادل یک بردار چهار بردار ، متحد کرد . به این ترتیب، جریان فضا-زمان $J$ توسط [ 22 ] : 26 داده شده است

$J=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i}،$

جایی که اجزاء $J^{i}$ اجزای چگالی جریان سه بعدی کلاسیک هستند. هنگامی که این مقادیر را به این ترتیب ترکیب می کنیم، به ویژه مشخص می شود که چگالی بار کلاسیک چیزی نیست جز جریانی که در جهت زمانی داده شده توسط $\gamma _{0}$ .

با ترکیب میدان الکترومغناطیسی و چگالی جریان همراه با گرادیان فضازمان همانطور که قبلاً تعریف شد، می‌توانیم هر چهار معادله ماکسول را در یک معادله در STA ترکیب کنیم. [ 20 ] : 230

معادله ماکسول:

$\nabla F=\mu _{0}cJ$

این حقیقیت که این کمیت ها همه اشیاء کوواریانت در STA هستند به طور خودکار کوواریانس لورنتز معادله را تضمین می کند، که نشان دادن آن بسیار ساده تر از زمانی است که به چهار معادله جداگانه جدا شود.

در این شکل، اثبات برخی ویژگی‌های معادلات ماکسول، مانند بقای بار ، بسیار ساده‌تر است . با استفاده از این حقیقیت که برای هر میدان دوبردار، واگرایی گرادیان فضازمان آن است $0$ ، می توان دستکاری زیر را انجام داد: [ 23 ] : 231

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J .\end{تراز شده}}$

این معادله به این معنی است که واگرایی چگالی جریان صفر است، یعنی بار کل و چگالی جریان در طول زمان حفظ می شود.

با استفاده از میدان الکترومغناطیسی، شکل نیروی لورنتس روی ذره باردار نیز می‌تواند به طور قابل توجهی با استفاده از STA ساده شود. [ 24 ] : 156

نیروی لورنتس بر یک ذره باردار:

${\mathcal {F}}=qF\cdot v$

فرمولاسیون پتانسیل

[ ویرایش ]

در فرمول حساب بردار استاندارد از دو تابع پتانسیل استفاده می شود: پتانسیل اسکالر الکتریکی و پتانسیل بردار مغناطیسی . با استفاده از ابزارهای STA، این دو شیء در یک میدان برداری واحد ترکیب می شوند $A$ ، مشابه چهار پتانسیل الکترومغناطیسی در حساب تانسور است. در STA به این صورت تعریف می شود

$A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}$

که $\phi$ پتانسیل اسکالر است و $A^{k}$ اجزای پتانسیل مغناطیسی هستند. همانطور که تعریف شد، این میدان دارای واحدهای SI وبر در هر متر است (V⋅s⋅m -1 ).

میدان الکترومغناطیسی را می توان بر حسب این میدان پتانسیل با استفاده از

${\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.$

با این حال، این تعریف منحصر به فرد نیست. برای هر تابع اسکالر دو برابر مشتق پذیر $\Lambda ({\vec {x}})$ ، پتانسیل داده شده توسط

$A'=A+\nabla \Lambda$

نیز همان را خواهد داد $F$ به عنوان اصلی، با توجه به این حقیقیت است که

$\nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.$

این پدیده آزادی سنج نامیده می شود . فرآیند انتخاب یک تابع مناسب $\Lambda$ برای ساده‌ترین مشکل معین به عنوان ثابت کردن سنج شناخته می‌شود . با این حال، در الکترودینامیک نسبیتی، شرط لورنز اغلب تحمیل می شود، جایی که $\nabla \cdot {\vec {A}}=0$ . [ 2 ] : 231

برای فرمول بندی مجدد معادله STA ماکسول بر حسب پتانسیل $A$ ، $F$ ابتدا با تعریف فوق جایگزین می شود.

${\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \ wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{تراز شده}}$

با جایگزینی این نتیجه، به فرمول پتانسیل الکترومغناطیس در STA می رسیم: [ 2 ] : 232

معادله پتانسیل:

$\nabla ^{2}A=\mu _{0}J$

فرمول لاگرانژی

[ ویرایش ]

مشابه فرمالیسم حساب تانسور، فرمول پتانسیل در STA به طور طبیعی به چگالی لاگرانژی مناسب منجر می شود . [ 2 ] : 453

چگالی لاگرانژی الکترومغناطیسی:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A$

معادلات اویلر-لاگرانژ چند بردار برای میدان را می توان استخراج کرد، و با توجه به سختی ریاضی گرفتن مشتق جزئی نسبت به چیزی که اسکالر نیست، معادلات مربوطه تبدیل می شوند: [ 25 ] : 440

$\nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\ جزئی A}}=0.$

برای شروع دوباره به دست آوردن معادله پتانسیل از این فرم، ساده ترین کار در گیج لورنز است، با تنظیم [ 2 ] : 232

$\nabla \cdot A=0.$

این فرآیند را می توان بدون توجه به گیج انتخابی انجام داد، اما این روند نتیجه را به طور قابل توجهی واضح تر می کند. با توجه به ساختار ضرب هندسی ، استفاده از این شرط منجر به این می شود $\nabla \wedge A=\nabla A$ .

پس از تعویض در $F=c\nabla A$ ، همان معادله حرکتی که در بالا برای میدان پتانسیل وجود دارد $A$ به راحتی بدست می آید.

معادله پائولی

[ ویرایش ]

STA اجازه می دهد تا ذره پائولی را در قالب یک نظریه حقیقی به جای نظریه ماتریس توصیف کند. توصیف نظریه ماتریس ذره پائولی به شرح زیر است: [ 26 ]

$i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,$

که $\Psi$ اسپینور است ، $i$ واحد خیالی بدون تفسیر هندسی است، ${\hat {\sigma }}_{i}$ ماتریس های پائولی هستند (با نماد "کلاه" نشان دهنده آن است ${\hat {\sigma }}$ یک عملگر ماتریسی است و نه عنصری در جبر هندسی)، و $H_{S}$ شرودینگر همیلتونی است.

رویکرد STA نمایش اسپینور ماتریس را تبدیل می کند ${\textstyle |\psi \rangle }$ به نمایندگی STA ${\textstyle \psi }$ با استفاده از عناصر،σ1،σ2، ${\textstyle \mathbf {\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} }$ ، از زیر جبر فضازمان با درجه زوج و شبه مقیاس $I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$ : [ 2 ] : 37 [ 27 ] : 270، 271

$|\psi \rangle ={\begin{vmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{vmatrix}}\mapsto \psi =a ^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}}$

ذره پائولی با معادله حقیقی پائولی- شرودینگر توصیف می شود: [ 26 ]

$\partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B } \psi \sigma _{3}،$

الان که $\psi$ یک چند بردار زوج جبر هندسی است و شرودینگر همیلتونی $H_{S}$ . هستند از این نظریه به عنوان نظریه حقیقی پائولی- شرودینگر یاد می کند تا تأکید کند که اگر اصطلاحی که شامل میدان مغناطیسی است حذف شود، این نظریه به نظریه شرودینگر کاهش می یابد. [ 26 ] : 30 بردار ${\textstyle \sigma _{3}}$ یک بردار ثابت انتخابی دلخواه است. یک چرخش ثابت می تواند هر بردار ثابت انتخابی جایگزینی را ایجاد کند" ${\textstyle \sigma _{3}^{\prime }}$ . [ 28 ] : 30

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی