• ​

    از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

    در مکانیک کوانتومی ، رابطه جابجاگر متعارف ، رابطه اساسی بین کمیت های مزدوج متعارف است (کمیت هایی که با تعریف به هم مرتبط هستند به طوری که یکی تبدیل فوریه دیگری است). مثلا،

    {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }

    بین عملگر موقعیت x و عملگر حرکت p x در جهت x یک ذره نقطه ای در یک بعد، که در آن [ x , p x ] = x p x − p x x تبدیل کننده x و p x ، i فرضی است . واحد ، و ℏ ثابت کاهش یافته پلانک h /2π است ، و  من{\displaystyle \mathbb {I} }عملگر واحد است. به طور کلی موقعیت و تکانه بردار عملگرها هستند و رابطه جابجاگر آنها بین اجزای مختلف موقعیت و تکانه را می توان به صورت بیان کرد.

    {\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}جایی که{\displaystyle \delta _{ij}}دلتای کرونکر است .

    این رابطه به ورنرهازنبرگ ، ماکس برن و پاسکال جردن (1925)، [1] [2] نسبت داده می شود که آن را یک "شرایط کوانتومی" نامیده اند که به عنوان اصل نظریه عمل می کند. ای کنارد (1927) [3] برای دلالت بر اصل عدم قطعیت هایزنبرگ اشاره کرد . قضیه استون-فون نویمان یک نتیجه منحصر به فرد را برای عملگرهایی که رابطه جابجاگر متعارف را برآورده می کنند (شکل نمایی از) می دهد.

    ارتباط با مکانیک کلاسیک [ ویرایش ]

    در مقابل، در فیزیک کلاسیک ، همه قابل مشاهده‌ها جابجا می‌شوند و جابجایی صفر خواهد بود. با این حال، یک رابطه مشابه وجود دارد که با جایگزینی کموتاتور با براکت پواسون ضرب در i ℏ به دست می آید .

    {\displaystyle \{x,p\}=1\,.}

    این مشاهدات باعث شد دیراک پیشنهاد کند که همتایان کوانتومی^{\displaystyle {\hat {f}}}, ĝ از مشاهده پذیرهای کلاسیک f , g راضی کننده

    {\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}

    در سال 1946، هیپ گرونولد نشان داد که یک تناظر سیستماتیک کلی بین کموتاتورهای کوانتومی و براکت‌های پواسون نمی‌تواند به طور مداوم برقرار شود. [4] [5]

    با این حال، او بیشتر قدردانی کرد که چنین تناظر سیستماتیکی در واقع بین کموتاتور کوانتومی و تغییر شکل براکت پواسون، که امروزه براکت مویال نامیده می‌شود ، و به طور کلی، عملگرهای کوانتومی و مشاهده‌پذیرها و توزیع‌های کلاسیک در فضای فاز وجود دارد . بنابراین او در نهایت مکانیسم مطابقت سازگار، تبدیل ویگنر-ویل ، که زیربنای یک نمایش ریاضی معادل جایگزین از مکانیک کوانتومی شناخته شده به عنوان کوانتیزاسیون تغییر شکل است، روشن کرد . [4] [6]

    اشتقاق از مکانیک همیلتونی [ ویرایش ]

    بر اساس اصل مطابقت ، در حدود معینی معادلات کوانتومی حالات باید به معادلات حرکت همیلتون نزدیک شوند . دومی رابطه زیر را بین مختصات تعمیم یافته q (مثلا موقعیت) و تکانه تعمیم یافته p بیان می کند :

    {\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}= -{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{موارد}}}

    در مکانیک کوانتومی همیلتونی{\displaystyle {\hat {H}}}، (تعمیم شده) مختصات{\displaystyle {\hat {Q}}}و حرکت (تعمیم شده).{\displaystyle {\hat {P}}}همه عملگرهای خطی هستند.

    مشتق زمانی یک حالت کوانتومی است -{\displaystyle i{\hat {H}}/\hbar }(براساس معادله شرودینگر ). به همین ترتیب، از آنجایی که عملگرها به طور صریح وابسته به زمان نیستند، می توان مشاهده کرد که آنها در زمان در حال تکامل هستند (به تصویر هایزنبرگ مراجعه کنید ) با توجه به رابطه جابجاگر آنها با همیلتونین:

    {\displaystyle {\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]}

    {\displaystyle {\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\ ,\,.}

    برای اینکه در حد کلاسیک با معادلات حرکت همیلتون مطابقت داشته باشد،{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}باید کاملاً به ظاهر بستگی داشته باشد{\displaystyle {\hat {P}}}در همیلتون و{\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}باید کاملاً به ظاهر بستگی داشته باشد{\displaystyle {\hat {Q}}}در همیلتونی علاوه بر این، از آنجایی که عملگر همیلتونی به عملگرهای مختصات و تکانه (تعمیم یافته) بستگی دارد، می توان آن را به عنوان یک تابع مشاهده کرد و ممکن است بنویسیم (با استفاده از مشتقات تابعی ):

    {\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [ {\ کلاه {P}}،{\ کلاه {Q}}]}

    .

    {\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [ {\hat {Q}},{\hat {P}}]\,\,.}

    برای به دست آوردن حد کلاسیک باید داشته باشیم

    {\displaystyle [{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .}

    روابط ویل [ ویرایش ]

    گروه {\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}تولید شده توسط توان جبر لی سه بعدی تعیین شده توسط رابطه جابجاگرℏ{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }گروه هایزنبرگ نامیده می شود . این گروه را می توان به عنوان گروه از3×3{\displaystyle 3\times 3}ماتریس های مثلثی بالایی با ماتریس های مورب. [7]

    بر اساس فرمول استاندارد ریاضی مکانیک کوانتومی ، مشاهده پذیرهای کوانتومی مانند{\displaystyle {\hat {x}}}و{\displaystyle {\hat {p}}}باید به عنوان عملگرهای خود الحاقی در برخی از فضای هیلبرت نشان داده شود . نسبتاً آسان است که ببینیم دو عملگر که روابط جابجاگر متعارف فوق را برآورده می کنند، نمی توانند هر دو محدود شوند . قطعا، اگر{\displaystyle {\hat {x}}}و{\displaystyle {\hat {p}}}عملگرهای کلاس ردیابی بودند ، رابطه{\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}یک عدد غیر صفر در سمت راست و صفر در سمت چپ می دهد.

    متناوبا، اگر{\displaystyle {\hat {x}}}و{\displaystyle {\hat {p}}}عملگرهای محدود بودند، توجه داشته باشید که{\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}، از این رو هنجارهای عملگر را برآورده می کند

    {\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x} }\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}

    به طوری که برای هر n

    {\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }

    با این حال، n می تواند دلخواه بزرگ باشد، بنابراین حداقل یک عملگر نمی تواند محدود شود، و بعد فضای زیرین هیلبرت نمی تواند محدود باشد. اگر عملگرها روابط ویل را برآورده کنند (نسخه نمایی از روابط جابجاگر متعارف، که در زیر توضیح داده شده است) پس در نتیجه قضیه استون-فون نویمان ، هر دو عملگر باید نامحدود باشند.

    با این حال، این روابط جابجاگر متعارف را می توان با نوشتن آنها بر حسب عملگرهای واحد (محدود شده) تا حدودی "رام تر" کرد. {\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}و{\displaystyle \exp(is{\hat {p}})}. روابط بریدینگ حاصل برای این عملگرها روابط Weyl نامیده می شود

    {\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\ exp(it{\hat {x}}).}

    این روابط ممکن است به عنوان یک نسخه نمایی از روابط جابجاگر متعارف در نظر گرفته شود. آنها نشان می‌دهند که ترجمه‌ها در موقعیت و ترجمه‌ها با سرعت حرکتی ندارند. می توان به راحتی روابط ویل را بر حسب بازنمایی های گروه هایزنبرگ دوباره فرمول بندی کرد .

    منحصر به فرد بودن روابط جابجاگر متعارف - در قالب روابط ویل - توسط قضیه استون-فون نویمان تضمین می شود .

    توجه به این نکته حائز اهمیت است که به دلایل فنی، روابط ویل دقیقاً معادل رابطه جابجاگر متعارف نیست.{\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }. اگر{\displaystyle {\hat {x}}}و{\displaystyle {\hat {p}}}عملگرهای محدود شده بودند، سپس یک مورد خاص از فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف به فرد اجازه می‌دهد تا روابط جابجاگر متعارف را به روابط ویل «تقویت کند». [8] از آنجایی که همانطور که اشاره کردیم، هر عملگر که روابط جابجاگر متعارف را برآورده می‌کند باید نامحدود باشد، فرمول بکر-کمبل-هاسدورف بدون مفروضات دامنه اضافی اعمال نمی‌شود. در واقع، نمونه‌های متقابلی وجود دارند که روابط جابجاگر متعارف را برآورده می‌کنند، اما روابط ویل را برآورده نمی‌کنند. [9] (همین عملگرها مثالی متضاد برای شکل ساده اصل عدم قطعیت می دهند.) این مسائل فنی دلیلی است که قضیه استون-فون نویمان بر اساس روابط ویل فرموله می شود.

    یک نسخه گسسته از روابط Weyl که در آن پارامترهای s و t بیش از حد متغیر است{\displaystyle \mathbb {Z} /n}را می توان در فضای هیلبرت با ابعاد محدود با استفاده از ماتریس های ساعت و شیفت درک کرد .

    کلیات [ ویرایش ]

    فرمول ساده

    {\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}

    برای کمی سازی ساده ترین سیستم کلاسیک معتبر است، می توان آن را به مورد لاگرانژی دلخواه {\displaystyle {\mathcal {L}}}تعمیم داد. . [10] مختصات متعارف (مانند x در مثال بالا، یا میدان Φ( x ) در مورد نظریه میدان کوانتومی ) و لحظه متعارف π x (در مثال بالا p یا به طور کلی، مقداری است ) را شناسایی می‌کنیم . توابع شامل مشتقات مختصات متعارف با توجه به زمان):

    {\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/ \ t جزئی)}}.}

    این تعریف از تکانه متعارف تضمین می کند که یکی از معادلات اویلر-لاگرانژ شکل

    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}

    سپس روابط جابجاگر متعارف به مقدار می رسد

    {\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,} جایی که δ ij دلتای کرونکر است .

    علاوه بر این، می توان نشان داد که

    {\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}} ;\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}} .}

    استفاده كردنسی+1ک=سیک+سیک-1{\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}، می توان نشان داد که با استقراء ریاضی

    {\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m, n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!} }{\hat {x}}^{nk}{\hat {p}}^{mk}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\ frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(nk\right)!\left(mk\right)!}}{\hat {p}}^{ mk}{\hat {x}}^{nk}},}

    به طور کلی به عنوان فرمول مک کوی شناخته می شود. [11]

    عدم تغییر سنج [ ویرایش ]

    کوانتیزاسیون متعارف طبق تعریف بر روی مختصات متعارف اعمال می شود . با این حال، در حضور یک میدان الکترومغناطیسی ، تکانه متعارف p ثابت سنج نیست . تکانه نامتغیر گیج صحیح (یا "تکانه جنبشی") است

    {\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!} ( واحدهای SI ) {\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!} ( واحد cgs )،

    که در آن q بار الکتریکی ذره ، A پتانسیل برداری و c سرعت نور است . اگرچه کمیت p kin "تکانه فیزیکی" است، از آنجایی که کمیتی است که باید با تکانه در آزمایشات آزمایشگاهی شناسایی شود، روابط جابجاگر متعارف را برآورده نمی کند . فقط حرکت متعارف این کار را انجام می دهد. این می تواند به شرح زیردیده شود.

    همیلتونی غیر نسبیتی برای یک ذره باردار کوانتیزه به جرم m در یک میدان الکترومغناطیسی کلاسیک (بر حسب واحد cgs) است.

    {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }

    که در آن A پتانسیل سه برداری و φ پتانسیل اسکالر است . این شکل از همیلتون، و همچنین معادله شرودینگر Hψ = iħ∂ψ/∂t ، معادلات ماکسول و قانون نیروی لورنتس تحت تبدیل گیج ثابت هستند.

    {\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }

    {\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}

    {\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }

    {\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}

    جایی که

    {\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}

    و Λ = Λ( x , t ) تابع گیج است.

    عملگر حرکت زاویه ای است

    {\displaystyle L=r\times p\,\!}

    و از روابط کوانتیزاسیون متعارف تبعیت می کند

    {\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}

    تعریف جبر لی برای so(3) ، که در آنک{\displaystyle \epsilon _{ijk}}نماد لوی-سیویتا است . تحت تبدیل گیج، تکانه زاویه ای به صورت تبدیل می شود

    {\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \ psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}

    تکانه زاویه ای گیج ثابت (یا "تکانه زاویه ای جنبشی") توسط

    {\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right)،}

    که دارای روابط جابجاگر است

    {\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c }}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)} جایی که

    ب=∇×آ

    {\displaystyle B=\nabla \times A} میدان مغناطیسی است . عدم هم ارزی این دو فرمول در اثر زیمن و اثر آهارونوف-بوهم نشان داده می شود .

    رابطه عدم قطعیت و جابجایی ها [ ویرایش ]

    همه این روابط جابجاگر غیر پیش پا افتاده برای جفت عملگرها منجر به روابط عدم قطعیت متناظر می شود ، [12] که شامل سهم های انتظار نیمه قطعی مثبت توسط جابجایی ها و ضد جابجایی های مربوطه می شود. به طور کلی، برای دو عملگر هرمیتی A و B ، مقادیر انتظاری را در یک سیستم در حالت ψ در نظر بگیرید ، واریانس‌ها در اطراف مقادیر انتظاری مربوطه (Δ A ) 2 ≡ 〈( A - 〈 A 〉) 2 〉 و غیره است.

    سپس

    {\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\ rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2} }}،}

    که در آن [ A ,  B ] ≡ A B − B A جابجایی A و B است و { A ,  B } ≡ A B + B A ضد جابجایی است .

    این از طریق استفاده از نابرابری کوشی-شوارتز به وجود می آید ، زیرا |〈 A 2 〉| |〈 B 2 〉| ≥ |〈 A B 〉| 2 و A B = ([ A ,  B ] + { A ,  B })/2  ; و به طور مشابه برای عملگرهای جابجا شده A − 〈 A 〉 و B − 〈 B 〉 . (به مشتقات اصل عدم قطعیت مراجعه کنید .)

    جایگزین کردن A و B (و مراقبت در تجزیه و تحلیل) رابطه عدم قطعیت آشنای هایزنبرگ را برای x و p به دست می‌دهد ، طبق معمول.

    رابطه عدم قطعیت برای عملگرهای تکانه زاویه ای [ ویرایش ]

    برای عملگرهای تکانه زاویه ای L x = y p z − z p y ، و غیره، یکی این است که

    {\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}

    جایی کهایکس{\displaystyle \epsilon _{xyz}}نماد لوی-سیویتا است و به سادگی علامت پاسخ را تحت مبادله جفتی شاخص ها معکوس می کند. یک رابطه مشابه برای عملگرهای اسپین برقرار است .

    در اینجا، برای L x و L y  ، [12] در مضرب تکانه زاویه ای ψ = | ℓ ، m 〉 ، برای مولفه های عرضی کازیمیر ثابت L x 2 + L y 2 + L z 2 ، روابط متقارن z وجود دارد.

    〈 L x 2 〉 = 〈 L y 2 〉 = ( ℓ  ( ℓ + 1) − m 2 ) ℏ 2 /2  ,

    و همچنین 〈 L x 〉 = 〈 L y 〉 = 0  .

    در نتیجه، نابرابری فوق اعمال شده برای این رابطه جابجاگر مشخص می کند

    {\displaystyle \Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2 }}}~،}

    از این رو

    {\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2 }}\vert m\vert }

    و بنابراین

    {\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}

    بنابراین، پس از آن، محدودیت های مفیدی مانند یک کران پایین در متغیر Casimir به دست می دهد : ℓ  ( ℓ + 1) ≥ | m | (| m | + 1) و از این رو ℓ ≥ | m | ، بین دیگران.

    همچنین ببینید [ ویرایش ]

    • کوانتیزاسیون متعارف
    • جبرهای CCR و CAR
    • فضازمان های کنفورماستاتیک
    • مشتق لی
    • براکت مویال
    • قضیه استون-فون نیومن

    منابع [ ویرایش ]

    1. ↑ «توسعه مکانیک کوانتومی» .
    2. ^ متولد، م. جردن، پی (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858-888. Bibcode : 1925ZPhy...34..858B . doi : 10.1007/BF01328531 . S2CID 186114542 .
    3. ↑ Kennard، EH (1927). "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen". Zeitschrift für Physik . 44 (4-5): 326-352. Bibcode : 1927ZPhy...44..326K . doi : 10.1007/BF01391200 . S2CID 121626384 .
    4. ^ a bپرش به بالا: Groenewold، HJ (1946). "در باب اصول مکانیک کوانتومی ابتدایی". فیزیک . 12 (7): 405-460. Bibcode : 1946Phy....12..405G . doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
    5. ↑ Hall 2013 قضیه 13.13
    6. ^ کرترایت، TL; Zachos، CK (2012). "مکانیک کوانتومی در فضای فاز". خبرنامه فیزیک آسیا و اقیانوسیه . 01 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
    7. ^ بخش 1.2.6 سالن 2015 و گزاره 3.26
    8. ^ برای اشتقاق ابتدایی بهبخش 5.2 سالن 2015 مراجعه کنید
    9. ^ Hall 2013 مثال 14.5
    10. ↑ تاونسند، جی اس (2000). رویکردی مدرن به مکانیک کوانتومی . Sausalito، CA: کتب علوم دانشگاهی. شابک 1-891389-13-0.
    11. ↑ مک کوی، NH (1929)، "درباره فرمول های جابجاگر در جبر مکانیک کوانتومی"، تراکنش های انجمن ریاضی آمریکا 31 (4)، 793-806 آنلاین
    12. رابرتسون ، اچ پیپرش به بالا: (1929). "اصل عدم قطعیت". بررسی فیزیکی 34 (1): 163-164. Bibcode : 1929PhRv...34..163R . doi : 10.1103/PhysRev.34.163 .
    • هال، برایان سی (2013)، نظریه کوانتومی برای ریاضیدانان ، متون فارغ التحصیل در ریاضیات، جلد. 267، اسپرینگر.
    • هال، برایان سی (2015)، گروه‌های لی، جبرها و بازنمایی‌های لی، مقدمه ابتدایی ، متن‌های فارغ‌التحصیل در ریاضیات، جلد. 222 (ویرایش دوم)، اسپرینگر.

    دسته بندی ها :

    • مکانیک کوانتومی
    • فیزیک ریاضی
    ​https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_commutation_relation