الکترومغناطیس در نسبیت خاص [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول کوواریانت الکترومغناطیس کلاسیک

یک ذره نقطه ای را در نظر بگیرید، یک ذره باردار، که با میدان الکترومغناطیسی تعامل دارد . شرایط تعامل

{\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t ), t)}با عبارت‌هایی که شامل چگالی بار پیوسته ρ در A·s·m -3 و چگالی جریان هستند جایگزین می‌شوند.{\displaystyle \mathbf {j} }در A·m −2 . چگالی لاگرانژی حاصل برای میدان الکترومغناطیسی به صورت زیر است:

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} ( \mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \بیش از 2}{E}^{2}(\mathbf {x} , t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}

با تغییر این نسبت به ϕ ، دریافت می کنیم

{\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}

که قانون گاوس را به دست می دهد .

در عوض با توجه بهآ{\displaystyle \mathbf {A} }، ما گرفتیم

{\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \ بیش از \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}

که قانون آمپر را به دست می دهد .

با استفاده از نماد تانسور ، می توانیم همه اینها را فشرده تر بنویسیم. عبارت{\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }در واقع حاصل ضرب درونی دو چهار بردار است . ما چگالی بار را در بردار 4 فعلی و پتانسیل را در بردار 4 بالقوه بسته بندی می کنیم. این دو بردار جدید هستند

{\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A})}

سپس می توانیم عبارت تعامل را به صورت بنویسیم

{\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}علاوه بر این، می‌توانیم میدان‌های E و B را در آنچه به عنوان تانسور الکترومغناطیسی شناخته می‌شود، بسته بندی کنیم {\displaystyle F_{\mu \nu }}. ما این تانسور را به صورت تعریف می کنیم

{\displaystyle F_{\mu \nu }=\جزئی _{\mu }A_{\nu }-\جزئی _{\nu }A_{\mu }}اصطلاحی که ما به دنبال آن هستیم معلوم می شود

{\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1 }{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}

ما از متریک Minkowski برای افزایش شاخص‌ها در تانسور EMF استفاده کرده‌ایم . در این نماد، معادلات ماکسول هستند

{\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \ nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}

جایی که ε تانسور Levi-Civita است . بنابراین چگالی لاگرانژ برای الکترومغناطیس در نسبیت خاص که بر حسب بردارها و تانسورهای لورنتس نوشته شده است

{\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{ \mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}

در این نماد، آشکار است که الکترومغناطیس کلاسیک یک نظریه لارنتس-لورنتز است. با اصل هم ارزی ، گسترش مفهوم الکترومغناطیس به فضازمان منحنی ساده می شود. [5] [6]