معادله لاپلاس -- مختصات کروی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه چهاردهم اسفند ۱۴۰۲ | 15:40

در مختصات کروی , فاکتورهای مقیاس عبارتند از , , , , و توابع جداسازی , , , به دادن یک تعیین کننده Stäckel از .

لاپلاسی است _

(1)

برای حل معادله لاپلاس در مختصات کروی ، سعی کنید متغیرها را با نوشتن جدا کنید

(2)

سپس معادله دیفرانسیل هلمهولتز می شود

(3)

حالا تقسیم بر

(4)

((r^2sin^2phi)/R(d^2R)/(dr^2)+(2rsin^2phi)/R(dR)/(dr))+(1/تتا(d^2Theta)/(dtheta ^2)) +((cosphisinphi)/Phi(dPhi)/(dphi)+(sin^2phi)/Phi(d^2Phi)/(dphi^2))=0.

(5)

راه حل قسمت دوم ( 5 ) باید سینوسی باشد، بنابراین معادله دیفرانسیل است

(6)

که دارای راه حل هایی است که ممکن است به عنوان یک تابع پیچیده با ...،

(7)

یا به عنوان مجموع توابع سینوس و کسینوس واقعی با ، ...،

(8)

وصل کردن ( 6 ) به ( 7 )،

(9)

قسمت شعاعی باید برابر با یک ثابت باشد

(10)

(11)

اما این معادله دیفرانسیل اویلر است ، بنابراین ما یک راه حل سری از فرم را امتحان می کنیم

(12)

سپس

r^2sum_(n=0)^infty(n+c)(n+c-1)a_nr^(n+c-2)+2rsum_(n=0)^infty(n+c)a_nr^(n+ c-1) -l(l+1)sum_(n=0)^inftya_nr^(n+c)=0

(13)

sum_(n=0)^infty(n+c)(n+c-1)a_nr^(n+c)+2sum_(n=0)^infty(n+c)a_nr^(n+c) -l (l+1)sum_(n=0)^inftya_nr^(n+c)=0

(14)

(15)

این باید برای تمام توان های . برای مدت (با )،

(16)

که تنها در صورت ناپدید شدن همه اصطلاحات دیگر درست است . بنابراین برای ، . بنابراین، راه حل جزء به دست آمده است

(17)

وصل کردن ( 17 ) دوباره به (◇)،

(18)

(19)

که معادله دیفرانسیل لژاندر برای و ، ...، است . بنابراین راه حل مختلط کلی است

sum_(l=0)^inftysum_(m=-l)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)e^(-imtheta) =sum_(l=0)^ inftysum_(m=-1)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))Y_l^m(تتا،فی)،

(20)

جایی که

(21)

هارمونیک های کروی ( مختلط) هستند . راه حل حقیقی کلی این است

(22)

برخی از ثابت‌های نرما سازی می‌توانند توسط و جذب شوند ، بنابراین این معادله ممکن است به شکل ظاهر شود

sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))P_l^m(cosphi)[S_l^msin(mtheta)+C_l^mcos(mtheta)] =sum_(l=0)^inftysum_(m=0)^l(A_lr^l+B_lr^(-l-1))×[S_l^mY_l^(m(o))(تتا،فی)+C_l^ mY_l^(m(e))(تتا، فی)]،

(23)

جایی که

(24)

(25)

هارمونیک های کروی زوج و فرد (حقیقی) هستند . اگر تقارن ازیموتال وجود داشته باشد، ثابت است و حل جزء یک چند جمله ای لژاندر است . راه حل کلی پس از آن است

(26)

https://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquationSphericalCoordinates.html

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی