5-نظریه میدان لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ | 22:33

جاذبه انیشتین [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: اقدام انیشتین–هیلبرت

چگالی لاگرانژ برای نسبیت عام در حضور میدان های ماده است

${\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}} ={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}$

جایی که $\Lambda$ ثابت کیهانی است ،آر $R$ اسکالر انحنای است که تانسور ریچی منقبض با تانسور متریک است و تانسور ریچی تانسور ریمان است که با دلتای کرونکر منقبض شده است . انتگرال از ${\mathcal {L}}_{\text{EH}}$ به عمل اینشتین-هیلبرت معروف است . تانسور ریمان تانسور نیروی جزر و مدی است و از نمادهای کریستوفل و مشتقات نمادهای کریستوفل ساخته شده است که ارتباط متریک را در فضازمان تعریف می کند. خود میدان گرانشی از نظر تاریخی به تانسور متریک نسبت داده می شد. دیدگاه مدرن این است که ارتباط "بنیادی تر" است. این به دلیل درک این است که می توان اتصالات را با پیچش غیر صفر نوشت . اینها متریک را بدون تغییر یک بیت هندسه تغییر می دهند. در مورد "جهت واقعی گرانش" (مثلاً روی سطح زمین، به سمت پایین است)، این از تانسور ریمان می آید: این چیزی است که "میدان نیروی گرانشی" را توصیف می کند که اجسام متحرک احساس می کنند و واکنش نشان می دهند. به. (این عبارت آخر باید واجد شرایط باشد: فی نفسه "میدان نیرو" وجود ندارد ؛ اجسام متحرک از ژئودزیک ها در منیفولد توصیف شده توسط اتصال پیروی می کنند. آنها در یک " خط مستقیم " حرکت می کنند.)

لاگرانژ برای نسبیت عام نیز می تواند به شکلی نوشته شود که آن را آشکارا شبیه معادلات یانگ میلز می کند. این اصل عمل انیشتین یانگ میلز نامیده می شود . این کار با توجه به این که بیشتر هندسه دیفرانسیل روی باندل هایی با اتصال افین و گروه Lie دلخواه "به خوبی" کار می کند، انجام می شود. سپس، با وصل کردن SO(3،1) برای آن گروه تقارن، یعنی برای میدانهای فریم ، معادلات بالا به دست می آید. [2] [3]

جایگزینی این لاگرانژ به معادله اویلر-لاگرانژ و گرفتن تانسور متریک $g_{\mu \nu }$ به عنوان میدان، معادلات میدان انیشتین را به دست می آوریم

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c ^{4}}}T_{\mu \nu }\,.$ $T_{\mu \nu }$

تانسور تکانه انرژی است و با تعریف می شود

$T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} } {\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\ delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.$ جایی که $g$ وقتی به عنوان یک ماتریس در نظر گرفته شود، تعیین کننده تانسور متریک است. به طور کلی، در نسبیت عام، معیار انتگرال عمل چگالی لاگرانژ است ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ . این باعث می شود مختصات انتگرال مستقل باشد، زیرا ریشه تعیین متریک معادل دترمینان ژاکوبین است . علامت منفی نتیجه امضای متریک است (تعیین کننده به خودی خود منفی است). [5] این نمونه‌ای از فرم حجمی است که قبلاً مورد بحث قرار گرفت و در فضازمان غیر مسطح آشکار می‌شود.

الکترومغناطیس در نسبیت عام [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادلات ماکسول در فضازمان منحنی

چگالی لاگرانژ الکترومغناطیس در نسبیت عام نیز حاوی عمل انیشتین-هیلبرت از بالا است. لاگرانژی الکترومغناطیسی خالص دقیقاً یک ماده لاگرانژی است موضوع ${\mathcal {L}}_{\text{matter}}$ . لاگرانژی است

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0} }F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^ {4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{انیشتین–هیلبرت }}.\end{تراز شده}}$

این لاگرانژی به سادگی با جایگزین کردن متریک مینکوفسکی در لاگرانژی مسطح بالا با یک متریک عمومی تر (احتمالاً منحنی) به دست می آید. $g_{\mu \nu }(x)$ . ما می توانیم معادلات میدان انیشتین را در حضور میدان EM با استفاده از این لاگرانژی تولید کنیم. تانسور انرژی - تکانه است

$T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu } (x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{}}\lambda } ^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x )F^{\rho \sigma }(x)\right)$

می توان نشان داد که این تانسور تکانه انرژی بدون ردیابی است، یعنی آن

$T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0$

اگر ردی از دو طرف معادلات میدان انیشتین را بگیریم، به دست می آید

$R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T$

بنابراین بی اثر بودن تانسور تکانه انرژی نشان می دهد که اسکالر انحنا در یک میدان الکترومغناطیسی ناپدید می شود. معادلات اینشتین پس از آن است

$R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^ {\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$

علاوه بر این، معادلات ماکسول هستند

$D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }$ جایی که $D_{\mu }$ مشتق کوواریانت است . برای فضای آزاد، می توانیم تانسور فعلی را برابر با صفر قرار دهیم، $j^{\mu }=0$ . حل معادلات انیشتین و ماکسول حول یک توزیع جرم کروی متقارن در فضای آزاد منجر به سیاهچاله باردار رایسنر-نوردستروم با عنصر خط تعیین کننده (نوشته شده در واحدهای طبیعی و با بار Q ) می شود: [5]

$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\راست )\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\راست)^ {-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$

یکی از راه های ممکن برای متحد کردن لاگرانژین الکترومغناطیسی و گرانشی (با استفاده از بعد پنجم) توسط نظریه کالوزا-کلین ارائه شده است . [2] به طور موثر، یک بسته نرم افزاری مانند معادلات یانگ-میلز که قبلا داده شد ساخته می شود، و سپس عمل را به طور جداگانه روی قسمت های 4 بعدی و 1 بعدی در نظر می گیرد. این گونه فاکتورگیری ها ، مانند این واقعیت که می توان 7 کره را حاصل ضرب 4 کره و 3 کره نوشت، یا اینکه 11 کره حاصلضرب 4 کره و 7 کره است، به حساب می آید. برای بسیاری از هیجانات اولیه که نظریه ای درباره همه چیز پیدا شده بود. متأسفانه، 7 کره به اندازه کافی بزرگ نیست که تمام مدل استاندارد را در بر بگیرد و این امیدها را بر باد داد.

نمونه های اضافی [ ویرایش ]

مدل BF لاگرانژی، مخفف «زمینه پس‌زمینه»، سیستمی را با دینامیک بی‌اهمیت توصیف می‌کند، زمانی که بر روی یک منیفولد فضازمان مسطح نوشته می‌شود. در یک فضازمان از نظر توپولوژیکی غیر پیش پا افتاده، سیستم راه حل های کلاسیک غیر پیش پا افتاده ای خواهد داشت که ممکن است به عنوان سالیتون یا لحظه تفسیر شوند . توسعه‌های متنوعی وجود دارد که پایه‌های نظریه‌های میدان توپولوژیکی را تشکیل می‌دهند .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

حساب تغییرات
نظریه میدان کلاسیک کوواریانت
معادله اویلر – لاگرانژ
مشتق تابعی
انتگرال عملکردی
مختصات تعمیم یافته
مکانیک هامیلتونی
نظریه میدان همیلتونی
اصطلاح جنبشی
مختصات لاگرانژی و اولری
مکانیک لاگرانژی
نقطه لاگرانژی
سیستم لاگرانژی
قضیه نوتر
تابع Onsager–Machlup
اصل کمترین عمل
نظریه میدان اسکالر

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ اختصار کردن تمام مشتقات و مختصات در چگالی لاگرانژی به صورت زیر یک سوء استفاده استاندارد از نماد است:

${\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi,x_{\mu })$ چهار گرادیان را ببینید . μ شاخصی است که مقادیر 0 (برای مختصات زمانی) و 1، 2، 3 (برای مختصات مکانی) را می گیرد، بنابراین به طور دقیق فقط یک مشتق یا مختصات وجود دارد . به طور کلی، تمام مشتقات مکانی و زمانی در چگالی لاگرانژی ظاهر می شوند، به عنوان مثال در مختصات دکارتی، چگالی لاگرانژی به شکل کامل است:

${\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\ frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$ در اینجا ما همان چیزی را می نویسیم، اما از ∇ برای مخفف کردن تمام مشتقات فضایی به عنوان بردار استفاده می کنیم.

نقل قول ها [ ویرایش ]

↑ رالف آبراهام و جرولد ای. مارسدن، (1967) "مبانی مکانیک"
^ پرش به بالا:دیوید بلیکر (1981) "نظریه سنج و اصول تغییر " ادیسون - وسلی
^ پرش به بالا:a b c d e f Jurgen Jost، (1995) "هندسه ریمانی و تحلیل هندسی"، اسپرینگر
^ ماندل، اف. شاو، جی (2010). «نظریه میدان لاگرانژی». نظریه میدان کوانتومی (ویرایش دوم). وایلی. پ. 25-38 . شابک 978-0-471-49684-7.
^ پرش به بالا:a b c Zee, Anthony (2013). گرانش اینشتین به طور خلاصه پرینستون: انتشارات دانشگاه پرینستون. صص 344 –390. شابک 9780691145587.
↑ کیهیل، کوین (2013). ریاضیات فیزیکی . کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 9781107005211.
↑ جوست، یورگن (2002). "عملکردی گینزبورگ-لاندو". هندسه ریمانی و تحلیل هندسی (ویرایش سوم). Springer-Verlag. صص 373 –381. شابک 3-540-42627-2.
^ Itzykson-Zuber, eq. 3-152
↑ کلود ایتیکسون و ژان برنارد زوبر، (1980) "نظریه میدان کوانتومی"

دسته بندی ها :

فیزیک ریاضی
نظریه میدان کلاسیک
حساب تغییرات
نظریه میدان کوانتومی

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_(field_theory)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی