2-هارمونیک های کروی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیستم اسفند ۱۴۰۲ | 15:38

تاریخچه [ ویرایش ]

پیر سیمون لاپلاس ، 1749-1827

هارمونیک های کروی ابتدا در ارتباط با پتانسیل نیوتنی قانون گرانش جهانی نیوتن در سه بعد مورد بررسی قرار گرفتند. در سال 1782، پیر سیمون د لاپلاس ، در Mécanique Céleste خود ، تعیین کرد که پتانسیل گرانشی $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ در نقطه x مرتبط با مجموعه ای از جرم های نقطه m i واقع در نقاط x i توسط داده شد

$V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.$

هر جمله در جمع بالا یک پتانسیل نیوتنی منفرد برای یک جرم نقطه ای است. درست قبل از آن زمان، آدرین ماری لژاندر گسترش پتانسیل نیوتنی در توان های r = | x | و r 1 = | x 1 | . او کشف کرد که اگر r ≤ r 1 باشد ، پس

${\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma){\frac {1}{r_{1 }}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma){\frac {r^{2 }}{r_{1}^{3}}}+\cdots$

که γ زاویه بین بردارهای x و x 1 است . توابع $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ چند جمله ای های لژاندر هستند و می توان آنها را به عنوان حالت خاصی از هارمونیک های کروی به دست آورد. پس از آن، لاپلاس در خاطرات خود در سال 1782، این ضرایب را با استفاده از مختصات کروی برای نشان دادن زاویه γ بین x 1 و x بررسی کرد . ( برای تجزیه و تحلیل دقیق تر به کاربردهای چند جمله ای لژاندر در فیزیک مراجعه کنید.)

در سال 1867، ویلیام تامسون (لرد کلوین) و پیتر گاتری تایت هارمونیک‌های کروی جامد را در رساله‌ای در باب فلسفه طبیعی معرفی کردند و همچنین برای اولین بار نام "هارمونیک‌های کروی" را برای این توابع معرفی کردند. هارمونیک های جامد راه حل های چند جمله ای همگن بودندر $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ معادله لاپلاس

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$

تامسون و تایت با بررسی معادله لاپلاس در مختصات کروی، هارمونیک های کروی لاپلاس را بازیابی کردند. (به بخش زیر، "نمایش چند جمله ای هارمونیک" مراجعه کنید.) اصطلاح "ضرایب لاپلاس" توسط ویلیام ویول برای توصیف سیستم خاصی از راه حل های معرفی شده در امتداد این خطوط استفاده شد، در حالی که دیگران این نام را برای هارمونیک های کروی ناحیه ای که به درستی استفاده شده بودند، اختصاص دادند. توسط لاپلاس و لژاندر معرفی شد.

توسعه سری فوریه در قرن نوزدهم ، حل طیف گسترده ای از مسائل فیزیکی را در حوزه های مستطیلی، مانند حل معادله گرما و معادله موج ، ممکن کرد . این را می توان با بسط توابع در مجموعه ای از توابع مثلثاتی به دست آورد . در حالی که توابع مثلثاتی در یک سری فوریه حالت‌های اساسی ارتعاش در یک رشته را نشان می‌دهند ، هارمونیک‌های کروی حالت‌های اساسی ارتعاش یک کره را تقریباً به همان شکل نشان می‌دهند. بسیاری از جنبه های نظریه سری فوریه را می توان با بسط در هارمونیک های کروی به جای توابع مثلثاتی تعمیم داد. علاوه بر این، شبیه به اینکه چگونه توابع مثلثاتی را می‌توان به صورت نمایی مختلط نوشت ، هارمونیک‌های کروی نیز دارای شکلی معادل به عنوان توابع با مقادیر مختلط هستند. این یک موهبت برای مشکلاتی بود که دارای تقارن کروی بودند ، مانند مشکلات مکانیک سماوی که در ابتدا توسط لاپلاس و لژاندر مورد مطالعه قرار گرفت.

رواج هارمونیک های کروی در حال حاضر در فیزیک زمینه را برای اهمیت بعدی آنها در تولد مکانیک کوانتومی قرن بیستم فراهم کرد . هارمونیک های کروی (با ارزش مختلط). $S^{2}\to \mathbb {C}$ توابع ویژه مجذور عملگر تکانه زاویه ای مداری هستند

$-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,$

و بنابراین آنها پیکربندی های مختلف کوانتیزه شده اوربیتال های اتمی را نشان می دهند .

مقاله

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی