2-نظریه میدان لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ | 22:27

مثالها [ ویرایش ]

انواع زیادی از سیستم‌های فیزیکی بر حسب لاگرانژی در زمینه‌ها فرموله شده‌اند. در زیر نمونه‌ای از برخی از رایج‌ترین موارد موجود در کتاب‌های درسی فیزیک در تئوری میدان آورده شده است.

گرانش نیوتنی [ ویرایش ]

چگالی لاگرانژی برای گرانش نیوتنی است:

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}- \rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)$

که در آن Φ پتانسیل گرانشی ، ρ چگالی جرم و G بر حسب m 3 ·kg -1 ·s -2 ثابت گرانشی است . تراکم ${\mathcal {L}}$ دارای واحدهای J·m −3 است . در اینجا عبارت اندرکنش شامل یک چگالی جرم پیوسته ρ در kg·m -3 است . این امر ضروری است زیرا استفاده از یک منبع نقطه ای برای یک میدان منجر به مشکلات ریاضی می شود.

این لاگرانژی را می توان در قالب نوشت ${\mathcal {L}}=TV$ ، با $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ ارائه یک اصطلاح جنبشی، و تعامل $V=\rho \Phi$ اصطلاح بالقوه همچنین نظریه گرانش نوردستروم را ببینید که چگونه می توان آن را برای مقابله با تغییرات در طول زمان اصلاح کرد. این شکل در مثال بعدی نظریه میدان اسکالر تکرار شده است.

تغییر انتگرال با توجه به Φ به صورت زیر است:

$\delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \ بیش از 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).$

پس از انتگرال با قطعات، دور انداختن انتگرال کل، و تقسیم بر δΦ فرمول به صورت زیر در می‌آید :

$0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)$

که معادل است با:

$4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)$

که قانون گاوس را برای گرانش به دست می دهد .

نظریه میدان اسکالر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه میدان اسکالر

لاگرانژی برای یک میدان اسکالر که در یک پتانسیل حرکت می کند $V(\phi )$ را می توان به صورت نوشتاری

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac { 1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _ {n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}$

شباهت نظریه اسکالر به کتاب لاگرانژی در مقطع کارشناسی اصلا تصادفی نیست. $L=TV$ برای عبارت جنبشی یک ذره نقطه آزاد که به صورت نوشته شده است $T=mv^{2}/2$ . نظریه اسکالر تعمیم تئوری میدان یک ذره است که در یک پتانسیل حرکت می کند. وقتی که $V(\phi )$ پتانسیل کلاه مکزیکی است ، میدان های حاصل را میدان های هیگز می نامند .

مدل سیگما لاگرانژی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مدل سیگما

مدل سیگما حرکت یک ذره نقطه اسکالر را توصیف می کند که محدود به حرکت بر روی یک منیفولد ریمانی ، مانند یک دایره یا یک کره است. این مورد میدانهای اسکالر و برداری را تعمیم می دهد، یعنی میدانهایی که محدود به حرکت بر روی یک منیفولد مسطح هستند. لاگرانژ معمولاً به یکی از سه شکل معادل نوشته می شود:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }$ جایی که $\mathrm {d}$ دیفرانسیل است . یک عبارت معادل است

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}( \phi )\;\جزئی ^{\mu }\phi _{i}\جزئی _{\mu }\phi _{j}$

با $g_{ij}$ متریک ریمانی در منیفولد میدان. یعنی زمین ها $\phi _{i}$ فقط مختصات محلی در نمودار مختصات منیفولد هستند. سومین شکل رایج این است

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)$

با

$L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U$ و $U\in \mathrm {SU} (N)$ ، گروه لی SU(N) . این گروه را می توان با هر گروه Lie یا، به طور کلی، با یک فضای متقارن جایگزین کرد . ردیابی فقط شکل کشتار در پنهان است. فرم Killing یک فرم درجه دوم را در منیفولد میدان ارائه می‌کند، سپس لاگرانژی فقط عقب‌نشینی این فرم است. متناوبا، لاگرانژ را می توان به عنوان عقب نشینی فرم مورر-کارتان به فضازمان پایه نیز دید.

به طور کلی، مدل های سیگما راه حل های سولیتون توپولوژیکی را نشان می دهند . معروف ترین و به خوبی مطالعه شده از آنها Skyrmion است که به عنوان مدلی از نوکلئون عمل می کند که در آزمون زمان مقاومت کرده است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی